?人教版2022屆一輪復習打地基練習 共線向量
一．選擇題（共11小題）
1．下列關于向量的結(jié)論：
（1）若|a→|＝|b→|，則a→=b→或a→=?b→；
（2）向量a→與b→平行，則a→與b→的方向相同或相反；
（3）起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
（4）若向量a→與b→同向，且|a→|＞|b→|，則a→＞b→．
其中正確的序號為（　?。?br /> A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）
2．在四邊形ABCD中，若AC→=AD→+AB→，則（　?。?br /> A．四邊形ABCD是矩形
B．四邊形ABCD是菱形
C．四邊形ABCD是正方形
D．四邊形ABCD是平行四邊形
3．設e1→，e2→是兩個不共線的平面向量，若a→=3e1→?2e2→，b→=e1→+ke2→，且a→與b→共線，則實數(shù)k的值為（　　）
A．?12 B．12 C．?23 D．23
4．已知向量a→=(1，2)，b→=(1，0)，c→=(3，4)．若(a→+λb→)∥c→(λ∈R)，則實數(shù)λ＝（　?。?br /> A．2 B．1 C．12 D．14
5．下列命題正確的是（　?。?br /> A．單位向量都相等
B．若a→與b→共線，b→與c→共線，則a→與c→共線
C．若|a→+b→|＝|a→?b→|，則a→?b→=0
D．若a→與b→都是單位向量，則a→?b→=1
6．已知|a→|＝3，|b→|＝4，則“|a→+b→|＝7”是“向量a→與b→共線”的（　?。?br /> A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
7．向量a→=（1，2），b→=（2，λ），c→=（3，﹣1），且（a→+b→）∥c→，則實數(shù)λ＝（　?。?br /> A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
8．已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)的一點，OA→，OB→，OC→，OD→滿足OA→+OC→=OB→+OD→，OA→2+OC→2=OB→2+OD→2，則四邊形ABCD一定為（　?。?br /> A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
9．已知向量a→=（2，3），b→=（m，4），若a→，b→共線，則實數(shù)m＝（　?。?br /> A．﹣6 B．?83 C．83 D．6
10．已知向量m→=（a，﹣1），n→=（2b﹣1，3）（a＞0，b＞0），若m→∥n→，則2a+1b的最小值為（　?。?br /> A．12 B．8+43 C．15 D．10+23
11．設a→，b→不共線，AB→=a→?nb→，AC→=ma→+b→（n，m∈R），則A，B，C三點共線時有（　?。?br /> A．m＝n B．mn﹣1＝0 C．mn+1＝0 D．m+n＝0
二．多選題（共1小題）
12．下列說法中正確的是（　?。?br /> A．若a→∥b→，b→∥c→，則a→∥c→
B．兩個非零向量a→，b→，若|a→?b→|=|a→|+|b→|，則a→與b→共線且反向
C．若a→∥b→，則存在唯一實數(shù)λ使得a→=λb→
D．若P是三角形ABC的重心，則PA→+PB→+PC→=0→
三．填空題（共12小題）
13．已知向量a→=（1，2），寫出一個與a→共線的非零向量的坐標　 ?。?br /> 14．設e1→，e2→是空間兩個不共線的向量，已知AB→=e1→+ke2→，BC→=5e1→+4e2→，DC→=?e1→?2e2→，且A，B，D三點共線，則實數(shù)k＝　 ?。?br /> 15．已知O是直線AB外一點，平面OAB上一點C滿足OC→=2OA→+3OB→，P是線段AB和OC的交點，則|AP→|：|PB→|=　 ?。?br /> 16．已知向量a→與b→為一組基底，若ma→+4b→與a→+2b→平行，則實數(shù)m＝　 　．
