?人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 解三角形
一．選擇題（共13小題）
1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2c?ba=cosBcosA，a＝23，則△ABC面積的最大值為（　?。?br /> A．3 B．23 C．33 D．43
2．約公元前600年，幾何學(xué)家泰勒斯第一個(gè)測(cè)出了金字塔的高度．如圖，金字塔是正四棱錐，泰勒斯先測(cè)量出某個(gè)金字塔的底棱長約為230米；然后，他站立在沙地上，請(qǐng)人不斷測(cè)量他的影子，當(dāng)他的影子和身高相等時(shí)，他立刻測(cè)量出該金字塔影子的頂點(diǎn)A與相應(yīng)底棱中點(diǎn)B的距離約為22.2米．此時(shí)，影子的頂點(diǎn)A和底面中心O的連線恰好與相應(yīng)的底棱垂直，則該金字塔的高度約為（　　）

A．115米 B．137.2米 C．230米 D．252.2米
3．已知平面向量a→，b→，其中|b→|＝2，向量a→與b→?a→的夾角為150°，則|a→|的最大值為（　?。?br /> A．23 B．3 C．4 D．433
4．對(duì)函數(shù)f（x）=cosx+mcosx+2，若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都為某個(gè)三角形的三邊長，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　?。?br /> A．(54，6) B．(53，6) C．(75，5) D．(54，5)
5．海洋中有A，B，C三座燈塔．其中A，B之間距離為a，在A處觀察B，其方向是南偏東40°，觀察C，其方向是南偏東70°，在B處觀察C，其方向是北偏東65°，B，C之的距離是（　?。?br /> A．a(chǎn) B．2a C．12a D．22a
6．如圖是隋唐天壇，古叫圜丘，它位于唐長安城明德門遺址東約950米，即今西安市雁塔區(qū)陜西師范大學(xué)以南．天壇初建于隋而廢棄于唐末，比北京明清天壇早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)得天壇的直徑，在天壇外圍測(cè)得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，據(jù)此可以估計(jì)天壇的最下面一層的直徑AD大約為（　?。ńY(jié)果精確到1米）
（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646）

A．39米 B．43米 C．49米 D．53米
7．三國（220年﹣280年）是上承東漢下啟西晉的一段歷史時(shí)期，分為曹魏、蜀漢、東吳三個(gè)政權(quán)．元末明初的小說家羅貫中依據(jù)這段歷史編寫《三國演義》全名為《三國志通俗演義》，小說中記載孫劉聯(lián)盟共同打擊曹魏，蜀吳兩國為了達(dá)成合作經(jīng)常派使臣來往，古代出行以騎馬為主，假如一匹馬每個(gè)時(shí)辰能走30公里，一天最多能跑10個(gè)小時(shí)，十天能到達(dá)．吳國都城位于蜀國都城正東，魏國的都城在蜀國都城的北偏東30°，相距約1000公里，若吳國一叛徒要向魏國告密大約需要幾天能達(dá)到魏國都城（　?。?≈2.65）

A．七 B．八 C．九 D．十
8．海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則A，B兩點(diǎn)的距離為（　?。?br />
A．803 B．80 C．160 D．805
9．在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且A、B、C成等差數(shù)列，b=3，則△ABC面積的取值范圍（　?。?br /> A．(0，34] B．(32，334] C．(14，334] D．[34，12]
10．渭河某處南北兩岸平行，如圖所示．某艘游船從南岸碼頭A出發(fā)北航行到北岸．假設(shè)游船在靜水中航行速度大小為|v1|＝10 km/h，水流速度的大小為|v2|＝6km/h．設(shè)速度v1與速度v2的夾角為120°，北岸的點(diǎn)A'在碼頭A的正北方向．那么該游船航行到達(dá)北岸的位置應(yīng)（　?。?br />
A．在A'東側(cè) B．在A'西側(cè)
C．恰好與A'重合 D．無法確定
11．在△ABC中，a＝20，b＝10，B＝32°，則此三角形的解的情況是（　?。?br /> A．有兩解 B．有一解 C．有無數(shù)個(gè)解 D．無解
12．岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”．其地處岳陽古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于東漢建安二十年（215年），歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年（1880年）重建時(shí)的形制與格局．因北宋滕宗諒重修岳陽樓，邀好友范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世．自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓“之美譽(yù)．小李為測(cè)量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線AC，如圖，測(cè)得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，則岳陽樓的高度CD約為（　?。?≈1.414，3≈1.732）

