A．33B．±63C．?63D．63
2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知csinC﹣bsinB＝2asinA，c＝2b，則sinA＝（ ）
A．158B．78C．55D．255
3．在△ABC中，a＝43，b＝12，A=π6，則此三角形（ ）
A．無(wú)解B．兩解
C．一解D．解的個(gè)數(shù)不確定
4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a、b、c，若A＝45°，B＝60°，a＝2，則b＝（ ）
A．6B．2C．3D．26
5．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的邊，已知2acsC＝2b+3c，則角A等于（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
6．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，若a＝2ccsB，則△ABC的形狀為（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等邊三角形D．等腰直角三角形
7．在△ABC中，已知 a＝4，b＝6，B＝60°，則sinA的值為（ ）
A．33B．32C．63D．62
8．已知△ABC中三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若B=30°，b=1，c=3，則△ABC的面積為（ ）
A．32B．34C．32或34D．32或3
9．已知在△ABC中，a、b、c分別是三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，且sinA?sinCsinB=sinA?sinBsinA+sinC，則∠C＝（ ）
A．π6B．π3C．5π6D．2π3
10．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA+acs（B+C）＝0，若c=2，sinC=35，則a+b等于（ ）
A．43B．42C．26D．25
二．填空題（共13小題）
11．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若csB=45，csC=513，c＝4，則a＝ ．
12．在銳角三角形ABC中，已知A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且（2csinB?3a）sinA=3（csinC﹣bsinB），則B＝ ，ac的取值范圍為 ．
13．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分線交AB于點(diǎn)D，且CD＝2，則a+4b的最小值為 ．
14．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若B＝2A，csAcsBcsC＞0，則asinAb的取值范圍是 ．
15．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)BC＝2AB＝2，CD＝DA=7，則AC＝ ，四邊形ABCD的面積為 ．
16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知ccsA+acsC=3，B=π3，則a+csinA+sinC= ．
17．在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，2c?3b=2acsB，a=7．則3b?c的取值范圍為 ．
18．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足a2+b2＝c2+ab．若b＝4，且△ABC為銳角三角形，則△ABC面積的取值范圍為 ．
19．在△ABC中，AB＝AC，D為AC的中點(diǎn)，BD＝2，則△ABC面積的最大值為 ．
20．在△ABC中，a2+b2＝kc2，且ctC＝2004（ctA+ctB），則常數(shù)k的值為 ．
21．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且3asinB＝bsin（B+C）tanC，則csC＝ ．
22．在△ABC中，AB＝1，sinB＝5sinC，csA=25，則BC＝ ．
23．在△ABC中，tanA+B2=2sinC，若AB＝1，則12AC+BC的最大值為 ．
三．解答題（共4小題）
24．在ΔABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知3bsinA＝atanB．
（Ⅰ）求csB的值；
（Ⅱ）求sin(2B?π6)的值．
25．請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答．
①2sin（A+C）+2sin（B+C）cs（A+B）＝sin（A+B）；
②tanA+tanB+tanC?3tanBtanC＝0；
③3csA（bcsA+acsB）﹣csinA＝0，
