?2021年黑龍江省哈爾濱市中考數(shù)學試卷
一、選擇題（每小題3分，共計30分）
1．（3分）﹣的絕對值是（　?。?br /> A．﹣7 B．7 C．﹣ D．
2．（3分）下列運算一定正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)2?a＝a3 B．（a3）2＝a5
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．a(chǎn)5﹣a2＝a3
3．（3分）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
4．（3分）八個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其主視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
5．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，點B為切點，若AB＝8，tan∠BAC＝，則BC的長為（　?。?br />
A．8 B．7 C．10 D．6
6．（3分）方程＝的解為（　?。?br /> A．x＝5 B．x＝3 C．x＝1 D．x＝2
7．（3分）如圖，△ABC≌△DEC，點A和點D是對應(yīng)頂點，點B和點E是對應(yīng)頂點，過點A作AF⊥CD，垂足為點F，若∠BCE＝65°，則∠CAF的度數(shù)為（　?。?br />
A．30° B．25° C．35° D．65°
8．（3分）一個不透明的袋子中裝有12個小球，其中8個紅球、4個黃球，這些小球除顏色外無其它差別，從袋子中隨機摸出一個小球，則摸出的小球是紅球的概率是（　?。?br /> A． B． C． D．
9．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，則AE的長為（　?。?br />
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（3分）周日，小輝從家步行到圖書館讀書，讀了一段時間后，小輝立刻按原路回家．在整個過程中，小輝離家的距離s（單位：m）與他所用的時間t（單位：min）之間的關(guān)系如圖所示，則小輝從家去圖書館的速度和從圖書館回家的速度分別為（　?。?br />
A．75m/min，90m/min B．80m/min，90m/min
C．75m/min，100m/min D．80m/min，100m/min
二、填空題（每小題3分，共計30分）
11．（3分）火星赤道半徑約為3396000米，用科學記數(shù)法表示為 　 　米．
12．（3分）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是 　 ?。?br /> 13．（3分）已知反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點（2，﹣5），則k的值為 　 　．
14．（3分）計算﹣2的結(jié)果是 　 ?。?br /> 15．（3分）把多項式a2b﹣25b分解因式的結(jié)果是 　 　．
16．（3分）二次函數(shù)y＝﹣3x2﹣2的最大值為 　 ?。?br /> 17．（3分）不等式組的解集是 　 ?。?br /> 18．（3分）四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝6，∠BAD的平分線交直線BC于點E，若CE＝2，則?ABCD的周長為 　 ?。?br /> 19．（3分）一個扇形的弧長是8πcm，圓心角是144°，則此扇形的半徑是 　 　cm．
20．（3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O作OE⊥BC，垂足為點E，過點A作AF⊥OB，垂足為點F．若BC＝2AF，OD＝6，則BE的長為 　 ?。?br />
三、解答題（其中21-22題各7分，23-2題各8分，25-27題各10分，共計60分）
21．（7分）先化簡，再求代數(shù)式（﹣）÷的值，其中a＝2sin45°﹣1．
22．（7分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的頂點和線段DE的端點均在小正方形的頂點上．
（1）在方格紙中將△ABC向上平移1個單位長度，再向右平移2個單位長度后得到△MNP（點A的對應(yīng)點是點M，點B的對應(yīng)點是點N，點C的對應(yīng)點是點P），請畫出△MNP；
（2）在方格紙中畫出以DE為斜邊的等腰直角三角形DEF（點F在小正方形的頂點上）．連接FP，請直接寫出線段FP的長．

23．（8分）春寧中學開展以“我最喜歡的冰雪運動項目”為主題的調(diào)查活動，圍繞“在冰球、冰壺、短道速滑、高山滑雪四種冰雪運動項目中，你最喜歡哪一種？（必選且只選一種）”的問題，在全校范圍內(nèi)隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計圖，其中最喜歡短道速滑的學生人數(shù)占所調(diào)查人數(shù)的40%．請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：
（1）在這次調(diào)查中，一共抽取了多少名學生？
（2）請通過計算補全條形統(tǒng)計圖；
（3）若春寧中學共有1500名學生，請你估計該中學最喜歡高山滑雪的學生共有多少名．