A．18米 B．19米 C．20米 D．21米
13．說起延安革命紀(jì)念地景區(qū)，可謂是家喻戶曉，它由寶塔山、棗園革命舊址、楊家?guī)X革命舊址、中共中央西北局舊址、延安革命紀(jì)念館組成．尤其寶塔山，它可是圣地延安的標(biāo)志，也是中國革命的搖籃，見證了中國革命的進(jìn)程，在中國老百姓的心中具有重要地位．如圖，寶塔山的坡度比為7：3（坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比），在山坡A處測(cè)得∠CAD＝15°，從A處沿山坡往上前進(jìn)66m到達(dá)B處，在山坡B處測(cè)得∠CBD＝30°，則寶塔CD的高為（　　）

A．44m B．42m C．48m D．46m
二．填空題（共10小題）
14．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，仰角為30°，行駛300m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北60°的方向上，則此山的高度CD＝　 　．

15．一艘貨船從A處出發(fā)，沿北偏西50°的方向以30海里每小時(shí)的速度直線航行，20分鐘后到達(dá)B處，在A處觀察C處燈塔，其方向是北偏東10°，在B處觀察C處燈塔，其方向是北偏東55°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是 　 　海里．
16．如圖所示，一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B、C兩點(diǎn)間的距離是　 　海里．

17．如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25m的建筑物CD．為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測(cè)得∠DAC＝15°，沿山坡前進(jìn)25m到達(dá)B處，又測(cè)得∠DBC＝45°．根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算可得cosθ＝　 ?。?br />
18．在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是　 ?。?br /> 19．在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝150°，BC＝1，則四邊形ABCD面積的取值范圍是　 　．
20．設(shè)△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若（3b﹣c）cosA＝acosC，S△ABC=2，則BA→?AC→=　 　．
21．某市為表彰在脫貧攻堅(jiān)工作中做出突出貢獻(xiàn)的先進(jìn)單位，制作了一批獎(jiǎng)杯，獎(jiǎng)杯的剖面圖形如圖所示，其中扇形OAB的半徑為10，∠PBA＝∠QAB＝60°，AQ＝QP＝PB，若按此方案設(shè)計(jì)，工藝制造廠發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OP最長時(shí)，該獎(jiǎng)杯比較美觀，此時(shí)∠AOB＝　 ?。?br />
22．四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝5，CD＝5，DA＝7，且∠DAB＝∠BCD＝90°，則對(duì)角線AC長為 　 　．

23．甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°方向，兩船相距anmile，乙船正向北行駛．若甲船是乙船速度的3倍，則甲船應(yīng)向方向　 　行駛才能追上乙船，追上時(shí)甲船行駛了　 　nmile．
三．解答題（共3小題）
24．如圖，在△ABC中，AB＝2，cosB=13，點(diǎn)D在線段BC上．
（1）若∠ADC=34π，求AD的長；
（2）若BD＝2DC，△ACD的面積為432，求sin∠BADsin∠CAD的值．

25．如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC=5π6，AB⊥AD，AB＝23．
（Ⅰ）若AC＝213，求BC的值；
（Ⅱ）若AD＝2，設(shè)∠BAC＝θ，求△ACD的面積的取值范圍．

26．如圖，海上有A，B兩個(gè)小島相距10海里，船O將保持觀望A島和B島所成的視角為θ，現(xiàn)從船O上派下一只小艇沿BO方向駛至C處進(jìn)行作業(yè)且OC＝OB，設(shè)AC=103海里．
（1）求OA2+OB2的值；
（2）用含θ的表達(dá)式表示△ABC的面積，并求出θ的最大值．