已知△ABC中的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，_____．
（1）求A；
（2）若a+2b＝3且a2≤bc，求△ABC的面積．
26．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知b2＝ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC＝asinC．
（1）證明：BD＝b；
（2）若AD＝2DC，求cs∠ABC．
27．如圖，在平面四邊形ABCD中，BC＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°．
（1）若∠CBD＝30°，求三角形ABD的面積；
（2）若AD=6?22，求∠CBD的大?。?br>人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 正弦定理
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，則csC＝（ ）
A．33B．±63C．?63D．63
【分析】由已知及正弦定理可得sinC=ABsinBAC=33，又AB＜AC，利用大邊對(duì)大角可得C為銳角，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求得csC得值．
【解答】解：∵AB＝2，AC＝3，∠B＝60°，
∴由正弦定理可得：sinC=ABsinBAC=2×323=33，
又∵AB＜AC，C為銳角，
∴csC=1?sin2C=63．
故選：D．
2．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知csinC﹣bsinB＝2asinA，c＝2b，則sinA＝（ ）
A．158B．78C．55D．255
【分析】直接利用余弦定理的應(yīng)用和三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出結(jié)果．
【解答】解：△ABC中，已知csinC﹣bsinB＝2asinA，
整理得c2﹣b2＝2a2，
由于c＝2b，
所以3b=2a，a=3b2，
故根據(jù)余弦定理csA=b2+c2?a22bc=78，
由于0＜A＜π，
所以sinA=1?(78)2=158，
故選：A．
3．在△ABC中，a＝43，b＝12，A=π6，則此三角形（ ）
A．無(wú)解B．兩解
C．一解D．解的個(gè)數(shù)不確定
【分析】由已知可求bsinA＜a＜b，利用正弦定理即可求解三角形有兩解．
【解答】解：在△ABC中，a＝43，b＝12，A=π6，
則bsinA＝12×12=6，
可得bsinA＜a＜b，
可得此三角形有兩解．
故選：B．
4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a、b、c，若A＝45°，B＝60°，a＝2，則b＝（ ）
A．6B．2C．3D．26
【分析】由已知利用正弦定理即可計(jì)算得解．
【解答】解：∵A＝45°，B＝60°，a＝2，
∴由正弦定理asinA=bsinB，可得：b=a?sinBsinA=2×3222=6．
故選：A．
5．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的邊，已知2acsC＝2b+3c，則角A等于（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【分析】△ABC中，由條件利用正弦定理可得2csAsinC=?3sinC，化簡(jiǎn)可得csA=?32，由此求得A的值．
【解答】解：△ABC中，∵2acsC＝2b+3c．
∴由正弦定理得：2sinB+3sinC＝2sinAcsC，
∵2sinB＝2sin（A+C）＝2sinAcsC+2csAsinC，
∴化簡(jiǎn)可得：2csAsinC+3sinC＝0，
∵sinC≠0，
∴csA=?32，
∴由A∈（0，π），可得：A=5π6．
故選：D．
6．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，若a＝2ccsB，則△ABC的形狀為（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等邊三角形D．等腰直角三角形
【分析】已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，將sinA＝sin（B+C）代入并利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，得到sin（B﹣C）＝0，確定出B＝C，即可得出三角形形狀．
【解答】解：已知等式a＝2ccsB，利用正弦定理化簡(jiǎn)得：sinA＝2sinCcsB，
將sinA＝sin（B+C）＝sinBcsC+csBsinC代入得：sinBcsC+csBsinC＝2sinCcsB，即sinBcsC﹣csBsinC＝sin（B﹣C）＝0，
∴B﹣C＝0，即B＝C，
則△ABC為等腰三角形．
故選：B．
7．在△ABC中，已知 a＝4，b＝6，B＝60°，則sinA的值為（ ）
A．33B．32C．63D．62
