?2021年河北省中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題有16個(gè)小題，共42分。1～10小題各3分，11～16小題各2分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．（3分）如圖，已知四條線段a，b，c，d中的一條與擋板另一側(cè)的線段m在同一直線上，請(qǐng)借助直尺判斷該線段是（　?。?br />
A．a(chǎn) B．b C．c D．d
2．（3分）不一定相等的一組是（　?。?br /> A．a(chǎn)+b與b+a B．3a與a+a+a
C．a(chǎn)3與a?a?a D．3（a+b）與3a+b
3．（3分）已知a＞b，則一定有﹣4a□﹣4b，“□”中應(yīng)填的符號(hào)是（　　）
A．＞ B．＜ C．≥ D．＝
4．（3分）與結(jié)果相同的是（　?。?br /> A．3﹣2+1 B．3+2﹣1 C．3+2+1 D．3﹣2﹣1
5．（3分）能與﹣（﹣）相加得0的是（　　）
A．﹣﹣ B．+ C．﹣+ D．﹣+
6．（3分）一個(gè)骰子相對(duì)兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7，它的展開圖如圖，下列判斷正確的是（　?。?br />
A．A代表 B．B代表 C．C代表 D．B代表
7．（3分）如圖1，?ABCD中，AD＞AB，∠ABC為銳角．要在對(duì)角線BD上找點(diǎn)N，M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（　　）

A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
8．（3分）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此時(shí)液面AB＝（　?。?br />
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
9．（3分）若取1.442，計(jì)算﹣3﹣98的結(jié)果是（　?。?br /> A．﹣100 B．﹣144.2 C．144.2 D．﹣0.01442
10．（3分）如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF對(duì)角線FD上一點(diǎn)，S△AFO＝8，S△CDO＝2，則S正六邊形ABCDEF的值是（　　）

A．20 B．30
C．40 D．隨點(diǎn)O位置而變化
11．（2分）如圖，將數(shù)軸上﹣6與6兩點(diǎn)間的線段六等分，這五個(gè)等分點(diǎn)所對(duì)應(yīng)數(shù)依次為a1，a2，a3，a4，a5，則下列正確的是（　　）

A．a(chǎn)3＞0 B．|a1|＝|a4|
C．a(chǎn)1+a2+a3+a4+a5＝0 D．a(chǎn)2+a5＜0
12．（2分）如圖，直線l，m相交于點(diǎn)O．P為這兩直線外一點(diǎn)，且OP＝2.8．若點(diǎn)P關(guān)于直線l，m的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1，P2，則P1，P2之間的距離可能是（　?。?br />
A．0 B．5 C．6 D．7
13．（2分）定理：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
已知：如圖，∠ACD是△ABC的外角．求證：∠ACD＝∠A+∠B．
證法1：如圖，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形內(nèi)角和定理），
又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定義），
∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代換）．
∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性質(zhì)）．
證法2：如圖，
∵∠A＝76°，∠B＝59°，
且∠ACD＝135°（量角器測量所得）
又∵135°＝76°+59°（計(jì)算所得）
∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代換）．
下列說法正確的是（　　）

A．證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整
B．證法1用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理
C．證法2用特殊到一般法證明了該定理
D．證法2只要測量夠一百個(gè)三角形進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理
14．（2分）小明調(diào)查了本班每位同學(xué)最喜歡的顏色，并繪制了不完整的扇形圖1及條形圖2（柱的高度從高到低排列）．條形圖不小心被撕了一塊，圖2中“（　?。睉?yīng)填的顏色是（　?。?br />
A．藍(lán) B．粉 C．黃 D．紅
15．（2分）由（﹣）值的正負(fù)可以比較A＝與的大小，下列正確的是（　?。?br /> A．當(dāng)c＝﹣2時(shí)，A＝ B．當(dāng)c＝0時(shí)，A≠
C．當(dāng)c＜﹣2時(shí)，A＞ D．當(dāng)c＜0時(shí)，A＜
16．（2分）如圖，等腰△AOB中，頂角∠AOB＝40°，用尺規(guī)按①到④的步驟操作：
①以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓；
②在⊙O上任取一點(diǎn)P（不與點(diǎn)A，B重合），連接AP；
③作AB的垂直平分線與⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分線與⊙O交于E，F(xiàn)．
結(jié)論Ⅰ：順次連接M，E，N，F(xiàn)四點(diǎn)必能得到矩形；
結(jié)論Ⅱ：⊙O上只有唯一的點(diǎn)P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
對(duì)于結(jié)論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（　　）

A．Ⅰ和Ⅱ都對(duì) B．Ⅰ和Ⅱ都不對(duì) C．Ⅰ不對(duì)Ⅱ?qū)?D．Ⅰ對(duì)Ⅱ不對(duì)
二、填空題（本大題有3個(gè)小題，每小題有2個(gè)空，每空2分，共12分）
17．（4分）現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長如圖）．
（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為 　 ?。?br /> （2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，還需取丙紙片 　 　塊．

18．（4分）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD＝110°，則圖中∠D應(yīng) 　 ?。ㄌ睢霸黾印被颉皽p少”） 　 　度．

