?2019年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個，均記零分）
1．（4分）在實數(shù)|﹣3.14|，﹣3，﹣，π中，最小的數(shù)是（　?。?br /> A．﹣ B．﹣3 C．|﹣3.14| D．π
2．（4分）下列運算正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)6÷a3＝a3 B．a(chǎn)4?a2＝a8 C．（2a2）3＝6a6 D．a(chǎn)2+a2＝a4
3．（4分）2018年12月8日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射“嫦娥四號”探測器，“嫦娥四號”進入近地點約200公里、遠地點約42萬公里的地月轉(zhuǎn)移軌道，將數(shù)據(jù)42萬公里用科學(xué)記數(shù)法表示為（　　）
A．4.2×109米 B．4.2×108米 C．42×107米 D．4.2×107米
4．（4分）下列圖形：

是軸對稱圖形且有兩條對稱軸的是（　?。?br /> A．①② B．②③ C．②④ D．③④
5．（4分）如圖，直線11∥12，∠1＝30°，則∠2+∠3＝（　?。?br />
A．150° B．180° C．210° D．240°
6．（4分）某射擊運動員在訓(xùn)練中射擊了10次，成績?nèi)鐖D所示：

下列結(jié)論不正確的是（　?。?br /> A．眾數(shù)是8 B．中位數(shù)是8
C．平均數(shù)是8.2 D．方差是1.2
7．（4分）不等式組的解集是（　?。?br /> A．x≤2 B．x≥﹣2 C．﹣2＜x≤2 D．﹣2≤x＜2
8．（4分）如圖，一艘船由A港沿北偏東65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏東20°方向，則A，C兩港之間的距離為（　?。﹌m．

A．30+30 B．30+10 C．10+30 D．30
9．（4分）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠A＝119°，過點C的圓的切線交BO于點P，則∠P的度數(shù)為（　?。?br />
A．32° B．31° C．29° D．61°
10．（4分）一個盒子中裝有標號為1，2，3，4，5的五個小球，這些球除標號外都相同，從中隨機摸出兩個小球，則摸出的小球標號之和大于5的概率為（　?。?br /> A． B． C． D．
11．（4分）如圖，將⊙O沿弦AB折疊，恰好經(jīng)過圓心O，若⊙O的半徑為3，則的長為（　?。?br />
A．π B．π C．2π D．3π
12．（4分）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點，F(xiàn)為EC上一動點，P為DF中點，連接PB，則PB的最小值是（　?。?br />
A．2 B．4 C． D．
二、填空題（本大題共6小題，滿分24分，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得4分）
13．（4分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+3＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是　 ?。?br /> 14．（4分）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，書中有一個問題：“今有黃金九枚，白銀一十一枚，稱之重適等，交易其一，金輕十三兩，問金、銀一枚各重幾何？”意思是：甲袋中裝有黃金9枚（每枚黃金重量相同），乙袋中裝有白銀11枚（每枚白銀重量相同），稱重兩袋相等，兩袋互相交換1枚后，甲袋比乙袋輕了13兩（袋子重量忽略不計），問黃金、白銀每枚各重多少兩？設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，根據(jù)題意可列方程組為　 ?。?br /> 15．（4分）如圖，∠AOB＝90°，∠B＝30°，以點O為圓心，OA為半徑作弧交AB于點A、點C，交OB于點D，若OA＝3，則陰影都分的面積為　 ?。?br />
16．（4分）若二次函數(shù)y＝x2+bx﹣5的對稱軸為直線x＝2，則關(guān)于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解為　 　．
17．（4分）在平面直角坐標系中，直線l：y＝x+1與y軸交于點A1，如圖所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，點A1，A2，A3，A4，……在直線l上，點C1，C2，C3，C4，……在x軸正半軸上，則前n個正方形對角線長的和是　 ?。?br /> 18．（4分）如圖，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E為AD中點，F(xiàn)為AB上一點，將△AEF沿EF折疊后，點A恰好落到CF上的點G處，則折痕EF的長是　 ?。?br />
三、解答題（本大題共7小題，滿分78分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）
19．（8分）先化簡，再求值：（a﹣9+）÷（a﹣1﹣），其中a＝．
20．（8分）為弘揚泰山文化，某校舉辦了“泰山詩文大賽”活動，從中隨機抽取部分學(xué)生的比賽成績，根據(jù)成績（成績都高于50分），繪制了如下的統(tǒng)計圖表（不完整）：
組別
分數(shù)
人數(shù)
第1組
90＜x≤100
8
第2組
80＜x≤90
a
第3組
70＜x≤80
10
第4組
60＜x≤70
b
第5組
50＜x≤60
3
請根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）求出a，b的值；
（2）計算扇形統(tǒng)計圖中“第5組”所在扇形圓心角的度數(shù)；
（3）若該校共有1800名學(xué)生，那么成績高于80分的共有多少人？

