?2019年四川省自貢市中考數學試卷
一、選擇題[共12個小題，每小題4分，共48分，在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．（4分）﹣2019的倒數是（　?。?br /> A．﹣2019 B．﹣ C． D．2019
2．（4分）近年來，中國高鐵發(fā)展迅速，高鐵技術不斷走出國門，成為展示我國實力的新名片．現在中國高速鐵路營運里程將達到23000公里，將23000用科學記數法表示應為（　?。?br /> A．2.3×104 B．23×103 C．2.3×103 D．0.23×105
3．（4分）下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
4．（4分）在5輪“中國漢字聽寫大賽”選拔賽中，甲、乙兩位同學的平均分都是90分，甲的成績方差是15，乙的成績方差是3，下列說法正確的是（　?。?br /> A．甲的成績比乙的成績穩(wěn)定
B．乙的成績比甲的成績穩(wěn)定
C．甲、乙兩人的成績一樣穩(wěn)定
D．無法確定甲、乙的成績誰更穩(wěn)定
5．（4分）如圖是一個水平放置的全封閉物體，則它的俯視圖是（　?。?br />
A． B．
C． D．
6．（4分）已知三角形的兩邊長分別為1和4，第三邊長為整數，則該三角形的周長為（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．（4分）實數m，n在數軸上對應點的位置如圖所示，則下列判斷正確的是（　?。?br />
A．|m|＜1 B．1﹣m＞1 C．mn＞0 D．m+1＞0
8．（4分）關于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0無實數根，則實數m的取值范圍是（　?。?br /> A．m＜1 B．m≥1 C．m≤1 D．m＞1
9．（4分）一次函數y＝ax+b與反比列函數y＝的圖象如圖所示，則二次函數y＝ax2+bx+c的大致圖象是（　?。?br />
A． B．
C． D．
10．（4分）均勻的向一個容器內注水，在注滿水的過程中，水面的高度h與時間t的函數關系如圖所示，則該容器是下列四個中的（　?。?br />
A． B． C． D．
11．（4分）圖中有兩張型號完全一樣的折疊式飯桌，將正方形桌面邊上的四個弓形面板翻折起來后，就能形成一個圓形桌面（可近似看作正方形的外接圓），正方形桌面與翻折成的圓形桌面的面積之比最接近（　　）

A． B． C． D．
12．（4分）如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（8，0）、（0，8），點C、F分別是直線x＝﹣5和x軸上的動點，CF＝10，點D是線段CF的中點，連接AD交y軸于點E，當△ABE面積取得最小值時，tan∠BAD的值是（　?。?br />
A． B． C． D．
二、填空題（共6個小題，每小題4分，共24分）
13．（4分）如圖，直線AB、CD被直線EF所截，AB∥CD，∠1＝120°，則∠2＝　 ?。?br />
14．（4分）在一次有12人參加的數學測試中，得100分、95分、90分、85分、75分的人數分別是1、3、4、2、2，那么這組數據的眾數是　 　分．
15．（4分）分解因式：2x2﹣2y2＝　 　．
16．（4分）某活動小組購買了4個籃球和5個足球，一共花費了466元，其中籃球的單價比足球的單價多4元，求籃球的單價和足球的單價．設籃球的單價為x元，足球的單價為y元，依題意，可列方程組為　 　．
17．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，CD∥AB，∠ABC的平分線BD交AC于點E，DE＝　 ?。?br />
18．（4分）如圖，在由10個完全相同的正三角形構成的網格圖中，∠α、∠β如圖所示，則cos（α+β）＝　 ?。?br />
三、解答題（共8個題，共78分）
19．（8分）計算：|﹣3|﹣4sin45°++（π﹣3）0
20．（8分）解方程：﹣＝1．
21．（8分）如圖，⊙O中，弦AB與CD相交于點E，AB＝CD，連接AD、BC．
求證：（1）＝；（2）AE＝CE．

22．（8分）某校舉行了自貢市創(chuàng)建全國文明城市知識競賽活動，初一年級全體同學參加了知識競賽．
收集教據：現隨機抽取了初一年級30名同學的“創(chuàng)文知識競賽”成績，分數如下（單位：分）：
90 85 68 92 81 84 95 93 87 89 78 99 89 85 97
88 81 95 86 98 95 93 89 86 84 87 79 85 89 82
整理分析數據：
成績x（單位：分）
頻數（人數）
60≤x＜70
1
70≤x＜80
　 　
80≤x＜90
17
90≤x＜100
　 　