17．已知m→=（﹣2，1），n→=（6，y），若2m→+n→與m→?2n→平行，則|2m→+n→|＝　 ?。?br /> 18．已知向量a→=(cosx，?1)，b→=(3sinx，?12)，若a→∥b→，則|a→|=　 ?。?br /> 19．已知a→，b→是不共線的平面向量，AB→=3a→?2b→，AC→=2a→+b→，AD→=?a→+xb→，若B，C，D三點共線，則實數(shù)x＝　 ?。?br /> 20．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共線向量一定相等；④相等向量一定共線；⑤長度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一個向量的兩個向量是共線向量中，不正確的命題是　 　．并對你的判斷舉例說明　 ?。?br /> 21．已知向量a→=（1，﹣2），b→=（x，4），且a→∥b→，則實數(shù)x＝　 　．
22．已知3OA→=OB→+λOC→，若A，B，C三點共線，則實數(shù)λ＝　 　．
23．已知向量m→=（a，1），n→=（4，a），若m→+n→與n→同向，則a＝　 ?。?br /> 24．已知向量a→與b→的不共線，若向量ka→+b→與向量a→?b→共線，則實數(shù)k＝　 ?。?br /> 四．解答題（共8小題）
25．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知向量m→=（a，3b），n→=（cosA，sinB），且m→∥n→．
（Ⅰ）求角A的大??；
（Ⅱ）若c＝5，cosB=217，求a的值．
26．已知四邊形ABCD是一個梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分別是DC、AB的中點，已知AB→=e1→，AC→=e2→．
（1）試用e1→，e2→分別表示AD→，MN→．
（2）若ke1→+e2→與2e1→+ke2→同向共線，求k的值．
27．已知向量a→=（1，2），b→=（﹣3，2）．
（1）求實數(shù)k，使得向量ka→+b→與a→?3b→平行；
（2）當向量ka→+b→與a→?3b→平行時，判斷它們是同向還是反向．
28．如圖，在矩形ABCD中，點E是AC的中點，點F在邊CD上．
（1）若點F是CD上靠近C的三等分點，試用AB→，AD→表示EF→；
（2）若有向量滿足BM→=λBC→，點F是CD上靠近C的四等分點，且AM→∥EF→，求λ的值．

29．在平面直角坐標平面內(nèi)，已知A（0，5），B（﹣1，3），C（3，t）．
（1）若t＝1，求證：△ABC為直角三角形；
（2）求實數(shù)t的值，使|AB→+AC→|最小；
（3）若存在實數(shù)λ，使AB→=λ?AC→，求實數(shù)λ、t的值．
30．設e1→，e2→是兩個不共線的非零向量．
（1）若a→=λe1→+4e2→與b→=e1→+λe2→共線，求實數(shù)λ的值；
（2）若AB→=2e1→+ke2→，CB→=e1→+3e2→，CD→=2e1→?e2→，則當k為何值時，A，B，D三點共線．
31．已知e1→，e2→不共線，若ke1→+e2→∥e1→+ke2→，試確定k的值．
32．如圖，已知在?ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，且AE＝FC=14AC，用向量方法證明四邊形DEBF也是平行四邊形．


人教版2022屆一輪復習打地基練習 共線向量
參考答案與試題解析
一．選擇題（共11小題）
1．下列關于向量的結(jié)論：
（1）若|a→|＝|b→|，則a→=b→或a→=?b→；
（2）向量a→與b→平行，則a→與b→的方向相同或相反；
（3）起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；