人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 解三角形
參考答案與試題解析
一．選擇題（共13小題）
1．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2c?ba=cosBcosA，a＝23，則△ABC面積的最大值為（　?。?br /> A．3 B．23 C．33 D．43
【分析】根據(jù)題意，將2c?ba=cosBcosA變形可得2ccosA﹣bcosA＝acosB，結(jié)合正弦定理可得2sinCcosA＝sinAcosB+sinBcosA＝sinC，變形可得cosA的值，又由余弦定理b2+c2?a22bc=12，變形可得b2+c2﹣12＝bc，結(jié)合基本不等式可得b2+c2≥2bc，則有bc≤12，由三角形面積公式分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，在△ABC中，若2c?ba=cosBcosA，
則有2ccosA﹣bcosA＝acosB，
由正弦定理可得：2sinCcosA＝sinAcosB+sinBcosA＝sinC，
則有cosA=12，
則有b2+c2?a22bc=12，變形可得b2+c2﹣12＝bc，
又由b2+c2≥2bc，
則有bc≤12，
又由cosA=12，則sinA=32，
則△ABC面積S=12bcsinA≤33，
即△ABC面積的最大值為33；
故選：C．
2．約公元前600年，幾何學(xué)家泰勒斯第一個(gè)測(cè)出了金字塔的高度．如圖，金字塔是正四棱錐，泰勒斯先測(cè)量出某個(gè)金字塔的底棱長約為230米；然后，他站立在沙地上，請(qǐng)人不斷測(cè)量他的影子，當(dāng)他的影子和身高相等時(shí)，他立刻測(cè)量出該金字塔影子的頂點(diǎn)A與相應(yīng)底棱中點(diǎn)B的距離約為22.2米．此時(shí)，影子的頂點(diǎn)A和底面中心O的連線恰好與相應(yīng)的底棱垂直，則該金字塔的高度約為（　　）

A．115米 B．137.2米 C．230米 D．252.2米
【分析】易知，當(dāng)泰勒斯的身高與影子相等時(shí)，身高與影子構(gòu)成等腰直角三角形的兩直角邊，再根據(jù)金字塔高與影子所在的直角三角形與剛才的三角形相似，可知塔底到A的距離即為塔高．
【解答】解：當(dāng)泰勒斯的身高與影子相等時(shí)，身高與影子構(gòu)成等腰直角三角形的兩直角邊，

再根據(jù)金字塔高與影子所在的直角三角形與剛才的三角形相似，可知塔底到A的距離即為塔高．
所以由題意得金字塔塔高為OA＝OB+BA＝115+22.2＝137.2米．
故選：B．
3．已知平面向量a→，b→，其中|b→|＝2，向量a→與b→?a→的夾角為150°，則|a→|的最大值為（　　）
A．23 B．3 C．4 D．433
【分析】根據(jù)題意，設(shè)OA→=a→，OB→=b→，|a→|＝t，利用三角形表示平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合正弦定理求出|a→|的表達(dá)式，分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，如圖：設(shè)OA→=a→，OB→=b→，|a→|＝t，
則AB→=OB→?OA→=b→?a→，
若向量a→與b→?a→的夾角為150°，則∠BAO＝30°，
在△AOB中，OAsinB=OBsin∠OAB，變形可得t＝4sinB，
又由0°＜B＜150°，
則sinB≤1，則有t≤4，即|a→|的最大值為4，
故選：C．

4．對(duì)函數(shù)f（x）=cosx+mcosx+2，若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都為某個(gè)三角形的三邊長，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　?。?br /> A．(54，6) B．(53，6) C．(75，5) D．(54，5)
【分析】當(dāng)m＝2時(shí)，f（a）＝f（b）＝f（c）＝1，是等邊三角形的三邊長；當(dāng)m＞2時(shí)，只要2(1+m?23)＞m?1即可，當(dāng)m＜2時(shí)，只要1+m?23＜2(m?1)即可，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：當(dāng)m＝2時(shí)，f（x）=cosx+2cosx+2=1，
此時(shí)f（a）＝f（b）＝f（c）＝1，是等邊三角形的三邊長，成立；
當(dāng)m＞2時(shí)，f(x)∈[1+m?23，m?1]，
只要2(1+m?23)＞m?1即可，解得2＜m＜5；
當(dāng)m＜2時(shí)，f(x)∈[m?1，1+m?23]，
只要1+m?23＜2(m?1)即可，
解得75＜m＜2，
綜上m∈(75，5)．
故選：C．
5．海洋中有A，B，C三座燈塔．其中A，B之間距離為a，在A處觀察B，其方向是南偏東40°，觀察C，其方向是南偏東70°，在B處觀察C，其方向是北偏東65°，B，C之的距離是（　　）
A．a(chǎn) B．2a C．12a D．22a
【分析】作出示意圖，根據(jù)正弦定理求出BC．
【解答】解：如圖所示，由題意可知AB＝a，
∠BAC＝70°﹣40°＝30°，∠ABC＝40°+65°＝105°，
∴∠C＝45°，
在△ABC中，由正弦定理得ABsinC=BCsin∠BAC，
即BC=12a22=22a．
故選：D．