21．（11分）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象與反比例函數(shù)y＝的圖象交于點A，與x軸交于點B（5，0），若OB＝AB，且S△OAB＝．
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達式；
（2）若點P為x軸上一點，△ABP是等腰三角形，求點P的坐標．

22．（11分）端午節(jié)是我國的傳統(tǒng)節(jié)日，人們素有吃粽子的習(xí)俗．某商場在端午節(jié)來臨之際用3000元購進A、B兩種粽子1100個，購買A種粽子與購買B種粽子的費用相同．已知A種粽子的單價是B種粽子單價的1.2倍．
（1）求A、B兩種粽子的單價各是多少？
（2）若計劃用不超過7000元的資金再次購進A、B兩種粽子共2600個，已知A、B兩種粽子的進價不變．求A種粽子最多能購進多少個？
23．（13分）在矩形ABCD中，AE⊥BD于點E，點P是邊AD上一點．
（1）若BP平分∠ABD，交AE于點G，PF⊥BD于點F，如圖①，證明四邊形AGFP是菱形；
（2）若PE⊥EC，如圖②，求證：AE?AB＝DE?AP；
（3）在（2）的條件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的長．

24．（13分）若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸、y軸分別交于點A（3，0）、B（0，﹣2），且過點C（2，﹣2）．
（1）求二次函數(shù)表達式；
（2）若點P為拋物線上第一象限內(nèi)的點，且S△PBA＝4，求點P的坐標；
（3）在拋物線上（AB下方）是否存在點M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出點M到y(tǒng)軸的距離；若不存在，請說明理由．

25．（14分）如圖，四邊形ABCD是正方形，△EFC是等腰直角三角形，點E在AB上，且∠CEF＝90°，F(xiàn)G⊥AD，垂足為點C．
（1）試判斷AG與FG是否相等？并給出證明；
（2）若點H為CF的中點，GH與DH垂直嗎？若垂直，給出證明；若不垂直，說明理由．


