1．（3分）如圖，已知四條線段a，b，c，d中的一條與擋板另一側的線段m在同一直線上，請借助直尺判斷該線段是（ ）
A．aB．bC．cD．d
2．（3分）不一定相等的一組是（ ）
A．a+b與b+aB．3a與a+a+a
C．a3與a?a?aD．3（a+b）與3a+b
3．（3分）已知a＞b，則一定有﹣4a□﹣4b，“□”中應填的符號是（ ）
A．＞B．＜C．≥D．＝
4．（3分）與結果相同的是（ ）
A．3﹣2+1B．3+2﹣1C．3+2+1D．3﹣2﹣1
5．（3分）能與﹣（﹣）相加得0的是（ ）
A．﹣﹣B．+C．﹣+D．﹣+
6．（3分）一個骰子相對兩面的點數(shù)之和為7，它的展開圖如圖，下列判斷正確的是（ ）
A．A代B．B代C．C代D．B代
7．（3分）如圖1，?ABCD中，AD＞AB，∠ABC為銳角．要在對角線BD上找點N，M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（ ）
A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是D．只有乙、丙才是
8．（3分）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此時液面AB＝（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
9．（3分）若取1.442，計算﹣3﹣98的結果是（ ）
A．﹣100B．﹣144.2C．144.2D．﹣0.01442
10．（3分）如圖，點O為正六邊形ABCDEF對角線FD上一點，S△AFO＝8，S△CDO＝2，則S正六邊邊ABCDEF的值是（ ）
A．20B．30
C．40D．隨點O位置而變化
11．（2分）如圖，將數(shù)軸上﹣6與6兩點間的線段六等分，這五個等分點所對應數(shù)依次為a1，a2，a3，a4，a5，則下列正確的是（ ）
A．a3＞0B．|a1|＝|a4|
C．a1+a2+a3+a4+a5＝0D．a2+a5＜0
12．（2分）如圖，直線l，m相交于點O．P為這兩直線外一點，且OP＝2.8．若點P關于直線l，m的對稱點分別是點P1，P2，則P1，P2之間的距離可能是（ ）
A．0B．5C．6D．7
13．（2分）定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．
已知：如圖，∠ACD是△ABC的外角．求證：∠ACD＝∠A+∠B．
下列說法正確的是（ ）
A．證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整
B．證法1用嚴謹?shù)耐评碜C明了該定理
C．證法2用特殊到一般法證明了該定理
D．證法2只要測量夠一百個三角形進行驗證，就能證明該定理
14．（2分）小明調查了本班每位同學最喜歡的顏色，并繪制了不完整的扇形圖1及條形圖2（柱的高度從高到低排列）．條形圖不小心被撕了一塊，圖2中“（ ）”應填的顏色是（ ）
A．藍B．粉C．黃D．紅
15．（2分）由（﹣）值的正負可以比較A＝與的大小，下列正確的是（ ）
A．當c＝﹣2時，A＝B．當c＝0時，A≠
C．當c＜﹣2時，A＞D．當c＜0時，A＜
16．（2分）如圖，等腰△AOB中，頂角∠AOB＝40°，用尺規(guī)按①到④的步驟操作：
①以O為圓心，OA為半徑畫圓；
②在⊙O上任取一點P（不與點A，B重合），連接AP；
③作AB的垂直平分線與⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分線與⊙O交于E，F(xiàn)．
結論Ⅰ：順次連接M，E，N，F(xiàn)四點必能得到矩形；
結論Ⅱ：⊙O上只有唯一的點P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
對于結論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都對B．Ⅰ和Ⅱ都不對C．Ⅰ不對Ⅱ對D．Ⅰ對Ⅱ不對
二、填空題（本大題有3個小題，每小題有2個空，每空2分，共12分）
17．（4分）現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長如圖）．
