圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性圓心角圓心角、弧、弦之間的關(guān)系
動(dòng)手畫(huà)一圓1）把⊙O沿著某一直徑折疊，兩旁部分互相重合觀察得 出：圓是 對(duì)稱圖形；2）若把⊙O沿著圓心O旋轉(zhuǎn)180°時(shí)，兩旁部分互相重合， 這時(shí)可以發(fā)現(xiàn)圓又是一個(gè) 對(duì)稱圖形。3）若一個(gè)圓沿著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能夠與 原來(lái)圖形互相重合，這是圓的 不變性。
1．圓是一個(gè)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，無(wú)論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少度都 能與自身重合，對(duì)稱中心為圓心．圓是軸對(duì)稱圖形，它的任意一條直徑所在的直線都 是它的對(duì)稱軸．
如圖所示，AB，CD 是⊙ O 的兩條直徑，弦CE ∥ AB，求證：?BC = ?AE .
如圖所示，連結(jié)OE.∵ OE=OC，∴∠ C= ∠ E.∵ CE ∥ AB，∴∠ C= ∠ BOC，∠ E= ∠ AOE.∴∠ BOC= ∠ AOE.∴?BC = ?AE .
由結(jié)論可知，在同圓中，圓的兩條平行弦所夾的弧相等，以后若遇到圓的兩條平行弦，可考慮運(yùn)用它們所夾弧相等證明兩弧所對(duì)的弦、圓心角分別相等.
如圖所示，在⊙O中，將△AOB繞圓心O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)150°，得到△COD，指出圖中相等的量．
題中涉及的量有：弧、角、線段，按圓的旋轉(zhuǎn)不變性這一規(guī)律找相等的量．
相等的弧有： 相等的角有：∠AOB＝∠COD，∠AOC＝∠BOD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D；相等的線段有：AB＝CD，OA＝OB＝OC＝OD.
將一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，具有下列特性： 一是旋轉(zhuǎn)角度、方向相同，二是圖形的形狀、大小保持不變，因此本題圓中變換位置前后對(duì)應(yīng)的弧、角、線段都相等．
下列說(shuō)法中正確的有(　　)(1)圓是軸對(duì)稱圖形；(2)圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形；(3)圓不是中心對(duì)稱圖形；(4)圓是軸對(duì)稱圖形但不是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形．A．1個(gè)　　　B．2個(gè)　　　C．3個(gè)　　　D．4個(gè)
1.問(wèn)題： 如圖1,∠AOB的位置有什么特點(diǎn)？∠AOB所對(duì)弧 是什么？弦是什么？
2.定義：像∠AOB這樣頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角.3.認(rèn)識(shí)：圓心角∠AOB所對(duì)的弧是 、弦是AB， 它們?cè)凇袿中是一一對(duì)應(yīng)的.
下面四個(gè)圖形中的角，是圓心角的是(　　)
如圖，AB為⊙O的弦，∠A＝40°，則 所對(duì)的圓心角等于(　　)A．40° B．80° C．100° D．120°
(2015·武威)如圖，半圓O的直徑AE＝4，點(diǎn)B，C，D均在半圓上，若AB＝BC，CD＝DE，連接OB，OD，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．
圓心角、弧、弦之間的關(guān)系
1．圓心角、弧、弦的關(guān)系定理：(1)在一個(gè)圓中，如果圓心角相等，那么它所對(duì)的弧相等， 所對(duì)的弦相等；(2)在一個(gè)圓中，如果弧相等，那么它所對(duì)的圓心角相等， 所對(duì)的弦相等；(3)在一個(gè)圓中，如果弦相等，那么它所對(duì)的圓心角相等， 圓心角所對(duì)的弧相等．