2019年山東省泰安市中考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共12小題，在每小題給出的四個選項中，只有一個是正確的，請把正確的選項選出來，每小題選對得4分，選錯、不選或選出的答案超過一個，均記零分）
1．解：
∵||＝＜|﹣3|＝3
∴﹣＜（﹣3）
C、D項為正數(shù)，A、B項為負數(shù)，
正數(shù)大于負數(shù)，
故選：B．
2．解：A、a6÷a3＝a3，故此選項正確；
B、a4?a2＝a6，故此選項錯誤；
C、（2a2）3＝8a6，故此選項錯誤；
D、a2+a2＝2a2，故此選項錯誤；
故選：A．
3．解：42萬公里＝420000000m用科學(xué)記數(shù)法表示為：4.2×108米，
故選：B．
4．解：①是軸對稱圖形且有兩條對稱軸，故本選項正確；
②是軸對稱圖形且有兩條對稱軸，故本選項正確；
③是軸對稱圖形且有4條對稱軸，故本選項錯誤；
④不是軸對稱圖形，故本選項錯誤．
故選：A．
5．解：過點E作EF∥11，
∵11∥12，EF∥11，
∴EF∥11∥12，
∴∠1＝∠AEF＝30°，∠FEC+∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝30°+180°＝210°，
故選：C．
6．解：由圖可得，數(shù)據(jù)8出現(xiàn)3次，次數(shù)最多，所以眾數(shù)為8，故A選項正確；
10次成績排序后為：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位數(shù)是（8+8）＝8，故B選項正確；
平均數(shù)為（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，故C選項正確；
方差為[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，故D選項錯誤；
故選：D．
7．解：，
由①得，x≥﹣2，
由②得，x＜2，
所以不等式組的解集是﹣2≤x＜2．
故選：D．
8．解：根據(jù)題意得，∠CAB＝65°﹣20°，∠ACB＝40°+20°＝60°，AB＝30，
過B作BE⊥AC于E，
∴∠AEB＝∠CEB＝90°，
在Rt△ABE中，∵∠ABE＝45°，AB＝30，
∴AE＝BE＝AB＝30km，
在Rt△CBE中，∵∠ACB＝60°，
∴CE＝BE＝10km，
∴AC＝AE+CE＝30+10，
∴A，C兩港之間的距離為（30+10）km，
故選：B．

9．解：如圖所示：連接OC、CD，
∵PC是⊙O的切線，
∴PC⊥OC，
∴∠OCP＝90°，
∵∠A＝119°，
∴∠ODC＝180°﹣∠A＝61°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝61°，
∴∠DOC＝180°﹣2×61°＝58°，
∴∠P＝90°﹣∠DOC＝32°；
故選：A．

10．解：畫樹狀圖如圖所示：
∵共有25種等可能的結(jié)果，兩次摸出的小球的標號之和大于5的有15種結(jié)果，
∴兩次摸出的小球的標號之和大于5的概率為＝；
故選：C．

11．解：連接OA、OB，作OC⊥AB于C，
由題意得，OC＝OA，
∴∠OAC＝30°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAC＝30°，
∴∠AOB＝120°，
∴的長＝＝2π，
故選：C．

12．解：如圖：

當點F與點C重合時，點P在P1處，CP1＝DP1，
當點F與點E重合時，點P在P2處，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE
當點F在EC上除點C、E的位置處時，有DP＝FP
由中位線定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF
∴點P的運動軌跡是線段P1P2，
∴當BP⊥P1P2時，PB取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E為AB的中點，
∴△CBE、△ADE、△BCP1為等腰直角三角形，CP1＝2
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°
∴∠DP2P1＝90°
∴∠DP1P2＝45°
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值為BP1的長
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2
故選：D．
二、填空題（本大題共6小題，滿分24分，只要求填寫最后結(jié)果，每小題填對得4分）
13．解：∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴△＝（2k﹣1）2﹣4（k2+3）＝﹣4k+1﹣12＞0，
解得k；
故答案為：k．
14．解：設(shè)每枚黃金重x兩，每枚白銀重y兩，由題意得：
，
故答案為：．
15．解：連接OC，作CH⊥OB于H，
∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，
∴∠OAB＝60°，AB＝2OA＝6，
由勾股定理得，OB＝＝3，
∵OA＝OC，∠OAB＝60°，
∴△AOC為等邊三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠COB＝30°，
∴CO＝CB，CH＝OC＝，
∴陰影都分的面積＝﹣×3×3×+×3×﹣＝π，
故答案為：π．