（1）請將圖表中空缺的部分補充完整；
（2）學校決定表彰“創(chuàng)文知識競賽”成績在90分及其以上的同學．根據上面統(tǒng)計結果估計該校初一年級360人中，約有多少人將獲得表彰；
（3）“創(chuàng)文知識競賽”中，受到表彰的小紅同學得到了印有龔扇、剪紙、彩燈、恐龍圖案的四枚紀念章，她從中選取兩枚送給弟弟，則小紅送給弟弟的兩枚紀念章中，恰好有恐龍圖案的概率是　 ?。?br /> 23．（10分）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y1＝kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數y2＝（m≠0）的圖象相交于第一、象限內的A（3，5），B（a，﹣3）兩點，與x軸交于點C．
（1）求該反比例函數和一次函數的解析式；
（2）在y軸上找一點P使PB﹣PC最大，求PB﹣PC的最大值及點P的坐標；
（3）直接寫出當y1＞y2時，x的取值范圍．

24．（10分）閱讀下列材料：小明為了計算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：
設S＝1+2+22+…+22017+22018①
則2S＝2+22+…+22018+22019②
②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1
∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1
請仿照小明的方法解決以下問題：
（1）1+2+22+…+29＝　 　；
（2）3+32+…+310＝　 ??；
（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整數，請寫出計算過程）．
25．（12分）（1）如圖1，E是正方形ABCD邊AB上的一點，連接BD、DE，將∠BDE繞點D逆時針旋轉90°，旋轉后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G．
①線段DB和DG的數量關系是　 　；
②寫出線段BE，BF和DB之間的數量關系．
（2）當四邊形ABCD為菱形，∠ADC＝60°，點E是菱形ABCD邊AB所在直線上的一點，連接BD、DE，將∠BDE繞點D逆時針旋轉120°，旋轉后角的兩邊分別與射線BC交于點F和點G．
①如圖2，點E在線段AB上時，請?zhí)骄烤€段BE、BF和BD之間的數量關系，寫出結論并給出證明；
②如圖3，點E在線段AB的延長線上時，DE交射線BC于點M，若BE＝1，AB＝2，直接寫出線段GM的長度．

26．（14分）如圖，已知直線AB與拋物線C：y＝ax2+2x+c相交于點A（﹣1，0）和點B（2，3）兩點．
（1）求拋物線C函數表達式；
（2）若點M是位于直線AB上方拋物線上的一動點，以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當平行四邊形MANB的面積最大時，求此時平行四邊形MANB的面積S及點M的坐標；
（3）在拋物線C的對稱軸上是否存在定點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y＝的距離？若存在，求出定點F的坐標；若不存在，請說明理由．


2019年四川省自貢市中考數學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題[共12個小題，每小題4分，共48分，在每題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．解：﹣2019的倒數是﹣．
故選：B．
2．解：23000＝2.3×104，
故選：A．
3．解：A、是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
B、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；
D、既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形，故此選項正確．
故選：D．
4．解：∵乙的成績方差＜甲成績的方差，
∴乙的成績比甲的成績穩(wěn)定，
故選：B．
5．解：從上面觀察可得到：．
故選：C．
6．解：設第三邊為x，
根據三角形的三邊關系，得：4﹣1＜x＜4+1，
即3＜x＜5，
∵x為整數，
∴x的值為4．
三角形的周長為1+4+4＝9．
故選：C．
7．解：利用數軸得m＜0＜1＜n，
所以﹣m＞0，1﹣m＞1，mn＜0，m+1＜0．
故選：B．
8．解：根據題意得△＝（﹣2）2﹣4m＜0，
解得m＞1．
故選：D．
9．解：∵一次函數y1＝ax+c圖象過第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴﹣＞0，
∴二次函數y3＝ax2+bx+c開口向下，二次函數y3＝ax2+bx+c對稱軸在y軸右側；
∵反比例函數y2＝的圖象在第一、三象限，
∴c＞0，
∴與y軸交點在x軸上方．
滿足上述條件的函數圖象只有選項A．
故選：A．
10．解：相比較而言，前一個階段，用時較少，高度增加較快，那么下面的物體應較細．由圖可得上面圓柱的底面半徑應大于下面圓柱的底面半徑．
故選：D．
11．解：連接AC，
設正方形的邊長為a，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，
∴AC為圓的直徑，
∴AC＝AB＝a，
則正方形桌面與翻折成的圓形桌面的面積之比為：＝≈，
故選：C．