6．如圖是隋唐天壇，古叫圜丘，它位于唐長安城明德門遺址東約950米，即今西安市雁塔區(qū)陜西師范大學(xué)以南．天壇初建于隋而廢棄于唐末，比北京明清天壇早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處．某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)得天壇的直徑，在天壇外圍測(cè)得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，據(jù)此可以估計(jì)天壇的最下面一層的直徑AD大約為（　?。ńY(jié)果精確到1米）
（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，5≈2.236，7≈2.646）

A．39米 B．43米 C．49米 D．53米
【分析】求出AC，在△CDA中，利用余弦定理即可求得AD．
【解答】解：在△ACB中，AB＝60，BC＝60，∠ABC＝60°，所以AC＝60，
在△CDA中，AD2＝AC2+CD2﹣2AC?CD?cos60°=602+402?2×60×40×12=2800，
所以AD=207≈53（米）．
故選：D．
7．三國（220年﹣280年）是上承東漢下啟西晉的一段歷史時(shí)期，分為曹魏、蜀漢、東吳三個(gè)政權(quán)．元末明初的小說家羅貫中依據(jù)這段歷史編寫《三國演義》全名為《三國志通俗演義》，小說中記載孫劉聯(lián)盟共同打擊曹魏，蜀吳兩國為了達(dá)成合作經(jīng)常派使臣來往，古代出行以騎馬為主，假如一匹馬每個(gè)時(shí)辰能走30公里，一天最多能跑10個(gè)小時(shí)，十天能到達(dá)．吳國都城位于蜀國都城正東，魏國的都城在蜀國都城的北偏東30°，相距約1000公里，若吳國一叛徒要向魏國告密大約需要幾天能達(dá)到魏國都城（　?。?≈2.65）

A．七 B．八 C．九 D．十
【分析】把魏蜀吳三國的都城位置分別即為A，B，C，利用余弦定理求解即可．
【解答】解：可以把魏蜀吳三國的都城位置分別即為A，B，C，
由題意可知AB＝1000公里，BC＝1500公里，∠ABC＝60°，
由余弦定理得AC=10002+15002?2×1000×1500×12=5007≈1325公里，
1325÷15÷10≈8.8（天），
故叛徒大約九天能到達(dá)目的地．
故選：C．

8．海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測(cè)量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測(cè)得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則A，B兩點(diǎn)的距離為（　?。?br />
A．803 B．80 C．160 D．805
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，△BCD中利用正弦定理求出BD的值，△ACD中利用等角對(duì)等邊求出AD的值，再在△ABD中由余弦定理求出AB的值．
【解答】解：如圖所示：

△BCD中，CD＝80，∠BDC＝15°，∠BCD＝∠ACB+∠DCA＝120°+15°＝135°，
∴∠CBD＝30°，由正弦定理，得BDsin135°=80sin30°，解得BD＝802，
△ACD中，CD＝80，∠DCA＝15°，
∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°+15°＝150°，
∴∠CAD＝15°，∴AD＝CD＝80，
△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2+BD2﹣2AD?BD?cos∠ADB
＝802+（802）2﹣2×80×802×cos135°＝802×5，
∴AB＝805，即A，B兩點(diǎn)間的距離為805，
故選：D．
9．在銳角△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且A、B、C成等差數(shù)列，b=3，則△ABC面積的取值范圍（　　）
A．(0，34] B．(32，334] C．(14，334] D．[34，12]
【分析】由A，B，C成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)及內(nèi)角和定理求出B的度數(shù)，由正弦定理求出a，c，再由銳角三角形的定義和和差正弦公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，可得ac的范圍，進(jìn)而得到三角形的面積的范圍．
【解答】解：在銳角△ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，則B=π3，
由正弦定理可得asinA=csinC=bsinB=3sinπ3=2，
∴a＝2sinA，c＝2sinC，
∴S△ABC=12acsinB=12×2sinA×2sinC×32=3sinAsin（2π3?A），
=3sinA（32cosA+12sinA），
=34sin2A+32×1?cos2A2，
=34sin2A?34cos2A+34，
=32sin（2A?π6）+34，
∵π6＜A≤π3，
∴π6＜2A?π6≤π2，
∴12＜sin（2A?π6）≤1，
∴32＜32sin（2A?π6）+34≤334，
故選：B．
10．渭河某處南北兩岸平行，如圖所示．某艘游船從南岸碼頭A出發(fā)北航行到北岸．假設(shè)游船在靜水中航行速度大小為|v1|＝10 km/h，水流速度的大小為|v2|＝6km/h．設(shè)速度v1與速度v2的夾角為120°，北岸的點(diǎn)A'在碼頭A的正北方向．那么該游船航行到達(dá)北岸的位置應(yīng)（　?。?br />
A．在A'東側(cè) B．在A'西側(cè)
C．恰好與A'重合 D．無法確定
【分析】建立坐標(biāo)系，根據(jù)向量的幾何意義即可求出．
【解答】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，θ＝120°時(shí)，
水流速度為v2→=（6，0），
輪船的速度v1→=（﹣5，53），
∴v1→+v2→=（1，53），
這說明船有x軸正方向的速度，即向東的速度，
故該游船航行到達(dá)北岸的位置應(yīng)在A′的東方，
故選：A．