（4）若向量a→與b→同向，且|a→|＞|b→|，則a→＞b→．
其中正確的序號為（　　）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（4） D．（3）
【分析】根據(jù)向量的定義，平行向量和相等向量的定義判斷即可．
【解答】解：根據(jù)向量的定義可判斷（1）（4）錯誤，向量a→，b→都是零向量時，由向量a→，b→平行得不出方向相同或相反，從而判斷（2）錯誤，根據(jù)相等向量的定義可判斷（3）正確．
故選：D．
2．在四邊形ABCD中，若AC→=AD→+AB→，則（　?。?br /> A．四邊形ABCD是矩形
B．四邊形ABCD是菱形
C．四邊形ABCD是正方形
D．四邊形ABCD是平行四邊形
【分析】根據(jù)平面向量加法幾何意義可解決此題．
【解答】解：∵AC→=AD→+AB→，AC→=AD→+DC→，
∴AB→=DC→，∴AB=∥DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．
故選：D．
3．設e1→，e2→是兩個不共線的平面向量，若a→=3e1→?2e2→，b→=e1→+ke2→，且a→與b→共線，則實數(shù)k的值為（　?。?br /> A．?12 B．12 C．?23 D．23
【分析】根據(jù)平面向量的共線定理，列方程求出實數(shù)k的值．
【解答】解：因為a→=3e1→?2e2→，b→=e1→+ke2→，且a→與b→共線，
所以13=k?2，解得k=?23，
所以實數(shù)k的值為?23．
故選：C．
4．已知向量a→=(1，2)，b→=(1，0)，c→=(3，4)．若(a→+λb→)∥c→(λ∈R)，則實數(shù)λ＝（　?。?br /> A．2 B．1 C．12 D．14
【分析】利用向量運算和向量共線定理即可得出．
【解答】解：∵向量a→=(1，2)，b→=(1，0)，c→=(3，4)．
∴a→+λb→=（1，2）+λ（1，0）＝（1+λ，2），
∵(a→+λb→)∥c→(λ∈R)，
∴4（1+λ）﹣3×2＝0，解得λ=12．
故選：C．
5．下列命題正確的是（　?。?br /> A．單位向量都相等
B．若a→與b→共線，b→與c→共線，則a→與c→共線
C．若|a→+b→|＝|a→?b→|，則a→?b→=0
D．若a→與b→都是單位向量，則a→?b→=1
【分析】題設條件簡單，本題的解題需要從選項入手，逐一進行驗證排除．
【解答】解：向量有大小、方向兩個屬性，向量的相等指的是大小相等方向相同，故A不對；
B選項對三個非零向量是正確的，若b→是零向量時，若a→與b→共線，b→與c→共線，則a→與c→共線不一定成立．
當兩個向量互相垂直時兩向量和的模與差的模一定相等，故C選項是正確的．
若a→與b→都是單位向量，則a→?b→=1不一定成立，當兩者垂直時，內(nèi)積為零．
故選：C．
6．已知|a→|＝3，|b→|＝4，則“|a→+b→|＝7”是“向量a→與b→共線”的（　?。?br /> A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)|a→+b→|＝7，得到兩個向量的夾角為0，又向量a→與b→共線，可得兩個向量的夾角為0或π，結(jié)合充分條件和必要條件的定義，分析即可．
【解答】解：因為|a→+b→|＝7，則有|a→|2+2|a→|?|b→|cosθ+|b→|2=49，
又|a→|＝3，|b→|＝4，
則有cosθ＝1，所以θ＝0，
又向量a→與b→共線，則有θ＝0或π，
所以“|a→+b→|＝7”是“向量a→與b→共線”的充分而不必要條件．
故選：A．
7．向量a→=（1，2），b→=（2，λ），c→=（3，﹣1），且（a→+b→）∥c→，則實數(shù)λ＝（　?。?br /> A．3 B．﹣3 C．7 D．﹣7
【分析】可求出a→+b→=(3，λ+2)，這樣根據(jù)(a→+b→)∥c→即可得出3（λ+2）+3＝0，解出λ即可．