12．解：如圖，設直線x＝﹣5交x軸于K．由題意KD＝CF＝5，

∴點D的運動軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓，
∴當直線AD與⊙K相切時，△ABE的面積最小，
∵AD是切線，點D是切點，
∴AD⊥KD，
∵AK＝13，DK＝5，
∴AD＝12，
∵tan∠EAO＝＝，
∴＝，
∴OE＝，
∴AE＝＝，
作EH⊥AB于H．
∵S△ABE＝?AB?EH＝S△AOB﹣S△AOE，
∴EH＝，
∴AH＝＝，
∴tan∠BAD＝＝＝，
故選：B．
二、填空題（共6個小題，每小題4分，共24分）
13．解：∵∠1＝120°，
∴∠3＝180°﹣120°＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠3＝60°．
故答案為：60°．

14．解：這組數據的眾數是90分，
故答案為：90．
15．解：2x2﹣2y2＝2（x2﹣y2）＝2（x+y）（x﹣y）．
故答案為：2（x+y）（x﹣y）．
16．解：設籃球的單價為x元，足球的單價為y元，由題意得：
，
故答案為：，
17．解：∵∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CDE，
∵CD∥AB，
∴∠D＝∠ABE，
∴∠D＝∠CBE，
∴CD＝BC＝6，
∴△AEB∽△CED，
∴，
∴CE＝AC＝×8＝3，
BE＝，
DE＝BE＝×＝，
故答案為．
18．解：給圖中各點標上字母，連接DE，如圖所示．
在△ABC中，∠ABC＝120°，BA＝BC，
∴∠α＝30°．
同理，可得出：∠CDE＝∠CED＝30°＝∠α．
又∵∠AEC＝60°，
∴∠AED＝∠AEC+∠CED＝90°．
設等邊三角形的邊長為a，則AE＝2a，DE＝2×sin60°?a＝a，
∴AD＝＝a，
∴cos（α+β）＝＝．
故答案為：．

三、解答題（共8個題，共78分）
19．解：原式＝3﹣4×+2+1＝3﹣2+2+1＝4．
20．解：去分母得：x2﹣2x+2＝x2﹣x，
解得：x＝2，
檢驗：當x＝2時，方程左右兩邊相等，
所以x＝2是原方程的解．
21．證明（1）∵AB＝CD，
∴＝，即+＝+，
∴＝；

（2）∵＝，
∴AD＝BC，
又∵∠ADE＝∠CBE，∠DAE＝∠BCE，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴AE＝CE．
22．解：（1）補全圖表如下：

（2）估計該校初一年級360人中，獲得表彰的人數約為360×＝120（人）；
（3）將印有龔扇、剪紙、彩燈、恐龍圖案分別記為A、B、C、D，
畫樹狀圖如下：

則共有12種等可能的結果數，其中小紅送給弟弟的兩枚紀念章中，恰好有恐龍圖案的結果數為6，
所以小紅送給弟弟的兩枚紀念章中，恰好有恐龍圖案的概率為，
故答案為：．
23．解：（1）把A（3，5）代入y2＝（m≠0），可得m＝3×5＝15，
∴反比例函數的解析式為y2＝；
把點B（a，﹣3）代入，可得a＝﹣5，
∴B（﹣5，﹣3）．
把A（3，5），B（﹣5，﹣3）代入y1＝kx+b，可得，
解得，
∴一次函數的解析式為y1＝x+2；
（2）一次函數的解析式為y1＝x+2，令x＝0，則y＝2，
∴一次函數與y軸的交點為P（0，2），
此時，PB﹣PC＝BC最大，P即為所求，
令y＝0，則x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
∴BC＝＝3．
（3）當y1＞y2時，﹣5＜x＜0或x＞3．

