1.對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)(1)性質(zhì)：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①積的對(duì)數(shù)：lga(MN)=___________；②商的對(duì)數(shù)：lga =___________；③冪的對(duì)數(shù)：lgaMn=______.
(2)本質(zhì)：正用是將積、商、冪的對(duì)數(shù)進(jìn)行拆分計(jì)算；逆用是將同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差分別合并成積、商計(jì)算，數(shù)與對(duì)數(shù)的乘積轉(zhuǎn)化成冪的對(duì)數(shù)計(jì)算.(3)應(yīng)用：廣泛用于對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)求值中，解決對(duì)數(shù)式的計(jì)算問題.
【思考】你能用文字語(yǔ)言敘述對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)嗎？提示：積的對(duì)數(shù)等于積的各個(gè)因式的對(duì)數(shù)的和；商的對(duì)數(shù)等于分子的對(duì)數(shù)減去分母的對(duì)數(shù)；冪的對(duì)數(shù)等于冪指數(shù)乘以底數(shù)的對(duì)數(shù).
2.換底公式(1)公式：lgab=_______(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1).(2)本質(zhì)：將對(duì)數(shù)的底數(shù)換成任意大于零，且不等于1的實(shí)數(shù).(3)應(yīng)用：將底數(shù)換成10或e，即將任意對(duì)數(shù)運(yùn)算統(tǒng)一為常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)進(jìn)行計(jì)算.
【思考】(1)對(duì)數(shù)的換底公式用常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)表示是什么形式？(2)你能用換底公式證明結(jié)論 lgNM嗎？提示：(1)lgab= ，lgab= .(2) lgNM.
【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)lg(xy)=lg x·lg y.(　　)(2)lg3 .(　　)(3) =lg216.(　　)提示：(1)×.lg(xy)=lg x+lg y.(2)×.lg3 =lg327-lg39.(3)√.逆用換底公式可得.
2.若lg a-2lg 2=1，則a=(　　)A.4B.10C.20D.40【解析】選D.lg a-2lg 2=lg a-lg 4=lg =1，所以 =10，所以a=40.
3.(教材二次開發(fā)：復(fù)習(xí)鞏固改編)若ln x=2ln a- ln b，則x=_______.?【解析】因?yàn)閘n x=2ln a- ln b=ln a2 ，所以x=a2 .答案：a2
類型一　對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【題組訓(xùn)練】1.(2020·溫州高一檢測(cè))lg =(　　)A.-4B.4C.10D.-102.若a=lgm x，b=lgm y，c=lgm z，則用a，b，c表示lgm =_______.?3.lg22+lg 2·lg 5+lg 5=_______.?
【解析】1.選A.lg =lg 10-4=-4.2.原式=lgm(xy2 )=lgm x+lgm y2+lgm =lgm x+2lgm y- lgm z=a+2b- c.答案：a+2b- c3.lg22+lg 2·lg 5+lg 5=lg 2·(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2+lg 5=1.答案：1
【解題策略】利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值(1)“收”：將同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)的和(差)合并為積(商)的對(duì)數(shù)，即公式逆用；(2)“拆”：將積(商)的對(duì)數(shù)拆成同底的兩個(gè)對(duì)數(shù)的和(差)，即公式的正用；(3)“湊”：將同底數(shù)的對(duì)數(shù)湊成特殊值，如利用lg 2+lg 5=1，進(jìn)行計(jì)算或化簡(jiǎn).
【補(bǔ)償訓(xùn)練】若lg x-lg y=a，則 =(　　)A.3aB.a3C. D. 【解析】選A.lg x-lg y=lg =a， =3a.
類型二　對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】1.(2020·淮安高一檢測(cè))設(shè)a=lg 2，b=lg 3，則lg26=(　　)A.ab2B.a2bC. D. 2.設(shè)lg34·lg48·lg8m=lg416，則m的值是(　　)A. B.9C.18D.27
3.(2020·瀘州高一檢測(cè))實(shí)數(shù)a，b滿足2a=5b=10，則下列關(guān)系正確的是(　　)【思路導(dǎo)引】1.利用換底公式將lg26換成常用對(duì)數(shù)后用a，b表示；2.換成常用對(duì)數(shù)約分求m值；3.利用指對(duì)互化表示出a，b后驗(yàn)證等式是否成立.
【解析】1.選C.因?yàn)閍=lg 2，b=lg 3，所以lg26= 2.選B.因?yàn)閘g34·lg48·lg8m 所以lg m= ·lg 3=lg 32，解得m=9.