【分析】由B的度數(shù)求出sinB的值，再由a與b的值，利用正弦定理即可求出sinA的值．
【解答】解：∵a＝4，b＝6，B＝60°，
∴由正弦定理asinA=bsinB得：sinA=asinBb=4×326=33．
故選：A．
8．已知△ABC中三內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若B=30°，b=1，c=3，則△ABC的面積為（ ）
A．32B．34C．32或34D．32或3
【分析】由b，c及csB的值，利用余弦定理求出a的值，再由a，c及sinB的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．
【解答】解：∵B＝30°，b＝1，c=3，
∴由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accsB，即1＝a2+3﹣3a，
解得：a＝1或a＝2，
當(dāng)a＝1時(shí)，S△ABC=12acsinB=34；當(dāng)a＝2時(shí)，S△ABC=12acsinB=32．
故選：C．
9．已知在△ABC中，a、b、c分別是三個(gè)內(nèi)角∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，且sinA?sinCsinB=sinA?sinBsinA+sinC，則∠C＝（ ）
A．π6B．π3C．5π6D．2π3
【分析】由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理可得：csC=a2+b2?c22ab=ab2ab=12，結(jié)合C的范圍即可得解．
【解答】解：∵由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得：a?cb=a?ba+c
∴a2﹣c2＝ab﹣b2
∴a2+b2﹣c2＝ab
∴由余弦定理可得：csC=a2+b2?c22ab=ab2ab=12，
又∵0＜C＜π，
∴解得：C=π3，
故選：B．
10．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且bsinA+acs（B+C）＝0，若c=2，sinC=35，則a+b等于（ ）
A．43B．42C．26D．25
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和正弦定理，利用三角函數(shù)的恒等變換，求得A、B、C的關(guān)系，再利用正弦定理計(jì)算a+b的值．
【解答】解：△ABC中，bsinA+acs（B+C）＝0，
∴bsinA﹣acsA＝0，
由正弦定理得sinBsinA﹣sinAcsA＝0，
又A∈（0，π），∴sinA≠0，
∴sinB﹣csA＝0，即csA＝sinB；
∴csA＝sin（π2+A）＝sinB，
∴π2+A+B＝π，即C＝A+B=π2；
或B=π2+A，即B﹣A=π2；
又∵sinC=35，∴B﹣A=π2，
∴csC＝sin（π2?C）＝sin2A＝2sinAcsA=45，
∴1+2sinAcsA＝（sinA+csA）2=95，
解得sinA+csA=355；
∴a+b=csinC（sinA+sinB）=103（sinA+csA）=103×355=25．
故選：D．
二．填空題（共13小題）
11．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若csB=45，csC=513，c＝4，則a＝ 215 ．
【分析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，sinC的值，進(jìn)而利用三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式可求sinA，進(jìn)而利用正弦定理可求a的值．
【解答】解：∵csB=45，csC=513，c＝4，
∴由題意可得：sinB=35，sinC=1213，
∴sinA=sin(B+C)=sinBcsC+csBsinC=6365，
∴a=csinC?sinA=4×1312×6365=215．
故答案為：215．
12．在銳角三角形ABC中，已知A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且（2csinB?3a）sinA=3（csinC﹣bsinB），則B＝ π3 ，ac的取值范圍為 （12，2） ．
【分析】由正、余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知等式可得tanB，結(jié)合范圍B∈(0，π2)，可求B=π3，結(jié)合△ABC為銳角三角形，解得范圍π6＜C＜π2，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求ac=321tanC+12，根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)即可求解其范圍．
【解答】解：因?yàn)椋?csinB?3a）sinA=3（csinC﹣bsinB），
可得2csinBsinA=3（asinA+csinC﹣bsinB），
