第三章函數(shù)專練14—函數(shù)與方程一．單選題1．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為　　A． B． C． D．2．已知函數(shù)有且僅有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)　　A． B． C． D．3．已知函數(shù)只有一個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)　　A． B．1 C．0 D．4．已知函數(shù)，則實(shí)數(shù)根的個數(shù)為　　A．2 B．3 C．4 D．55．已知函數(shù)，若函數(shù)有四個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　A． B． C． D．6．已知函數(shù)．若關(guān)于的方程恰有兩個不同的實(shí)根，則的取值范圍是　　A． B．， C． D．，7．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有四個不同的零點(diǎn)，則的取值范圍為　　A． B．， C．， D．8．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　　A． B．， C． D．二．多選題9．設(shè)函數(shù)，則　　A．的圖象關(guān)于直線對稱 B．在上單調(diào)遞減 C．若且（a）（b）時， D．關(guān)于的方程恒有4個不同的實(shí)根10．定義域和值域均為，的函數(shù)和的圖象如圖所示，其中，下列四個結(jié)論中正確有　　A．方程有且僅有三個解 B．方程有且僅有三個解 C．方程有且僅有八個解 D．方程有且僅有一個解11．函數(shù)滿足以下條件：①的定義域是，且其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線；②是偶函數(shù)；③在上不是單調(diào)函數(shù)；④恰有2個零點(diǎn)．則函數(shù)的解析式可以是　　A． B． C． D．12．若函數(shù)，，則　　A．當(dāng)時，有兩個零點(diǎn) B．當(dāng)時，有三個零點(diǎn) C．當(dāng)時，有一個零點(diǎn) D．當(dāng)時，有四個零點(diǎn)三．填空題13．函數(shù)零點(diǎn)的一個近似值為　　．（誤差不大于備注：自然對數(shù)的底數(shù)．14．已知函數(shù)，若存在三個互不相同的實(shí)數(shù)，，，滿足（a）（b）（c），則的取值范圍是　　．15．已知函數(shù)，，若有兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是　　．16．已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)，時，，若函數(shù)，在區(qū)間，上有2021個零點(diǎn)，則的取值范圍是　　．四．解答題17．已知函數(shù)，（1），其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）求的值；（2）若的零點(diǎn)為，求的值． 18．已知函數(shù)（1）若，求的最小值；（2）若恰好有三個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 19．設(shè)且，，已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，求不等式的解；（2）若函數(shù)在區(qū)間，上有零點(diǎn)，求的取值范圍． 20．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的值域；（2）是否同時存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)，使得函數(shù)在，上恰有2021個零點(diǎn)？若存在，請求出所有符合條件的和的值；若不存在，請說明理由．
第三章函數(shù)專練14—函數(shù)與方程答案1．解：函數(shù)在其定義域上單調(diào)遞增，，（1），（1）．根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是，故選：．2．解：當(dāng)時，無零點(diǎn)，不合題意，，令，則，，即的圖象與直線有兩個不同的交點(diǎn)，，當(dāng)或時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)有極大值為，當(dāng)時，函數(shù)有極小值為，則函數(shù)的圖象大致如下，的圖象與直線有兩個不同的交點(diǎn)，或（舍去），．故選：．3．解：由題意可知，函數(shù)只有一個零點(diǎn)，等價于只有一個根，令，，令，則在上單調(diào)遞增，又因，（1），故存在，使得，即，即時，，，時，，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且當(dāng)趨近于0時，函數(shù)值趨近正無窮大，當(dāng)趨近正無窮大時，函數(shù)值也趨向正無窮大．故，故選：．4．解：解得或，而的解為或或三個解，無解，故共有3個實(shí)數(shù)根．故選：．5．解：函數(shù)，函數(shù)性質(zhì)分段討論如下：①當(dāng)時，，最小值為，②當(dāng)時，令，解得，所以，函數(shù)遞減，函數(shù)遞增，且，時，，綜合以上分析，作出函數(shù)圖象，如右圖．由圖可知，函數(shù)有兩個零點(diǎn)，和，再考察函數(shù)的零點(diǎn)，由可知，或，即或，根據(jù)題意，這兩個方程共有四個根，結(jié)合函數(shù)圖象，，解得，，故選：．6．解：當(dāng)時，，故不是方程的根，當(dāng)時，由得，，方程恰有兩個不同的實(shí)根等價于直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，作出函數(shù)的大致圖象如圖所示，由圖可知，或．故選：．7．解：函數(shù)，，，，因此時，函數(shù)單調(diào)遞增．，，，可得函數(shù)在單調(diào)遞增；可得函數(shù)在單調(diào)遞減．可得：在時，函數(shù)取得極大值，．畫出圖象：可知：．函數(shù)恰有四個不同的零點(diǎn)，和共有四個根，因?yàn)?/span>有1個根，故有3個根，由圖可得：，故選：．8．解：設(shè)，則的定義域?yàn)?