（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為 ；
（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，還需取丙紙片 塊．
18．（4分）如圖是可調躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調整∠D的大小，使∠EFD＝110°，則圖中∠D應 （填“增加”或“減少”） 度．
19．（4分）用繪圖軟件繪制雙曲線m：y＝與動直線l：y＝a，且交于一點，圖1為a＝8時的視窗情形．
（1）當a＝15時，l與m的交點坐標為 ；
（2）視窗的大小不變，但其可視范圍可以變化，且變化前后原點O始終在視窗中心．
例如，為在視窗中看到（1）中的交點，可將圖1中坐標系的單位長度變?yōu)樵瓉淼?，其可視范圍就由?5≤x≤15及﹣10≤y≤10變成了﹣30≤x≤30及﹣20≤y≤20（如圖2）．當a＝﹣1.2和a＝﹣1.5時，l與m的交點分別是點A和B，為能看到m在A和B之間的一整段圖象，需要將圖1中坐標系的單位長度至少變?yōu)樵瓉淼?，則整數(shù)k＝ ．
三、解答題（本大題有7個小題，共66分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
20．（8分）某書店新進了一批圖書，甲、乙兩種書的進價分別為4元/本、10元/本．現(xiàn)購進m本甲種書和n本乙種書，共付款Q元．
（1）用含m，n的代數(shù)式表示Q；
（2）若共購進5×104本甲種書及3×103本乙種書，用科學記數(shù)法表示Q的值．
21．（9分）已知訓練場球筐中有A、B兩種品牌的乒乓球共101個，設A品牌乒乓球有x個．
（1）淇淇說：“筐里B品牌球是A品牌球的兩倍．”嘉嘉根據(jù)她的說法列出了方程：101﹣x＝2x．請用嘉嘉所列方程分析淇淇的說法是否正確；
（2）據(jù)工作人員透露：B品牌球比A品牌球至少多28個，試通過列不等式的方法說明A品牌球最多有幾個．
22．（9分）某博物館展廳的俯視示意圖如圖1所示．嘉淇進入展廳后開始自由參觀，每走到一個十字道口，她自己可能直行，也可能向左轉或向右轉，且這三種可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；
（2）補全圖2的樹狀圖，并分析嘉淇經過兩個十字道口后向哪個方向參觀的概率較大．
23．（9分）如圖是某機場監(jiān)控屏顯示兩飛機的飛行圖象，1號指揮機（看成點P）始終以3km/min的速度在離地面5km高的上空勻速向右飛行，2號試飛機（看成點Q）一直保持在1號機P的正下方．2號機從原點O處沿45°仰角爬升，到4km高的A處便立刻轉為水平飛行，再過1min到達B處開始沿直線BC降落，要求1min后到達C（10，3）處．
（1）求OA的h關于s的函數(shù)解析式，并直接寫出2號機的爬升速度；
（2）求BC的h關于s的函數(shù)解析式，并預計2號機著陸點的坐標；
（3）通過計算說明兩機距離PQ不超過3km的時長是多少．
[注：（1）及（2）中不必寫s的取值范圍]
24．（9分）如圖，⊙O的半徑為6，將該圓周12等分后得到表盤模型，其中整鐘點為An（n為1～12的整數(shù)），過點A7作⊙O的切線交A1A11延長線于點P．
（1）通過計算比較直徑和劣弧長度哪個更長；
（2）連接A7A11，則A7A11和PA1有什么特殊位置關系？請簡要說明理由；
（3）求切線長PA7的值．
25．（10分）如圖是某同學正在設計的一動畫示意圖，x軸上依次有A，O，N三個點，且AO＝2，在ON上方有五個臺階T1～T5（各拐角均為90°），每個臺階的高、寬分別是1和1.5，臺階T1到x軸距離OK＝10．從點A處向右上方沿拋物線L：y＝﹣x2+4x+12發(fā)出一個帶光的點P．
（1）求點A的橫坐標，且在圖中補畫出y軸，并直接指出點P會落在哪個臺階上；
（2）當點P落到臺階上后立即彈起，又形成了另一條與L形狀相同的拋物線C，且最大高度為11，求C的解析式，并說明其對稱軸是否與臺階T5有交點；