11．在△ABC中，a＝20，b＝10，B＝32°，則此三角形的解的情況是（　?。?br /> A．有兩解 B．有一解 C．有無數(shù)個(gè)解 D．無解
【分析】根據(jù)正弦定理可得出sinA＝2sin32°，從而可得出sinA＞1，這樣即可得出此三角形無解．
【解答】解：在△ABC中，a＝20，b＝10，B＝32°，
∴根據(jù)正弦定理，20sinA=10sin32°，
∴sinA＝2sin32°，
∵sin32°＞sin30°=12，∴sinA＞1，
∴△ABC不存在，即此三角形無解．
故選：D．
12．岳陽樓與湖北武漢黃鶴樓，江西南昌滕王閣并稱為“江南三大名樓”，是“中國十大歷史文化名樓”之一，世稱“天下第一樓”．其地處岳陽古城西門城墻之上，緊靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于東漢建安二十年（215年），歷代屢加重修，現(xiàn)存建筑沿襲清光緒六年（1880年）重建時(shí)的形制與格局．因北宋滕宗諒重修岳陽樓，邀好友范仲淹作《岳陽樓記》使得岳陽樓著稱于世．自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓“之美譽(yù)．小李為測(cè)量岳陽樓的高度選取了與底部水平的直線AC，如圖，測(cè)得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，則岳陽樓的高度CD約為（　　）（2≈1.414，3≈1.732）

A．18米 B．19米 C．20米 D．21米
【分析】直接利用解直角三角形知識(shí)的應(yīng)用和三角函數(shù)的值的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：設(shè)CD＝x，
如圖，測(cè)得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，
則：DC＝BC，
在△ACD中，
利用三角函數(shù)的關(guān)系式：
tan∠DAC=xx+14，
整理得33=xx+14，
解得：x≈19（米），
故選：B．
13．說起延安革命紀(jì)念地景區(qū)，可謂是家喻戶曉，它由寶塔山、棗園革命舊址、楊家?guī)X革命舊址、中共中央西北局舊址、延安革命紀(jì)念館組成．尤其寶塔山，它可是圣地延安的標(biāo)志，也是中國革命的搖籃，見證了中國革命的進(jìn)程，在中國老百姓的心中具有重要地位．如圖，寶塔山的坡度比為7：3（坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比），在山坡A處測(cè)得∠CAD＝15°，從A處沿山坡往上前進(jìn)66m到達(dá)B處，在山坡B處測(cè)得∠CBD＝30°，則寶塔CD的高為（　　）

A．44m B．42m C．48m D．46m
【分析】直接利用三角形內(nèi)角和定理和正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：如圖所示：
由于∠CAD＝15°，∠CBD＝30°，
所以∠BCA＝15°，
所以△ABC為等腰三角形，
所以AB＝BC＝66，
利用三角形內(nèi)角和定理：得到∠BDC＝105°，
所以∠BCD＝45°，
在△BCD中，
利用正弦定理：CDsin30°=BCsin105°，
整理得CD＝44．
故選：A．

