1. 理解并掌握任意角三角函數的定義；熟記其在各象限的符號；掌握三角函數線的定義及畫法．
2．通過教學，使學生進一步體會數形結合的思想．
【教學重點】
任意角三角函數的定義．
【教學難點】
單位圓及三角函數線．
【教學方法】
本節(jié)課主要采用啟發(fā)引導與講練結合的教學方法．在復習銳角三角函數定義的基礎上，定義了任意角的三角函數，講練結合，使學生牢固掌握．然后引導學生根據三角函數定義和象限內的點坐標符號導出三角函數在各象限的符號，接著把正弦值、余弦值、正切值轉化為單位圓中的有向線段表示，使數與形密切結合起來，以加強學生對三角函數定義的理解．
【教學過程】
環(huán)節(jié)
教學內容
師生互動
設計意圖
導
入
復習銳角三角函數定義．
師：初中時我們學過銳角三角函數，當時是怎樣定義的？
以舊引新．
新
課
新
課
新
課
新
課
任意角的三角函數定義．
已知 ? 是任意角，P(x，y)， P?(x?，y?)是角? 的終邊與兩個半徑不同的同心圓的交點．
(r＝ EQ \R(,x2+y2) ， r'＝ EQ \R(,x'2+y'2) )
y
P
r
r′ y
y′
O x′ x x
P?’
如圖所示：
當角 ? 不變時，對于角 ? 的終邊上任意一點P（x，y），不論點 P 在角 ? 的終邊上的位置如何，三個比值 EQ \F(x,r) ， EQ \F(y,r) ， EQ \F(y,x) 始終等于定值．因此定義：
角 ? 的余弦cs ? ＝ EQ \F(x,r) ；
角 ? 的正弦sin ? ＝ EQ \F(y,r) ；
角 ? 的正切tan ? ＝ EQ \F(y,x) ．
依照上述定義，對于每一個確定的角 ?，都分別有唯一確定的余弦值、正弦值、正切值與之對應，所以這三個對應關系都是以角 ? 為自變量的函數，分別叫做角 ? 的余弦函數、正弦函數和正切函數．
三角函數求值．
根據三角函數定義，可得計算三角函數值的步驟：
S1 畫角：在直角坐標系中，作轉角等于α；
S2 找點：在角α的終邊上任找一點P，使?OP?＝1，并量出該點的縱坐標和橫坐標；
S3 求值：根據相應三角函數的定義，求該角的三角函數值．
例1 已知角 ? 終邊上一點 P(2，－3)，求角? 的三個三角函數值．
解 已知點 P（2，－3），則
r＝?OP?＝ EQ \R(,22＋（－3）2) ＝ EQ \R(,13) ，
由三角函數的定義，得
sin ? ＝ EQ \F(y,r) ＝ EQ \F(－3, EQ \R(,13) ) ＝－ EQ \F(3 EQ \R(,13) ,13) ；
cs ? ＝ EQ \F(x,r) ＝ EQ \F(2, EQ \R(,13) ) ＝；
tan ? ＝ EQ \F(y,x) ＝－ EQ \F(3,2) ；
練習1 教材P138，練習A組第1、4、5題．
例2 試確定三角函數在各象限的符號．
解 由三角函數的定義可知，
sin ?＝ EQ \F(y,r) ，角 ? 終邊上點的縱坐標 y 的正、負與角 ? 的正弦值同號；
cs ?＝ EQ \F(x,r) ，角 ? 終邊上點的橫坐標 x 的正、負與角 ? 的余弦值同號；
由tan ? ＝ EQ \F(y,x) ，則當 x 與 y 同號時，正切值為正，當 x 與 y 異號時，正切值為負．
O
x
y
＋
＋
－
－
sin α
O
x
y
＋
－
＋
－
cs α
O
x
y
＋
－
－
＋
tan α
三角函數在各象限的符號如下圖所示：
練習2 確定下列各三角函數值的符號：
(1)sin(－ EQ \F(π,4) )；(2)cs 130?；(3)tan EQ \F(4π,3) ．
例3 使用函數型計算器，計算下列三角函數值：
(1)sin67.5?， cs372?， tan (－86?)；
(2) sin1.2， cs EQ \F(3π,4) ， tan EQ \F(5π,6) ．
解 略．
3. 單位圓與三角函數線．
如圖，以原點為圓心，半徑為1的圓稱作單位圓．
O M x
? A(1，0)