（3）在x軸上從左到右有兩點D，E，且DE＝1，從點E向上作EB⊥x軸，且BE＝2．在△BDE沿x軸左右平移時，必須保證（2）中沿拋物線C下落的點P能落在邊BD（包括端點）上，則點B橫坐標的最大值比最小值大多少？
[注：（2）中不必寫x的取值范圍]
26．（12分）在一平面內，線段AB＝20，線段BC＝CD＝DA＝10，將這四條線段順次首尾相接．把AB固定，讓AD繞點A從AB開始逆時針旋轉角α（α＞0°）到某一位置時，BC，CD將會跟隨出現(xiàn)到相應的位置．
論證：如圖1，當AD∥BC時，設AB與CD交于點O，求證：AO＝10；
發(fā)現(xiàn)：當旋轉角α＝60°時，∠ADC的度數(shù)可能是多少？
嘗試：取線段CD的中點M，當點M與點B距離最大時，求點M到AB的距離；
拓展：①如圖2，設點D與B的距離為d，若∠BCD的平分線所在直線交AB于點P，直接寫出BP的長（用含d的式子表示）；
②當點C在AB下方，且AD與CD垂直時，直接寫出a的余弦值．
2021年河北省中考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題有16個小題，共42分。1～10小題各3分，11～16小題各2分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（3分）如圖，已知四條線段a，b，c，d中的一條與擋板另一側的線段m在同一直線上，請借助直尺判斷該線段是（ ）
A．aB．bC．cD．d
【解答】解：利用直尺畫出圖形如下：
可以看出線段a與m在一條直線上．
故答案為：a．
故選：A．
2．（3分）不一定相等的一組是（ ）
A．a+b與b+aB．3a與a+a+a
C．a3與a?a?aD．3（a+b）與3a+b
【解答】解：A：因為a+b＝b+a，所以A選項一定相等；
B：因為a+a+a＝3a，所以B選項一定相等；
C：因為a?a?a＝a3，所以C選項一定相等；
D：因為3（a+b）＝3a+3b，所以3（a+b）與3a+b不一定相等．
故選：D．
3．（3分）已知a＞b，則一定有﹣4a□﹣4b，“□”中應填的符號是（ ）
A．＞B．＜C．≥D．＝
【解答】解：根據(jù)不等式的性質，不等式兩邊同時乘以負數(shù)，不等號的方向改變．
∵a＞b，
∴﹣4a＜﹣4b．
故選：B．
4．（3分）與結果相同的是（ ）
A．3﹣2+1B．3+2﹣1C．3+2+1D．3﹣2﹣1
【解答】解：＝＝＝2，
∵3﹣2+1＝2，故A符合題意；
∵3+2﹣1＝4，故B不符合題意；
∵3+2+1＝6，故C不符合題意；
∵3﹣2﹣1＝0，故D不符合題意．
故選：A．
5．（3分）能與﹣（﹣）相加得0的是（ ）
A．﹣﹣B．+C．﹣+D．﹣+
【解答】解：﹣（﹣）＝﹣+，與其相加得0的是﹣+的相反數(shù)．
﹣+的相反數(shù)為+﹣，
故選：C．
6．（3分）一個骰子相對兩面的點數(shù)之和為7，它的展開圖如圖，下列判斷正確的是（ ）
A．A代B．B代C．C代D．B代
【解答】解：根據(jù)正方體的表面展開圖，相對的面之間一定相隔一個正方形，
A與點數(shù)是1的對面，B與點數(shù)是2的對面，C與點數(shù)是4的對面，
∵骰子相對兩面的點數(shù)之和為7，
∴A代表的點數(shù)是6，B代表的點數(shù)是5，C代表的點數(shù)是4．
故選：A．
7．（3分）如圖1，?ABCD中，AD＞AB，∠ABC為銳角．要在對角線BD上找點N，M，使四邊形ANCM為平行四邊形，現(xiàn)有圖2中的甲、乙、丙三種方案，則正確的方案（ ）
A．甲、乙、丙都是B．只有甲、乙才是
C．只有甲、丙才是D．只有乙、丙才是
【解答】解：方案甲中，連接AC，如圖所示：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，O為BD的中點，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵BN＝NO，OM＝MD，
∴NO＝OM，
∴四邊形ANCM為平行四邊形，方案甲正確；
方案乙中：
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN⊥B，CM⊥BD，
∴AN∥CM，∠ANB＝∠CMD，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（AAS），