二．填空題（共10小題）
14．如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，仰角為30°，行駛300m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北60°的方向上，則此山的高度CD＝　300m?。?br />
【分析】根據(jù)題意可得，在△ABC中，AB＝300，∠BAC＝30°，∠CBA＝120°，∠BAC＝30°，從而可得AC的值，在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，利用tan∠CAD=CDAC=33即可求解出此山的高度CD．
【解答】解：根據(jù)題意，在△ABC中，AB＝300，∠BAC＝30°，∠CBA＝120°，∠BAC＝30°，
所以BC＝AB＝300，則AC＝3003，
在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，所以tan∠CAD=CDAC=33，故CD＝AC?tan30°＝300．
因此此山的高度CD＝300m．
故答案為：300m．
15．一艘貨船從A處出發(fā)，沿北偏西50°的方向以30海里每小時(shí)的速度直線航行，20分鐘后到達(dá)B處，在A處觀察C處燈塔，其方向是北偏東10°，在B處觀察C處燈塔，其方向是北偏東55°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是 　56　海里．
【分析】作出圖象，求出角A，B，C，再結(jié)合正弦定理可得答案．
【解答】解：AB=30×2060=10（海里），
如圖，設(shè)△ABC的內(nèi)角分別為A，B，C，則A＝60°，B＝75°，C＝180°﹣A﹣B＝45°，
由正弦定理可得BCsinA=ABsinC?BC=AB?sinAsinC=10?3222=56．
故答案為：56．

16．如圖所示，一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B、C兩點(diǎn)間的距離是　102　海里．

【分析】根據(jù)題意，確定∠BAC、∠ABC的值，進(jìn)而可得到∠ACB的值，根據(jù)正弦定理可得到BC的值．
【解答】解：如圖，由已知可得，∠BAC＝30°，∠ABC＝105°，AB＝20，
從而∠ACB＝45°．
在△ABC中，由正弦定理可得BC=ABsin45°×sin30°＝102海里．
故答案為102．
17．如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25m的建筑物CD．為了測(cè)量該山坡相對(duì)于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測(cè)得∠DAC＝15°，沿山坡前進(jìn)25m到達(dá)B處，又測(cè)得∠DBC＝45°．根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算可得cosθ＝　3?12?。?br />
【分析】在△ABD中，由正弦定理解出BD，在△BCD中，由正弦定理解出sin∠BCD，則cosθ＝sin（π﹣∠BCD）＝sin∠BCD．
【解答】解：∵∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，∴∠ADB＝30°，
在△ABD中，由正弦定理得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，即2512=BD6?24，
∴BD＝25×6?22．
在△BCD中，由正弦定理得CDsin∠DBC=BDsin∠BCD，即2522=25(6?2)2sin∠BCD，
∴sin∠BCD=3?12．
∴cosθ＝sin（π﹣∠BCD）＝sin∠BCD=3?12．
故答案為：3?12
18．在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠C＝75°，BC＝2，則AB的取值范圍是　（2，1+3）　．
【分析】把AB長度調(diào)整，兩個(gè)極端分別為C．D重合，A，D重合分別計(jì)算兩種極限前提下AB的長度．
【解答】解：當(dāng)把AB長度調(diào)整，兩個(gè)極端分別為C．D重合時(shí)，AB＝BC＝2；
當(dāng)A，D重合重合時(shí)，由正弦定理得2sin45°=ABsin75°，解得AB＝1+3；
故答案為：(2，1+3)
19．在平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝150°，BC＝1，則四邊形ABCD面積的取值范圍是?。?4，32）　．
【分析】把AB長度調(diào)整，兩個(gè)極端分別為C，D重合，A，D重合分別計(jì)算兩種極限前提下AB的長度，利用割補(bǔ)法求出四邊形ABCD面積的取值范圍．
【解答】解：平面四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠D＝150°，∴∠C＝90°．
當(dāng)把AB長度調(diào)整，兩個(gè)極端分別為C，D重合時(shí)，AB＝BC＝1；
當(dāng)A，D重合時(shí)，由正弦定理得1sin30°=ABsin90°，解得AB＝2；
故AB的取值范圍是（1，2），
設(shè)AD＝x，則AO＝x，∠OAD＝120°四邊形ABCD面積S=12×1×3?12x2×sin120°=32?34x2，
∵OB＝2，∴x∈（0，1），∴S∈（34，32）．
故答案為：（34，32）．