16．解：∵二次函數(shù)y＝x2+bx﹣5的對稱軸為直線x＝2，
∴，
得b＝﹣4，
則x2+bx﹣5＝2x﹣13可化為：x2﹣4x﹣5＝2x﹣13，
解得，x1＝2，x2＝4．
故意答案為：x1＝2，x2＝4．
17．解：由題意可得，
點A1的坐標為（0，1），點A2的坐標為（1，2），點A3的坐標為（3，4），點A4的坐標為（7，8），……，
∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……，
∴前n個正方形對角線長的和是：（OA1+C1A2+C2A3+C3A4+…+Cn﹣1An）＝（1+2+4+8+…+2n﹣1），
設(shè)S＝1+2+4+8+…+2n﹣1，則2S＝2+4+8+…+2n﹣1+2n，
則2S﹣S＝2n﹣1，
∴S＝2n﹣1，
∴1+2+4+8+…+2n﹣1＝2n﹣1，
∴前n個正方形對角線長的和是：×（2n﹣1），
故答案為：（2n﹣1），
18．解：如圖，連接EC，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，
∵E為AD中點，
∴AE＝DE＝AD＝6
由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，
∴GE＝DE，
∴EC平分∠DCG，
∴∠DCE＝∠GCE，
∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，
∴∠GEC＝∠DEC，
∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，
∴∠FEC＝∠D＝90°，
又∵∠DCE＝∠GCE，
∴△FEC∽△EDC，
∴，
∵EC＝＝＝3，
∴，
∴FE＝2，
故答案為：2．

三、解答題（本大題共7小題，滿分78分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）
19．解：原式＝（+）÷（﹣）
＝÷
＝?
＝，
當a＝時，
原式＝＝1﹣2．
20．解：（1）抽取學(xué)生人數(shù)10÷25%＝40（人），
第2組人數(shù) 40×50%﹣8＝12（人），
第4組人數(shù) 40×50%﹣10﹣3＝7（人），
∴a＝12，b＝7；
（2）＝27°，
∴“第5組”所在扇形圓心角的度數(shù)為27°；
（3）成績高于80分：1800×50%＝900（人），
∴成績高于80分的共有900人．
21．解：（1）如圖1，過點A作AD⊥x軸于D，
∵B（5，0），
∴OB＝5，
∵S△OAB＝，
∴×5×AD＝，
∴AD＝3，
∵OB＝AB，
∴AB＝5，
在Rt△ADB中，BD＝＝4，
∴OD＝OB+BD＝9，
∴A（9，3），
將點A坐標代入反比例函數(shù)y＝中得，m＝9×3＝27，
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝，
將點A（9，3），B（5，0）代入直線y＝kx+b中，，
∴，
∴直線AB的解析式為y＝x﹣；

（2）由（1）知，AB＝5，
∵△ABP是等腰三角形，
∴①當AB＝PB時，
∴PB＝5，
∴P（0，0）或（10，0），
②當AB＝AP時，如圖2，
由（1）知，BD＝4，
易知，點P與點B關(guān)于AD對稱，
∴DP＝BD＝4，
∴OP＝5+4+4＝13，∴P（13，0），
③當PB＝AP時，設(shè)P（a，0），
∵A（9，3），B（5，0），
∴AP2＝（9﹣a）2+9，BP2＝（5﹣a）2，
∴（9﹣a）2+9＝（5﹣a）2
∴a＝，
∴P（，0），
即：滿足條件的點P的坐標為（0，0）或（10，0）或（13，0）或（，0）．


22．解：（1）設(shè)B種粽子單價為x元/個，則A種粽子單價為1.2x元/個，
根據(jù)題意，得：+＝1100，
解得：x＝2.5，
經(jīng)檢驗，x＝2.5是原方程的解，且符合題意，
∴1.2x＝3．
答：A種粽子單價為3元/個，B種粽子單價為2.5元/個．
（2）設(shè)購進A種粽子m個，則購進B種粽子（2600﹣m）個，
依題意，得：3m+2.5（2600﹣m）≤7000，
解得：m≤1000．
答：A種粽子最多能購進1000個．
23．（1）證明：如圖①中，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADE，
∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，
∴∠AGP＝∠APG，
∴AP＝AG，
∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，
∴PA＝PF，
∴PF＝AG，
∵AE⊥BD，PF⊥BD，
∴PF∥AG，
∴四邊形AGFP是平行四邊形，
∵PA＝PF，
∴四邊形AGFP是菱形．