∴AN＝CM，
又∵AN∥CM，
∴四邊形ANCM為平行四邊形，方案乙正確；
方案丙中：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABN＝∠CDM，
∵AN平分∠BAD，CM平分∠BCD，
∴∠BAN＝∠DCM，
在△ABN和△CDM中，
，
∴△ABN≌△CDM（ASA），
∴AN＝CM，∠ANB＝∠CMD，
∴∠ANM＝∠CMN，
∴AN∥CM，
∴四邊形ANCM為平行四邊形，方案丙正確；
故選：A．
8．（3分）圖1是裝了液體的高腳杯示意圖（數(shù)據(jù)如圖），用去一部分液體后如圖2所示，此時液面AB＝（ ）
A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm
【解答】解：如圖：過O作OM⊥CD，垂足為M，過O作ON⊥AB，垂足為N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO，即相似比為，
∴＝，
∵OM＝15﹣7＝8，ON＝11﹣7＝4，
∴＝，
＝，∴
AB＝3，
故選：C．
9．（3分）若取1.442，計算﹣3﹣98的結果是（ ）
A．﹣100B．﹣144.2C．144.2D．﹣0.01442
【解答】解：∵取1.442，
∴原式＝×（1﹣3﹣98）
＝1.442×（﹣100）
＝﹣144.2．
故選：B．
10．（3分）如圖，點O為正六邊形ABCDEF對角線FD上一點，S△AFO＝8，S△CDO＝2，則S正六邊邊ABCDEF的值是（ ）
A．20B．30
C．40D．隨點O位置而變化
【解答】解：設正六邊形ABCDEF的邊長為x，
過E作FD的垂線，垂足為M，連接AC，
∵∠FED＝120°，F(xiàn)E＝ED，
∴∠EFD＝∠FDE，
∴∠EDF＝（180°﹣∠FED）
＝30°，
∵正六邊形ABCDEF的每個角為120°．
∴∠CDF＝120°﹣∠EDF＝90°．
同理∠AFD＝∠FAC＝∠ACD＝90°，
∴四邊形AFDC為矩形，
∵S△AFO＝FO×AF，
S△CDO＝OD×CD，
在正六邊形ABCDEF中，AF＝CD，
∴S△AFO+S△CDO＝FO×AF+OD×CD
＝（FO+OD）×AF
＝FD×AF
＝10，
∴FD×AF＝20，
DM＝cs30°DE＝x，
DF＝2DM＝x，
EM＝sin30°DE＝，
∴S正六邊形ABCDEF＝S矩形AFDC+S△EFD+S△ABC
＝AF×FD+2S△EFD
＝x?x+2×x?x
＝x2+x2
＝20+10
＝30，
故選：B．
11．（2分）如圖，將數(shù)軸上﹣6與6兩點間的線段六等分，這五個等分點所對應數(shù)依次為a1，a2，a3，a4，a5，則下列正確的是（ ）
A．a3＞0B．|a1|＝|a4|
C．a1+a2+a3+a4+a5＝0D．a2+a5＜0
【解答】解：﹣6與6兩點間的線段的長度＝6﹣（﹣6）＝12，
六等分后每個等分的線段的長度＝12÷6＝2，
∴a1，a2，a3，a4，a5表示的數(shù)為：﹣4，﹣2，0，2，4，
A選項，a3＝﹣6+2×3＝0，故該選項錯誤；
B選項，|﹣4|≠2，故該選項錯誤；
C選項，﹣4+（﹣2）+0+2+4＝0，故該選項正確；
D選項，﹣2+4＝2＞0，故該選項錯誤；
故選：C．
12．（2分）如圖，直線l，m相交于點O．P為這兩直線外一點，且OP＝2.8．若點P關于直線l，m的對稱點分別是點P1，P2，則P1，P2之間的距離可能是（ ）
A．0B．5C．6D．7
【解答】解：連接OP1，OP2，P1P2，
∵點P關于直線l，m的對稱點分別是點P1，P2，
∴OP1＝OP＝2.8，OP＝OP2＝2.8，
OP1+OP2＞P1P2，
P1P2＜5.6，
故選：B．
13．（2分）定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．
已知：如圖，∠ACD是△ABC的外角．求證：∠ACD＝∠A+∠B．
下列說法正確的是（ ）
A．證法1還需證明其他形狀的三角形，該定理的證明才完整
B．證法1用嚴謹?shù)耐评碜C明了該定理
C．證法2用特殊到一般法證明了該定理
