1．三角函數(shù)y＝2sinx在區(qū)間[﹣π，π]上的圖像為（ ）
A．B．
C．D．
2．函數(shù)y＝2sinx的定義域為[a，b]，值域為[﹣2，3]，則b﹣a的最大值和最小值之和等于（ ）
A．4πB．7π2C．5π2D．3π
3．y=2sin(2x+π3)的圖象是（ ）
A．關(guān)于原點成中心對稱的圖形
B．關(guān)于y軸成軸對稱的圖形
C．關(guān)于點(π12，0)成中心對稱的圖形
D．關(guān)于直線x=π12成軸對稱的圖形
4．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象與直線y＝b（0＜b＜A）的三個相鄰交點的橫坐標(biāo)依次是1、2、4，下列區(qū)間是函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間的是（ ）
A．[0，3]B．[32，3]C．[3，6]D．[3，92]
5．函數(shù)y＝2sin（2x+π3）的圖象（ ）
A．關(guān)于點（π3，0）對稱B．關(guān)于直線x=π4對稱
C．關(guān)于點（π4，0）對稱D．關(guān)于直線x=π3對稱
6．設(shè)函數(shù)f（x）＝|sin（x+π3）|（x∈R），則f（x）（ ）
A．在區(qū)間[2π3，7π6]上是增函數(shù)
B．在區(qū)間[﹣π，?π2]上是減函數(shù)
C．在區(qū)間[?π3，π4]上是增函數(shù)
D．在區(qū)間[π3，5π6]上是減函數(shù)
7．已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+π3）+ω（ω＞0）的圖象與x軸相切，則f（π）＝（ ）
A．3B．1C．3?2D．3+2
8．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2，且函數(shù)f（x+π12）是偶函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）
A．函數(shù)f（x）的最小正周期為2π
B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（7π12，0）對稱
C．函數(shù)f（x）在[3π4，π]上單調(diào)遞增
D．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=?7π12對稱
9．已知f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）同時滿足以下條件：
①當(dāng)|f（x1）﹣f（x2）|＝4時，|x1﹣x2|最小值為π2；
②f（π12+x）＝f（7π12?x）；
③f（0）＞f（π4）．
若f（x）＝a在[0，π]有2個不同實根m，n，且|m﹣n|≥π3，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．[?3，3]B．[0，1）C．（1，3]D．[﹣1，1）
10．已知點A，B，C是函數(shù)y=2sin(ωx+π3)，ω＞0的圖象和函數(shù)y=2sin(ωx?π6)，ω＞0圖象的連續(xù)三個交點，若△ABC是銳角三角形，則ω的取值范圍為（ ）
A．（π2，+∞）B．（π4，+∞）C．（0，π2）D．（0，π4）
11．設(shè)函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），已知函數(shù)f（x）的圖象相鄰的兩個對稱中心的距離是2π，且當(dāng)x=π3時，f（x）取得最大值，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)f（x）的最小正周期是4π
B．函數(shù)f（x）在[0，π2]上單調(diào)遞增
C．f（x）的圖象關(guān)于直線x=3π8對稱
D．f（x）的圖象關(guān)于點（3π8，0）對稱
12．若函數(shù)f(x)=sin(x+α?π12)為偶函數(shù)，則cs2α的值為（ ）
A．?12B．12C．?32D．32
13．已知函數(shù)f（x）＝sinx（x∈[0，π]）和函數(shù)g（x）=35tanx的圖象相交于A，B，C三點，則△ABC的面積為（ ）
A．π5B．2π5C．3π5D．4π5
14．設(shè)函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ+π4）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期為π，且f（﹣x）＝f（x），則（ ）