由正、余弦定理，可得2acsinB=3（a2+c2﹣b2）＝23accsB，
所以tanB=3，又B∈(0，π2)，所以B=π3，
所以ac=sinAsinC=sin(2π3?C)sinC=32csC+12sinCsinC=32×1tanC+12，
因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，0＜C＜π20＜A=2π3?C＜π2，解得π6＜C＜π2，
所以tanC＞33，所以0＜1tanC＜3，
所以ac=321tanC+12∈（12，2）．
故答案為：π3，（12，2）．
13．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，∠ACB＝90°，∠ACB的角平分線交AB于點(diǎn)D，且CD＝2，則a+4b的最小值為 92 ．
【分析】由S△ABC＝S△ADC+S△BDC，可得ab=2（a+b），即為1a+1b=22，則a+4b=2（a+4b）（1a+1b），展開(kāi)后運(yùn)用基本不等式即可得到所求最小值．
【解答】解：由S△ABC＝S△ADC+S△BDC，
且AC＝b，BC＝a，CD＝2，∠ACB＝90°，∠ACD＝∠BCD＝45°，
則12absin90°=12?2b?sin45°+12?2a?sin45°，
即為12ab=22b+22a，
即ab=2（a+b），
可得1a+1b=22，
則a+4b=2（a+4b）（1a+1b）=2（5+ab+4ba）≥2（5+2ab?4ba）＝92，
當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b時(shí)，取得等號(hào)，
即有a+4b的最小值為92．
故答案為：92．
14．△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若B＝2A，csAcsBcsC＞0，則asinAb的取值范圍是 （36，12） ．
【分析】先利用二倍角公式化簡(jiǎn)B＝2A換成邊的關(guān)系，求得A的范圍，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性求得asinAb的取值范圍．
【解答】解：由csAcsBcsC＞0，可知，三角形是銳角三角形，
由正弦定理可知sinB＝sin2A＝2sinAcsA，
b＝2acaA
asinAb=12tanA，
∵A+B+C＝180°，B＝2A
∴3A+C＝180°，A＝60°?C3＞30°，
∵2A＜90°
∴A∈（30°，45°），
33＜tanA＜1
則36＜asinAb＜12
故答案為：（36，12）．
15．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)BC＝2AB＝2，CD＝DA=7，則AC＝ 7 ，四邊形ABCD的面積為 934 ．
【分析】連結(jié)BD，由于A+C＝180°，則csA＝﹣csC，在△BCD中，和在△ABD中分別應(yīng)用余弦定理即可求得BD和角C；
由于B+D＝180°，則sinB＝sinD，由四邊形ABCD的面積為S△ABC+S△ACD，應(yīng)用面積公式，即可得到面積．
【解答】解：由于B+D＝180°，則csB＝﹣csD，
由題設(shè)及余弦定理得，
在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2AB?BC?csB＝5﹣4csB，…①
在△ACD中，AC2＝AD2+DC2﹣2AD?DC?csD＝14+14csB，…②
由①②得csB=?12，故B＝120°，D＝60°，
則AC=7．
由于B+D＝180°，∴sinB＝sinD=32，
由以上的結(jié)果及題設(shè)，可知四邊形ABCD的面積S＝S△ABC+S△ACD=12AB?BC?sinB+12AD?CD?sinD=12（1×2+7×7）×32=934，
故答案為：7，934．
16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知ccsA+acsC=3，B=π3，則a+csinA+sinC= 2 ．
【分析】利用正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可求三角形的外接圓半徑，進(jìn)而利用正弦定理，比例的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：因?yàn)閏csA+acsC=3，
由正弦定理得：2RsinCcsA+2RsinAcsC=3，
可得2Rsin（C+A）＝2RsinB=3R=3，
則R＝1，
所以a+csinA+sinC=bsinB=2R=2．
故答案為：2．
17．在銳角△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊，2c?3b=2acsB，a=7．則3b?c的取值范圍為 （7，21） ．