【解答】解：a→+b→=(3，λ+2)，且(a→+b→)∥c→，
∴3（λ+2）+3＝0，解得λ＝﹣3．
故選：B．
8．已知O為四邊形ABCD所在平面內(nèi)的一點，OA→，OB→，OC→，OD→滿足OA→+OC→=OB→+OD→，OA→2+OC→2=OB→2+OD→2，則四邊形ABCD一定為（　　）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．等腰梯形
【分析】把已知中的兩個等式進行移向轉(zhuǎn)化成減法，再用向量減法幾何意義可解決此題．
【解答】解：∵OA→+OC→=OB→+OD→，∴OA→?OB→=OD→?OC→，∴BA→=CD→，∴四邊形ABCD是平行四邊形．
∵OA→2+OC→2=OB→2+OD→2，∴OA→2?OB→2=OD→2?OC→2，∴（OA→+OB→）?（OA→?OB→）＝（OD→+OC→）?（OD→?OC→），
∴（OA→+OB→）?BA→=（OD→+OC→）?CD→，∴（OA→+OB→）?BA→?（OD→+OC→）?CD→=0，又∵BA→=CD→，
∴（OA→+OB→?OD→?OC→）?CD→=0，∴（DA→+CB→）?CD→=0，又∵DA→=CB→，∴2DA→?CD→=0，∴DA→?CD→=0，DA→⊥CD→，
∴∠D是直角．
∴四邊形ABCD是矩形．
故選：B．
9．已知向量a→=（2，3），b→=（m，4），若a→，b→共線，則實數(shù)m＝（　?。?br /> A．﹣6 B．?83 C．83 D．6
【分析】利用向量平行的性質(zhì)直接求解．
【解答】解：∵向量a→=（2，3），b→=（m，4），a→，b→共線，
∴m2=43，
解得實數(shù)m=83．
故選：C．
10．已知向量m→=（a，﹣1），n→=（2b﹣1，3）（a＞0，b＞0），若m→∥n→，則2a+1b的最小值為（　?。?br /> A．12 B．8+43 C．15 D．10+23
【分析】由m→∥n→可得3a+2b＝1，然后根據(jù)2a+1b=（2a+1b）（3a+2b），利用基本不等式可得結(jié)果．
【解答】解：∵m→=（a，﹣1），n→=（2b﹣1，3）（a＞0，b＞0），m→∥n→，
∴3a+2b﹣1＝0，即3a+2b＝1，
∴2a+1b=（2a+1b）（3a+2b）
＝8+4ba+3ab
≥8+24ba?3ab
＝8+43，
當且僅當4ba=3ab，即a=3?36，b=3?14，時取等號，
∴2a+1b的最小值為：8+43．
故選：B．
11．設a→，b→不共線，AB→=a→?nb→，AC→=ma→+b→（n，m∈R），則A，B，C三點共線時有（　?。?br /> A．m＝n B．mn﹣1＝0 C．mn+1＝0 D．m+n＝0
【分析】根據(jù)條件知AB→，AC→共線，從而可得出ma→+b→=λa→?nλb→，然后根據(jù)平面向量基本定理可得出λ=m1=?nλ，這樣即可得出正確的選項．
【解答】解：∵A，B，C三點共線，
∴AB→，AC→共線，
又a→，b→不共線，∴AB→≠0→，
∴存在λ，使AC→=λAB→，即ma→+b→=λa→?nλb→，
∴λ=m?nλ=1，
∴mn+1＝0．
故選：C．
二．多選題（共1小題）
12．下列說法中正確的是（　?。?br /> A．若a→∥b→，b→∥c→，則a→∥c→
B．兩個非零向量a→，b→，若|a→?b→|=|a→|+|b→|，則a→與b→共線且反向
C．若a→∥b→，則存在唯一實數(shù)λ使得a→=λb→
D．若P是三角形ABC的重心，則PA→+PB→+PC→=0→
【分析】若b→=0→可判斷A；根據(jù)向量減法幾何意義可判斷B；若b→=0→可判斷C；根據(jù)重心特點可判斷D．
【解答】若b→=0→可滿足“a→∥b→，b→∥c→”，但a→∥c→不一定成立，∴A錯；
根據(jù)向量減法幾何意義可知B對；
若b→=0→可滿足a→∥b→，但不滿足存在唯一實數(shù)λ使得a→=λb→，∴C錯；
如圖所示：

PA→+PB→+PC→=?23（AD→+BE→+CF→）=?23（12AB→+12AC→+12BA→+12BC→+12CB→+12CA→）=0→，∴D對．