24．（8分）已知四邊形ABCD是正方形，點E在邊DA的延長線上，連接CE交AB于點G，過點B作BM⊥CE，垂足為點M，BM的延長線交AD于點F，交CD的延長線于點H．
（1）如圖1，求證：CE＝BH；
（2）如圖2，若AE＝AB，連接CF，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四個三角形（△AEG除外），使寫出的每個三角形都與△AEG全等．

25．（10分）君輝中學計劃為書法小組購買某種品牌的A、B兩種型號的毛筆．若購買3支A種型號的毛筆和1支B種型號的毛筆需用22元；若購買2支A種型號的毛筆和3支B種型號的毛筆需用24元．
（1）求每支A種型號的毛筆和每支B種型號的毛筆各多少元；
（2）君輝中學決定購買以上兩種型號的毛筆共80支，總費用不超過420元，那么該中學最多可以購買多少支A種型號的毛筆？
26．（10分）已知⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，點N為AC的中點，連接ON并延長交⊙O于點E，連接BE，BE交AC于點D．
（1）如圖1，求證：∠CDE+∠BAC＝135°；
（2）如圖2，過點D作DG⊥BE，DG交AB于點F，交⊙O于點G，連接OG，OD，若DG＝BD，求證：OG∥AC；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AG，若DN＝，求AG的長．

27．（10分）在平面直角坐標系中，點O為坐標系的原點，拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過A（10，0），B（，6）兩點，直線y＝2x﹣4與x軸交于點C，與y軸交于點D，點P為直線y＝2x﹣4上的一個動點，連接PA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，當點P在第一象限時，設(shè)點P的橫坐標為t，△APC的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；
（3）如圖2，在（2）的條件下，點E在y軸的正半軸上，且OE＝OD，連接CE，當直線BP交x軸正半軸于點L，交y軸于點V時，過點P作PG∥CE交x軸于點G，過點G作y軸的平行線交線段VL于點F，連接CF，過點G作GQ∥CF交線段VL于點Q，∠CFG的平分線交x軸于點M，過點M作MH∥CF交FG于點H，過點H作HR⊥CF于點R，若FR+MH＝GQ，求點P的坐標．


2021年黑龍江省哈爾濱市中考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共計30分）
1．（3分）﹣的絕對值是（　　）
A．﹣7 B．7 C．﹣ D．
【分析】直接利用實數(shù)的性質(zhì)分別得出答案．
【解答】解：，
故選：D．
【點評】此題主要考查了實數(shù)的性質(zhì)，正確掌握絕對值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2．（3分）下列運算一定正確的是（　　）
A．a(chǎn)2?a＝a3 B．（a3）2＝a5
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．a(chǎn)5﹣a2＝a3
【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方的運算法則，完全平方公式、合并同類項法則解答即可．
【解答】解：A、a2?a＝a3，原計算正確，故此選項符合題意；
B、（a2）3＝a6，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
C、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，原計算錯誤，故此選項不符合題意；
D、a5與a2不是同類項，不能合并，原計算錯誤，故此選項不符合題意．
故選：A．
【點評】本題考查了整式的運算．解題的關(guān)鍵是熟練運用整式的運算法則和乘法公式．
3．（3分）下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行解答．
【解答】解：A．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意；
B．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
C．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；
故選：A．
【點評】此題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
4．（3分）八個大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，其主視圖是（　?。?br />
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．
【解答】解：從正面看，共有三列，每列的小正方形個數(shù)分別為2、1、2，
故選：C．
【點評】本題考查了簡單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖．
5．（3分）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，點B為切點，若AB＝8，tan∠BAC＝，則BC的長為（　?。?br />
A．8 B．7 C．10 D．6
【分析】先根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠ABC＝90°，然后利用正切的定義求BC的長．
【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵tan∠BAC＝＝，
∴BC＝×8＝6．
故選：D．
【點評】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了解直角三角形．
6．（3分）方程＝的解為（　?。?br /> A．x＝5 B．x＝3 C．x＝1 D．x＝2
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3x﹣1＝2（2+x），
去括號得：3x﹣1＝4+2x，
移項合并得：x＝5，
檢驗：當x＝5時，（2+x）（3x﹣1）≠0，
∴分式方程的解為x＝5．
故選：A．
【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．
7．（3分）如圖，△ABC≌△DEC，點A和點D是對應(yīng)頂點，點B和點E是對應(yīng)頂點，過點A作AF⊥CD，垂足為點F，若∠BCE＝65°，則∠CAF的度數(shù)為（　?。?br />
A．30° B．25° C．35° D．65°
【分析】由全等三角形的性質(zhì)可求得∠ACD＝65°，由垂直可得∠CAF+∠ACD＝90°，進而可求解∠CAF的度數(shù)．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
故選：B．
【點評】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，由全等三角形的性質(zhì)求解∠ACD的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．
8．（3分）一個不透明的袋子中裝有12個小球，其中8個紅球、4個黃球，這些小球除顏色外無其它差別，從袋子中隨機摸出一個小球，則摸出的小球是紅球的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】用紅球的個數(shù)除以球的總個數(shù)即可．
【解答】解：∵從袋子中隨機摸出一個小球共有12種等可能結(jié)果，摸出的小球是紅球的結(jié)果數(shù)為8，
∴摸出的小球是紅球的概率為＝，
故選：D．
【點評】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．
9．（3分）如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，則AE的長為（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例由DE∥BC得到，然后根據(jù)比例的性質(zhì)可求出AE．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，
∴，
∴AE＝4．
故選：B．
【點評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．
10．（3分）周日，小輝從家步行到圖書館讀書，讀了一段時間后，小輝立刻按原路回家．在整個過程中，小輝離家的距離s（單位：m）與他所用的時間t（單位：min）之間的關(guān)系如圖所示，則小輝從家去圖書館的速度和從圖書館回家的速度分別為（　　）