A．f（x）在（0，π2）單調(diào)遞減
B．f（x）在（π4，3π4）單調(diào)遞減
C．f（x）在（0，π2）單調(diào)遞增
D．f（x）在（π4，3π4）單調(diào)遞增
二．多選題（共1小題）
15．記函數(shù)f(x)=sin(2x?π3)的圖象為曲線F，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)f（x）的最小正周期為π
B．函數(shù)f（x）在區(qū)間[?π12，5π12]上單調(diào)遞增
C．曲線F關(guān)于直線x=?π12對稱
D．將函數(shù)y＝sin2x的圖象向右平移π3個單位長度，得到曲線F
三．填空題（共19小題）
16．對任意兩實數(shù)a、b，定義運算“max{a，b}”如下：max{a，b}=a(a≥b)b(a＜b)，則關(guān)于函數(shù)f（x）＝max{sinx，csx}，下列命題中：
①函數(shù)f（x）的值域為[?22，1]；
②函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的對稱軸為x＝kπ+π4(k∈Z)；
④當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ（k∈Z）時，函數(shù)f（x）取得最大值1；
⑤當(dāng)且僅當(dāng)2kπ＜x＜2kπ+32π(k∈Z)時，f（x）＜0；
正確的是 （填上你認(rèn)為正確的所有答案）
17．給出下列五個命題：
①函數(shù)y=2sin(2x?π3)的一條對稱軸是x=5π12；
②函數(shù)y＝tanx的圖象關(guān)于點（π2，0）對稱；
③正弦函數(shù)在第一象限為增函數(shù)；
④若sin(2x1?π4)=sin(2x2?π4)，則x1﹣x2＝kπ，其中k∈Z；
⑤函數(shù)f（x）＝sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的圖象與直線y＝k有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍為（1，3）．
以上五個命題中正確的有 （填寫所有正確命題的序號）
18．若函數(shù)f(x)=2(x+1)2+sinxx2+1的最大值和最小值分別為M、m，則函數(shù)g（x）＝（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]圖象的一個對稱中心是 ．
19．函數(shù)y＝5sin（π5x+π5）（﹣15≤x≤10）的圖象與函數(shù)y=5x+1圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為 ．
20．設(shè)函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的圖象關(guān)于直線x=2π3對稱，它的周期為π，則下列說法正確的是 ．（填寫序號）
①f（x）的圖象過點(0，32)；
②f（x）在[π12，2π3]上單調(diào)遞減；
③f（x）的一個對稱中心是(5π12，0)；
④將f（x）的圖象向右平移|φ|個單位長度得到函數(shù)y＝2sinωx的圖象．
21．已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ），若f(π12)?f(?5π12)=2，則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為 ．
22．已知函數(shù)f(x)=sin(ωx?π6)(ω＞0)在[0，π]有且僅有3個零點，則函數(shù)f（x）在[0，π]上存在 個極小值點，實數(shù)ω的取值范圍是 ．
23．已知函數(shù)f(x)=sin(x?π6)，若對任意的實數(shù)α∈[?5π6，?π2]，都存在唯一的實數(shù)β∈[0，m]，使f（α）+f（β）＝0，則實數(shù)m的最小值是 ．
24．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為π2，且圖象上一個最低點為M（2π3，﹣2）．則f（x）的解析式為 ．
25．已知x1，x2是函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+π3）（A＞0，ω＞0）的兩個零點，若|x1﹣x2|的最小值為π2，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 ．
26．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）圖象的任意兩對稱軸之間的距離為整數(shù)，且其圖象上存在四點M、N、P、Q，使得四邊形MNPQ為菱形，則A的最小值為 ．