1 P(cs ?，sin ?)
y
設角 ? 的終邊與單位圓的交點為P(x，y)，過點P作PM垂直于x軸，則 sin ?＝y(tǒng)，cs ?＝x，
即 P(cs ?，sin ?)．
cs ?＝x＝OM；sin ?＝y(tǒng)＝MP．
于是我們把規(guī)定了方向的線段OM，MP分別稱作角?的余弦線、正弦線．
練習3（1） 在直角坐標系的單位圓中，分別畫出 EQ \F(π,3) 和－ EQ \F(2 π,3) 的正弦線、余弦線．
設單位圓在點A的切線與角?的終邊或其反向延長線相交于點 T ( T ? ) ，則
tan ?＝ EQ \F(y,x) ＝ EQ \F(AT,OA) ＝AT ( AT? )，
所以AT ( AT? )稱作角α的正切線．
練習3 （2） 在直角坐標系的單位圓中，分別畫出 EQ \F(π,3) 和－ EQ \F(2 π,3) 的正切線．
問題1：當我們把銳角的概念推廣為轉角后，我們如何定義任意角的三角函數呢？
如左圖所示，由相似三角形對應邊成比例得， EQ \F(?x ?,r) ＝ EQ \F(?x'?,r') ， EQ \F(?y ?,r) ＝ EQ \F(?y'?,r') ， EQ \F(?y ?,x) ＝ EQ \F(?y'?,x') .
由于點P，P' 在同一象限內，所以它們的坐標符號相同，
因此， EQ \F(x,r) ＝ EQ \F(x',r') ， EQ \F(y,r) ＝ EQ \F(y',r') ， EQ \F(y,x) ＝ EQ \F(y',x') ，
所以三個比值 EQ \F(x,r) ， EQ \F(y,r) ， EQ \F(y,x) 只依賴于 ? 的大小，與點 P 在 ? 終邊上的位置無關．
教師引領學生識記三角函數定義．
依據函數定義說明角 ? 與三角函數值的對應關系．
練習：在直角坐標系中，畫出半徑為１的圓，求出30°，38°，128°等角的正弦、余弦和正切的值.
在例1中強調：
（１）P為角α的終邊上任意一點；
（２）求三角函數值時用到的三個量x，y，r以及三者的關系；
教師可通過教材P138 練習A組第1題中的練習讓學生自己總結出三角函數在各象限的符號．
根據三角函數的定義，及各象限內點的坐標的符號得出三角函數在各象限的符號，教師總結口訣，幫助學生記憶：
Ⅰ全正，Ⅱ正弦，
Ⅲ正切，Ⅳ余弦．
練習2也可以用計算器直接求出三角函數值，然后確定符號．
師：在任意角三角函數的定義中，當角 ? 的終邊上一點 P（x，y）的坐標滿足r＝ EQ \R(,x2+y2) ＝1時，三角函數的正弦、余弦會變成什么樣呢？
看著圖示，結合三角函數定義講解正弦線、余弦線、正切線的由來．
學生自己動手，熟悉正弦線，余弦線的畫法．
學生自己動手，熟悉當角?在不同象限時正切線的畫法．
說明三角函數定義的理論根據．
通過學生自己動手測量,加深學生對三角函數定義的理解,并為學習單位圓做鋪墊.
強調這幾點為練習B組第1、2、3做鋪墊.
通過練習1，熟練已知角的終邊上一點求三角函數值的步驟．
由練習中的具體題目到例2的理論分析，由特殊到一般加深學生對三角函數符號的理解.
學生理解正切線難度較大，教師要詳細講解各個象限內的角的正切線的做法.
小
結
回憶本節(jié)課所學知識點：
(1)任意角三角函數的定義（代數表示）．
(2)任意角三角函數值的求法（兩種方法）．
(3)任意角三角函數值的符號（記住口訣）．
(4)任意角三角函數的幾何表示（三角函數線）．
讓學生敘述本節(jié)所學知識點以及典型例題及解題步驟．
梳理知識脈絡．
作
業(yè)
教材 P 138，練習A 組，練習B 組．
本節(jié)教材內容頗多，教師可根據當堂內容布置相應作業(yè)．

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5.2 任意角的三角函數

版本： 人教版（中職）

年級： 基礎模塊上冊

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