【例題選講】
[例3] (11)(2017·全國Ⅲ)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線方程為y＝eq \f(\r(5),2)x，且與橢圓eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1有公共焦點，則C的方程為( )
A．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,10)＝1 B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1 C．eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1
答案 B 解析 由y＝eq \f(\r(5),2)x可得eq \f(b,a)＝eq \f(\r(5),2)，①．由橢圓eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1的焦點為(3，0)，(－3，0)，可得a2＋b2＝9，②．由①②可得a2＝4，b2＝5．所以C的方程為eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1．故選B．
(12)(2016·天津)已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦距為2eq \r(5)，且雙曲線的一條漸近線與直線2x＋y＝0垂直，則雙曲線的方程為( )
A．eq \f(x2,4)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(3x2,20)－eq \f(3y2,5)＝1 D．eq \f(3x2,5)－eq \f(3y2,20)＝1
答案 A 解析 依題意得eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，①，又a2＋b2＝c2＝5，②，聯(lián)立①②得a＝2，b＝1．∴所求雙曲線的方程為eq \f(x2,4)－y2＝1．
(13) (2018·天津)已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點．設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1＋d2＝6，則雙曲線的方程為( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B．eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1 D．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1
答案 C 解析 因為雙曲線的離心率為2，所以eq \f(c,a)＝2，c＝2a，b＝eq \r(3)a，不妨令A(yù)(2a,3a)，B(2a，－3a)，雙曲線其中一條漸近線方程為y＝eq \r(3)x，所以d1＝eq \f(|2\r(3)a－3a|,\r(?\r(3)?2＋?－1?2))＝eq \f(2\r(3)a－3a,2)，d2＝eq \f(|2\r(3)a＋3a|,\r(?\r(3)?2＋?－1?2))＝eq \f(2\r(3)a＋3a,2)；依題意得：eq \f(2\r(3)a－3a,2)＋eq \f(2\r(3)a＋3a,2)＝6，解得：a＝eq \r(3)，b＝3，所以雙曲線方程為：eq \f(x2,3)－eq \f(y2,9)＝1．
(14)已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，點A在雙曲線的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形(O為原點)，則雙曲線的方程為( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 B．eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,3)＝1
答案 D 解析 根據(jù)題意畫出草圖如圖所示eq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(不妨設(shè)點A\(\s\up7( ),\s\d5( ))))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(在漸近線y＝\f(b,a)x上)).
由△AOF是邊長為2的等邊三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2．又點A在雙曲線的漸近線y＝eq \f(b,a)x上，∴eq \f(b,a)＝tan 60°＝eq \r(3)．又a2＋b2＝4，∴a＝1，b＝eq \r(3)，∴雙曲線的方程為x2－eq \f(y2,3)＝1，故選D
(15)已知雙曲線eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，以原點為圓心，雙曲線的實半軸長為半徑長的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B，C，D四點，四邊形ABCD的面積為2b，則雙曲線的方程為( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(3y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)－eq \f(4y2,3)＝1 C．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1
答案 D 解析 根據(jù)圓和雙曲線的對稱性，可知四邊形ABCD為矩形．雙曲線的漸近線方程為y＝±eq \f(b,2)x，圓的方程為x2＋y2＝4，不妨設(shè)交點A在第一象限，由y＝eq \f(b,2)x，x2＋y2＝4得xA＝eq \f(4,\r(4＋b2))，yA＝eq \f(2b,\r(4＋b2))，故四邊形ABCD的面積為4xAyA＝eq \f(32b,4＋b2)＝2b，解得b2＝12，故所求的雙曲線方程為eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1，選D．
(16)已知雙曲線的中心為原點，是的焦點，過F的直線與相交于A，B兩點，且AB的中點為，則的方程式為( )
A． B． C． D．
答案 B 解析 設(shè)雙曲線方程為，，由得，，，，，所以．
【對點訓(xùn)練】
20．已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距為4eq \r(5)，漸近線方程為2x±y＝0，則雙曲線的方程為( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,16)＝1 B．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,64)＝1 D．eq \f(x2,64)－eq \f(y2,16)＝1
21．(2017·天津)已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點為F，離心率為eq \r(2)．若經(jīng)過F和P(0，4)兩點的
直線平行于雙曲線的一條漸近線，則雙曲線的方程為( )