故選：BD．
三．填空題（共12小題）
13．已知向量a→=（1，2），寫出一個與a→共線的非零向量的坐標?。?，4）?。?br /> 【分析】答案不唯一，縱坐標為橫坐標2倍即可．
【解答】解：向量a→=（1，2），
與a→共線的非零向量的坐標縱坐標為橫坐標2倍，例如（2，4）．
故答案為：（2，4）．
14．設e1→，e2→是空間兩個不共線的向量，已知AB→=e1→+ke2→，BC→=5e1→+4e2→，DC→=?e1→?2e2→，且A，B，D三點共線，則實數(shù)k＝　1　．
【分析】由題意可得向量AB→和BD→共線，存在實數(shù)λ，使AB→=λBD→，可得關于k，λ的方程組，進行求解即可．
【解答】解：∵A，B，D三點共線，
∴向量AB→和BD→共線，故存在實數(shù)λ，使AB→=λBD→，
由題意可得BD→=BC→+CD→=（5e1→+4e2→）+（e1→+2e2→）＝6（e1→+e2→），
即e1→+ke2→=6λe1→+6λe2→，
故可得 6λ=16λ=k，解得 λ=1k=1，
故k＝1，
故答案為：1．
15．已知O是直線AB外一點，平面OAB上一點C滿足OC→=2OA→+3OB→，P是線段AB和OC的交點，則|AP→|：|PB→|=　3：2?。?br /> 【分析】由三點共線可得OC→=λOP→，再由P、A、B三點共線可得2λ+3λ=1，代入由向量的運算可得AP→=AO→+OP→=35AB→，進而可得答案．
【解答】解：由題意可得O、P、C三點共線，所以OC→=λOP→=2OA→+3OB→，
∴OP→=2λOA→+3λOB→，又因為P、A、B三點共線，
所以2λ+3λ=1，解得λ＝5，故OP→=25OA→+35OB→，
故AP→=AO→+OP→=?35OA→+35OB→=35AB→，
所以|AP→|：|PB→|=3：2
故答案為：3：2
16．已知向量a→與b→為一組基底，若ma→+4b→與a→+2b→平行，則實數(shù)m＝　2?。?br /> 【分析】利用平面向量共線定理可解決此題．
【解答】解：∵ma→+4b→與a→+2b→平行，∴設ma→+4b→=k(a→+2b→)，
由∵向量a→與b→為一組基底，∴m=k4=2k,解得：m＝2．
故m的值為：2．
17．已知m→=（﹣2，1），n→=（6，y），若2m→+n→與m→?2n→平行，則|2m→+n→|＝　5?。?br /> 【分析】利用平面向量坐標運算法則求出2m→+n→=（2，2+y），m→?2n→=（﹣14，1﹣2y），再由2m→+n→與m→?2n→平行，求出y＝﹣3．從而2m→+n→=（2，﹣1），由此能求出|2m→+n→|．
【解答】解：∵m→=（﹣2，1），n→=（6，y），
∴2m→+n→=（2，2+y），m→?2n→=（﹣14，1﹣2y），
∵2m→+n→與m→?2n→平行，
∴2×（1﹣2y）﹣（﹣14）×（2+y）＝0，解得y＝﹣3．
∴2m→+n→=（2，﹣1），
∴|2m→+n→|=22+(?1)2=5．
故答案為：5．
18．已知向量a→=(cosx，?1)，b→=(3sinx，?12)，若a→∥b→，則|a→|=　51313?。?br /> 【分析】根據(jù)平面向量共線定理求出cosx與sinx的關系，再由sin2x+cos2x＝1求出cos2x的值，即可計算|a→|．
【解答】解：向量a→=(cosx，?1)，b→=(3sinx，?12)，
若a→∥b→，則?12cosx﹣（﹣1）?3sinx＝0，
∴sinx=123cosx；
又sin2x+cos2x＝1，
∴112cos2x+cos2x＝1，
解得cos2x=1213，
∴|a→|=cos2x+1=1213+1=51313．
故答案為：51313．
19．已知a→，b→是不共線的平面向量，AB→=3a→?2b→，AC→=2a→+b→，AD→=?a→+xb→，若B，C，D三點共線，則實數(shù)x＝　10?。?br /> 【分析】可求出BC→=?a→+3b→，CD→=?3a→+(x?1)b→，根據(jù)B，C，D共線可得出BC→與CD→共線，從而可得出?3a→+(x?1)b→=?λa→+3λb→，進而得出?λ=?3x?1=3λ，然后解出λ的值即可．
