、專項綜合全練(四)圓的切線的證明類型一　見半徑證垂直1.(2020福建福州閩侯模擬)如圖24-6-1,△ABC中,AB=AC,∠ACB=45°,AD⊥BC,☉O經(jīng)過A,C,D三點,求證:AB是☉O的切線.圖24-6-1        2.(2021河北保定阜平期中)如圖24-6-2,AB為☉O的直徑,C是☉O上一點,D在AB的延長線上,且∠DCB=∠A.(1)CD與☉O相切嗎?如果相切,請你加以證明;如果不相切,請說明理由.(2)若CD與☉O相切,且∠D=30°,BD=10,求☉O的半徑.圖24-6-2        類型二　連半徑證垂直3.(2021湖北襄陽南漳期末)如圖24-6-3,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC為直徑的☉O與AB邊交于點D,E為BC的中點,連接DE.(1)求證:DE是☉O的切線;(2)若AC=BC,判斷四邊形OCED的形狀,并說明理由.圖24-6-3        4.(2017福建中考)如圖24-6-4,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,AB是☉O的直徑,點P在CA的延長線上,∠CAD=45°.(1)若AB=4,求的長;(2)若=,AD=AP,求證:PD是☉O的切線.圖24-6-4        5.(2021遼寧撫順新賓期末)如圖24-6-5,在矩形ABCD中,點O在對角線BD上,以OB的長為半徑的☉O與AB,BD分別交于點E,F,連接DE,且∠ADE=∠BDC.(1)判斷直線DE與☉O的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(2)若BC=6,CD=8,AE=4.5,求☉O的半徑.圖24-6-5 6.(2018遼寧遼陽中考)如圖24-6-6,△ABC是☉O的內(nèi)接三角形,AB是☉O的直徑,OF⊥AB,交AC于點F,點E在AB的延長線上,射線EM經(jīng)過點C,且∠ACE+∠AFO=180°.(1)求證:EM是☉O的切線;(2)若∠A=∠E,BC=,求陰影部分的面積.(結(jié)果保留π和根號)圖24-6-6類型三　作垂直證半徑7.如圖24-6-7,△ABC中,AB=AC,D為BC的中點,以D為圓心的圓與AB相切于點E.求證:AC與☉D相切.圖24-6-7  8.如圖24-6-8,AB是☉O的直徑,AM,BN分別切☉O于點A,B,CD交AM,BN于點D,C,DO平分∠ADC.(1)求證:CD是☉O的切線;(2)若AD=4,BC=9,求OD的長.圖24-6-8                 專項綜合全練(四)圓的切線的證明1.證明　∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴AC為☉O的直徑.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°,∴∠BAC=90°,∴AC⊥BA.∴AB是☉O的切線.2.解析　(1)CD與☉O相切.證明:∵AB為☉O的直徑,C是☉O上一點,∴∠ACB=90°,即∠ACO+∠OCB=90°.∵OA=OC,∴∠A=∠OCA,又∠DCB=∠A,∴∠OCA=∠DCB,∴∠DCB+∠OCB=90°,即∠OCD=90°,∴CD是☉O的切線.(2)在Rt△OCD中,∠D=30°,∴∠COD=60°,∴∠A=30°,∴∠BCD=30°,即∠BCD=∠D,∴BC=BD=10,∴在Rt△ACB中,AB=2BC=20,∴☉O的半徑為10.3.解析　(1)證明:如圖,連接OD、CD,∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC.∵AC為☉O的直徑,∴∠CDA=90°,∴∠CDB=90°.∵E為BC的中點,∴DE=CE,∴∠ECD=∠EDC,∴∠OCD+∠ECD=∠ODC+∠EDC=90°,∴∠ODE=∠ACB=90°,即OD⊥DE.又∵D在☉O上,∴DE與☉O相切.(2)四邊形OCED為正方形.