27．在[0，2π]內(nèi)，使sinx≥?32成立的x的取值范圍是 ．
28．比較下列各數(shù)的大小：sin1，sin2，sin3 ．
29．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π4）（ω＞0），若f（x）在[0，3π]恰有3個極值點，則ω的取值范圍是 ．
30．若點（π4，b）在函數(shù)y=2sinx+1的圖象上，則b＝ ．
31．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）是R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于點M（34π，0）對稱，在[0，π2]是單調(diào)函數(shù)，則符合條件的數(shù)組（ω，φ）有 對．
32．函數(shù)y＝1﹣2sinx的最大值為 ，此時x＝ ．
33．已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+π6）+acsωx（a＞0，ω＞0）對任意x1，x2∈R都有f（x1）+f（x2）≤43，若f（x）在[0，π]上的取值范圍是[3，23]，則實數(shù)ω的取值范圍是 ．
34．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π6）sin（ωx+2π3）（ω＞0），若存在α，β∈（﹣3，0），對任意x∈R，f（α）≤f（x）≤f（β），則ω的取值范圍是 ．
四．解答題（共8小題）
35．函數(shù)f(x)=3sin(ωx+π4)+m，其中0＜ω＜6，f(π8)=2，且對于任意x∈R，都有f(5π8)≤f(x)≤f(9π8)．
（1）求ω和m；
（2）當(dāng)x∈[0，π2]時，求f（x）的值域．
36．已知函數(shù)f（x）＝2cs2ωx+2sinωxcsωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求f（π3）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
37．已知函數(shù)f（x）＝2sin（2x+π6）+1，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最值及取得最值時自變量x的取值集合；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
38．設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y＝f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=π6．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
39．已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的最小正周期為π，且π6是它的一個零點．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若α，β∈[0，π2]，f（a2+5π12）=2，f（β2+π6）=3，求cs（α+β）的值．
40．已知函數(shù)y＝f（x），若存在實數(shù)m、k（m≠0），使得對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，均有m?f（x）＝f（x+k）+f（x﹣k）成立，則稱函數(shù)y＝f（x）為“可平衡”函數(shù)，有序數(shù)對（m，k）稱為函數(shù)f（x）的“平衡”數(shù)對；
（1）若m=3，判斷f（x）＝sinx是否為“可平衡”函數(shù)，并說明理由；
（2）若m1，m2∈R且（m1，π2），（m2，π4）均為f（x）＝sin2x的“可平衡”數(shù)對，當(dāng)0＜x＜π3時，方程m1+m2＝a有兩個不相等的實根，求a 的取值范圍．
41．已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+π4)，x∈R
（1）寫出函數(shù)f（x）的最小正周期、對稱軸方程及單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π2]上的最值及取最值時x的值．
42．已知cs(θ+π6)=a(|a|≤1)，函數(shù)f（x）=23sin（x?π3），
（1）求f（θ）的值
（2）求f（x）在x∈[π2，π]上的最大值及取最大值時x的取值