A．75m/min，90m/min B．80m/min，90m/min
C．75m/min，100m/min D．80m/min，100m/min
【分析】根據(jù)題意可知小輝家與圖書館的距離為1500m，去圖書館花了20分鐘，回來時用了15分鐘，再根據(jù)“速度＝路程÷時間”列式計算即可求解．
【解答】解：由題意，得：
小輝從家去圖書館的速度為：1500÷20＝75（m/min）；
小輝從圖書館回家的速度為：1500÷（70﹣55）＝100（m/min）．
故選：C．
【點評】本題考查由圖象理解對應(yīng)函數(shù)關(guān)系及其實際意義，應(yīng)把所有可能出現(xiàn)的情況考慮清楚．
二、填空題（每小題3分，共計30分）
11．（3分）火星赤道半徑約為3396000米，用科學記數(shù)法表示為 　3.396×106　米．
【分析】用科學記數(shù)法表示較大的數(shù)時，一般形式為a×10n，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，據(jù)此判斷即可．
【解答】解：3396000＝3.396×106．
故答案是：3.396×106．
【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．
12．（3分）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是 　x≠?。?br /> 【分析】根據(jù)當函數(shù)表達式是分式時，分母不為0可得答案．
【解答】解：7x﹣5≠0，x≠．
故答案為：x≠．
【點評】本題主要考查的是函數(shù)自變量的取值范圍，明確函數(shù)表達式是分式時，分母不為0是解題的關(guān)鍵．
13．（3分）已知反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點（2，﹣5），則k的值為 　﹣10?。?br /> 【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，k＝2×（﹣5）＝﹣10．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝的圖象經(jīng)過點（2，﹣5），
∴k＝2×（﹣5）＝﹣10，
故答案為：﹣10．
【點評】此題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy＝k．
14．（3分）計算﹣2的結(jié)果是 　2?。?br /> 【分析】直接化簡二次根式，再合并得出答案．
【解答】解：原式＝3﹣2×
＝3﹣
＝2．
故答案為：2．
【點評】此題主要考查了二次根式的加減，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．
15．（3分）把多項式a2b﹣25b分解因式的結(jié)果是 　b（a+5）（a﹣5）?。?br /> 【分析】直接提取公因式b，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：a2b﹣25b
＝b（a2﹣25）
＝b（a+5）（a﹣5）．
故答案為：b（a+5）（a﹣5）．
【點評】此題主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正確運用乘法公式是解題關(guān)鍵．
16．（3分）二次函數(shù)y＝﹣3x2﹣2的最大值為 　﹣2　．
【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，求出頂點坐標，再根據(jù)開口向下，求出最大值．
【解答】解：在二次函數(shù)y＝﹣3x2﹣2中，
∵頂點坐標為（0，﹣2），
且a＝﹣3＜0，
∴拋物線開口向下，
∴二次函數(shù)y＝﹣3x2﹣2的最大值為﹣2．
故答案為：﹣2．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，求出頂點坐標是解題的關(guān)鍵．
17．（3分）不等式組的解集是 　x＜3?。?br /> 【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集．
【解答】解：解不等式3x﹣7＜2，得：x＜3，
解不等式x﹣5≤10，得：x≤15，
則不等式組的解集為x＜3，
故答案為：x＜3．
【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
18．（3分）四邊形ABCD是平行四邊形，AB＝6，∠BAD的平分線交直線BC于點E，若CE＝2，則?ABCD的周長為 　28　．
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)知BC∥AD，由平行線的性質(zhì)即角平分線的定義可得∠BEA＝∠BAE，進而可求解BE的長，即可求得BC的長，再根據(jù)平行四邊形的周長可求解．
【解答】解：如圖：

∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝6，
∴BE＝6，
∵CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝6+2＝8，
∴平行四邊形ABCD的周長為：2×（6+8）＝28，
故答案為28．
【點評】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，證明BE＝AB求解BE的長是解題的關(guān)鍵．
19．（3分）一個扇形的弧長是8πcm，圓心角是144°，則此扇形的半徑是 　10　cm．
【分析】根據(jù)弧長計算公式列方程求解即可．
【解答】解：設(shè)扇形的半徑為rcm，由題意得，
＝8π，
解得r＝10（cm），
故答案為：10．
【點評】本題考查弧長的計算，掌握弧長的計算方法是正確計算的前提．
20．（3分）如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，過點O作OE⊥BC，垂足為點E，過點A作AF⊥OB，垂足為點F．若BC＝2AF，OD＝6，則BE的長為 　6　．

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)證明Rt△AFO≌Rt△BEO，然后求出∠BOE＝60°，再解直角三角形即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE，
又∵BC＝2AF，
∵AF＝BE，
在Rt△AFO和Rt△BEO中，
，
∴Rt△AFO≌Rt△BEO（HL），
∴∠AOF＝∠BOE，
∴∠AOF＝∠BOE＝∠COE，
又∵∠AOF+∠BOE+∠COE＝180°，
∴∠BOE＝60°，
∵OB＝OD＝6，
∴BE＝OB?sin60°＝6×＝3，
∴BC＝2BE＝6，
故答案為：6．
【點評】本題考查矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)三角形全等求出∠BOE＝60°是解題關(guān)鍵．
三、解答題（其中21-22題各7分，23-2題各8分，25-27題各10分，共計60分）
21．（7分）先化簡，再求代數(shù)式（﹣）÷的值，其中a＝2sin45°﹣1．
【分析】根據(jù)分式的加減運算以及乘除運算進行化簡，然后將a的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式?﹣?
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝，
當a＝﹣1時，
原式＝＝．
【點評】本題考查分式的運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的加減運算以及乘除運算，本題屬于基礎(chǔ)題型．
22．（7分）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長均為1個單位長度，△ABC的頂點和線段DE的端點均在小正方形的頂點上．
（1）在方格紙中將△ABC向上平移1個單位長度，再向右平移2個單位長度后得到△MNP（點A的對應(yīng)點是點M，點B的對應(yīng)點是點N，點C的對應(yīng)點是點P），請畫出△MNP；
（2）在方格紙中畫出以DE為斜邊的等腰直角三角形DEF（點F在小正方形的頂點上）．連接FP，請直接寫出線段FP的長．

【分析】（1）利用網(wǎng)格特點和平移的性質(zhì)畫出A、B、C的對應(yīng)點即可；
（2）先把DE繞E點逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到EQ，則△DEQ為等腰直角三角形，然后取DQ的中點F，則△DEF滿足條件，最后利用勾股定理計算PF．
【解答】解：（1）如圖，△MNP為所作；
（2）如圖，△DEF為所作；
FP＝＝．