（2）證明：如圖②中，

∵AE⊥BD，PE⊥EC，
∴∠AED＝∠PEC＝90°，
∴∠AEP＝∠DEC，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠EAP＝∠EDC，
∴△AEP∽△DEC，
∴＝，
∵AB＝CD，
∴AE?AB＝DE?AP；

（3）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝，
∵AE⊥BD，
∴S△ABD＝?BD?AE＝?AB?AD，
∴AE＝，
∴DE＝＝，
∵AE?AB＝DE?AP；
∴AP＝＝．
24．解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（3，0）、B（0，﹣2）、C（2，﹣2）
∴ 解得：
∴二次函數(shù)表達式為y＝x2﹣x﹣2

（2）如圖1，設(shè)直線BP交x軸于點C，過點P作PD⊥x軸于點D
設(shè)P（t，t2﹣t﹣2）（t＞3）
∴OD＝t，PD＝t2﹣t﹣2
設(shè)直線BP解析式為y＝kx﹣2
把點P代入得：kt﹣2＝t2﹣t﹣2
∴k＝t﹣
∴直線BP：y＝（t﹣）x﹣2
當y＝0時，（t﹣）x﹣2＝0，解得：x＝
∴C（，0）
∵t＞3
∴t﹣2＞1
∴，即點C一定在點A左側(cè)
∴AC＝3﹣
∵S△PBA＝S△ABC+S△ACP＝AC?OB+AC?PD＝AC（OB+PD）＝4
∴＝4
解得：t1＝4，t2＝﹣1（舍去）
∴t2﹣t﹣2＝
∴點P的坐標為（4，）

（3）在拋物線上（AB下方）存在點M，使∠ABO＝∠ABM．
如圖2，作點O關(guān)于直線AB的對稱點E，連接OE交AB于點G，連接BE交拋物線于點M，過點E作EF⊥y軸于點F
∴AB垂直平分OE
∴BE＝OB，OG＝GE
∴∠ABO＝∠ABM
∵A（3，0）、B（0，﹣2），∠AOB＝90°
∴OA＝3，OB＝2，AB＝
∴sin∠OAB＝，cos∠OAB＝
∵S△AOB＝OA?OB＝AB?OG
∴OG＝
∴OE＝2OG＝
∵∠OAB+∠AOG＝∠AOG+∠BOG＝90°
∴∠OAB＝∠BOG
∴Rt△OEF中，sin∠BOG＝，cos∠BOG＝
∴EF＝OE＝，OF＝OE＝
∴E（，﹣）
設(shè)直線BE解析式為y＝ex﹣2
把點E代入得：e﹣2＝﹣，解得：e＝﹣
∴直線BE：y＝﹣x﹣2
當﹣x﹣2＝x2﹣x﹣2，解得：x1＝0（舍去），x2＝
∴點M橫坐標為，即點M到y(tǒng)軸的距離為．


25．解：（1）AG＝FG，
理由如下：如圖，過點F作FM⊥AB交BA的延長線于點M

∵四邊形ABCD是正方形
∴AB＝BC，∠B＝90°＝∠BAD
∵FM⊥AB，∠MAD＝90°，F(xiàn)G⊥AD
∴四邊形AGFM是矩形
∴AG＝MF，AM＝FG，
∵∠CEF＝90°，
∴∠FEM+∠BEC＝90°，∠BEC+∠BCE＝90°
∴∠FEM＝∠BCE，且∠M＝∠B＝90°，EF＝EC
∴△EFM≌△CEB（AAS）
∴BE＝MF，ME＝BC
∴ME＝AB＝BC
∴BE＝MA＝MF
∴AG＝FG，
（2）DH⊥HG
理由如下：如圖，延長GH交CD于點N，

∵FG⊥AD，CD⊥AD
∴FG∥CD
∴，且CH＝FH，
∴GH＝HN，NC＝FG
∴AG＝FG＝NC
又∵AD＝CD，
∴GD＝DN，且GH＝HN
∴DH⊥GH
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日期：2019/6/24 9:40:38；用戶：15708455779；郵箱：15708455779；學(xué)號：24405846

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