【解答】解：BC→=AC→?AB→=?a→+3b→，CD→=AD→?AC→=?3a→+(x?1)b→，
∵B，C，D三點共線，
∴BC→與CD→共線，且a→，b→不共線，則BC→≠0→，
∴存在實數(shù)λ，使CD→=λBC→，即?3a→+(x?1)b→=?λa→+3λb→，
∴?λ=?3x?1=3λ，解得λ＝10．
故答案為：10．
20．在①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共線向量一定相等；④相等向量一定共線；⑤長度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一個向量的兩個向量是共線向量中，不正確的命題是?、佗冖邰茛蕖。δ愕呐袛嗯e例說明　a→=(1，2)，b→=(?1，?2)?。?br /> 【分析】利用向量共線的定義、向量相等的定義對6個命題進行判斷．
【解答】解：∵平行向量即為共線向量其定義是方向相同或相反；
相等向量的定義是模相等、方向相同；
平行于零向量的兩個向量不一定是共線向量
故不正確的命題有①②③⑤⑥
例如：a→=(1，2)，b→=(?1，?2)滿足a→∥b→，且|a|→=|b→|但a→≠b→
故答案為①②③⑤⑥；a→=(1，2)，b→=(?1，?2)
21．已知向量a→=（1，﹣2），b→=（x，4），且a→∥b→，則實數(shù)x＝　﹣2?。?br /> 【分析】由向量的平行可得1×4﹣（﹣2）x＝0，解之即可．
【解答】解：由已知a→=(1，?2)，b→=(x，4)，且a→∥b→，
所以1×4﹣（﹣2）x＝0，解得x＝﹣2，
故答案為：﹣2
22．已知3OA→=OB→+λOC→，若A，B，C三點共線，則實數(shù)λ＝　2?。?br /> 【分析】由題意得OA→=13OB→+λ3OC→，利用A，B，C三點共線列方程求出λ的值．
【解答】解：由3OA→=OB→+λOC→，得OA→=13OB→+λ3OC→，
又A，B，C三點共線，
所以13+λ3=1，
解得λ＝2．
故答案為：2．
23．已知向量m→=（a，1），n→=（4，a），若m→+n→與n→同向，則a＝　±2?。?br /> 【分析】根據(jù)平面向量的坐標運算與共線定理，列方程求出a的值，再驗證向量m→+n→與n→是否同向即可．
【解答】解：向量m→=（a，1），n→=（4，a），
所以m→+n→=（a+4，a+1）；
又向量m→+n→與n→同向，
所以（m→+n→）∥n→，
即（a+4）a﹣4（a+1）＝0，
解得a＝±2；
經(jīng)檢驗a＝±2都滿足題意．
故答案為：±2．
24．已知向量a→與b→的不共線，若向量ka→+b→與向量a→?b→共線，則實數(shù)k＝　﹣1?。?br /> 【分析】利用向量共線定理即可得出．
【解答】解：∵向量ka→+b→與向量a→?b→共線，
可設ka→+b→=λ(a→?b→)，
于是k=λ，1=?λ，
∴k＝﹣1．
故答案為：﹣1．
四．解答題（共8小題）
25．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知向量m→=（a，3b），n→=（cosA，sinB），且m→∥n→．
（Ⅰ）求角A的大??；
（Ⅱ）若c＝5，cosB=217，求a的值．
【分析】（Ⅰ）根據(jù)m→∥n→即可得出asinB?3bcosA=0，然后根據(jù)正弦定理即可得出sinA=3cosA，然后即可求出A=π3；
（Ⅱ）可先求出sinB=277，sinC=5714，然后根據(jù)正弦定理可求出b的值，進而根據(jù)余弦定理可求出a的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵m→∥n→，
∴asinB?3bcosA=0，
∴根據(jù)正弦定理得，sinAsinB?3sinBcosA=0，且sinB＞0，