20．設(shè)△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若（3b﹣c）cosA＝acosC，S△ABC=2，則BA→?AC→=　﹣1?。?br /> 【分析】先利用正弦定理及和角的三角函數(shù)，可求cosA的值，進(jìn)而可求sinA，利用三角形的面積，求得bc．利用向量的數(shù)量積公式，即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵（3b﹣c）cosA＝acosC∴由正弦定理，可得：3sinBcosA﹣sinCcosA＝sinAcosC
∴3sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA
∴3sinBcosA＝sin（A+C）＝sinB
∴cosA=13，sinA=223
∵S△ABC=2
∴12bcsinA=23bc=2
∴bc＝3
∵cosA=13，
∴cos＜BA→，AC→＞=?13
∴BA→?AC→=bccos＜BA→，AC→＞=?1
故答案為：﹣1
21．某市為表彰在脫貧攻堅(jiān)工作中做出突出貢獻(xiàn)的先進(jìn)單位，制作了一批獎(jiǎng)杯，獎(jiǎng)杯的剖面圖形如圖所示，其中扇形OAB的半徑為10，∠PBA＝∠QAB＝60°，AQ＝QP＝PB，若按此方案設(shè)計(jì)，工藝制造廠發(fā)現(xiàn)，當(dāng)OP最長時(shí)，該獎(jiǎng)杯比較美觀，此時(shí)∠AOB＝　π2?。?br />
【分析】作OM⊥QP交QP于M，交AB于C，設(shè)∠AOC＝θ，把AB，OC用含有θ的三角函數(shù)表示，設(shè)AQ＝QP＝BP＝x，作QE⊥AB交AB于E，PF⊥AB交AB于F，結(jié)合∠PBA＝∠QAB＝60°，求解三角形得到x＝10sinθ，進(jìn)一步用含有θ的三角函數(shù)表示OM，MP，列式整理后可得OP2＝OM2+MP2=100+503sin2θ．得到當(dāng)sin2θ＝1，即θ=π4時(shí)，OP2最大，也就是OP最長時(shí)，∠AOB=π2．
【解答】解：作OM⊥QP交QP于M，交AB于C，且OC⊥AB，設(shè)∠AOC＝θ
則AB＝20sinθ，OC＝10cosθ，
設(shè)AQ＝QP＝BP＝x，作QE⊥AB交AB于E，PF⊥AB交AB于F，
∵∠PBA＝∠QAB＝60°，∴AE＝BF=12x，CM＝PF=32x，
EF＝QP＝x，∴AB＝2x，則AB＝20sinθ＝2x，即x＝10sinθ，
OM＝OC+CM＝10cosθ+32x=10cosθ+53sinθ，
∴OP2＝OM2+MP2=(10cosθ+53sinθ)2+(5sinθ)2
=100cos2θ+75sin2θ+1003sinθcosθ+25sin2θ
=100+503sin2θ．
∵sin2θ∈[﹣1，1]，∴當(dāng)sin2θ＝1，即θ=π4時(shí)，OP2最大，
也就是OP最長時(shí)，∠AOB=π2．
故答案為：π2．

22．四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝5，CD＝5，DA＝7，且∠DAB＝∠BCD＝90°，則對(duì)角線AC長為 　42?。?br />
【分析】設(shè)所求向量的模為x，角B＝θ，由∠DAB＝∠BCD＝90°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和表示出角D＝π﹣θ，在三角形ABC中，利用余弦定理表示出cosθ，同理在三角形ACD中，利用余弦定理表示出cos（π﹣θ），根據(jù)誘導(dǎo)公式得到cosθ＝﹣cos（π﹣θ），列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，進(jìn)而所求向量的模．
【解答】解：設(shè)|AC|→=x，∠B=θ，
由∠DAB＝∠BCD＝90°，則∠D＝180°﹣θ，
△ABC中，|AB|→=1，|BC→|=5，|AC|→=x，
則cosθ=12+52?x22×1×5=26?x210；
△ACD中，|CD|→=5，|DA|→=7，|AC|→=x，
則cos(180°?θ)=72+52?x22×7×5=74?x270；
∵cos（180°﹣θ）＝﹣cosθ，
∴74?x270=?26?x210?x=32=42．
故答案為：42
23．甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°方向，兩船相距anmile，乙船正向北行駛．若甲船是乙船速度的3倍，則甲船應(yīng)向方向　北偏東30°　行駛才能追上乙船，追上時(shí)甲船行駛了　3a　nmile．
【分析】作出圖形，利用正弦定理計(jì)算甲船航行方向，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出甲船航行路程．
【解答】解：設(shè)乙船開始位置為B，且甲船在t小時(shí)后在C位置追上乙船，
則在△ABC中，AB＝a，AC=3BC，∠ABC＝120°，
由正弦定理可得：ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，
∴sin∠BAC=BC?sin∠ABCAC=12，
∴∠BAC＝30°，
∴甲船航行方向?yàn)椋罕逼珫|30°，
由三角形內(nèi)角和定理可知∠ACB＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴BC＝AB＝a，故AC=3BC=3a，
故答案為：北偏東30°，3a．