D．證法2只要測量夠一百個三角形進行驗證，就能證明該定理
【解答】解：∵證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經過嚴謹?shù)耐评碚撟C，得出結論的正確，具有一般性，無需再證明其他形狀的三角形，
∴A的說法不正確，不符合題意；
∵證法1按照定理證明的一般步驟，從已知出發(fā)經過嚴謹?shù)耐评碚撟C，得出結論的正確，
∴B的說法正確，符合題意；
∵定理的證明必須經過嚴謹?shù)耐评碚撟C，不能用特殊情形來說明，
∴C的說法不正確，不符合題意；
∵定理的證明必須經過嚴謹?shù)耐评碚撟C，與測量次解答數(shù)的多少無關，
∴D的說法不正確，不符合題意；
綜上，B的說法正確．
故選：B．
14．（2分）小明調查了本班每位同學最喜歡的顏色，并繪制了不完整的扇形圖1及條形圖2（柱的高度從高到低排列）．條形圖不小心被撕了一塊，圖2中“（ ）”應填的顏色是（ ）
A．藍B．粉C．黃D．紅
【解答】解：根據(jù)題意得：
5÷10%＝50（人），
16÷50%＝32%，
則喜歡紅色的人數(shù)是：50×28%＝14（人），
50﹣16﹣5﹣14＝15（人），
∵柱的高度從高到低排列，
∴圖2中“（ ）”應填的顏色是紅色．
故選：D．
15．（2分）由（﹣）值的正負可以比較A＝與的大小，下列正確的是（ ）
A．當c＝﹣2時，A＝B．當c＝0時，A≠
C．當c＜﹣2時，A＞D．當c＜0時，A＜
【解答】解：A選項，當c＝﹣2時，A＝＝﹣，故該選項不符合題意；
B選項，當c＝0時，A＝，故該選項不符合題意；
C選項，﹣
＝﹣
＝，
∵c＜﹣2，
∴2+c＜0，c＜0，
∴2（2+c）＜0，
∴＞0，
∴A＞，故該選項符合題意；
D選項，當c＜0時，∵2（2+c）的正負無法確定，
∴A與的大小就無法確定，故該選項不符合題意；
故選：C．
16．（2分）如圖，等腰△AOB中，頂角∠AOB＝40°，用尺規(guī)按①到④的步驟操作：
①以O為圓心，OA為半徑畫圓；
②在⊙O上任取一點P（不與點A，B重合），連接AP；
③作AB的垂直平分線與⊙O交于M，N；
④作AP的垂直平分線與⊙O交于E，F(xiàn)．
結論Ⅰ：順次連接M，E，N，F(xiàn)四點必能得到矩形；
結論Ⅱ：⊙O上只有唯一的點P，使得S扇形FOM＝S扇形AOB．
對于結論Ⅰ和Ⅱ，下列判斷正確的是（ ）
A．Ⅰ和Ⅱ都對B．Ⅰ和Ⅱ都不對C．Ⅰ不對Ⅱ對D．Ⅰ對Ⅱ不對
【解答】解：如圖，連接EM，EN，MF．NF．
∵OM＝ON，OE＝OF，
∴四邊形MENF是平行四邊形，
∵EF＝MN，
∴四邊形MENF是矩形，故（Ⅰ）正確，
觀察圖象可知∠MOF≠∠AOB，
∴S扇形FOM≠S扇形AOB，故（Ⅱ）錯誤，
故選：D．
二、填空題（本大題有3個小題，每小題有2個空，每空2分，共12分）
17．（4分）現(xiàn)有甲、乙、丙三種不同的矩形紙片（邊長如圖）．
（1）取甲、乙紙片各1塊，其面積和為 a2+b2 ；
（2）嘉嘉要用這三種紙片緊密拼接成一個大正方形，先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，還需取丙紙片 4 塊．
【解答】解：（1）由圖可知：一塊甲種紙片面積為a2，一塊乙種紙片的面積為b2，一塊丙種紙片面積為ab，
∴取甲、乙紙片各1塊，其面積和為a2+b2，
故答案為：a2+b2；
（2）設取丙種紙片x塊才能用它們拼成一個新的正方形，
∴a2+4b2+xab是一個完全平方式，
∴x為4，
故答案為：4．
18．（4分）如圖是可調躺椅示意圖（數(shù)據(jù)如圖），AE與BD的交點為C，且∠A，∠B，∠E保持不變．為了舒適，需調整∠D的大小，使∠EFD＝110°，則圖中∠D應 減小 （填“增加”或“減少”） 10 度．
【解答】解：延長EF，交CD于點G，如圖：
∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠ECD＝∠ACB＝70°．
∵∠DGF＝∠DCE+∠E，
∴∠DGF＝70°+30°＝100°．
∵∠EFD＝110°，∠EFD＝∠DGF+∠D，
∴∠D＝10°．
而圖中∠D＝20°，
∴∠D應減小10°．
故答案為：減小，10．