∴sinA=3cosA，tanA=3，且A∈（0，π），
∴A=π3；
（Ⅱ）∵cosB=217，∴sinB=277，且C=2π3?B，
∴sinC=sin(2π3?B)=32×217+12×277=5714，且c＝5，
∴根據(jù)正弦定理得，csinC=bsinB，即55714=b277，解得b＝4，
∴根據(jù)余弦定理得，a2＝b2+c2﹣2bccosA＝16+25﹣2×4×5×12=21，
∴a=21．
26．已知四邊形ABCD是一個梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分別是DC、AB的中點，已知AB→=e1→，AC→=e2→．
（1）試用e1→，e2→分別表示AD→，MN→．
（2）若ke1→+e2→與2e1→+ke2→同向共線，求k的值．
【分析】（1）AD→=AC→+CD→，MN→=MD→+DA→+AN→，由此能用用e1→，e2→分別表示AD→，MN→．
（2）由ke1→+e2→與2e1→+ke2→同向共線，得到ke1→+e2→=λ（2e1→+ke2→），且λ＞0，由此能求出k的值．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是一個梯形，AB∥CD，且AB＝2CD，
M、N分別是DC、AB的中點，AB→=e1→，AC→=e2→．
∴AD→=AC→+CD→=e2→?12e1→，
MN→=MD→+DA→+AN→
=?14e1→+12e1→?e2→+12e1→
=34e1→?e2→．
（2）∵ke1→+e2→與2e1→+ke2→同向共線，
∴ke1→+e2→=λ（2e1→+ke2→），且λ＞0，
∴k=2λ1=kλ，λ＞0，
解得k=2．

27．已知向量a→=（1，2），b→=（﹣3，2）．
（1）求實數(shù)k，使得向量ka→+b→與a→?3b→平行；
（2）當向量ka→+b→與a→?3b→平行時，判斷它們是同向還是反向．
【分析】（1）根據(jù)平面向量的坐標運算與共線定理，列方程求出k的值；
（2）由（1）知k的值，代入寫出ka→+b→和a→?3b→，再判斷它們是同向還是反向．
【解答】解：（1）向量a→=（1，2），b→=（﹣3，2），
則ka→+b→=（k，2k）+（﹣3，2）＝（k﹣3，2k+2），
a→?3b→=（1，2）﹣（﹣9，6）＝（10，﹣4）；
又向量ka→+b→與a→?3b→平行，
所以（k﹣3）×（﹣4）﹣10（2k+2）＝0，
解得k=?13；
（2）由（1）知，向量ka→+b→與a→?3b→平行時，k=?13；
此時，ka→+b→=（?13?3，?23+2）=?13（10，﹣4）
又a→?3b→=（10，﹣4），
所以ka→+b→=?13（a→?3b→），
向量ka→+b→與a→?3b→反向．
28．如圖，在矩形ABCD中，點E是AC的中點，點F在邊CD上．
（1）若點F是CD上靠近C的三等分點，試用AB→，AD→表示EF→；
（2）若有向量滿足BM→=λBC→，點F是CD上靠近C的四等分點，且AM→∥EF→，求λ的值．

【分析】（1）直接利用向量的加減法運算求解；
（2）建立直角坐標系，利用坐標運算，即可求得λ的值．
【解答】解：（1）∵E是AC中點，∴EC→=12AC→=12AB→+12AD→．
∵點F是CD上靠近C的三等分點，∴CF→=?13DC→=?13AB→．
∴EF→=EC→+CF→=12AB→+12AD→?13AB→=16AB→+12AD→．
（2）以A為原點，建立如圖所示的直角坐標系，
設AB＝a，AD＝b，
則A（0，0），B（a，0），C（a，b），E（a2，b2），F(xiàn)（34a，b），
AM→=AB→+BM→=AB→+λBC→=（a，0）+λ（0，b）＝（a，λb），
EF→=（a4，b2），
∵AM→∥EF→，∴ab2=a4?λb，
解得λ＝2．

29．在平面直角坐標平面內(nèi)，已知A（0，5），B（﹣1，3），C（3，t）．
（1）若t＝1，求證：△ABC為直角三角形；