19．（4分）用繪圖軟件繪制雙曲線m：y＝與動(dòng)直線l：y＝a，且交于一點(diǎn)，圖1為a＝8時(shí)的視窗情形．
（1）當(dāng)a＝15時(shí)，l與m的交點(diǎn)坐標(biāo)為 　 ??；
（2）視窗的大小不變，但其可視范圍可以變化，且變化前后原點(diǎn)O始終在視窗中心．
例如，為在視窗中看到（1）中的交點(diǎn)，可將圖1中坐標(biāo)系的單位長度變?yōu)樵瓉淼?，其可視范圍就由?5≤x≤15及﹣10≤y≤10變成了﹣30≤x≤30及﹣20≤y≤20（如圖2）．當(dāng)a＝﹣1.2和a＝﹣1.5時(shí)，l與m的交點(diǎn)分別是點(diǎn)A和B，為能看到m在A和B之間的一整段圖象，需要將圖1中坐標(biāo)系的單位長度至少變?yōu)樵瓉淼模瑒t整數(shù)k＝　 ?。?br />
三、解答題（本大題有7個(gè)小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
20．（8分）某書店新進(jìn)了一批圖書，甲、乙兩種書的進(jìn)價(jià)分別為4元/本、10元/本．現(xiàn)購進(jìn)m本甲種書和n本乙種書，共付款Q元．
（1）用含m，n的代數(shù)式表示Q；
（2）若共購進(jìn)5×104本甲種書及3×103本乙種書，用科學(xué)記數(shù)法表示Q的值．
21．（9分）已知訓(xùn)練場球筐中有A、B兩種品牌的乒乓球共101個(gè)，設(shè)A品牌乒乓球有x個(gè)．
（1）淇淇說：“筐里B品牌球是A品牌球的兩倍．”嘉嘉根據(jù)她的說法列出了方程：101﹣x＝2x．請(qǐng)用嘉嘉所列方程分析淇淇的說法是否正確；
（2）據(jù)工作人員透露：B品牌球比A品牌球至少多28個(gè)，試通過列不等式的方法說明A品牌球最多有幾個(gè)．
22．（9分）某博物館展廳的俯視示意圖如圖1所示．嘉淇進(jìn)入展廳后開始自由參觀，每走到一個(gè)十字道口，她自己可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，且這三種可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；
（2）補(bǔ)全圖2的樹狀圖，并分析嘉淇經(jīng)過兩個(gè)十字道口后向哪個(gè)方向參觀的概率較大．

23．（9分）如圖是某機(jī)場監(jiān)控屏顯示兩飛機(jī)的飛行圖象，1號(hào)指揮機(jī)（看成點(diǎn)P）始終以3km/min的速度在離地面5km高的上空勻速向右飛行，2號(hào)試飛機(jī)（看成點(diǎn)Q）一直保持在1號(hào)機(jī)P的正下方．2號(hào)機(jī)從原點(diǎn)O處沿45°仰角爬升，到4km高的A處便立刻轉(zhuǎn)為水平飛行，再過1min到達(dá)B處開始沿直線BC降落，要求1min后到達(dá)C（10，3）處．
（1）求OA的h關(guān)于s的函數(shù)解析式，并直接寫出2號(hào)機(jī)的爬升速度；
（2）求BC的h關(guān)于s的函數(shù)解析式，并預(yù)計(jì)2號(hào)機(jī)著陸點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）通過計(jì)算說明兩機(jī)距離PQ不超過3km的時(shí)長是多少．
[注：（1）及（2）中不必寫s的取值范圍]

24．（9分）如圖，⊙O的半徑為6，將該圓周12等分后得到表盤模型，其中整鐘點(diǎn)為An（n為1～12的整數(shù)），過點(diǎn)A7作⊙O的切線交A1A11延長線于點(diǎn)P．
（1）通過計(jì)算比較直徑和劣弧長度哪個(gè)更長；
（2）連接A7A11，則A7A11和PA1有什么特殊位置關(guān)系？請(qǐng)簡要說明理由；
（3）求切線長PA7的值．

25．（10分）如圖是某同學(xué)正在設(shè)計(jì)的一動(dòng)畫示意圖，x軸上依次有A，O，N三個(gè)點(diǎn)，且AO＝2，在ON上方有五個(gè)臺(tái)階T1～T5（各拐角均為90°），每個(gè)臺(tái)階的高、寬分別是1和1.5，臺(tái)階T1到x軸距離OK＝10．從點(diǎn)A處向右上方沿拋物線L：y＝﹣x2+4x+12發(fā)出一個(gè)帶光的點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，且在圖中補(bǔ)畫出y軸，并直接指出點(diǎn)P會(huì)落在哪個(gè)臺(tái)階上；
（2）當(dāng)點(diǎn)P落到臺(tái)階上后立即彈起，又形成了另一條與L形狀相同的拋物線C，且最大高度為11，求C的解析式，并說明其對(duì)稱軸是否與臺(tái)階T5有交點(diǎn)；
（3）在x軸上從左到右有兩點(diǎn)D，E，且DE＝1，從點(diǎn)E向上作EB⊥x軸，且BE＝2．在△BDE沿x軸左右平移時(shí)，必須保證（2）中沿拋物線C下落的點(diǎn)P能落在邊BD（包括端點(diǎn)）上，則點(diǎn)B橫坐標(biāo)的最大值比最小值大多少？
[注：（2）中不必寫x的取值范圍]

26．（12分）在一平面內(nèi)，線段AB＝20，線段BC＝CD＝DA＝10，將這四條線段順次首尾相接．把AB固定，讓AD繞點(diǎn)A從AB開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（α＞0°）到某一位置時(shí)，BC，CD將會(huì)跟隨出現(xiàn)到相應(yīng)的位置．
論證：如圖1，當(dāng)AD∥BC時(shí)，設(shè)AB與CD交于點(diǎn)O，求證：AO＝10；
發(fā)現(xiàn)：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α＝60°時(shí)，∠ADC的度數(shù)可能是多少？
嘗試：取線段CD的中點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B距離最大時(shí)，求點(diǎn)M到AB的距離；
拓展：①如圖2，設(shè)點(diǎn)D與B的距離為d，若∠BCD的平分線所在直線交AB于點(diǎn)P，直接寫出BP的長（用含d的式子表示）；
②當(dāng)點(diǎn)C在AB下方，且AD與CD垂直時(shí)，直接寫出α的余弦值．


2021年河北省中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題有16個(gè)小題，共42分。1～10小題各3分，11～16小題各2分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1．（3分）如圖，已知四條線段a，b，c，d中的一條與擋板另一側(cè)的線段m在同一直線上，請(qǐng)借助直尺判斷該線段是（　　）