拓展： 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也相等．要點(diǎn)精析：(1)上述三種關(guān)系成立的前提條件是“在同圓或等圓中”，否則 不成立．(2)由于一條弦(非直徑)對(duì)著兩條弧，“弦相等，所對(duì)的弧相等” 中的“弧相等”指的是“劣弧相等”或“優(yōu)弧相等”．(3)圓心角是頂點(diǎn)在圓心的角，圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧 的度數(shù)；
(4)在圓心角、弧、弦的關(guān)系定理中，圓心角一般指小于 平角的角，因此它所對(duì)的弧是劣?。?.弦與弦心距之間的關(guān)系． 弦心距是指圓心到弦的距離，在同圓或等圓中，“如果 兩條弦的弦心距相等，那么這兩條弦相等．”注意：涉及弦心距的問(wèn)題，應(yīng)用時(shí)要加上垂直的條件．
下列命題中，正確的是(　　)①頂點(diǎn)在圓心的角是圓心角；②相等的圓心角所對(duì)的弧也相等；③在同圓中，兩條弦相等，它們所對(duì)的弧也相等；④在等圓中，圓心角不等，所對(duì)的弦也不等．A．①和②　　　　　　　　　 B．①和③C．①和④ D．①②③④
①根據(jù)圓心角的定義知，頂點(diǎn)在圓心的角是圓心角，故①正確；②缺少條件，必須是在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧才相等，故錯(cuò)誤；③在圓中，一條弦對(duì)著兩條弧，所以同圓中的兩條弦相等，它們所對(duì)的弧不一定相等，故錯(cuò)誤；④根據(jù)弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理，可知在等圓中，若圓心角相等，則所對(duì)的弦相等,若圓心角不等，則所對(duì)的弦也不等，故④正確．故選C.
本題考查了對(duì)弧、弦、圓心角之間的關(guān)系定理及其推論的理解，對(duì)于圓中的一些易混易錯(cuò)定理和推論應(yīng)結(jié)合圖形來(lái)解答．特別要注意兩點(diǎn)：(1)看是否有“在同圓或等圓中”這個(gè)前提條件；(2)弦所對(duì)的弧要看它們是否同為優(yōu)弧或同為劣?。?br/>如圖所示，在⊙ O 中， ?AB = ?CD，則在① AB=CD； ② AC=BD； ③ ∠ AOC= ∠ BOD；④?AC = ?BD中，正確的個(gè)數(shù)是（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解：∵?AB = ?CD，∴ AB=CD，故①正確.∵?AB = ?CD，∴?AC = ?BD .∴ AC=BD，∠ AOC= ∠ BOD，故②③④正確. 故選D.
在同一個(gè)圓中，弧、弦和圓心角中只要有一組量相等，就能推出另兩組量相等. 線段有和差，弧也有和差.
下列說(shuō)法中，正確的是(　　)A．等弦所對(duì)的弧相等B．等弧所對(duì)的弦相等C．圓心角相等，所對(duì)的弦相等D．弦相等，所對(duì)的圓心角相等
在⊙O中，圓心角∠AOB＝2∠COD，則 與 的關(guān)系是(　　)A. ＝2 B. ＞2C. ＜2 D．不能確定
(2016·舟山)把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開(kāi)，圖中的虛線表示折痕，則 的度數(shù)是(　　)??A．120° B．135° C．150° D．165°
如圖，AB是⊙O的直徑，BC，CD，DA是⊙O的弦，若BC＝CD＝DA＝4 cm，則⊙O的周長(zhǎng)為(　　)A．5π cm B．6π cm C．9π cm D．8π cm
1.本節(jié)課應(yīng)掌握（1）圓心角的概念；（2）在同圓或等圓中，弧，弦，圓心角關(guān)系定理.2．在應(yīng)用定理解決問(wèn)題時(shí)注意“在同圓或等圓中， 弧等 弦等 圓心角等”的關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)化。

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初中數(shù)學(xué)華師大版九年級(jí)下冊(cè)電子課本 舊教材

2. 圓的對(duì)稱性

版本： 華師大版

年級(jí)： 九年級(jí)下冊(cè)

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