3.選B.因?yàn)?a=5b=10，所以a=lg2 10，b=lg5 10，所以 =lg 2， =lg 5，所以 =lg 2+lg 5=lg (2×5)=1.
【解題策略】利用換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)和求值(1)一般換底為常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)求值；(2)如果出現(xiàn)多個(gè)指數(shù)式相等的式子，則先化為對(duì)數(shù)式，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；(3)注意一些常見結(jié)論的應(yīng)用，如對(duì)數(shù)的倒數(shù)公式 =lgba.
【跟蹤訓(xùn)練】1.設(shè)lg 2=a，lg 3=b，則lg125=(　　)
【解析】選A.因?yàn)閘g 2=a，lg 3=b，則lg125=
2.若實(shí)數(shù)a，b，c滿足2a=1 009b=2 018c=2 020，則下列式子正確的是(　　) 【解析】選B.由已知，得2a=1 009b=2 018c=2 020，得a=lg22 020，b=lg1 0092 020，c=lg2 0182 020，所以 =lg2 0202， =lg2 0201 009， =lg2 0202 018，而2×1 009=2 018，所以
【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知2x=5y=t， =2，則t=(　　) 【解析】選C.因?yàn)?x=5y=t>0，t≠1，所以 代入 =2，所以 =2，所以ln 10=ln t2，所以t2=10，則t= .
類型三　實(shí)際問題中的對(duì)數(shù)運(yùn)算(數(shù)學(xué)運(yùn)算)【典例】(2020·海淀高一檢測(cè))2018年9月24日，阿貝爾獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng)雙料得主、英國(guó)著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞爵士宣布自己證明了黎曼猜想，這一事件引起了數(shù)學(xué)屆的震動(dòng).在1859年的時(shí)候，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文并提出了一個(gè)命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個(gè)問題，并得到小于數(shù)字x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)大約可以表示為π(x)≈ 的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計(jì)1 000以內(nèi)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)為(　　)(素?cái)?shù)即質(zhì)數(shù)，lg e≈0.434 29，計(jì)算結(jié)果取整數(shù))A.768B.144C.767D.145
【思路導(dǎo)引】根據(jù)素?cái)?shù)計(jì)算公式，利用換底公式計(jì)算.【解析】選D.由題意可知：π(1 000)≈ = lg e≈ ×0.434 29≈145.所以根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計(jì)1 000以內(nèi)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)為145.
【解題策略】關(guān)于對(duì)數(shù)運(yùn)算在實(shí)際問題中的應(yīng)用(1)在與對(duì)數(shù)相關(guān)的實(shí)際問題中，先將題目中數(shù)量關(guān)系理清，再將相關(guān)數(shù)據(jù)代入，最后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、換底公式進(jìn)行計(jì)算.(2)在與指數(shù)相關(guān)的實(shí)際問題中，可將指數(shù)式利用取對(duì)數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)運(yùn)算，從而簡(jiǎn)化復(fù)雜的指數(shù)運(yùn)算.
【跟蹤訓(xùn)練】根據(jù)有關(guān)資料，汽車二級(jí)自動(dòng)駕駛儀能夠處理空間復(fù)雜度的上限M約為1010，目前人類可預(yù)測(cè)的地面危機(jī)總數(shù)N約為36×230.則下列各數(shù)中與 最接近的是(　　)(參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)
【解析】選B.汽車二級(jí)自動(dòng)駕駛儀能夠處理空間復(fù)雜度的上限M約為1010，目前人類可預(yù)測(cè)的地面危機(jī)總數(shù)N約為36×230.所以 ，兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得lg =lg 1010-lg 36-lg 230≈10-6×0.48-30×0.30=-1.88.所以 =10-1.88≈ .
1.2lg510+lg50.25=(　　)A.0B.1C.2D.4【解析】選C.原式=lg5102+lg50.25=lg5(100×0.25)=lg525=2.
2.已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足lg2a=lg3b=lg6c，則(　　)A.a=bcB.b2=acC.c=abD.c2=ab【解析】選C.設(shè)lg2a=lg3b=lg6c=k，則a=2k，b=3k，c=6k，所以c=ab.
【誤區(qū)警示】本題容易忽視設(shè)出lg2a=lg3b=lg6c=k，導(dǎo)致無(wú)法表示出a，b，c.3.(教材二次開發(fā)：綜合運(yùn)用改編)已知xlg32=1，則2x+2-x的值是(　　)A.1B.3C. D. 【解析】選D.因?yàn)閤lg32=1，所以x=lg23，所以2x+2-x=
4.lg23·lg35·lg516=_______.?【解析】原式= 答案：4
5. =_______.?【解析】 答案：1

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