A．a(chǎn) B．b C．c D．d
【分析】利用直尺畫出遮擋的部分即可得出結(jié)論．
【解答】解：利用直尺畫出圖形如下：

可以看出線段a與m在一條直線上．
故答案為：a．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了線段，射線，直線，利用直尺動(dòng)手畫出圖形是解題的關(guān)鍵．
2．（3分）不一定相等的一組是（　?。?br /> A．a(chǎn)+b與b+a B．3a與a+a+a
C．a(chǎn)3與a?a?a D．3（a+b）與3a+b
【分析】A：根據(jù)加法交換律進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
B：根據(jù)整式的加法法則﹣合并同類項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
C：根據(jù)同底數(shù)冪乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；
D：根據(jù)單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則進(jìn)行計(jì)算即可得出答案．
【解答】解：A：因?yàn)閍+b＝b+a，所以A選項(xiàng)一定相等；
B：因?yàn)閍+a+a＝3a，所以B選項(xiàng)一定相等；
C：因?yàn)閍?a?a＝a3，所以C選項(xiàng)一定相等；
D：因?yàn)?（a+b）＝3a+3b，所以3（a+b）與3a+b不一定相等．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了整式的運(yùn)算，熟練掌握整式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．
3．（3分）已知a＞b，則一定有﹣4a□﹣4b，“□”中應(yīng)填的符號(hào)是（　　）
A．＞ B．＜ C．≥ D．＝
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)：不等式兩邊同時(shí)乘以負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，即可選出答案．
【解答】解：根據(jù)不等式的性質(zhì)，不等式兩邊同時(shí)乘以負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．
∵a＞b，
∴﹣4a＜﹣4b．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）與結(jié)果相同的是（　?。?br /> A．3﹣2+1 B．3+2﹣1 C．3+2+1 D．3﹣2﹣1
【分析】化簡＝＝＝2，再逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：＝＝＝2，
∵3﹣2+1＝2，故A符合題意；
∵3+2﹣1＝4，故B不符合題意；
∵3+2+1＝6，故C不符合題意；
∵3﹣2﹣1＝0，故D不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的運(yùn)算性質(zhì)，熟悉二次根式的運(yùn)算性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5．（3分）能與﹣（﹣）相加得0的是（　　）
A．﹣﹣ B．+ C．﹣+ D．﹣+
【分析】與﹣（﹣）相加得0的是它的相反數(shù)，化簡求相反數(shù)即可．
【解答】解：﹣（﹣）＝﹣+，與其相加得0的是﹣+的相反數(shù)．
﹣+的相反數(shù)為+﹣，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解本題的關(guān)鍵是掌握去括號(hào)和相反數(shù)的概念．
6．（3分）一個(gè)骰子相對(duì)兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7，它的展開圖如圖，下列判斷正確的是（　?。?br />
A．A代表 B．B代表 C．C代表 D．B代表
【分析】正方體的表面展開圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，根據(jù)這一特點(diǎn)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：根據(jù)正方體的表面展開圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，
A與點(diǎn)數(shù)是1的對(duì)面，B與點(diǎn)數(shù)是2的對(duì)面，C與點(diǎn)數(shù)是4的對(duì)面，
∵骰子相對(duì)兩面的點(diǎn)數(shù)之和為7，
∴A代表的點(diǎn)數(shù)是6，B代表的點(diǎn)數(shù)是5，C代表的點(diǎn)數(shù)是3．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，注意正方體是空間圖形，從相對(duì)面入手，分析及解答問題．
7．（3分）如圖1，?ABCD中，AD＞AB，∠ABC為銳角．要在對(duì)角線BD上找點(diǎn)N，M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（　?。?br />
A．甲、乙、丙都是 B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是 D．只有乙、丙才是
【分析】方案甲，連接AC，由平行四邊形的性質(zhì)得OB＝OD，OA＝OC，則NO＝OM，得四邊形ANCM為平行四邊形，方案甲正確；
方案乙：證△ABN≌△CDM（AAS），得AN＝CM，再由AN∥CM，得四邊形ANCM為平行四邊形，方案乙正確；
方案丙：證△ABN≌△CDM（ASA），得AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，則∠ANM＝∠CMN，證出AN∥CM，得四邊形ANCM為平行四邊形，方案丙正確．
【解答】解：方案甲中，連接AC，如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，O為BD的中點(diǎn)，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BN＝NO，OM＝MD，
∴NO＝OM，
∴四邊形ANCM為平行四邊形，方案甲正確；
方案乙中：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN⊥B，CM⊥BD，
∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，
在△ABN和△CDM中，，
∴△ABN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，
又∵AN∥CM，
∴四邊形ANCM為平行四邊形，方案乙正確；
方案丙中：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，
∴∠BAN＝∠DCM，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（ASA），
∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴AN∥CM，
∴四邊形ANCM為平行四邊形，方案丙正確；
故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此時(shí)液面AB＝（　?。?br />
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【分析】高腳杯前后的兩個(gè)三角形相似．根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)果．
【解答】解：如圖：過O作OM⊥CD，垂足為M，過O作ON⊥AB，垂足為N，

∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，即相似比為，
∴＝，
∵OM＝15﹣7＝8，ON＝11﹣7＝4，
∴＝，
＝，∴
AB＝3，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．
9．（3分）若取1.442，計(jì)算﹣3﹣98的結(jié)果是（　?。?br /> A．﹣100 B．﹣144.2 C．144.2 D．﹣0.01442
【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算可得答案．
【解答】解：∵取1.442，
∴原式＝×（1﹣3﹣98）
≈1.442×（﹣100）
＝﹣144.2．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握其概念是解決此題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖，點(diǎn)O為正六邊形ABCDEF對(duì)角線FD上一點(diǎn)，S△AFO＝8，S△CDO＝2，則S正六邊形ABCDEF的值是（　?。?br />
A．20 B．30
C．40 D．隨點(diǎn)O位置而變化
【分析】正六邊形ABCDEF的面積＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC，由正六邊形每個(gè)邊相等，每個(gè)角相等可得FD＝AF，過E作FD垂線，垂足為M，利用解直角三角形可得△FED的高，即可求出正六邊形的面積．
【解答】解：設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為x，
過E作FD的垂線，垂足為M，連接AC，
∵∠FED＝120°，F(xiàn)E＝ED，
∴∠EFD＝∠FDE，
∴∠EDF＝（180°﹣∠FED）
＝30°，
∵正六邊形ABCDEF的每個(gè)角為120°．
∴∠CDF＝120°﹣∠EDF＝90°．
同理∠AFD＝∠FAC＝∠ACD＝90°，
∴四邊形AFDC為矩形，
∵S△AFO＝FO×AF，
S△CDO＝OD×CD，
在正六邊形ABCDEF中，AF＝CD，
∴S△AFO+S△CDO＝FO×AF+OD×CD
＝（FO+OD）×AF
＝FD×AF
＝10，
∴FD×AF＝20，