【點評】本題考查了作圖﹣平移變換：作圖時要先找到圖形的關(guān)鍵點，分別把這幾個關(guān)鍵點按照平移的方向和距離確定對應(yīng)點后，再順次連接對應(yīng)點即可得到平移后的圖形．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．
23．（8分）春寧中學開展以“我最喜歡的冰雪運動項目”為主題的調(diào)查活動，圍繞“在冰球、冰壺、短道速滑、高山滑雪四種冰雪運動項目中，你最喜歡哪一種？（必選且只選一種）”的問題，在全校范圍內(nèi)隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查，將調(diào)查結(jié)果整理后繪制成如圖所示的不完整的條形統(tǒng)計圖，其中最喜歡短道速滑的學生人數(shù)占所調(diào)查人數(shù)的40%．請你根據(jù)圖中提供的信息解答下列問題：
（1）在這次調(diào)查中，一共抽取了多少名學生？
（2）請通過計算補全條形統(tǒng)計圖；
（3）若春寧中學共有1500名學生，請你估計該中學最喜歡高山滑雪的學生共有多少名．

【分析】（1）用最喜歡短道速滑的學生人數(shù)除以所占的百分比即可得出抽取的總?cè)藬?shù)；
（2）用總?cè)藬?shù)減去其它項目的人數(shù)，求出最喜歡冰壺項目的人數(shù)，從而補全統(tǒng)計圖；
（3）用總?cè)藬?shù)乘以最喜歡高山滑雪的學生所占的百分比，即可得出答案．
【解答】解：（1）本次調(diào)查共抽取的學生數(shù)有：24÷40%＝60（名）；

（2）最喜歡冰球項目的人數(shù)有：60﹣16﹣24﹣12＝8（名），補全統(tǒng)計圖如下：


（3）根據(jù)題意得：
1500×＝300（名），
答：估計該中學最喜歡高山滑雪的學生共有300名．
【點評】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用．讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關(guān)鍵．
24．（8分）已知四邊形ABCD是正方形，點E在邊DA的延長線上，連接CE交AB于點G，過點B作BM⊥CE，垂足為點M，BM的延長線交AD于點F，交CD的延長線于點H．
（1）如圖1，求證：CE＝BH；
（2）如圖2，若AE＝AB，連接CF，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中的四個三角形（△AEG除外），使寫出的每個三角形都與△AEG全等．

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)可得BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝∠ADC＝90°，由“AAS”可證△EDC≌△HCB，可得CE＝BH；
（2）由“AAS”可證△AEG≌△BCG，由“SAS”可證△AEG≌△ABF，△AEG≌△DHF，△AEG≌△DCF．
【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵BM⊥CE，
∴∠HMC＝∠ADC＝90°，
∴∠H+∠HCM＝90°∠E+∠ECD，
∴∠H＝∠E，
在△EDC和△HCB中，
，
∴△EDC≌△HCB（AAS），
∴CE＝BH；
（2）△BCG，△DCF，△DHF，△ABF，
理由如下：∵AE＝AB，
∴AE＝BC＝AD＝CD，
∵△EDC≌△HCB，
∴ED＝HC，
∵AD＝CD，
∴AE＝HD＝CD＝AB，
在△AEG和△BCG中，
，
∴△AEG≌△BCG（AAS），
∴AG＝BG＝AB，
同理可證△AFB≌△DFH，
∴AF＝DF＝AD，
∴AG＝AF＝DF，
在△AEG和△ABF中，
，
∴△AEG≌△ABF（SAS），
同理可證△AEG≌△DHF，△AEG≌△DCF．
【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
25．（10分）君輝中學計劃為書法小組購買某種品牌的A、B兩種型號的毛筆．若購買3支A種型號的毛筆和1支B種型號的毛筆需用22元；若購買2支A種型號的毛筆和3支B種型號的毛筆需用24元．
（1）求每支A種型號的毛筆和每支B種型號的毛筆各多少元；
（2）君輝中學決定購買以上兩種型號的毛筆共80支，總費用不超過420元，那么該中學最多可以購買多少支A種型號的毛筆？
【分析】（1）設(shè)每支A種型號的毛筆x元，每支B種型號的毛筆y元，由題意列出方程組，即可求解；
（2）設(shè)A種型號的毛筆為a支，由“總費用不超過420元”列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)每支A種型號的毛筆x元，每支B種型號的毛筆y元；
由題意可得：，
解得：，
答：每支A種型號的毛筆6元，每支B種型號的毛筆4元；
（2）設(shè)A種型號的毛筆為a支，
由題意可得：6a+4（80﹣a）≤420，
解得：a≤50，
答：最多可以購買多少50支A種型號的毛筆．
【點評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用和二元一次方程組的應(yīng)用，找出正確的等量關(guān)系和不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
26．（10分）已知⊙O是△ABC的外接圓，AB為⊙O的直徑，點N為AC的中點，連接ON并延長交⊙O于點E，連接BE，BE交AC于點D．
（1）如圖1，求證：∠CDE+∠BAC＝135°；
（2）如圖2，過點D作DG⊥BE，DG交AB于點F，交⊙O于點G，連接OG，OD，若DG＝BD，求證：OG∥AC；
（3）如圖3，在（2）的條件下，連接AG，若DN＝，求AG的長．