19．（4分）用繪圖軟件繪制雙曲線m：y＝與動直線l：y＝a，且交于一點，圖1為a＝8時的視窗情形．
（1）當a＝15時，l與m的交點坐標為 （4，15） ；
（2）視窗的大小不變，但其可視范圍可以變化，且變化前后原點O始終在視窗中心．
例如，為在視窗中看到（1）中的交點，可將圖1中坐標系的單位長度變?yōu)樵瓉淼?，其可視范圍就由?5≤x≤15及﹣10≤y≤10變成了﹣30≤x≤30及﹣20≤y≤20（如圖2）．當a＝﹣1.2和a＝﹣1.5時，l與m的交點分別是點A和B，為能看到m在A和B之間的一整段圖象，需要將圖1中坐標系的單位長度至少變?yōu)樵瓉淼?，則整數(shù)k＝ 4 ．
【解答】解：（1）a＝15時，y＝15，
由得：，
故答案為：（4，15）；
（2）由得，
∴A（﹣50，﹣1.2），
由得，
∴B（﹣40，﹣1.5），
為能看到m在A（﹣50，﹣1.2）和B（﹣40，﹣1.5）之間的一整段圖象，需要將圖1中坐標系的單位長度至少變?yōu)樵瓉淼模?br>∴整數(shù)k＝4．
故答案為：4．
三、解答題（本大題有7個小題，共66分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
20．（8分）某書店新進了一批圖書，甲、乙兩種書的進價分別為4元/本、10元/本．現(xiàn)購進m本甲種書和n本乙種書，共付款Q元．
（1）用含m，n的代數(shù)式表示Q；
（2）若共購進5×104本甲種書及3×103本乙種書，用科學記數(shù)法表示Q的值．
【解答】（1）由題意可得：Q＝4m+10n；
（2）將m＝5×104，n＝3×103代入（1）式得：
Q＝4×5×104+10×3×103＝2.3×105．
21．（9分）已知訓練場球筐中有A、B兩種品牌的乒乓球共101個，設A品牌乒乓球有x個．
（1）淇淇說：“筐里B品牌球是A品牌球的兩倍．”嘉嘉根據(jù)她的說法列出了方程：101﹣x＝2x．請用嘉嘉所列方程分析淇淇的說法是否正確；
（2）據(jù)工作人員透露：B品牌球比A品牌球至少多28個，試通過列不等式的方法說明A品牌球最多有幾個．
【解答】解：（1）嘉嘉所列方程為101﹣x＝2x，
解得：x＝33，
又∵x為整數(shù)，
∴x＝33不合題意，
∴淇淇的說法不正確．
（2）設A品牌乒乓球有x個，則B品牌乒乓球有（101﹣x）個，
依題意得：101﹣x﹣x≥28，
解得：x≤36，
又∵x為整數(shù)，
∴x可取的最大值為36．
答：A品牌球最多有36個．
22．（9分）某博物館展廳的俯視示意圖如圖1所示．嘉淇進入展廳后開始自由參觀，每走到一個十字道口，她自己可能直行，也可能向左轉或向右轉，且這三種可能性均相同．
（1）求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；
（2）補全圖2的樹狀圖，并分析嘉淇經過兩個十字道口后向哪個方向參觀的概率較大．
【解答】解：（1）嘉淇走到十字道口A向北走的概率為；
（2）補全樹狀圖如下：
共有9種等可能的結果，嘉淇經過兩個十字道口后向西參觀的結果有3種，向南參觀的結果有2種，向北參觀的結果有2種，向東參觀的結果有2種，
∴向西參觀的概率為＝，向南參觀的概率＝向北參觀的概率＝向東參觀的概率＝，
∴向西參觀的概率大．
23．（9分）如圖是某機場監(jiān)控屏顯示兩飛機的飛行圖象，1號指揮機（看成點P）始終以3km/min的速度在離地面5km高的上空勻速向右飛行，2號試飛機（看成點Q）一直保持在1號機P的正下方．2號機從原點O處沿45°仰角爬升，到4km高的A處便立刻轉為水平飛行，再過1min到達B處開始沿直線BC降落，要求1min后到達C（10，3）處．
（1）求OA的h關于s的函數(shù)解析式，并直接寫出2號機的爬升速度；
（2）求BC的h關于s的函數(shù)解析式，并預計2號機著陸點的坐標；
（3）通過計算說明兩機距離PQ不超過3km的時長是多少．
[注：（1）及（2）中不必寫s的取值范圍]
【解答】解：（1）∵2號飛機爬升角度為45°，
∴OA上的點的橫縱坐標相同．
∴A（4，4）．
設OA的解析式為：h＝ks，
∴4k＝4．
∴k＝1．
∴OA的解析式為：h＝s．
∵2號試飛機一直保持在1號機的正下方，
∴它們的飛行的時間和飛行的水平距離相同．