理由:∵AC=BC,∠ACB=90°,∴∠A=45°.∵OA=OD,∴∠ODA=∠A=45°,∴∠COD=∠A+∠ODA=90°.∵四邊形OCED中,∠COD=∠ODE=∠OCE=90°,且OC=OD,∴四邊形OCED為正方形.4.解析　(1)如圖,連接OC,OD.∵∠COD=2∠CAD,∠CAD=45°,∴∠COD=90°.∵AB=4,∴OC=AB=2.∴的長==π.(2)證明:∵=,∴∠BOC=∠AOD.∵∠COD=90°,∴∠AOD==45°.∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD.∵∠AOD+∠ODA+∠OAD=180°,∴∠ODA==67.5°.∵AD=AP,∴∠ADP=∠APD.∵∠CAD=∠ADP+∠APD,∠CAD=45°,∴∠ADP=∠CAD=22.5°.∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°.又∵OD是☉O的半徑,∴PD是☉O的切線.5.解析　(1)直線DE與☉O相切.證明:連接OE,∵四邊形ABCD是矩形,∴AB∥CD,∴∠EBD=∠BDC.∵OB=OE,∴∠EBD=∠BEO.∵∠ADE=∠BDC,∴∠BEO=∠EBD=∠BDC=∠ADE.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴∠AED+∠ADE=90°,∴∠AED+∠BEO=∠AED+∠ADE=90°,∴∠OED=180°-(∠AED+∠BEO)=180°-90°=90°,即OE⊥ED.∵OE為半徑,∴直線DE與☉O相切.(2)∵四邊形ABCD是矩形,∴∠A=∠C=90°.在Rt△DCB中,∠C=90°,∴BD===10.∵四邊形ABCD是矩形,∴AD=BC=6.在Rt△ADE中,∠A=90°,∴ED===.設☉O的半徑為R,在Rt△DOE中,DO2=DE2+OE2,即(10-R)2=+R2,解得R=,即☉O的半徑是.6.解析　(1)證明:如圖,連接OC,∵OF⊥AB,∴∠AOF=90°,∵∠A+∠AFO+90°=180°,∠ACE+∠AFO=180°,∴∠ACE=90°+∠A.∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∴∠ACE=90°+∠ACO=∠ACO+∠OCE,∴∠OCE=90°,∴OC⊥CE,∴EM是☉O的切線.(2)∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCO=90°,又∠OCE=∠BCE+∠BCO=90°,∴∠ACO=∠BCE.∵OA=OC,∴∠A=∠ACO,∵∠A=∠E,∴∠A=∠ACO=∠BCE=∠E,∴∠ABC=∠BCE+∠E=2∠A,∴∠A=30°,∴∠BOC=60°,∴△BOC是等邊三角形,∴OB=BC=,∴S陰影=S扇形COB-S△OCB=-×()2=π-.7.證明　連接DE,作DF⊥AC于F,則∠DFC=90°.∵AB與☉D相切于點E,∴∠BED=90°.∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵D為BC的中點,∴BD=CD.∴△BED≌△CFD.∴DF=DE.∴AC與☉D相切.8.解析　(1)證明:如圖,過O點作OE⊥CD于點E,∵AM切☉O于點A,∴OA⊥AD.∵DO平分∠ADC,∴OE=OA.∵OA為☉O的半徑,∴OE是☉O的半徑,又OE⊥DC,∴CD是☉O的切線.(2)如圖,過D作DF⊥BC于F,∵AB是☉O的直徑,AM,BN分別切☉O于點A,B,∴AB⊥AD,AB⊥BC,∴四邊形ABFD為矩形,∴BF=AD=4,∴CF=BC-BF=5.∵DC、AM、BC為圓的切線,∴DE=DA=4,CE=CB=9,∴DC=DE+CE=13.在Rt△DCF中,DF==12,∴AB=12,∴OA=6,在Rt△OAD中,OD===2. 

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