（3）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 正弦函數(shù)的圖像
參考答案與試題解析
一．選擇題（共14小題）
1．三角函數(shù)y＝2sinx在區(qū)間[﹣π，π]上的圖像為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合三角函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)的最值點，即可求解．
【解答】解：∵y＝2sinx為奇函數(shù)，
∴三角函數(shù)y的圖像關(guān)于原點對稱，故排除AD選項，
三角函數(shù)y＝2sinx在區(qū)間[﹣π，π]上的最大值為y=2sinπ2=2，故排除B選項．
故選：C．
2．函數(shù)y＝2sinx的定義域為[a，b]，值域為[﹣2，3]，則b﹣a的最大值和最小值之和等于（ ）
A．4πB．7π2C．5π2D．3π
【分析】由題意結(jié)合三角函數(shù)的圖象，求得b﹣a的最大值和b﹣a的最小值，可得結(jié)論．
【解答】解：由于函數(shù)y＝2sinx的最大值為2，最小值為﹣2，
而函數(shù)y＝2sinx的定義域為[a，b]，值域為[﹣2，3]，
不妨假設(shè)[a，b]中含有?π2，
當(dāng)b﹣a最大值時，a=?4π3，b=π3，此時，b﹣a=5π3；
當(dāng)b﹣a最小值時，a=?π2，b=π3，此時，b﹣a=5π6，
故b﹣a的最大值和最小值之和等于5π3+5π6=5π2，
故選：C．
3．y=2sin(2x+π3)的圖象是（ ）
A．關(guān)于原點成中心對稱的圖形
B．關(guān)于y軸成軸對稱的圖形
C．關(guān)于點(π12，0)成中心對稱的圖形
D．關(guān)于直線x=π12成軸對稱的圖形
【分析】根據(jù)三角函數(shù)對稱性的求法，令2x+π3=kπ+π2解出x的值即可得到答案．
【解答】解：令2x+π3=kπ+π2，得x=12kπ+π12，
對稱軸方程為：x=12kπ+π12（k∈Z），
當(dāng)k＝0時為直線x=π12
故選：D．
4．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象與直線y＝b（0＜b＜A）的三個相鄰交點的橫坐標(biāo)依次是1、2、4，下列區(qū)間是函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間的是（ ）
A．[0，3]B．[32，3]C．[3，6]D．[3，92]
【分析】三角函數(shù)的圖象與直線y＝b（0＜b＜A）的三個相鄰交點的橫坐標(biāo)分別是1，2，4，至少提供兩個方面的信息①第一個交點與第三個交點的差是一個周期；②第一個交點與第二個交點的中點橫坐標(biāo)對應(yīng)的函數(shù)值是最大值或最小值，從這兩個方面考慮求得參數(shù)ω，φ，然后求出函數(shù)f（x）單調(diào)遞增區(qū)間．
【解答】解：與直線y＝b（0＜b＜A）的三個相鄰交點的橫坐標(biāo)分別是1，2，4，
知函數(shù)的周期為T=2πω=4﹣1＝3，解得ω=2π3，
再由三角函數(shù)的圖象與直線y＝b（0＜b＜A）知，
1與2的中點必為函數(shù)的最大值的橫坐標(biāo)，
由五點法知2π3×32+φ=π2，解得φ=?π2，
∴f（x）＝Asin（2π3x?π2）＝﹣Acs（2π3x），
令2kπ≤2π3x≤2kπ+π，k∈Z，解得3k≤x≤3k+32，k∈Z，
∴當(dāng)k＝0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[3，92]．
故選：D．
5．函數(shù)y＝2sin（2x+π3）的圖象（ ）
A．關(guān)于點（π3，0）對稱B．關(guān)于直線x=π4對稱
C．關(guān)于點（π4，0）對稱D．關(guān)于直線x=π3對稱
【分析】根據(jù)函數(shù)y＝2sin（2x+π3）的圖象與性質(zhì)，對選項中的命題判斷正誤即可．
【解答】解：對于函數(shù)y＝2sin（2x+π3），
x=π3時，y＝2sin（2π3+π3）＝0，其函數(shù)圖象關(guān)于點（π3，0）對稱，A正確；
x=π4時，y＝2sin（π2+π3）＝1，其函數(shù)圖象不關(guān)于點直線x=π4對稱，B錯誤；
其函數(shù)圖象也不關(guān)于點（π4，0）對稱，C錯誤；
其函數(shù)圖象也不關(guān)于直線x=π3對稱，D錯誤．
故選：A．
6．設(shè)函數(shù)f（x）＝|sin（x+π3）|（x∈R），則f（x）（ ）
A．在區(qū)間[2π3，7π6]上是增函數(shù)
B．在區(qū)間[﹣π，?π2]上是減函數(shù)