【分析】由余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，求出A的大小，利用正弦定理，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求3b﹣c＝27sin（B?π6），由已知可求范圍π6＜B?π6＜π3，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求其取值范圍．
【解答】解：∵2c?3b＝2acsB＝2a?a2+c2?b22ac=a2+c2?b2c，
∴2c2?3bc＝a2+c2﹣b2，
即b2+c2﹣a2=3bc，
則csA=b2+c2?a22bc=3bc2bc=32，則A=π6，
若a=7，由正弦定理得bsinB=csinC=712=27，得：b＝27sinB，c＝27sinC＝27sin（5π6?B），
則3b﹣c=3×27sinB﹣27sin（5π6?B）
＝221sinB﹣27[12csB+32sinB]
=21sinB?7csB
＝27sin（B?π6），
∵△ABC是銳角三角形，
∴0＜B＜π20＜5π6?B＜π2，得：π3＜B＜π2，則：π6＜B?π6＜π3，
∴12＜sin（B?π6）＜32，
即 7＜27sin（B?π6）＜21，
即 3b﹣c的取值范圍是（7，21）．
故答案為：（7，21）．
18．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足a2+b2＝c2+ab．若b＝4，且△ABC為銳角三角形，則△ABC面積的取值范圍為 （23，83） ．
【分析】由已知利用余弦定理可求csC的值，結(jié)合C的范圍可求C的值，由銳角△ABC，可推出B的取值范圍，再由正弦定理可得c，最后根據(jù)三角形的面積公式、正弦的兩角差公式和正切函數(shù)的性質(zhì)即可解得三角形面積的取值范圍．
【解答】解：因?yàn)閍2+b2＝c2+ab，可得a2+b2﹣c2＝ab，
所以由余弦定理知csC=a2+b2?c22ab=ab2ab=12，
因?yàn)镃∈（0，π），
所以C=π3，
所以A+B=2π3，
又△ABC是銳角三角形，
所以0＜B＜π20＜2π3?B＜π2，解得π6＜B＜π2，
由正弦定理知bsinB=csinC，可得c=23sinB，
所以△ABC面積S=12bcsinA
=12×4×23sinB×sin（2π3?B）
＝43×32csB+12sinBsinB
=6csB+23sinBsinB
=6tanB+23，
因?yàn)棣?＜B＜π2，
所以tanB＞33，
所以23＜S＜83，
故△ABC面積的取值范圍為（23，83）．
故答案為：（23，83）．
19．在△ABC中，AB＝AC，D為AC的中點(diǎn)，BD＝2，則△ABC面積的最大值為 83 ．
【分析】首先利用余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用求出S△ABC=8sinθ5?4csθ，進(jìn)一步利用求導(dǎo)問(wèn)題的應(yīng)用求出函數(shù)的最大值．
【解答】解：設(shè)AB＝AC＝2x，∠A＝θ，θ∈（0，π），
故利用余弦定理：4＝4x2+x2﹣2?2x?x?csθ，
整理得：x2=45?4csθ，
利用y=S△ABC=12?2x?2x?sinθ=8sinθ5?4csθ，
所以y′=8(5csθ?4)(5?4csθ)2，
令y′＝0，解得csθ=45，
結(jié)合函數(shù)f（x）＝csx在（0，π）上單調(diào)遞減，
可知：csθ=45時(shí)，y取得極大值，也為最大值；
代入S△ABC=8sinθ5?4csθ，解得S△ABC=83．
故答案為：83．
20．在△ABC中，a2+b2＝kc2，且ctC＝2004（ctA+ctB），則常數(shù)k的值為 4009 ．
【分析】先根據(jù)余弦定理表示出csC，進(jìn)而對(duì)題設(shè)條件化簡(jiǎn)，把切轉(zhuǎn)換成弦，利用兩角和公式化簡(jiǎn)整理后，進(jìn)而利用正弦定理把角的正弦轉(zhuǎn)化成邊整理求得k?12=2004，則k的值可求．
【解答】解：由余弦定理可知csC=12ab（a2+b2﹣c2）=(k?1)c22ab
ctCctA+ctB=csC?sinA?sinB(sinAcsB+sinBcsA)?sinC=csC?sinA?sinBsin2C=(k?1)c22ab?sinA?sinBsin2C=2004
由正弦定理可知asinA=bsinB=csinC=2R
∴k?12=2004
∴k＝4009
故答案為：4009
21．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且3asinB＝bsin（B+C）tanC，則csC＝ 12 ．
【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：由題意有3asinB=bsinAtanC，
又由正弦定理有3ab=abtanC，
所以tanC=3，
由于0＜C＜π，
所以C=π3．
故csC=12．
故答案為：12．
22．在△ABC中，AB＝1，sinB＝5sinC，csA=25，則BC＝ 22 ．
【分析】由已知利用正弦定理化簡(jiǎn)可得AC＝5AB＝5，進(jìn)而根據(jù)余弦定理即可求解BC的值．
【解答】解：因?yàn)閟inB＝5sinC，
所以AC＝5AB＝5，
則BC=12+52?2×1×5×25=22．