A．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,8)＝1 C．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1 D．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1
22．已知雙曲線M：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)與拋物線y＝eq \f(1,8)x2有公共焦點F，F(xiàn)到M的一條漸近線的距離為eq \r(3)，
則雙曲線方程為( )
A．y2－eq \f(x2,3)＝1 B．eq \f(x2,3)－y2＝1 C．eq \f(x2,7)－eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(y2,3)－eq \f(x2,7)＝1
23．已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，以F1，F(xiàn)2為直徑的圓與雙曲線漸近線
的一個交點為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，4))，則雙曲線的方程為( )
A．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1 B．eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1 C．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1
24．已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的一條漸近線l的傾斜角為eq \f(π,3)，且C的一個焦點到l的距離為eq \r(3)，則雙曲線
C的方程為( )
A．eq \f(x2,12)－eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1 C．eq \f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq \f(y2,3)＝1
25．已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)過點(eq \r(2)，eq \r(3))，且實軸的兩個端點與虛軸的一個端點組成一個等
邊三角形，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是( )
A．eq \f(x2,\f(1,2))－y2＝1 B．eq \f(x2,9)－eq \f(y2,3)＝1 C．x2－eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,\f(2,3))－eq \f(y2,\f(3,2))＝1
26．已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點為F，點B是虛軸的一個端點，線段BF與雙曲線C
的右支交于點A，若eq \(BA,\s\up8(→))＝2eq \(AF,\s\up8(→))，且|eq \(BF,\s\up8(→))|＝4，則雙曲線C的方程為( )
A．eq \f(x2,6)－eq \f(y2,5)＝1 B．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,12)＝1 C．eq \f(x2,8)－eq \f(y2,4)＝1 D．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,6)＝1
27．已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq \f(3,2)，過右焦點F作漸近線的垂線，垂足為M．若△FOM
的面積為eq \r(5)，其中O為坐標(biāo)原點，則雙曲線的方程為( )
A．x2－eq \f(4y2,5)＝1 B．eq \f(x2,2)－eq \f(2y2,5)＝1 C．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1 D．eq \f(x2,16)－eq \f(y2,20)＝1
28．已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F(eq \r(7)，0)，直線y＝x－1與其相交于M，N兩點，MN中點的橫坐標(biāo)為－eq \f(2,3)，則此雙曲線的方程是( )．
A．eq \f(x2,3)－eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1 C．eq \f(x2,5)－eq \f(y2,2)＝1 D．eq \f(x2,2)－eq \f(y2,5)＝1
29．雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a，b>0)的離心率為eq \r(3)，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線右支上一點，∠F1PF2
的角平分線為l，點F1關(guān)于l的對稱點為Q，|F2Q|＝2，則雙曲線的方程為( )
A．eq \f(x2,2)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,2)＝1 C．x2－eq \f(y2,3)＝1 D．eq \f(x2,3)－y2＝1
4．動點的軌跡方程
【方法總結(jié)】
求動點軌跡方程的六大方法
1．待定系數(shù)法；2．直譯法；3．定義法；4．代入法；5．參數(shù)法；6．交軌法.
【例題選講】
[例4] (17)設(shè)點A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則點P的軌跡方程是( )
A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2
答案 D 解析 如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1，0)，連接MA，則MA⊥PA，且|MA|＝1，又∵|PA|＝1，∴|PM|＝eq \r(|MA|2＋|PA|2)＝eq \r(2)，即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2．
(18)設(shè)線段AB的兩個端點A，B分別在x軸、y軸上滑動，且|AB|＝5，eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(OB,\s\up6(→))，則點M的軌跡方程為( )
A．eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1 B．eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,4)＝1 C．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D．eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1