/span>，且，即是偶函數(shù)，故關(guān)于的方程有4個不同的實(shí)數(shù)根等價于在上有2個零點(diǎn)，當(dāng)時，，則等價于，令，則，令，則，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又（1），在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在處取得極小值（1），當(dāng)時，，當(dāng)時，，的大致圖象如下，當(dāng)時，關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個不同的實(shí)數(shù)根，即關(guān)于的方程有4個不同的實(shí)數(shù)根．故選：．9．解：作出函數(shù)的大致圖象如下，由圖象觀察可知，的圖象關(guān)于直線對稱，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，有兩個不同的實(shí)根，選項(xiàng)正確，選項(xiàng)錯誤；若且（a）（b），則，即，亦即，，即，亦即，選項(xiàng)正確，．故選：．10．解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對于，設(shè)，則由，即，當(dāng)時，則有三個不同值，由于是減函數(shù)，所有三個解，正確；對于，設(shè)，若，即，則，所以，因?yàn)?/span>，所以對應(yīng)的解有3個，正確；對于，設(shè)，若，即，或或，則，或，或，因?yàn)?/span>，所以每個方程對應(yīng)著三個解，所以共9個解，錯誤；對于，設(shè)，若，即，所以，則，因?yàn)?/span>是減函數(shù)，所以方程只有1解，正確；故選：．11．解：顯然四個函數(shù)均為偶函數(shù)，但的定義域?yàn)椋?/span>，故錯誤，，2，，即3個零點(diǎn)，即錯誤，定義域?yàn)?/span>，當(dāng)時，的對稱軸為，開口向下，故在，上單調(diào)遞增，在，，，單調(diào)遞減，故恰有2個零點(diǎn)，正確，定義域?yàn)?/span>，在，上單調(diào)遞減，在，單調(diào)遞增，且，故恰有2個零點(diǎn)，正確，故選：．12．解：，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞減，，，當(dāng)時，為偶函數(shù)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)，（1），，即，，，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增，（1），由此作出函數(shù)的草圖如下所示，由圖可知，當(dāng)時，函數(shù)與有兩個交點(diǎn)，即有兩個零點(diǎn)，即選項(xiàng)正確；當(dāng)時，函數(shù)與有三個交點(diǎn)，即有三個零點(diǎn)，即選項(xiàng)正確；當(dāng)或時，函數(shù)與沒有交點(diǎn)，即沒有零點(diǎn)，即選項(xiàng)和均錯誤，故選：．13．解：根據(jù)題意，函數(shù)，其定義域?yàn)?/span>，有（2），（3），則的零點(diǎn)在上，，則函數(shù)的零點(diǎn)在上，，則函數(shù)的零點(diǎn)在上，此時．滿足誤差不大于0.25的要求，則函數(shù)零點(diǎn)的近似值為2.5，故答案為：2.5．14．解：作出函數(shù)的圖象如圖，不妨設(shè)，則，，，．故答案為：．15．解：定義域?yàn)?/span>，令，兩邊同除以可得，令，則，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，易知當(dāng)時，，單調(diào)遞增，則，由于函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，則關(guān)于的二次方程兩根，均滿足，則有，解得．故答案為：．16．解：由題意，函數(shù)為上奇函數(shù)，所以，且，又，可得，可得函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，聯(lián)立可得，所以是以2為周期的周期函數(shù)，又由函數(shù)的周期為2，且關(guān)于點(diǎn)，對稱，因?yàn)楫?dāng)，時，，由圖像可知，函數(shù)和的圖像在，上存在四個零點(diǎn)，即一個周期內(nèi)有4個零點(diǎn)，要使得函數(shù)，在區(qū)間，上有2021個零點(diǎn)，其中都是函數(shù)的零點(diǎn)，即函數(shù)在，上有2017個零點(diǎn)，如果是第2017個零點(diǎn)，則，如果是第2018個零點(diǎn)，則，即，．故答案為：，．17．解：（1）根據(jù)題意，，則，若（1），即，解可得：；（2）根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，，則，則，若的零點(diǎn)為，則，變形可得：，設(shè)，則，則有，而函數(shù)是上的增函數(shù)，必有，即，則有．18．解：（1）時，，當(dāng)時，，則（1），當(dāng)時，，則，令，解得：，當(dāng)時，，遞減，當(dāng)時，，遞增，此時，故的最小值是；（2）時，，，①時，在時取最大值，且，，時，函數(shù)有唯一零點(diǎn)，時，且不斷趨近于0，無零點(diǎn)，時，，對稱軸是，時至多1個零點(diǎn)，不合題意，不合題意，舍；②時，同①在，上有1個零點(diǎn)，只需在上有2個零點(diǎn)，時，，△，解得：或（舍，綜上：的取值范圍是，．19．解：（1）當(dāng)時，不等式可化為，當(dāng)時，則有，解得，所以不等式的解集為；當(dāng)時，則有，解得，所以所以不等式的解集為．綜上所述，當(dāng)時，不等式的解集為；當(dāng)時，所以不等式的解集為．（2）函數(shù)，令，即，因?yàn)?/span>，，所以，，所以，，故，設(shè)，，則有，故或，解得或，故的取值范圍為或．20．解：（1），當(dāng)時，，，則．（2）假設(shè)同時存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)滿足條件，函數(shù)在，上恰有2021個零點(diǎn)，即函數(shù)與直線在，上恰有2021個交點(diǎn)．當(dāng)，時，，作出函數(shù)在區(qū)間，上的圖象如下圖所示：①當(dāng)或時，函數(shù)與直線在，上無交點(diǎn)，②當(dāng)或時，函數(shù)與直線在，上有一個交點(diǎn)，此時要使函數(shù)與直線在，上恰有2021個交點(diǎn)，則；③當(dāng)或時，函數(shù)與直線在，上有兩個交點(diǎn)，此時函數(shù)與直線在，上有偶數(shù)個交點(diǎn)，不符合題意；④當(dāng)時，函數(shù)與直線在，上有三個交點(diǎn)，此時要使函數(shù)與直線在，上恰有2021個交點(diǎn)，則；綜上所述，存在實(shí)數(shù)和滿足題設(shè)條件：時，；時，；時，．   

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