C．在區(qū)間[?π3，π4]上是增函數(shù)
D．在區(qū)間[π3，5π6]上是減函數(shù)
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，將圖象關(guān)于x軸對稱翻折，可得f（x）＝|sin（x+π3）|，即可得答案．
【解答】解：由函數(shù)y＝sin（x+π3）（x∈R），可知，
當(dāng)x+π3=?π2時，取得最小值為﹣1，此時x=?5π6，
當(dāng)x+π3=0時，圖象與x的交點，此時x=?π3，
當(dāng)x+π3=π2時，取得最大值為1，此時x=π6，
y＝sin（x+π3）（x∈R）的圖象關(guān)于x軸對稱翻折，可得f（x）＝|sin（x+π3）|，
∴函數(shù)f（x）的周期為π，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[?5π6+kπ，?π3+kπ]：單調(diào)增區(qū)間為[?π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z．
當(dāng)k＝1時，可得單調(diào)增區(qū)間為[2π3，7π6]，
故選：A．
7．已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+π3）+ω（ω＞0）的圖象與x軸相切，則f（π）＝（ ）
A．3B．1C．3?2D．3+2
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象與X軸相切，得到其最小值為0，可求得參數(shù)ω的值進(jìn)而求得結(jié)論．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+π3）+ω（ω＞0）的圖象與x軸相切；
∴函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+π3）+ω（ω＞0）的最小值為0，
∴﹣2+ω＝0?ω＝2；
∴f（x）＝2sin（2x+π3）+2；
∴f（π）＝2sin（2π+π3）+2＝2sinπ3+2=3+2．
故選：D．
8．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2，且函數(shù)f（x+π12）是偶函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）
A．函數(shù)f（x）的最小正周期為2π
B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（7π12，0）對稱
C．函數(shù)f（x）在[3π4，π]上單調(diào)遞增
D．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=?7π12對稱
【分析】由題意可求f（x）的周期T，利用周期公式可求ω，函數(shù)f（x+π12）是偶函數(shù)，可得 π6+φ＝kπ+π2，k∈Z，又|φ|＜π2，解得φ，可得解析式f（x）＝sin（2x+π3），利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可判斷求解．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于π2，
∴函數(shù)f（x）的周期T＝π，故A錯誤；
∵ω＞0
∴ω＝2，
∴函數(shù)f（x+π12）的解析式為：f（x）＝sin[2（x+π12）+φ]＝sin（2x+π6+φ），
∵函數(shù)f（x+π12）是偶函數(shù)，
∴π6+φ＝kπ+π2，k∈Z，又|φ|＜π2，解得：φ=π3．
∴f（x）＝sin（2x+π3）．
∴由2x+π3=kπ，k∈Z，解得對稱中心為：（ kπ2?π6，0），k∈Z，故B錯誤；
由2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，解得單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ?5π12，kπ+π12]，k∈Z，故C正確．
由2x+π3=kπ+π2，k∈Z，解得對稱軸是：x=kπ2+π12，k∈Z，故D錯誤；
故選：C．
9．已知f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）同時滿足以下條件：
①當(dāng)|f（x1）﹣f（x2）|＝4時，|x1﹣x2|最小值為π2；
②f（π12+x）＝f（7π12?x）；
③f（0）＞f（π4）．
