圓周角的定義圓周角和圓心角的關(guān)系同弧或等弧所對(duì)的圓周角
頂點(diǎn)在圓上，兩邊分別與圓還有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角．特征：①角的頂點(diǎn)在圓上；②角的兩邊都與圓相交，這兩個(gè)特征是判定圓周角不 可缺少的條件．
如圖，下列各角是圓周角的是(　　)A．∠AOD　　　　　B. ∠AOCC. ∠BAD D. ∠BOD
可根據(jù)圓周角的定義進(jìn)行判斷，顯然∠AOD，∠AOC，∠BOD均是圓心角，只有∠BAD符合圓周角的兩個(gè)特征．
判斷一個(gè)角是否為圓周角，關(guān)鍵是看這個(gè)角是否具備圓周角的兩個(gè)特征：(1)角的頂點(diǎn)在圓上；(2)角的兩邊都與圓相交，二者缺一不可．
(中考·柳州)下列四個(gè)圖中，∠x為圓周角的是(　　)
如圖，圖中的圓周角共有______個(gè)，其中 所對(duì)的圓周角是________， 所對(duì)的圓周角是________．
1. 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于 該弧所對(duì)的圓心角的一半；相等的圓周角所對(duì)的弧相等． 拓展：在圓中解決相關(guān)問題時(shí)，常常進(jìn)行以下三種轉(zhuǎn)化：(1)利用“同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半”， 實(shí)現(xiàn)圓周角與圓心角之間的轉(zhuǎn)化；(2)利用“同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等”，實(shí)現(xiàn)相等圓周角之間 的轉(zhuǎn)化；(3)利用在“同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等”，實(shí)現(xiàn) 弧相等或線段相等的轉(zhuǎn)化．
2. 易錯(cuò)提示：(1)圓周角與圓心角存在聯(lián)系的前提條件是它們對(duì)著同一條弧或 等弧，若把“同弧或等弧”去掉，而簡單地說成“圓周角等于 圓心角的一半”是錯(cuò)誤的．(2)若將“同弧或等弧”改為“同弦或等弦”，則結(jié)論不成立，因?yàn)? 一條弦所對(duì)的圓周角有兩種可能，一般情況下是不相等的． 如圖所示， ∠1與∠2都對(duì)著弦BD，但∠1≠∠2.(3)“相等的圓周角所對(duì)的弧相等”成立的前提條 件是“在同圓或等圓中”，缺少了此條件，結(jié)論是不成立的．
如圖，A，B，C，D是同一圓上的點(diǎn)，∠1＝68°，∠A＝40°，則∠D＝________．
由圓周角定理可知∠C＝∠A＝40°，由三角形的外角性質(zhì)得∠D＝∠1－∠C＝68°－40°＝28°.
本題應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，利用“同弧所對(duì)的圓周角相等”將已知角和要求的角轉(zhuǎn)化為與同一個(gè)三角形有關(guān)的角，利用三角形的外角性質(zhì)求解．
如圖，在⊙O中，∠AOC＝150°，求∠ABC，∠ADC，∠EBC的度數(shù)，并判斷∠ABC和∠ADC，∠EBC和∠ADC之間的度數(shù)關(guān)系．
解題的關(guān)鍵是分清同弧所對(duì)的圓心角和圓周角，如所對(duì)的圓心角是∠AOC，所對(duì)的圓周角是∠ABC，所對(duì)的圓心角是大于平角的∠α，所對(duì)的圓周角是∠ADC.
∵∠AOC＝150°，∴∠ABC＝ ∠AOC＝75°.∴∠EBC＝180°－∠ABC＝180°－75°＝105°，∵∠α＝360°－∠AOC＝360°－150°＝210°，∴∠ADC＝ ∠α＝105°.∴∠EBC＝∠ADC，即∠EBC與∠ADC相等．又∵∠ABC＋∠ADC＝75°＋105°＝180°，∴∠ABC和∠ADC互補(bǔ)．
(2015·張家界)將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使頂點(diǎn)C在半圓上，點(diǎn)A，B的讀數(shù)分別為100°，150°，則∠ACB＝________．
(2016·紹興)如圖，BD是⊙O的直徑，點(diǎn)A，C在⊙O上， ，∠AOB＝60°，則∠BDC的度數(shù)是(　　)A．60° B．45° C．35° D．30°
(2015·珠海)如圖，在⊙O中，直徑CD垂直于弦AB，若∠C＝25°，則∠BOD的度數(shù)是(　　)A．25° B．30° C．40° D．50°
同弧或等弧所對(duì)的圓周角
〈廣州〉如圖，在⊙O中，∠ACB＝∠BDC＝60°， AC＝2 cm. (1)求∠BAC的度數(shù)； (2)求⊙O的周長．
(1)觀察圖形發(fā)現(xiàn)∠BAC與∠BDC為同弧所對(duì)的圓周角，故∠BAC＝∠BDC＝60°；(2)要求圓的周長，必須先求出半徑，可利用垂徑定理，即連結(jié)OA，作OE⊥AC于點(diǎn)E，構(gòu)造直角三角形求出半徑．
(1)在⊙O中，∠BDC與∠BAC均為 所對(duì)的圓周角， ∴∠BAC＝∠BDC＝60°.(2)∵∠ACB＝60°，∠BAC＝60°， ∴△ABC為等邊三角形． 連結(jié)OA，作OE⊥AC于點(diǎn)E，如圖. ∵OE⊥AC，AC＝2 cm，∴AE＝ cm. 在Rt△AOE中，∠AOE＝∠ABC＝60°，∴∠OAE＝30°， ∴OE＝ OA，又∵OE2＋AE2＝OA2，∴OA＝2 cm， ∴⊙O的周長為2π×2＝4π(cm)．
巧用圓周角定理可以幫助我們找出題目中隱藏的角相等關(guān)系，我們在做題時(shí)要善于觀察圖形，看圖形具備哪些定理的基本圖形的特征，找出相關(guān)的相等線段或角．
(2016·自貢)如圖，在⊙O中，弦AB與CD交于點(diǎn)M，∠A＝45°，∠AMD＝75°，則∠B的度數(shù)是(　　)A．15° B．25°　 C．30°　 D．75°
(2016·達(dá)州)如圖，半徑為3的⊙A經(jīng)過原點(diǎn)O和點(diǎn)C(0，2)，B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則tan∠OBC為(　　)A. B． C. D.
(2015·莆田)如圖，在⊙O中， ，∠AOB＝50°，則∠ADC的度數(shù)是(　　)A．50° B．40° C．30° D．25°
在同圓或等圓中，在圓心角、圓周角、弦、弧這四組量中，如果其中一組量相等，那么其余的三組量也分別相等．注意：其中的“等弦對(duì)等圓周角”，必須是弦的同側(cè)的圓周角．

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初中數(shù)學(xué)華師大版九年級(jí)下冊電子課本 舊教材

3. 圓周角

版本： 華師大版

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