三．解答題（共3小題）
24．如圖，在△ABC中，AB＝2，cosB=13，點(diǎn)D在線段BC上．
（1）若∠ADC=34π，求AD的長；
（2）若BD＝2DC，△ACD的面積為432，求sin∠BADsin∠CAD的值．

【分析】（1）△ABD中，由正弦定理可得AD的長；
（2）利用BD＝2DC，△ACD的面積為432，求出BD，DC，利用余弦定理求出AC，利用正弦定理可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵△ABC中，cosB=13，∴sinB=223．
∵∠ADC=34π，∴∠ADB=π4．
△ABD中，由正弦定理可得AD223=222，∴AD=83；
（2）設(shè)DC＝a，則BD＝2a，
∵BD＝2DC，△ACD的面積為432，
∴42=12×2×3a×223，
∴a＝2
∴AC=4+36?2×2×6×13=42，
由正弦定理可得4sin∠BAD=2sin∠ADB，∴sin∠BAD＝2sin∠ADB．
2sin∠CAD=42sin∠ADC，∴sin∠CAD=24sin∠ADC，
∵sin∠ADB＝sin∠ADC，
∴sin∠BADsin∠CAD=42．
25．如圖，在平面四邊形ABCD中，∠ABC=5π6，AB⊥AD，AB＝23．
（Ⅰ）若AC＝213，求BC的值；
（Ⅱ）若AD＝2，設(shè)∠BAC＝θ，求△ACD的面積的取值范圍．

【分析】（Ⅰ）由已知利用余弦定理，可得BC2+6BC﹣40＝0，解方程即可得到BC的值．
（Ⅱ）由已知利用正弦定理，可得AC=3sin(π6?θ)，然后求出S△ACD，再結(jié)合θ的范圍，求出△ACD的面積的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）∵∠ABC=5π6，AB⊥AD，AB＝23，AC＝213，
∴△ABC中，由余弦定理，得AC2＝BA2+BC2﹣2BA?BC?cos∠ABC，
∴（213）2＝（23）2+BC2﹣2×23×BC×（?32），
∴BC2+6BC﹣40＝0，
∴解得BC＝4或BC＝﹣10（舍去）；
（Ⅱ）∵∠ABC=5π6，AB⊥AD，AB＝23，AD＝2，設(shè)∠BAC＝θ，
∴△ABC中，由正弦定理，得ACsin∠ABC=ABsin∠ACB，
∴AC=AB?sin∠ABCsin∠ACB=23×12sin(π?5π6?θ)=3sin(π6?θ)，
∴S△ACD=12AD?AC?sin∠DAC=12×2×3sin(π6?θ)×sin（π2?θ）
=3cosθ12cosθ?32sinθ=312?32tanθ，
∵θ∈(0，π6)，tanθ∈（0，33），
∴32tanθ∈（0，12），12?32tanθ∈（0，12），
∴S△ACD=312?32tanθ∈（23，+∞）．
26．如圖，海上有A，B兩個(gè)小島相距10海里，船O將保持觀望A島和B島所成的視角為θ，現(xiàn)從船O上派下一只小艇沿BO方向駛至C處進(jìn)行作業(yè)且OC＝OB，設(shè)AC=103海里．
（1）求OA2+OB2的值；
（2）用含θ的表達(dá)式表示△ABC的面積，并求出θ的最大值．

【分析】（1）在△AOB與△AOC中，分別利用余弦定理可得AB2＝100＝OA2+OB2﹣2OA?OB?cosθ，AC2＝300＝OA2+OC2﹣2OA?OC?cos（π﹣θ），兩式作和即可求得OA2+OB2的值；
（2）把（1）中的兩式作差可得OA?OB=50cosθ，用兩種方法寫出△ABC的面積，結(jié)合三角函數(shù)的有界性可得50tanθ≤503，即tanθ≤3，由此得到θ的最大值．
【解答】解：（1）在△AOB中，由余弦定理可知：AB2＝100＝OA2+OB2﹣2OA?OB?cosθ，①
在△AOC中，由余弦定理可知：AC2＝300＝OA2+OC2﹣2OA?OC?cos（π﹣θ），②
又OB＝OC，
①+②得：OA2+OB2＝200；
（2）①﹣②得：OA?OB=50cosθ，
∴S△ABC＝2S△OAB＝OA?OB?sinθ＝50tanθ．
又S△ABC=12AB?AC?sin∠BAC≤12AB?AC=503，
∴50tanθ≤503，即tanθ≤3，
∴θ的最大值為π3．

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