（2）求實數(shù)t的值，使|AB→+AC→|最??；
（3）若存在實數(shù)λ，使AB→=λ?AC→，求實數(shù)λ、t的值．
【分析】（1）當t＝1時，C（3，1），求出AB→，BC→，由AB→?BC→=0，能證明△ABC為直角三角形．
（2）求出AB→=(?1，?2)，AC→=(3，t?5)，從而|AB→+AC→|=4+(t?7)2，由此能求出結(jié)果．
（3）由AB→=λ?AC→，列出方程組，能求出實數(shù)λ、t的值．
【解答】證明：（1）當t＝1時，C（3，1），
則AB→=(?1，?2)，BC→=(4，?2)?（2分）
∴AB→?BC→=?1×4+(?2)×(?2)=0，
∴AB→⊥BC→，
∴△ABC為直角三角形．…（4分）
解：（2）AB→=(?1，?2)，AC→=(3，t?5)，
∴AB→+AC→=(?1，?2)+(3，t?5)=(2，t?7)?（6分）
∴|AB→+AC→|=4+(t?7)2
當t＝7時，|AB→+AC→|的最小值為2．…（9分）
（3）由AB→=λ?AC→，得：
(?1，?2)=λ?(3，t?5)??1=3λ?2=λ(t?5)?（12分）
解是λ=?13t=11?（14分）
30．設e1→，e2→是兩個不共線的非零向量．
（1）若a→=λe1→+4e2→與b→=e1→+λe2→共線，求實數(shù)λ的值；
（2）若AB→=2e1→+ke2→，CB→=e1→+3e2→，CD→=2e1→?e2→，則當k為何值時，A，B，D三點共線．
【分析】（1）直接利用向量共線的條件列等式求解即可，
（2）利用向量共線的充要條件，列出方程組求解即可．
【解答】解：（1）∵a→，b→共線，∴存在實數(shù)k，使得a→=kb→．
即λe1+4e2＝k（e1+λe2），
∴λe1→+4e2→=ke1→+kλe2→，
∵e1→，e2→是是不共線的非零向量，
∴解得λ＝±2，
（2）∵CB→=e1→+3e2→，CD→=2e1→?e2→，
∴BD→=CD→?CB→=（2e1→?e2→）﹣（e1→+3e2→）=e1→?4e2→，
若A，B，D三點共線，則一定存在唯一實數(shù)λ，使AB→=λBD→．
即2e1→+ke2→=λ（e1→?4e2→），
∴（λ﹣2）e1→=（k+4λ）e2→，
∵e1→，e2→是不共線的非零向量，
∴λ﹣2＝k+4λ＝0，解得λ＝2，k＝﹣4λ＝﹣8．
∴當k＝﹣8時，A，B，D三點共線．
31．已知e1→，e2→不共線，若ke1→+e2→∥e1→+ke2→，試確定k的值．
【分析】據(jù)條件可知，e1→+ke2→≠0→，而根據(jù)(ke1→+e2→)∥(e1→+ke2→)可知，存在實數(shù)λ，使得ke1→+e2→=λ(e1→+ke2→)，從而得出k=λλk=1，解出k即可．
【解答】解：∵e1→，e2→不共線；
∴e1→+ke2→≠0→；
又ke1→+e2→∥e1→+ke2→；
∴存在實數(shù)λ，使ke1→+e2→=λe1→+kλe2→；
即k=λ1=λk；
解得k＝±1．
32．如圖，已知在?ABCD中，E，F(xiàn)是對角線AC上的兩點，且AE＝FC=14AC，用向量方法證明四邊形DEBF也是平行四邊形．

【分析】用AB→，AD→表示出DE→，F(xiàn)B→即可得出DE→=FB→，從而得出結(jié)論．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC→=AB→+AD→，且AD→=BC→，
∵AE＝FC=14AC，∴AE→=FC→=14AC→=14AB→+14AD→，
∴DE→=AE→?AD→=14AB→+14AD→?AD→=14AB→?34AD→，
FB→=FC→+CB→=14AB→+14AD→?BC→=14AB→+14AD→?AD→=14AB→?34AD→，
∴DE→=FB→，
∴DE＝FB，DE∥FB，
∴四邊形DEBF是平行四邊形．

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