【分析】（1）如圖1，過點O作OP⊥BC，交⊙O于點P，連接AP交BE于Q，先根據(jù)垂徑定理可得：＝，＝，根據(jù)圓周角定理得AP平分∠BAC，BE平分∠ABC，∠C＝90°，所以∠QAB+∠QBA＝×90°＝45°，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和對頂角相等可得結(jié)論；
（2）先根據(jù)SSS證明△DGO≌△DBO（SSS），得∠ABD＝∠DGO，根據(jù)同角的余角相等可得∠ADG＝∠CBE＝∠ABD＝∠DGO，最后根據(jù)內(nèi)錯角相等可得OG∥AD；
（3）如圖3，過點G作GK⊥AC于K，延長GO交BC于點H，設(shè)GK＝y(tǒng)，則BC＝2y，ON＝GK＝y(tǒng)，證明△GKD≌△DCB（AAS），得GK＝DC＝y(tǒng)，根據(jù)等角的正切可得EN的長，根據(jù)勾股定理列方程可得y的值，最后由勾股定理可得AG的長．
【解答】（1）證明：如圖1，過點O作OP⊥BC，交⊙O于點P，連接AP交BE于Q，

∴＝，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵點N為AC的中點，
∴＝，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠C＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠QAB+∠QBA＝×90°＝45°，
∴∠AQB＝∠EQP＝135°，
△AQD中，∠EQP＝∠CAP+∠ADQ＝135°，
∴∠CDE+∠BAC＝135°；
（2）證明：在△DGO和△DBO中，
，
∴△DGO≌△DBO（SSS），
∴∠ABD＝∠DGO，
∵DG⊥BE，
∴∠GDB＝90°，
∴∠ADG+∠BDC＝90°，
∵∠BDC+∠CBE＝90°，
∴∠ADG＝∠CBE＝∠ABD＝∠DGO，
∴OG∥AD；
（3）解：如圖3，過點G作GK⊥AC于K，延長GO交BC于點H，

由（2）知：OG∥AC，
∴GH∥AC，
∴∠OHB＝∠C＝90°，
∴OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵∠K＝∠C＝∠OHC＝90°，
∴四邊形GHCK是矩形，
∴CH＝GK，
設(shè)GK＝y(tǒng)，則BC＝2y，ON＝GK＝y(tǒng)，
由（2）知：∠ADG＝∠DBC，
在△GKD和△DCB中，
，
∴△GKD≌△DCB（AAS），
∴GK＝DC＝y(tǒng)，
∵OE∥BC，
∴∠E＝∠DBC，
∴tan∠DBC＝tanE，
∴，即＝，
∴EN＝，
∴AN＝CN＝y(tǒng)+，ON＝y(tǒng)，
由勾股定理得：AO2＝ON2+AN2，
∴（y+）2＝y(tǒng)2+（y+）2，
解得：y1＝﹣（舍），y2＝，
∴AG＝＝＝2．
【點評】本題是圓的綜合題，考查了圓的有關(guān)知識，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂徑定理，三角函數(shù)，勾股定理，角平分線的定義和圓周角定理等知識，第三問有難度，求出NE的長是本題的關(guān)鍵．
27．（10分）在平面直角坐標系中，點O為坐標系的原點，拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過A（10，0），B（，6）兩點，直線y＝2x﹣4與x軸交于點C，與y軸交于點D，點P為直線y＝2x﹣4上的一個動點，連接PA．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖1，當點P在第一象限時，設(shè)點P的橫坐標為t，△APC的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；
（3）如圖2，在（2）的條件下，點E在y軸的正半軸上，且OE＝OD，連接CE，當直線BP交x軸正半軸于點L，交y軸于點V時，過點P作PG∥CE交x軸于點G，過點G作y軸的平行線交線段VL于點F，連接CF，過點G作GQ∥CF交線段VL于點Q，∠CFG的平分線交x軸于點M，過點M作MH∥CF交FG于點H，過點H作HR⊥CF于點R，若FR+MH＝GQ，求點P的坐標．