若f（x）＝a在[0，π]有2個不同實根m，n，且|m﹣n|≥π3，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．[?3，3]B．[0，1）C．（1，3]D．[﹣1，1）
【分析】由題意利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得a的范圍．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）滿足，當(dāng)|f（x1）﹣f（x2）|＝4時，|x1﹣x2|最小值為12?2πω=π2，
∴ω＝2，函數(shù)f（x）＝2sin（2x+φ）．
∵f（π12+x）＝f（7π12?x），故f（x）的圖象關(guān)于直線x=π3對稱，
故有 2×π3+φ＝kπ+π2，即 φ＝kπ?π6，k∈Z．
又f（0）＞f（π4），即 2sinφ＞2sin（π2+φ）＝2csφ，即 sinφ＞csφ，故φ=5π6，
函數(shù)f（x）＝2sin（2x+5π6）．
f（x）＝a在[0，π]有2個不同實根m，n，且|m﹣n|≥π3，
根據(jù)2x+5π6∈[5π6，2π+5π6]，2sin7π6=2sin11π6=?1，2sin5π6=2sin（2π+π6）＝2sin（2π+5π6）＝1，
∴﹣1≤a＜1，
故選：D．
10．已知點A，B，C是函數(shù)y=2sin(ωx+π3)，ω＞0的圖象和函數(shù)y=2sin(ωx?π6)，ω＞0圖象的連續(xù)三個交點，若△ABC是銳角三角形，則ω的取值范圍為（ ）
A．（π2，+∞）B．（π4，+∞）C．（0，π2）D．（0，π4）
【分析】作出兩個函數(shù)的圖象，結(jié)合銳角三角形的等價條件，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求出三角形的底和高，結(jié)合三角函數(shù)的相交性質(zhì)進(jìn)行求解即可．
【解答】解：作出兩個函數(shù)的圖象如圖，則根據(jù)對稱性知AB＝BC，即△ABC為等腰三角形，
三角函數(shù)的周期T=2πω，
且AC＝T，取AC的中點M，
連接BM，則BM⊥AC，
要使△ABC是銳角三角形，
只需要∠ABM＜45°即可，
即tan∠ABM=AMBM＜1即可，即AM＜BM．
由2sin（ωx+π3）=2sin（ωx?π6），
得sin（ωx+π3）＝sin（ωx?π6），
得ωx+π3=π﹣（ωx?π6）=7π6?ωx，
得2ωx=5π6，得ωx=5π12，
則y=2sin（ωx+π3）=2sin（5π12+π3）=2sin3π4=2×22=1，
即A點縱坐標(biāo)為1，則BM＝2，
由AM＜BM得12AC＜BM，即12T＜2，
則T＜4，即2πω＜4，得ω＞π2，
即ω的取值范圍為（π2，+∞），
故選：A．
11．設(shè)函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），已知函數(shù)f（x）的圖象相鄰的兩個對稱中心的距離是2π，且當(dāng)x=π3時，f（x）取得最大值，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)f（x）的最小正周期是4π
B．函數(shù)f（x）在[0，π2]上單調(diào)遞增
C．f（x）的圖象關(guān)于直線x=3π8對稱
D．f（x）的圖象關(guān)于點（3π8，0）對稱
【分析】根據(jù)f（x）的最小正周期為4π，可得ω，當(dāng)x=π3時，f（x）取得最大值．可得φ的值，得到了f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可．
【解答】解：由題意，f（x）的最小正周期為4π，
∴ω=2π4π=12，
∵當(dāng)x=π3時，f（x）取得最大值．即12×π3+φ＝2kπ+π2，k∈Z．
∴φ＝2kπ+π3，k∈Z．
∵0＜φ＜π2，
可得：φ=π3．
那么f（x）＝2sin（12x+π3），
對于A，正確；
對于B，當(dāng)x∈[0，π2]，12x+π3∈[π3，7π12]，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知錯誤；
對于C，由2sin（12×3π8+π3）≠2，故錯誤；
對于D，由2sin（12×3π8+π3）≠0，故錯誤；
故選：A．
12．若函數(shù)f(x)=sin(x+α?π12)為偶函數(shù)，則cs2α的值為（ ）
A．?12B．12C．?32D．32
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得α=7π12，α=5π12即可求出cs2α的值．
【解答】解：∵函數(shù)f(x)=sin(x+α?π12)為偶函數(shù)，