DM＝cos30°DE＝x，
DF＝2DM＝x，
EM＝sin30°DE＝，
∴S正六邊形ABCDEF＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC
＝AF×FD+2S△EFD
＝x?x+2×x?x
＝x2+x2
＝x2
＝（AF×FD）
＝30，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形和三角形的面積，解本題關(guān)鍵掌握正六邊形的性質(zhì)和解直角三角形．
11．（2分）如圖，將數(shù)軸上﹣6與6兩點(diǎn)間的線段六等分，這五個(gè)等分點(diǎn)所對(duì)應(yīng)數(shù)依次為a1，a2，a3，a4，a5，則下列正確的是（　?。?br />
A．a(chǎn)3＞0 B．|a1|＝|a4|
C．a(chǎn)1+a2+a3+a4+a5＝0 D．a(chǎn)2+a5＜0
【分析】先計(jì)算出﹣6與6兩點(diǎn)間的線段的長度為12，再求出六等分后每個(gè)等分的線段的長度為2，從而求出a1，a2，a3，a4，a5表示的數(shù)，然后判斷各選項(xiàng)即可．
【解答】解：﹣6與6兩點(diǎn)間的線段的長度＝6﹣（﹣6）＝12，
六等分后每個(gè)等分的線段的長度＝12÷6＝2，
∴a1，a2，a3，a4，a5表示的數(shù)為：﹣4，﹣2，0，2，4，
A選項(xiàng)，a3＝﹣6+2×3＝0，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，|﹣4|≠2，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，﹣4+（﹣2）+0+2+4＝0，故該選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)，﹣2+4＝2＞0，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)軸，兩點(diǎn)間的距離，求出a1，a2，a3，a4，a5表示的數(shù)是解題的關(guān)鍵．
12．（2分）如圖，直線l，m相交于點(diǎn)O．P為這兩直線外一點(diǎn)，且OP＝2.8．若點(diǎn)P關(guān)于直線l，m的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1，P2，則P1，P2之間的距離可能是（　?。?br />
A．0 B．5 C．6 D．7
【分析】由對(duì)稱得OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，即可得出結(jié)果．
【解答】解：連接OP1，OP2，P1P2，
∵點(diǎn)P關(guān)于直線l，m的對(duì)稱點(diǎn)分別是點(diǎn)P1，P2，
∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，
OP1+OP2＞P1P2，
0＜P1P2＜5.6，

故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵熟練掌握對(duì)稱性和三角形邊長的關(guān)系．
13．（2分）定理：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
已知：如圖，∠ACD是△ABC的外角．求證：∠ACD＝∠A+∠B．
證法1：如圖，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形內(nèi)角和定理），
又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定義），
∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代換）．
∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性質(zhì)）．
證法2：如圖，
∵∠A＝76°，∠B＝59°，
且∠ACD＝135°（量角器測量所得）
又∵135°＝76°+59°（計(jì)算所得）
∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代換）．
下列說法正確的是（　?。?br />
A．證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整
B．證法1用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碜C明了該定理
C．證法2用特殊到一般法證明了該定理
D．證法2只要測量夠一百個(gè)三角形進(jìn)行驗(yàn)證，就能證明該定理
【分析】依據(jù)定理證明的一般步驟進(jìn)行分析判斷即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，得出結(jié)論的正確，具有一般性，無需再證明其他形狀的三角形，
∴A的說法不正確，不符合題意；
∵證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，得出結(jié)論的正確，
∴B的說法正確，符合題意；
∵定理的證明必須經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，不能用特殊情形來說明，
∴C的說法不正確，不符合題意；
∵定理的證明必須經(jīng)過嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评碚撟C，與測量次數(shù)的多少無關(guān)，
∴D的說法不正確，不符合題意；
綜上，B的說法正確．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的外角的性質(zhì)，定理的證明的一般步驟．依據(jù)定理的證明的一般步驟分析解答是解題的關(guān)鍵．
14．（2分）小明調(diào)查了本班每位同學(xué)最喜歡的顏色，并繪制了不完整的扇形圖1及條形圖2（柱的高度從高到低排列）．條形圖不小心被撕了一塊，圖2中“（　?。睉?yīng)填的顏色是（　　）