答案 A 解析 設(shè)M(x，y)，A(x0，0)，B(0，y0)，由eq \(OM,\s\up6(→))＝eq \f(3,5)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,5)eq \(OB,\s\up6(→))，得(x，y)＝eq \f(3,5)(x0，0)＋eq \f(2,5)(0，y0)，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,5)x0，,y＝\f(2,5)y0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝\f(5,3)x，,y0＝\f(5,2)y，))由|AB|＝5，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)x))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)y))eq \s\up12(2)＝25，化簡得eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1．
(19)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內(nèi)部且和圓C1相內(nèi)切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為( )
A．eq \f(x2,64)－eq \f(y2,48)＝1 B．eq \f(x2,48)＋eq \f(y2,64)＝1 C．eq \f(x2,48)－eq \f(y2,64)＝1 D．eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1
答案 D 解析 設(shè)圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且2a＝16，2c＝8，所以a＝8，c＝4，b＝eq \r(a2－c2)＝4eq \r(3)，故所求的軌跡方程為eq \f(x2,64)＋eq \f(y2,48)＝1．
(20)在△ABC中，|eq \(BC,\s\up6(→))|＝4，△ABC的內(nèi)切圓切BC于D點，且|eq \(BD,\s\up6(→))|－|eq \(CD,\s\up6(→))|＝2eq \r(2)，則頂點A的軌跡方程為________．
答案 eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1(x＞eq \r(2)) 解析 以BC的中點為原點，中垂線為y軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，E，F(xiàn)分別為兩個切點．
則|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|．∴|AB|－|AC|＝2eq \r(2)＜|BC|＝4，∴點A的軌跡是以B，C為焦點的雙曲線的右支(y≠0)且a＝eq \r(2)，c＝2，∴b＝eq \r(2)，∴軌跡方程為eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1(x＞eq \r(2))．
(21)若曲線C上存在點M，使M到平面內(nèi)兩點A(－5，0)，B(5，0)距離之差的絕對值為8，則稱曲線C為“好曲線”．以下曲線不是“好曲線”的是( )
A．x＋y＝5 B．x2＋y2＝9 C．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1 D．x2＝16y
答案 B 解析 ∵M到平面內(nèi)兩點A(－5，0)，B(5，0)距離之差的絕對值為8，∴M的軌跡是以A(－5，0)，B(5，0)為焦點的雙曲線，方程為eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1．A項，直線x＋y＝5過點(5，0)，故直線與M的軌跡有交點，滿足題意；B項，x2＋y2＝9的圓心為(0，0)，半徑為3，與M的軌跡沒有交點，不滿足題意；C項，eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的右頂點為(5，0)，故橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1與M的軌跡有交點，滿足題意；D項，方程代入eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，可得y－eq \f(y2,9)＝1，即y2－9y＋9＝0，∴Δ>0，滿足題意．
【對點訓(xùn)練】
30．在△ABC中，已知A(2，0)，B(－2，0)，G，M為平面上的兩點且滿足eq \(GA,\s\up6(→))＋eq \(GB,\s\up6(→))＋eq \(GC,\s\up6(→))＝0，|eq \(MA,\s\up6(→))|＝|eq \(MB,\s\up6(→))|
＝|eq \(MC,\s\up6(→))|，eq \(GM,\s\up6(→))∥eq \(AB,\s\up6(→))，則頂點C的軌跡為( )
A．焦點在x軸上的橢圓(長軸端點除外) B．焦點在y軸上的橢圓(短軸端點除外)
C．焦點在x軸上的雙曲線(實軸端點除外) D．焦點在x軸上的拋物線(頂點除外)
31．如圖，P是橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，且eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \(PF1,\s\up6(→))
＋eq \(PF2,\s\up6(→))，則動點Q的軌跡方程是________．
32．已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的左、右焦點，點P是橢圓C上的動點，則△PF1F2的重心G
的軌跡方程為( )
A．eq \f(x2,36)＋eq \f(y2,27)＝1(y≠0) B．eq \f(4x2,9)＋y2＝1(y≠0) C．eq \f(9x2,4)＋3y2＝1(y≠0) D．x2＋eq \f(4,3)y2＝1(y≠0)
33．已知點P在曲線2x2－y＝0上移動，則點A(0，－1)與點P連線的中點的軌跡方程是( )
A．y2＝2x B．y2＝8x2 C．y＝4x2－eq \f(1,2) D．y＝4x2＋eq \f(1,2)
34．△ABC的兩個頂點為A(－4，0)，B(4，0)，△ABC的周長為18，則C點軌跡方程為( )
A．eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0) B．eq \f(y2,25)＋eq \f(x2,9)＝1(y≠0) C．eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,9)＝1(y≠0) D．eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1(y≠0)
35．設(shè)圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1，0)是圓內(nèi)一定點，Q為圓周上任一點．線段AQ的垂直平分線
與CQ的連線交于點M，則M的軌跡方程為( )
A．eq \f(4x2,21)－eq \f(4y2,25)＝1 B．eq \f(4x2,21)＋eq \f(4y2,25)＝1 C．eq \f(4x2,25)－eq \f(4y2,21)＝1 D．eq \f(4x2,25)＋eq \f(4y2,21)＝1
36．已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動圓M同時與圓C1及圓C2外切，則動圓圓心M
的軌跡方程為________．

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