∵2號機的爬升到A處時水平方向上移動了4km，爬升高度為4km，
又1號機的飛行速度為3km/min，
∴2號機的爬升速度為：4÷＝3km/min．
（2）設BC的解析式為h＝ms+n，
由題意：B（7，4），
∴，
解得：．
∴BC的解析式為h＝．
令h＝0，則s＝19．
∴預計2號機著陸點的坐標為（19，0）．
（3）∵PQ不超過3km，
∴5﹣h≤3．
∴，
解得：2≤s≤13．
∴兩機距離PQ不超過3km的時長為：（13﹣2）÷3＝min．
24．（9分）如圖，⊙O的半徑為6，將該圓周12等分后得到表盤模型，其中整鐘點為An（n為1～12的整數(shù)），過點A7作⊙O的切線交A1A11延長線于點P．
（1）通過計算比較直徑和劣弧長度哪個更長；
（2）連接A7A11，則A7A11和PA1有什么特殊位置關系？請簡要說明理由；
（3）求切線長PA7的值．
【解答】解：（1）由題意，∠A7OA11＝120°，
∴的長＝＝4π＞12，
∴比直徑長．
（2）結論：PA1⊥A7A11．
理由：連接A1A7．
∵A1A7是⊙O的直徑，
∴∠A7A11A1＝90°，
∴PA1⊥A7A11．
（3）∵PA7是⊙O的切線，
∴PA7⊥A1A7，
∴∠PA7A1＝90°，
∵∠PA1A7＝60°，A1A7＝12，
∴PA7＝A1A7?tan60°＝12．
25．（10分）如圖是某同學正在設計的一動畫示意圖，x軸上依次有A，O，N三個點，且AO＝2，在ON上方有五個臺階T1～T5（各拐角均為90°），每個臺階的高、寬分別是1和1.5，臺階T1到x軸距離OK＝10．從點A處向右上方沿拋物線L：y＝﹣x2+4x+12發(fā)出一個帶光的點P．
（1）求點A的橫坐標，且在圖中補畫出y軸，并直接指出點P會落在哪個臺階上；
（2）當點P落到臺階上后立即彈起，又形成了另一條與L形狀相同的拋物線C，且最大高度為11，求C的解析式，并說明其對稱軸是否與臺階T5有交點；
（3）在x軸上從左到右有兩點D，E，且DE＝1，從點E向上作EB⊥x軸，且BE＝2．在△BDE沿x軸左右平移時，必須保證（2）中沿拋物線C下落的點P能落在邊BD（包括端點）上，則點B橫坐標的最大值比最小值大多少？
[注：（2）中不必寫x的取值范圍]
【解答】解：（1）圖形如圖所示，由題意臺級T4左邊的端點坐標（4.5，7），右邊的端點（6，7），
對于拋物線y＝﹣x2+4x+12，
令y＝0，x2﹣4x﹣12＝0，解得x＝﹣2或6，
∴A（﹣2，0），
∴點A的橫坐標為﹣2，
當x＝4.5時，y＝9.75＞7，
當x＝6時，y＝0＜7，
當y＝7時，7＝﹣x2+4x+12，
解得x＝﹣1或5，
∴拋物線與臺級T4有交點，設交點為R（5，7），
∴點P會落在哪個臺階T4上．
（2）由題意拋物線C：y＝﹣x2+bx+c，經過R（5，7），最高點的縱坐標為11，
∴，
解得或（舍棄），
∴拋物線C的解析式為y＝﹣x2+14x﹣38，
對稱軸x＝7，
∵臺階T5的左邊的端點（6，6），右邊的端點為（7.5，6），
∴拋物線C的對稱軸與臺階T5有交點．
（3）對于拋物線C：y＝﹣x2+14x﹣38，
令y＝0，得到x2﹣14x+38＝0，解得x＝7±，
∴拋物線C交x軸的正半軸于（7+，0），
當y＝2時，2＝﹣x2+14x﹣38，解得x＝4或40，
∴拋物線經過（10，2），
Rt△BDE中，∠DEB＝90°，DE＝1，BE＝2，
∴當點D與（7+，0）重合時，點B的橫坐標的值最大，最大值為8+，
當點B與（10，2）重合時，點B的橫坐標最小，最小值為10，
∴點B橫坐標的最大值比最小值大﹣1．
26．（12分）在一平面內，線段AB＝20，線段BC＝CD＝DA＝10，將這四條線段順次首尾相接．把AB固定，讓AD繞點A從AB開始逆時針旋轉角α（α＞0°）到某一位置時，BC，CD將會跟隨出現(xiàn)到相應的位置．
論證：如圖1，當AD∥BC時，設AB與CD交于點O，求證：AO＝10；
發(fā)現(xiàn)：當旋轉角α＝60°時，∠ADC的度數(shù)可能是多少？
嘗試：取線段CD的中點M，當點M與點B距離最大時，求點M到AB的距離；
拓展：①如圖2，設點D與B的距離為d，若∠BCD的平分線所在直線交AB于點P，直接寫出BP的長（用含d的式子表示）；
②當點C在AB下方，且AD與CD垂直時，直接寫出a的余弦值．