故答案為：22．
23．在△ABC中，tanA+B2=2sinC，若AB＝1，則12AC+BC的最大值為 213 ．
【分析】由已知式子化簡(jiǎn)變形討論可得C=π3，再由正弦定理可得12AC+BC=13sin（2π3?A）+23sinA=12csA+523sinA，由三角函數(shù)的最值可得．
【解答】解：∵在△ABC中，tanA+B2=2sinC，
∴tan（π2?C2）＝2sinC，∴sin(π2?C2)cs(π2?C2)=2sinC，
∴csC2sinC2=4sinC2csC2，即csC2（4sin2C2?1）＝0，
解得csC2=0或4sin2C2?1＝0，
∴C＝π（舍去），或C=5π3（舍去），或C=π3，
又∵AB＝1，∴1sinπ3=ACsinB=BCsinA，
∴AC=23sinB，BC=23sinA，又B=2π3?A，
∴12AC+BC=13sin（2π3?A）+23sinA=12csA+523sinA，
∴12AC+BC的最大值為(12)2+(523)2=213
故答案為：213
三．解答題（共4小題）
24．在ΔABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知3bsinA＝atanB．
（Ⅰ）求csB的值；
（Ⅱ）求sin(2B?π6)的值．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式化簡(jiǎn)已知等式，結(jié)合sinA≠0，sinB≠0，即可求解csB的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，二倍角公式，兩角差的正弦公式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)?bsinA＝atanB，
所以由正弦定理可得3sinBsinA＝sinA?sinBcsB，
因?yàn)锳∈（0，π），sinA≠0，B∈（0，π），sinB≠0，
所以csB=13．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinB=1?cs2B=223，
則sin2B＝2sinBcsB=429cs2B＝2cs2B﹣1=?79，
所以sin(2B?π6)=sin2Bcsπ6?cs2Bsinπ6
=429×32+79×12=46+718．
25．請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答．
①2sin（A+C）+2sin（B+C）cs（A+B）＝sin（A+B）；
②tanA+tanB+tanC?3tanBtanC＝0；
③3csA（bcsA+acsB）﹣csinA＝0，
已知△ABC中的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，_____．
（1）求A；
（2）若a+2b＝3且a2≤bc，求△ABC的面積．
【分析】（1）選條件①時(shí)，由條件，可得2sinC csA＝sinC，再求出A即可；
選條件②時(shí)，根據(jù)tanA+tanB+tanC﹣tanAtanBtanC＝0，結(jié)合條件，可得tanA=3，再求出A即可；
選條件③時(shí)，由條件，可得3csA?sinA=0，再求出A即可；
（2）根據(jù)條件，利用余弦定理，可得b2+c2﹣bc≤bc，再由A=π3，可知三角形△ABC為正三角形，進(jìn)一步求出△ABC的面積．
【解答】解：（1）選①，2sin（A+C）+2sin（B+C）cs（A+B）＝sin（A+B），
由誘導(dǎo)公式，得2sin（A+C）﹣2sinA csC＝sinC，即2sinC csA＝sinC，
因?yàn)閟inC≠0，所以csA=12，所以A=π3
選②，由誘導(dǎo)公式，得tanA=?tan(B+C)=?tanB+tanC1?tanBtanC，
整理即有tanA+tanB+tanC﹣tanAtanBtanC＝0，
又已知tanA+tanB+tanC?3tanBtanC=0，且tanAtanBtanC≠0，
所以tanA=3，所以A=π3．
選③，已知3csA(bcsA+acsB)?csinA=0，
由正弦定理，可得3csA(sinBcsA+sinAcsB)?sinCsinA=0，
所以3csAsin(A+B)?sinCsinA=0，即3csAsinC?sinCsinA=0，
因?yàn)閟inC≠0，所以3csA?sinA=0，即tanA=3，
所以A=π3．
（2）因?yàn)閍2≤bc，
所以由余弦定理，有a2＝b2+c2﹣2bccsA＝b2+c2﹣bc≤bc，
所以（b﹣c）2≤0，所以b＝c，又A=π3，
所以a＝b＝c，所以△ABC為等邊三角形．
又因?yàn)閍+2b＝3，所以a＝b＝1，
所以S△ABC=12×1×1×sin60°=34．
26．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知b2＝ac，點(diǎn)D在邊AC上，BDsin∠ABC＝asinC．
（1）證明：BD＝b；
（2）若AD＝2DC，求cs∠ABC．
【分析】（1）利用正弦定理求解；
（2）要能找到隱含條件：∠BDA和∠BDC互補(bǔ)，從而列出等式關(guān)系求解．