∴α?π12=±π2，
∴α=7π12，α=5π12
∴2α=7π6，2α=5π6
∴cs2α＝cs7π6=?csπ6=?32，
cs2α＝cs5π6=?csπ6=?32，
故選：C．
13．已知函數(shù)f（x）＝sinx（x∈[0，π]）和函數(shù)g（x）=35tanx的圖象相交于A，B，C三點，則△ABC的面積為（ ）
A．π5B．2π5C．3π5D．4π5
【分析】先求得A、B、C三點的坐標(biāo)，可得△ABC的面積．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝sinx（x∈[0，π]）和函數(shù)g（x）=35tanx的圖象相交于A，B，C三點，
∴由sinx=35tanx，可得sinx＝0，或csx=35，
即 sinx＝0，或 sinx=45，
∴x＝0，x＝π，x＝arcsin45，
∴可設(shè)A（0，0），B（arcsin45，45），C（π，0），
則△ABC的面積為 12?π?45=2π5，
故選：B．
14．設(shè)函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ+π4）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期為π，且f（﹣x）＝f（x），則（ ）
A．f（x）在（0，π2）單調(diào)遞減
B．f（x）在（π4，3π4）單調(diào)遞減
C．f（x）在（0，π2）單調(diào)遞增
D．f（x）在（π4，3π4）單調(diào)遞增
【分析】由條件利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值，再根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性，求得φ的值，可得函數(shù)的解析式，從而得到它的單調(diào)性．
【解答】解：函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ+π4）（ω＞0，|φ|＜π2）的最小正周期為π，
則2πω=π，求得ω＝2，函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ+π4）．
再根據(jù)f（﹣x）＝f（x），可得f（x）為偶函數(shù)，故φ+π4=kπ+π2，即φ＝kπ+π4，k∈Z，|φ|＜π2，
故取φ=π4，函數(shù)f（x）=2sin（2x+π4+π4）=2cs2x．
故f（x）在（0，π2）單調(diào)遞減，
故選：A．
二．多選題（共1小題）
15．記函數(shù)f(x)=sin(2x?π3)的圖象為曲線F，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)f（x）的最小正周期為π
B．函數(shù)f（x）在區(qū)間[?π12，5π12]上單調(diào)遞增
C．曲線F關(guān)于直線x=?π12對稱
D．將函數(shù)y＝sin2x的圖象向右平移π3個單位長度，得到曲線F
【分析】已知了三角函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)y＝sinx的性質(zhì)利用整體代換思想求出對應(yīng)選項的結(jié)果，即可判斷是否正確．
【解答】解：函數(shù)f（x）的最小正周期為2π2=π，故A選項正確；
由?π2+2kπ≤2x?π3≤π2+2kπ，解得?π12+kπ≤x≤5π12+kπ（k∈Z），
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[?π12，5π12]上單調(diào)遞增，故B選項正確；
由于f(?π12)=sin[2(?π12)?π3]=sin(?π2)=?1，
所以直線x=?π12是曲線F的一條對稱軸，故C選項正確；
y＝sin2x向右平移π3個單位長度得到y(tǒng)=sin[2(x?π3)]=sin(2x?2π3)，故D選項錯誤．
故選：ABC．
三．填空題（共19小題）
16．對任意兩實數(shù)a、b，定義運算“max{a，b}”如下：max{a，b}=a(a≥b)b(a＜b)，則關(guān)于函數(shù)f（x）＝max{sinx，csx}，下列命題中：
①函數(shù)f（x）的值域為[?22，1]；
②函數(shù)f（x）是周期函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的對稱軸為x＝kπ+π4(k∈Z)；
④當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ（k∈Z）時，函數(shù)f（x）取得最大值1；