【分析】（1）利用待定系數(shù)法解決問題即可．
（2）求出點C的坐標，可得AC＝8，利用三角形面積公式求解即可．
（3）如圖2中，過點P作PT⊥CG于T，交CF于W，過點F作FJ⊥MH交MH的延長線于J，連接JQ．想辦法證明WP＝WC＝WF，推出∠CPF＝90°，再證明∠PLC＝∠ODC，推出tan∠PLC＝tan∠ODC＝，求出點L的坐標，求出直線BP的解析式，構(gòu)建方程組確定點P坐標即可．
【解答】解：（1）把A（10，0），B（，6）代入y＝ax2+bx，得到，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+x．

（2）∵直線y＝2x﹣4與x軸交于點C，與y軸交于點D，
∴C（2，0），D（0，﹣4），
∵A（10，0），
∴OA＝10，OC＝2，
∴AC＝8，
由題意P（t，2t﹣4），
∴S＝×8×（2t﹣4）＝8t﹣16．

（3）如圖2中，過點P作PT⊥CG于T，交CF于W，過點F作FJ⊥MH交MH的延長線于J，連接JQ．

∵PT⊥CG，
∴∠PTC＝∠ODC＝90°，
∴OD∥PT，
∴∠ODC＝∠CPT，
∴tan∠CPT＝tan∠ODC＝＝＝，
∵HR⊥RF，F(xiàn)J⊥MJ，MH∥CF，
∴RH⊥MJ，
∴∠FRH＝∠RHJ＝∠FJH＝90°，
∴四邊形RFJH是矩形，
∴RF＝HJ，
∵RF+HM＝MH+HJ＝MJ＝GQ，MJ∥GQ，
∴四邊形MJQG是平行四邊形，
∴JQ＝GM，∠JQG＝∠GMJ，
∵MF平分∠CFG，
∴∠CFM＝∠MFG，
∵CF∥MH，
∴∠FMH＝∠CFM，
∴∠FMH＝∠MFH，
∴FH＝HM，
∵∠MGH＝∠FJH＝90°，∠MHG＝∠FHJ，
∴△MHG≌△FHJ（AAS），
∴MG＝FJ＝JQ，∠GMH＝∠HFJ，
∴∠JFQ＝∠JQF，∠GFJ＝∠GQJ，
∴∠GFQ＝∠GQF，
∵CF∥GQ，PT∥FG，
∴∠WPF＝∠GFQ，∠WFP＝∠GQF，
∴∠WPF＝∠WFP，
∴WP＝WF，
∵D，E關(guān)于x軸對稱，
∴∠ECO＝∠DCO＝∠PCG，
∵EC∥PG，
∴∠PGC＝∠ECO，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG，
∵PT⊥CG，
∴CT＝TG，
∵WT∥FG，
∴CW＝WF，
∴WP＝WC＝WF，
∴∠CPF＝90°，
∴∠LCP+∠PLC＝90°，
∵∠ODC+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠LCP，
∴∠PLC＝∠ODC，
∴tan∠PLC＝tan∠ODC＝，
∵B（，6），
∴OL＝+12＝，
∴L（，0），
∴直線PB的解析式為y＝﹣x+，
由，解得，
∴P（，5）．
【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，三角形的面積，平行四邊形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形，全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布
日期：2021/7/18 10:10:52；用戶：13784622801；郵箱：13784622801；學號：37960971

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