【解答】解：（1）證明：由正弦定理知，bsin∠ABC=csin∠ACB=2R，
∴b＝2Rsin∠ABC，c＝2Rsin∠ACB，
∵b2＝ac，∴b?2Rsin∠ABC＝a?2Rsin∠ACB，
即bsin∠ABC＝asinC，
∵BDsin∠ABC＝asinC，
∴BD＝b；
（2）法一：由（1）知BD＝b，
∵AD＝2DC，∴AD=23b，DC=13b，
在△ABD中，由余弦定理知，cs∠BDA=BD2+AD2?AB22BD?AD=b2+(23b)2?c22b?23b=13b2?9c212b2，
在△CBD中，由余弦定理知，cs∠BDC=BD2+CD2?BC22BD?CD=b2+(13b)2?a22b?13b=10b2?9a26b2，
∵∠BDA+∠BDC＝π，
∴cs∠BDA+cs∠BDC＝0，
即13b2?9c212b2+10b2?9a26b2=0，
得11b2＝3c2+6a2，
∵b2＝ac，
∴3c2﹣11ac+6a2＝0，
∴c＝3a或c=23a，
在△ABC中，由余弦定理知，cs∠ABC=a2+c2?b22ac=a2+c2?ac2ac，
當(dāng)c＝3a時(shí)，cs∠ABC=76＞1（舍）；
當(dāng)c=23a時(shí)，cs∠ABC=712；
綜上所述，cs∠ABC=712．
法二：∵點(diǎn)D在邊AC上且AD＝2DC，
∴BD→=13BA→+23BC→，
∴BD→2=13BA→?BD→+23BC→?BD→，
而由（1）知BD＝b，
∴b2=13bc?cs∠ABD+23ab?cs∠CBD，
即3b＝c?cs∠ABD+2a?cs∠CBD，
由余弦定理知：3b=c?b2+c2?49b22bc+2a?a2+b2?19b22ab，
∴11b2＝3c2+6a2，
∵b2＝ac，
∴3c2﹣11ac+6a2＝0，
∴c＝3a或c=23a，
在△ABC中，由余弦定理知，cs∠ABC=a2+c2?b22ac=a2+c2?ac2ac，
當(dāng)c＝3a時(shí)，cs∠ABC=76＞1（舍）；
當(dāng)c=23a時(shí)，cs∠ABC=712；
綜上所述，cs∠ABC=712．
法三：在△BCD中，由正弦定理可知asinC＝BDsin∠BDC＝bsin∠BDC，
而由題意可知ac＝b2?asinC＝bsin∠ABC，
于是sin∠BDC＝sin∠ABC，從而∠BDC＝∠ABC或∠BDC+∠ABC＝π．
若∠BDC＝∠ABC，則△CBD∽～△CAB，于是CB2＝CD?CA?a2=b23?a：b：c＝1：3：3，
無(wú)法構(gòu)成三角形，不合題意．
若∠BDC+∠ABC＝π，則∠ADB＝∠ABC?△ABD∽△ACB，
于是AB2＝AD?AC?c2=2b23?a：b：c＝3：6：2，滿足題意，
因此由余弦定理可得cs∠ABC=a2+c2?b22ac=712．
27．如圖，在平面四邊形ABCD中，BC＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°．
（1）若∠CBD＝30°，求三角形ABD的面積；
（2）若AD=6?22，求∠CBD的大小．
【分析】（1）由已知在△BCD中，由正弦定理可求BD的值，在△ABD中，由正弦定理可得AB的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可計(jì)算求解．
（2）由已知利用正弦定理可知：6?22sin∠ABD=BDsin75°，1sin∠BDC=BDsin60°，又∠ABC＝90°，可得sin∠ABD＝cs∠CBD，可得BD?cs∠CBD=12，BD?sin∠BDC=32，兩式相除可得sin∠BDC=3cs∠CBD，利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求tan∠CBD=3，結(jié)合范圍0＜∠CBD＜180°，可得∠CBD的值．
【解答】解：（1）因?yàn)锽C＝1，∠ABC＝90°，∠BCD＝60°，∠BAD＝75°，∠CBD＝30°，
可得∠BDC＝90°，∠ABD＝60°，∠BDA＝45°，
在△BCD中，由正弦定理BDsin∠BCD=BCsin∠BDC，可得BD32=11，可得BD=32，
在△ABD中，由正弦定理ABsin∠BDA=BDsin∠BAD，可得AB22=32sin75°，可得AB=6422(12+32)=3?32，
所以S△ABD=12AB?BD?sin∠ABD=12×3?32×32×32=9?3316．
（2）因?yàn)锳D=6?22，BC＝1，∠BCD＝60°，
在△ABD，△BCD中，由正弦定理可知：6?22sin∠ABD=BDsin75°，1sin∠BDC=BDsin60°，
又∠ABC＝90°，所以sin∠ABD＝cs∠CBD，
從而有BD?cs∠CBD=12，BD?sin∠BDC=32，
兩式相除可得sin∠BDC=3cs∠CBD，
由sin∠BDC＝sin（180°﹣60°﹣∠CBD）＝sin（60°+∠CBD）＝sin60°cs∠CBD+cs60°sin∠CBD=32cs∠CBD+12sin∠CBD，
因此有tan∠CBD=3，由0＜∠CBD＜180°，可得∠CBD＝60°．

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