A．藍(lán) B．粉 C．黃 D．紅
【分析】根據(jù)柱的高度從高到低排列的和扇形所占的百分比得出藍(lán)色是5，所占的百分比是10%，求出調(diào)查的總?cè)藬?shù)，用16除以總?cè)藬?shù)得出所占的百分比，從而排除是紅色，再根據(jù)紅色所占的百分比求出喜歡紅色的人數(shù)，再用總?cè)藬?shù)減去其他人數(shù)，求出另一組的人數(shù)，再根據(jù)柱的高度從高到低排列，從而得出答案．
【解答】解：根據(jù)題意得：
5÷10%＝50（人），
（16÷50）×100%＝32%，
則喜歡紅色的人數(shù)是：50×28%＝14（人），
50﹣16﹣5﹣14＝15（人），
∵柱的高度從高到低排列，
∴圖2中“（　?。睉?yīng)填的顏色是紅色．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是條形統(tǒng)計(jì)圖和折線統(tǒng)計(jì)圖的綜合運(yùn)用．讀懂統(tǒng)計(jì)圖，從不同的統(tǒng)計(jì)圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．
15．（2分）由（﹣）值的正負(fù)可以比較A＝與的大小，下列正確的是（　?。?br /> A．當(dāng)c＝﹣2時(shí)，A＝ B．當(dāng)c＝0時(shí)，A≠
C．當(dāng)c＜﹣2時(shí)，A＞ D．當(dāng)c＜0時(shí)，A＜
【分析】將c＝﹣2和0分別代入A中計(jì)算求值即可判斷出A，B的對(duì)錯(cuò)；當(dāng)c＜﹣2和c＜0時(shí)計(jì)算﹣的正負(fù)，即可判斷出C，D的對(duì)錯(cuò)．
【解答】解：A選項(xiàng)，當(dāng)c＝﹣2時(shí)，分式無意義，故該選項(xiàng)不符合題意；
B選項(xiàng)，當(dāng)c＝0時(shí)，A＝，故該選項(xiàng)不符合題意；
C選項(xiàng)，﹣
＝﹣
＝，
∵c＜﹣2，
∴2+c＜0，c＜0，
∴2（2+c）＜0，
∴＞0，
∴A＞，故該選項(xiàng)符合題意；
D選項(xiàng)，當(dāng)c＜0時(shí)，∵2（2+c）的正負(fù)無法確定，
∴A與的大小就無法確定，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分式的求值，分式的加減法，通過作差法比較大小是解題的關(guān)鍵．
16．（2分）如圖，等腰△AOB中，頂角∠AOB＝40°，用尺規(guī)按①到④的步驟操作：
①以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓；
②在⊙O上任取一點(diǎn)P（不與點(diǎn)A，B重合），連接AP；
③作AB的垂直平分線與⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分線與⊙O交于E，F(xiàn)．
結(jié)論Ⅰ：順次連接M，E，N，F(xiàn)四點(diǎn)必能得到矩形；
結(jié)論Ⅱ：⊙O上只有唯一的點(diǎn)P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
對(duì)于結(jié)論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（　?。?br />
A．Ⅰ和Ⅱ都對(duì) B．Ⅰ和Ⅱ都不對(duì) C．Ⅰ不對(duì)Ⅱ?qū)?D．Ⅰ對(duì)Ⅱ不對(duì)
【分析】如圖，連接EM，EN，MF．NF．根據(jù)矩形的判定證明四邊形MENF是矩形，再說明∠MOF＝∠AOB時(shí)，S扇形FOM＝S扇形AOB，觀察圖象可知，這樣的點(diǎn)P不唯一，可知（Ⅱ）錯(cuò)誤．
【解答】解：如圖，連接EM，EN，MF．NF．
∵OM＝ON，OE＝OF，
∴四邊形MENF是平行四邊形，
∵EF＝MN，
∴四邊形MENF是矩形，故（Ⅰ）正確，
觀察圖象可知當(dāng)∠MOF＝∠AOB，
∴S扇形FOM＝S扇形AOB，
觀察圖象可知，這樣的點(diǎn)P不唯一，故（Ⅱ）錯(cuò)誤，
故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，矩形的判定，扇形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考常考題型．
二、填空題（本大題有3個(gè)小題，每小題有2個(gè)空，每空2分，共12分）
17．（4分）現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長如圖）．
（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為 　a2+b2?。?br /> （2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，還需取丙紙片 　4　塊．

【分析】（1）由圖可知：一塊甲種紙片面積為a2，一塊乙種紙片的面積為b2，一塊丙種紙片面積為ab，即可求解；
（2）利用完全平方公式可求解．
【解答】解：（1）由圖可知：一塊甲種紙片面積為a2，一塊乙種紙片的面積為b2，一塊丙種紙片面積為ab，
∴取甲、乙紙片各1塊，其面積和為a2+b2，
故答案為：a2+b2；
（2）設(shè)取丙種紙片x塊才能用它們拼成一個(gè)新的正方形，（x≥0）
∴a2+4b2+xab是一個(gè)完全平方式，
∴x為4，
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
18．（4分）如圖是可調(diào)躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點(diǎn)為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調(diào)整∠D的大小，使∠EFD＝110°，則圖中∠D應(yīng) 　減少?。ㄌ睢霸黾印被颉皽p少”） 　10　度．

【分析】延長EF，交CD于點(diǎn) G，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求∠ACB，根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠DCE，再由三角形內(nèi)角和定理的推論得到∠DGF的度數(shù)；利用∠EFD＝110°，和三角形的外角的性質(zhì)可得∠D的度數(shù)，從而得出結(jié)論．
【解答】解：延長EF，交CD于點(diǎn)G，如圖：

∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ECD＝∠ACB＝70°．
∵∠DGF＝∠DCE+∠E，
∴∠DGF＝70°+30°＝100°．
∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，
∴∠D＝10°．
而圖中∠D＝20°，
∴∠D應(yīng)減少10°．
故答案為：減少，10．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的外角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理．熟練使用上述定理是解題的關(guān)鍵．
19．（4分）用繪圖軟件繪制雙曲線m：y＝與動(dòng)直線l：y＝a，且交于一點(diǎn)，圖1為a＝8時(shí)的視窗情形．
（1）當(dāng)a＝15時(shí)，l與m的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ?。?，15）??；
（2）視窗的大小不變，但其可視范圍可以變化，且變化前后原點(diǎn)O始終在視窗中心．
例如，為在視窗中看到（1）中的交點(diǎn)，可將圖1中坐標(biāo)系的單位長度變?yōu)樵瓉淼模淇梢暦秶陀嫂?5≤x≤15及﹣10≤y≤10變成了﹣30≤x≤30及﹣20≤y≤20（如圖2）．當(dāng)a＝﹣1.2和a＝﹣1.5時(shí)，l與m的交點(diǎn)分別是點(diǎn)A和B，為能看到m在A和B之間的一整段圖象，需要將圖1中坐標(biāo)系的單位長度至少變?yōu)樵瓉淼?，則整數(shù)k＝　4?。?br />
【分析】（1）a＝15時(shí)，y＝15，解得：，即l與m的交點(diǎn)坐標(biāo)為 （4，15）；
（2）由得A（﹣50，﹣1.2），由得B（﹣40，﹣1.5），為能看到橫坐標(biāo)是﹣50的點(diǎn)，需要將圖1中坐標(biāo)系的單位長度至少變?yōu)樵瓉淼?，即可得整?shù)k＝4．
【解答】解：（1）a＝15時(shí)，y＝15，
由得：，
故答案為：（4，15）；
（2）由得，
∴A（﹣50，﹣1.2），
由得，
∴B（﹣40，﹣1.5），
為能看到m在A（﹣50，﹣1.2）和B（﹣40，﹣1.5）之間的一整段圖象，需要將圖1中坐標(biāo)系的單位長度至少變?yōu)樵瓉淼模?br /> ∴整數(shù)k＝4．
故答案為：4．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，涉及根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)調(diào)整直角坐標(biāo)系單位長度的問題，解題的關(guān)鍵是求出A和B的坐標(biāo)．
三、解答題（本大題有7個(gè)小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
20．（8分）某書店新進(jìn)了一批圖書，甲、乙兩種書的進(jìn)價(jià)分別為4元/本、10元/本．現(xiàn)購進(jìn)m本甲種書和n本乙種書，共付款Q元．
（1）用含m，n的代數(shù)式表示Q；
（2）若共購進(jìn)5×104本甲種書及3×103本乙種書，用科學(xué)記數(shù)法表示Q的值．
【分析】（1）分析題目，弄懂題意即可根據(jù)題意列出代數(shù)式；
（2）根據(jù)（1）式的代數(shù)式將數(shù)字代入，再用科學(xué)記數(shù)法表示出即可．
【解答】（1）由題意可得：Q＝4m+10n；
（2）將m＝5×104，n＝3×103代入（1）式得：
Q＝4×5×104+10×3×103＝2.3×105．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查列代數(shù)式和用科學(xué)記數(shù)法表示較大的數(shù)，弄清題意列出代數(shù)式和掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵．
21．（9分）已知訓(xùn)練場球筐中有A、B兩種品牌的乒乓球共101個(gè)，設(shè)A品牌乒乓球有x個(gè)．
（1）淇淇說：“筐里B品牌球是A品牌球的兩倍．”嘉嘉根據(jù)她的說法列出了方程：101﹣x＝2x．請(qǐng)用嘉嘉所列方程分析淇淇的說法是否正確；
（2）據(jù)工作人員透露：B品牌球比A品牌球至少多28個(gè)，試通過列不等式的方法說明A品牌球最多有幾個(gè)．
【分析】（1）解嘉嘉所列的方程可得出x的值，由x的值不為整數(shù)，即可得出淇淇的說法不正確；
（2）設(shè)A品牌乒乓球有x個(gè)，則B品牌乒乓球有（101﹣x）個(gè)，根據(jù)B品牌球比A品牌球至少多28個(gè)，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范圍，再取其中的最大整數(shù)值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）嘉嘉所列方程為101﹣x＝2x，
解得：x＝33，
又∵x為整數(shù)，
∴x＝33不合題意，
∴淇淇的說法不正確．
（2）設(shè)A品牌乒乓球有x個(gè)，則B品牌乒乓球有（101﹣x）個(gè)，
依題意得：101﹣x﹣x≥28，
解得：x≤36，
又∵x為整數(shù)，
∴x可取的最大值為36．
答：A品牌球最多有36個(gè)．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用以及由實(shí)際問題抽象出一元一次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）通過解一元一次方程，求出x的值；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
22．（9分）某博物館展廳的俯視示意圖如圖1所示．嘉淇進(jìn)入展廳后開始自由參觀，每走到一個(gè)十字道口，她自己可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，且這三種可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；
（2）補(bǔ)全圖2的樹狀圖，并分析嘉淇經(jīng)過兩個(gè)十字道口后向哪個(gè)方向參觀的概率較大．

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）補(bǔ)全樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，嘉淇經(jīng)過兩個(gè)十字道口后向西參觀的結(jié)果有3種，向南參觀的結(jié)果有2種，向北參觀的結(jié)果有2種，向東參觀的結(jié)果有2種，由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）嘉淇走到十字道口A向北走的概率為；
（2）補(bǔ)全樹狀圖如下：

共有9種等可能的結(jié)果，嘉淇經(jīng)過兩個(gè)十字道口后向西參觀的結(jié)果有3種，向南參觀的結(jié)果有2種，向北參觀的結(jié)果有2種，向東參觀的結(jié)果有2種，
∴向西參觀的概率為＝，向南參觀的概率＝向北參觀的概率＝向東參觀的概率＝，
∴向西參觀的概率大．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
23．（9分）如圖是某機(jī)場監(jiān)控屏顯示兩飛機(jī)的飛行圖象，1號(hào)指揮機(jī)（看成點(diǎn)P）始終以3km/min的速度在離地面5km高的上空勻速向右飛行，2號(hào)試飛機(jī)（看成點(diǎn)Q）一直保持在1號(hào)機(jī)P的正下方．2號(hào)機(jī)從原點(diǎn)O處沿45°仰角爬升，到4km高的A處便立刻轉(zhuǎn)為水平飛行，再過1min到達(dá)B處開始沿直線BC降落，要求1min后到達(dá)C（10，3）處．
（1）求OA的h關(guān)于s的函數(shù)解析式，并直接寫出2號(hào)機(jī)的爬升速度；
（2）求BC的h關(guān)于s的函數(shù)解析式，并預(yù)計(jì)2號(hào)機(jī)著陸點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）通過計(jì)算說明兩機(jī)距離PQ不超過3km的時(shí)長是多少．
[注：（1）及（2）中不必寫s的取值范圍]

【分析】（1）由爬升角度為45°，可知OA上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相同，由此得到點(diǎn)A坐標(biāo)，用待定系數(shù)法OA解析式可求；利用2號(hào)試飛機(jī)一直保持在1號(hào)機(jī)的正下方，可知它們的飛行的時(shí)間和飛行的水平距離相同，由此可求爬升速度；
（2）設(shè)BC的解析式為h＝ms+n，由題意將B，C坐標(biāo)代入即可求得；令h＝0．求得s，即可得到結(jié)論；
（3）PQ不超過3km，得到5﹣h≤3，利用（1）（2）中的解析式得出關(guān)于s的不等式組，確定s的取值范圍，得出了兩機(jī)距離PQ不超過3km的飛行的水平距離，再除以1號(hào)飛機(jī)的飛行速度，結(jié)論可得．
【解答】解：（1）∵2號(hào)飛機(jī)爬升角度為45°，
∴OA上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)相同．
∴A（4，4）．
設(shè)OA的解析式為：h＝ks，
∴4k＝4．
∴k＝1．
∴OA的解析式為：h＝s．
∵2號(hào)試飛機(jī)一直保持在1號(hào)機(jī)的正下方，
∴它們的飛行的時(shí)間和飛行的水平距離相同．
∵2號(hào)機(jī)的爬升到A處時(shí)水平方向上移動(dòng)了4km，飛行的距離為4km，
又1號(hào)機(jī)的飛行速度為3km/min，
∴2號(hào)機(jī)的爬升速度為：4÷＝3km/min．
（2）設(shè)BC的解析式為h＝ms+n，
由題意：B（7，4），
∴，
解得：．
∴BC的解析式為h＝．
令h＝0，則s＝19．
∴預(yù)計(jì)2號(hào)機(jī)著陸點(diǎn)的坐標(biāo)為（19，0）．
（3）∵PQ不超過3km，
∴5﹣h≤3．
∴，
解得：2≤s≤13．
∴兩機(jī)距離PQ不超過3km的時(shí)長為：（13﹣2）÷3＝min．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了解直角三角形的仰角問題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，解不等式組，一次函數(shù)的應(yīng)用．待定系數(shù)法是確定解析式的重要方法，也是解題的關(guān)鍵．
24．（9分）如圖，⊙O的半徑為6，將該圓周12等分后得到表盤模型，其中整鐘點(diǎn)為An（n為1～12的整數(shù)），過點(diǎn)A7作⊙O的切線交A1A11延長線于點(diǎn)P．
（1）通過計(jì)算比較直徑和劣弧長度哪個(gè)更長；
（2）連接A7A11，則A7A11和PA1有什么特殊位置關(guān)系？請(qǐng)簡要說明理由；
（3）求切線長PA7的值．