【解答】論證：
證明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠B，∠C＝∠D，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（ASA），
∴AO＝BO，
∵AO+BO＝AB＝20，
∴AO＝10；
發(fā)現(xiàn)：設AB的中點為O，如圖：
當AD從初始位置AO繞A順時針旋轉60°時，BC也從初始位置BC'繞點B順時針旋轉60°，
而BO＝BC'＝10，
∴△BC'O是等邊三角形，
∴BC旋轉到BO的位置，即C以O重合，
∵AO＝AD＝CD＝10，
∴△ADC是等邊三角形，
∴∠ADC＝60°；
嘗試：取線段CD的中點M，當點M與點B距離最大時，D、C、B共線，過D作DQ⊥AB于Q，過M作MN⊥AB于N，如圖：
由已知可得AD＝10，BD＝BC+CD＝20，BM＝CM+BC＝15，
設AQ＝x，則BQ＝20﹣x，
∵AD2﹣AQ2＝DQ2＝BD2﹣BQ2，
∴100﹣x2＝400﹣（20﹣x）2，
解得x＝，
∴AQ＝，
∴DQ＝＝，
∵DQ⊥AB，MN⊥AB，
∴MN∥DQ，
∴＝，即＝，
∴MN＝，
∴點M到AB的距離為；
拓展：
①設直線CP交DB于H，過G作DG⊥AB于G，連接DP，如圖：
∵BC＝DC＝10，CP平分∠BCD，
∴∠BHC＝∠DHC＝90°，BH＝BD＝d，
設BG＝m，則AG＝20﹣m，
∵AD2﹣AG2＝BD2﹣BG2，
∴100﹣（20﹣m）2＝d2﹣m2，
∴m＝，
∴BG＝，
∵∠BHP＝∠BGD＝90°，∠PBH＝∠DBG，
∴△BHP∽△BGD，
∴＝，
∴BP＝＝；
②過B作BG⊥CD于G，如圖：
設AN＝t，則BN＝20﹣t，DN＝＝，
∵∠D＝∠BGN＝90°，∠AND＝∠BNG，
∴△ADN∽△BGN，
∴＝＝，
即＝＝，
∴NG＝，BG＝，
Rt△BCG中，BC＝10，
∴CG＝＝，
∵CD＝10，
∴DN+NG+CG＝10，
即++＝10，
∴t+（20﹣t）+20＝10t，
20+20＝10t，即2＝t﹣2，
兩邊平方，整理得：3t2﹣40t＝﹣4t，
∵t≠0，
∴3t﹣40＝﹣4，
解得t＝（大于20，舍去）或t＝，
∴AN＝，
∴csα＝＝＝．
方法二：過C作CK⊥AB于K，過F作FH⊥AC于H，如圖：
∵AD＝CD＝10，AD⊥DC，
∴AC2＝200，
∵AC2﹣AK2＝BC2﹣BK2，
∴200﹣AK2＝100﹣（20﹣AK）2，
解得AK＝，
∴CK＝＝，
Rt△ACK中，tan∠KAC＝＝，
Rt△AFH中，tan∠KAC＝＝，
設FH＝n，則CH＝FH＝n，AH＝5n，
∵AC＝AH+CH＝10，
∴5n+n＝10，
解得n＝，
∴AF＝＝n＝?＝，
Rt△ADF中，
csα＝＝＝．
證法1：如圖，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形內角和定理），
又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定義），
∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代換）．
∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性質）．
證法2：如圖，
∵∠A＝76°，∠B＝59°，
且∠ACD＝135°（量角器測量所得）
又∵135°＝76°+59°（計算所得）
∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代換）．
證法1：如圖，
∵∠A+∠B+∠ACB＝180°（三角形內角和定理），
又∵∠ACD+∠ACB＝180°（平角定義），
∴∠ACD+∠ACB＝∠A+∠B+∠ACB（等量代換）．
∴∠ACD＝∠A+∠B（等式性質）．
證法2：如圖，
∵∠A＝76°，∠B＝59°，
且∠ACD＝135°（量角器測量所得）
又∵135°＝76°+59°（計算所得）
∴∠ACD＝∠A+∠B（等量代換）．

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