24．解：（1）設S＝1+2+22+…+29①
則2S＝2+22+…+210②
②﹣①得2S﹣S＝S＝210﹣1
∴S＝1+2+22+…+29＝210﹣1；
故答案為：210﹣1
（2）設S＝1+3+32+33+34+…+310 ①，
則3S＝3+32+33+34+35+…+311 ②，
②﹣①得2S＝311﹣1，
所以S＝，
即1+3+32+33+34+…+310＝；
故答案為：；
（3）設S＝1+a+a2+a3+a4+..+an①，
則aS＝a+a2+a3+a4+..+an+an+1②，
②﹣①得：（a﹣1）S＝an+1﹣1，
所以S＝，
即1+a+a2+a3+a4+..+an＝，
25．解：（1）①DB＝DG，理由是：
∵∠DBE繞點B逆時針旋轉90°，如圖1，

由旋轉可知，∠BDE＝∠FDG，∠BDG＝90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠CBD＝45°，
∴∠G＝45°，
∴∠G＝∠CBD＝45°，
∴DB＝DG；
故答案為：DB＝DG；
②BF+BE＝BD，理由如下：
由①知：∠FDG＝∠EDB，∠G＝∠DBE＝45°，BD＝DG，
∴△FDG≌△EDB（ASA），
∴BE＝FG，
∴BF+FG＝BF+BE＝BC+CG，
Rt△DCG中，∵∠G＝∠CDG＝45°，
∴CD＝CG＝CB，
∵DG＝BD＝BC，
即BF+BE＝2BC＝BD；
（2）①如圖2，BF+BE＝BD，
理由如下：在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB＝∠ADC＝×60°＝30°，
由旋轉120°得∠EDF＝∠BDG＝120°，∠EDB＝∠FDG，
在△DBG中，∠G＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠DBG＝∠G＝30°，
∴DB＝DG，
∴△EDB≌△FDG（ASA），
∴BE＝FG，
∴BF+BE＝BF+FG＝BG，
過點D作DM⊥BG于點M，如圖2，

∵BD＝DG，
∴BG＝2BM，
在Rt△BMD中，∠DBM＝30°，
∴BD＝2DM．
設DM＝a，則BD＝2a，
DM＝a，
∴BG＝2a，
∴＝，
∴BG＝BD，
∴BF+BE＝BG＝BD；
②過點A作AN⊥BD于N，過D作DP⊥BG于P，如圖3，

Rt△ABN中，∠ABN＝30°，AB＝2，
∴AN＝1，BN＝，
∴BD＝2BN＝2，
∵DC∥BE，
∴＝，
∵CM+BM＝2，
∴BM＝，
Rt△BDP中，∠DBP＝30°，BD＝2，
∴BP＝3，
由旋轉得：BD＝BF，
∴BF＝2BP＝6，
∴GM＝BG﹣BM＝6+1﹣＝．
26．解：（1）由題意把點（﹣1，0）、（2，3）代入y＝ax2+2x+c，
得，，
解得a＝﹣1，c＝3，
∴此拋物線C函數表達式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）如圖1，過點M作MH⊥x軸于H，交直線AB于K，
將點（﹣1，0）、（2，3）代入y＝kx+b中，
得，，
解得，k＝1，b＝1，
∴yAB＝x+1，
設點M（a，﹣a2+2a+3），則K（a，a+1），
則MK＝﹣a2+2a+3﹣（a+1）
＝﹣（a﹣）2+，
根據二次函數的性質可知，當a＝時，MK有最大長度，
∴S△AMB最大＝S△AMK+S△BMK
＝MK?AH+MK?（xB﹣xH）
＝MK?（xB﹣xA）
＝××3
＝，
∴以MA、MB為相鄰的兩邊作平行四邊形MANB，當平行四邊形MANB的面積最大時，
S最大＝2S△AMB最大＝2×＝，M（，）；

（3）y＝﹣x2+2x+3
＝﹣（x﹣1）2+4，
∴對稱軸為直線x＝1，
當y＝0時，x1＝﹣1，x2＝3，
∴拋物線與點x軸正半軸交于點C（3，0），
如圖2，分別過點B，C作直線y＝的垂線，垂足為N，H，
設拋物線對稱軸上存在點F，使拋物線C上任意一點P到點F的距離等于到直線y＝的距離，其中F（1，a），連接BF，CF，
則BF＝BN＝﹣3＝，CF＝CH＝，
由題意可列：，
解得，a＝，
∴F（1，）．


聲明：試題解析著作權屬菁優(yōu)網所有，未經書面同意，不得復制發(fā)布
日期：2019/6/21 10:47:05；用戶：15708455779；郵箱：15708455779；學號：24405846

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