【分析】（1）利用弧長公式求解即可．
（2）利用圓周角定理證明即可．
（3）解直角三角形求出PA7即可．
【解答】解：（1）由題意，∠A7OA11＝120°，
∴的長＝＝4π＞12，
∴比直徑長．

（2）結(jié)論：PA1⊥A7A11．
理由：連接A1A7，A7A11，OA11．
∵A1A7是⊙O的直徑，
∴∠A7A11A1＝90°，
∴PA1⊥A7A11．

（3）∵PA7是⊙O的切線，
∴PA7⊥A1A7，
∴∠PA7A1＝90°，
∵∠PA1A7＝60°，A1A7＝12，
∴PA7＝A1A7?tan60°＝12．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正多邊形與圓，切線的性質(zhì)，圓周角定理，弧長公式，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正多邊形與圓的關(guān)系，屬于中考?？碱}型．
25．（10分）如圖是某同學(xué)正在設(shè)計(jì)的一動(dòng)畫示意圖，x軸上依次有A，O，N三個(gè)點(diǎn)，且AO＝2，在ON上方有五個(gè)臺(tái)階T1～T5（各拐角均為90°），每個(gè)臺(tái)階的高、寬分別是1和1.5，臺(tái)階T1到x軸距離OK＝10．從點(diǎn)A處向右上方沿拋物線L：y＝﹣x2+4x+12發(fā)出一個(gè)帶光的點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，且在圖中補(bǔ)畫出y軸，并直接指出點(diǎn)P會(huì)落在哪個(gè)臺(tái)階上；
（2）當(dāng)點(diǎn)P落到臺(tái)階上后立即彈起，又形成了另一條與L形狀相同的拋物線C，且最大高度為11，求C的解析式，并說明其對(duì)稱軸是否與臺(tái)階T5有交點(diǎn)；
（3）在x軸上從左到右有兩點(diǎn)D，E，且DE＝1，從點(diǎn)E向上作EB⊥x軸，且BE＝2．在△BDE沿x軸左右平移時(shí)，必須保證（2）中沿拋物線C下落的點(diǎn)P能落在邊BD（包括端點(diǎn)）上，則點(diǎn)B橫坐標(biāo)的最大值比最小值大多少？
[注：（2）中不必寫x的取值范圍]

【分析】（1）由題意臺(tái)階T4的左邊端點(diǎn)（4.5，7），右邊端點(diǎn)的坐標(biāo)（6，7），求出x＝4.5，6時(shí)的y的值，即可判斷．
（2）由題意拋物線C：y＝﹣x2+bx+c，經(jīng)過R（5，7），最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為11，構(gòu)建方程組求出b，c，可得結(jié)論．
（3）求出拋物線與X軸的交點(diǎn)，以及y＝2時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)，判斷出兩種特殊位置點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的值，可得結(jié)論．
【解答】解：（1）圖形如圖所示，由題意臺(tái)級(jí)T4左邊的端點(diǎn)坐標(biāo)（4.5，7），右邊的端點(diǎn)（6，7），
對(duì)于拋物線y＝﹣x2+4x+12，
令y＝0，x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或6，
∴A（﹣2，0），
∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為﹣2，
當(dāng)x＝4.5時(shí)，y＝9.75＞7，
當(dāng)x＝6時(shí)，y＝0＜7，
當(dāng)y＝7時(shí)，7＝﹣x2+4x+12，
解得x＝﹣1或5，
∴拋物線與臺(tái)級(jí)T4有交點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為R（5，7），
∴點(diǎn)P會(huì)落在臺(tái)階T4上．

（2）由題意拋物線C：y＝﹣x2+bx+c，經(jīng)過R（5，7），最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為11，
∴，
解得或（舍棄），
∴拋物線C的解析式為y＝﹣x2+14x﹣38，
對(duì)稱軸x＝7，
∵臺(tái)階T5的左邊的端點(diǎn)（6，6），右邊的端點(diǎn)為（7.5，6），
∴拋物線C的對(duì)稱軸與臺(tái)階T5有交點(diǎn)．

（3）對(duì)于拋物線C：y＝﹣x2+14x﹣38，
令y＝0，得到x2﹣14x+38＝0，解得x＝7±，
∴拋物線C交x軸的正半軸于（7+，0），
當(dāng)y＝2時(shí)，2＝﹣x2+14x﹣38，解得x＝4或10，
∴拋物線經(jīng)過（10，2），
Rt△BDE中，∠DEB＝90°，DE＝1，BE＝2，
∴當(dāng)點(diǎn)D與（7+，0）重合時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的值最大，最大值為8+，
當(dāng)點(diǎn)B與（10，2）重合時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)最小，最小值為10，
∴點(diǎn)B橫坐標(biāo)的最大值比最小值大﹣2．

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)尋找特殊點(diǎn)解決問題，屬于中考?jí)狠S題．
26．（12分）在一平面內(nèi)，線段AB＝20，線段BC＝CD＝DA＝10，將這四條線段順次首尾相接．把AB固定，讓AD繞點(diǎn)A從AB開始逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（α＞0°）到某一位置時(shí)，BC，CD將會(huì)跟隨出現(xiàn)到相應(yīng)的位置．
論證：如圖1，當(dāng)AD∥BC時(shí)，設(shè)AB與CD交于點(diǎn)O，求證：AO＝10；
發(fā)現(xiàn)：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α＝60°時(shí)，∠ADC的度數(shù)可能是多少？
嘗試：取線段CD的中點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B距離最大時(shí)，求點(diǎn)M到AB的距離；
拓展：①如圖2，設(shè)點(diǎn)D與B的距離為d，若∠BCD的平分線所在直線交AB于點(diǎn)P，直接寫出BP的長（用含d的式子表示）；
②當(dāng)點(diǎn)C在AB下方，且AD與CD垂直時(shí)，直接寫出α的余弦值．

【分析】論證：由△AOD≌△BOC，得AO＝BO，而AB＝20，可得AO＝10；
發(fā)現(xiàn)：設(shè)AB的中點(diǎn)為O，當(dāng)AD從初始位置AO繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，BC也從初始位置BC'繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，BC旋轉(zhuǎn)到BO的位置，即C以O(shè)重合，從而可得∠ADC＝60°；
嘗試：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B距離最大時(shí)，D、C、B共線，過D作DQ⊥AB于Q，過M作MN⊥AB于N，由已知可得AD＝10，設(shè)AQ＝x，則BQ＝20﹣x，100﹣x2＝400﹣（20﹣x）2，可得AQ＝，DQ＝，再由MN∥DQ，得＝，MN＝，即點(diǎn)M到AB的距離為；
拓展：
①設(shè)直線CP交DB于H，過G作DG⊥AB于G，連接DP，設(shè)BG＝m，則AG＝20﹣m，由AD2﹣AG2＝BD2﹣BG2，可得m＝，BG＝，而△BHP∽△BGD，有＝，即可得BP＝；
②過B作BG⊥CD于G，設(shè)AN＝t，則BN＝20﹣t，DN＝＝，由△ADN∽△BGN，＝＝，表達(dá)出NG＝，BG＝，Rt△BCG中，CG＝，根據(jù)DN+NG+CG＝10，列方程++＝10，解得t＝，即可得cosα＝＝＝．
【解答】論證：
證明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（ASA），
∴AO＝BO，
∵AO+BO＝AB＝20，
∴AO＝10；
發(fā)現(xiàn)：①設(shè)AB的中點(diǎn)為O，如圖：

當(dāng)AD從初始位置AO繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，BC也從初始位置BC'繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，
而BO＝BC'＝10，
∴△BC'O是等邊三角形，
∴BC旋轉(zhuǎn)到BO的位置，即C以O(shè)重合，
∵AO＝AD＝CD＝10，
∴△ADC是等邊三角形，
∴此時(shí)∠ADC＝60°；
②如圖：

當(dāng)AD從AO繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，CD從CD'的位置開始也旋轉(zhuǎn)60°，故△ADO和△CDO都是等邊三角形，
∴此時(shí)∠ADC＝120°，
綜上所述，∠ADC為60°或120°；
嘗試：取線段CD的中點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B距離最大時(shí)，D、C、B共線，過D作DQ⊥AB于Q，過M作MN⊥AB于N，如圖：

由已知可得AD＝10，BD＝BC+CD＝20，BM＝CM+BC＝15，
設(shè)AQ＝x，則BQ＝20﹣x，
∵AD2﹣AQ2＝DQ2＝BD2﹣BQ2，
∴100﹣x2＝400﹣（20﹣x）2，
解得x＝，
∴AQ＝，
∴DQ＝＝，
∵DQ⊥AB，MN⊥AB，
∴MN∥DQ，
∴＝，即＝，
∴MN＝，
∴點(diǎn)M到AB的距離為；
拓展：
①設(shè)直線CP交DB于H，過D作DG⊥AB于G，連接DP，如圖：

∵BC＝DC＝10，CP平分∠BCD，
∴∠BHC＝∠DHC＝90°，BH＝BD＝d，
設(shè)BG＝m，則AG＝20﹣m，
∵AD2﹣AG2＝BD2﹣BG2，
∴100﹣（20﹣m）2＝d2﹣m2，
∴m＝，
∴BG＝，
∵∠BHP＝∠BGD＝90°，∠PBH＝∠DBG，
∴△BHP∽△BGD，
∴＝，
∴BP＝＝；
②過B作BG⊥CD于G，如圖：

設(shè)AN＝t，則BN＝20﹣t，DN＝＝，
∵∠D＝∠BGN＝90°，∠AND＝∠BNG，
∴△ADN∽△BGN，
∴＝＝，
即＝＝，
∴NG＝，BG＝，
Rt△BCG中，BC＝10，
∴CG＝＝，
∵CD＝10，
∴DN+NG+CG＝10，
即++＝10，
∴t+（20﹣t）+20＝10t，
20+20＝10t，即2＝t﹣2，
兩邊平方，整理得：3t2﹣40t＝﹣4t，
∵t≠0，
∴3t﹣40＝﹣4，
解得t＝（大于20，舍去）或t＝，
∴AN＝，
∴cosα＝＝＝．
方法二：過C作CK⊥AB于K，過F作FH⊥AC于H，如圖：

∵AD＝CD＝10，AD⊥DC，
∴AC2＝200，
∵AC2﹣AK2＝BC2﹣BK2，
∴200﹣AK2＝100﹣（20﹣AK）2，
解得AK＝，
∴CK＝＝，
Rt△ACK中，tan∠KAC＝＝，
Rt△AFH中，tan∠KAC＝＝，
設(shè)FH＝n，則CH＝FH＝n，AH＝5n，
∵AC＝AH+CH＝10，
∴5n+n＝10，
解得n＝，
∴AF＝＝n＝?＝，
Rt△ADF中，
cosα＝＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何變換的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理及分式方程、無理方程等知識(shí)，題目綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)線段的長度，計(jì)算是本題的另一個(gè)難點(diǎn)．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
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