⑤當(dāng)且僅當(dāng)2kπ＜x＜2kπ+32π(k∈Z)時，f（x）＜0；
正確的是 ①②③ （填上你認(rèn)為正確的所有答案）
【分析】畫出函數(shù)y＝f（x）的圖象，通過函數(shù)圖象可以直觀的看出何時取到最值，對稱軸以及周期性等問題．
【解答】解：畫出函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖所示；
由圖可知：
①函數(shù)f（x）的值域為[?22，1]，∴①正確；
②函數(shù)f（x）是最小正周期為2π的函數(shù)，∴②正確；
③函數(shù)f（x）的對稱軸為x＝kπ+π4(k∈Z)，∴③正確；
④x＝2kπ或x＝2kπ+π2（k∈Z）時，函數(shù)f（x）取得最大值1，∴④錯誤；
⑤當(dāng)且僅當(dāng)2kπ+π＜x＜2kπ+32π(k∈Z)時，f（x）＜0，∴⑤錯誤；
綜上，正確的命題序號是①②③．
故答案為：①②③．
17．給出下列五個命題：
①函數(shù)y=2sin(2x?π3)的一條對稱軸是x=5π12；
②函數(shù)y＝tanx的圖象關(guān)于點（π2，0）對稱；
③正弦函數(shù)在第一象限為增函數(shù)；
④若sin(2x1?π4)=sin(2x2?π4)，則x1﹣x2＝kπ，其中k∈Z；
⑤函數(shù)f（x）＝sinx+2|sinx|，x∈[0，2π]的圖象與直線y＝k有且僅有兩個不同的交點，則k的取值范圍為（1，3）．
以上五個命題中正確的有 ①②⑤ （填寫所有正確命題的序號）
【分析】①計算2sin（2×5π12?π3）是否為最值±2進(jìn)行判斷；②根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)判斷；③根據(jù)正弦函數(shù)的圖象判斷；④由sin(2x1?π4)=sin(2x2?π4)得2x1?π4和2x2?π4關(guān)于對稱軸對稱或相差周期的整數(shù)倍；⑤作出函數(shù)圖象，借助圖象判斷．
【解答】解：當(dāng)x=5π12時，sin（2x?π3）＝sinπ2=1，∴①正確；
當(dāng)x=π2時，tanx無意義，∴②正確；
當(dāng)x＞0時，y＝sinx的圖象為“波浪形“曲線，故③錯誤；
若sin(2x1?π4)=sin(2x2?π4)，則2x1?π4=2x2?π4+2kπ或2x1?π4+（2x2?π4）＝2（π2+kπ）＝π+2kπ，
∴x1﹣x2＝kπ或x1+x2=3π4+kπ，k∈Z．故④錯誤．
作出f（x）＝sinx+2|sinx|=3sinx，x∈[0，π]?sinx，x∈(π，2π]在[0，2π]上的函數(shù)圖象，如圖所示：
由圖象可知當(dāng)1＜k＜3時，函數(shù)圖象與直線y＝k有兩個交點，
故⑤正確．
故答案為：①②⑤．
18．若函數(shù)f(x)=2(x+1)2+sinxx2+1的最大值和最小值分別為M、m，則函數(shù)g（x）＝（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]圖象的一個對稱中心是 (14，1) ．
【分析】對函數(shù)f（x）進(jìn)行化簡，結(jié)合奇偶性考慮最值，可求出M+m，從而可得函數(shù)g（x）的對稱中心；
【解答】解：函數(shù)f(x)=2(x+1)2+sinxx2+1=2x2+2+4x+sinxx2+1=2+4x+sinxx2+1
令h（x）=4x+sinxx2+1
由h（﹣x）=?4x?sinxx2+1=?h（x），
∴h（x）是奇函數(shù)，
∴h（x）的最大值h（x）mxx，最小值h（x）min
即h（x）mxx+h（x）min＝0
那么：函數(shù)f（x）的最大值M＝2+h（x）mxx，最小值為m＝2+h（x）min
∴：M+m＝2+h（x）mxx+2+h（x）min＝4
可得：函數(shù)g（x）＝（M+m）x+sin[（M+m）x﹣1]＝4x+sin（4x﹣1）．
令4x﹣1＝kπ，k∈Z．
可得x=14kπ+14，
當(dāng)k＝0時，可得x=14，此時g（14）＝1，
故得一個對稱中心為(14，1)．
故答案為：(14，1)．
19．函數(shù)y＝5sin（π5x+π5）（﹣15≤x≤10）的圖象與函數(shù)y=5x+1圖象的所有交點的橫坐標(biāo)之和為 ﹣6 ．
【分析】經(jīng)分析可得已知的兩個函數(shù)都關(guān)于點（﹣1，0）對稱，畫出兩個函數(shù)的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合即可求解．
【解答】解：函數(shù)y＝5sin（π5x+π5）的圖象關(guān)于點（﹣1，0）對稱，對于函數(shù)y=5x+1，
當(dāng)x＞﹣1時，y=5x+1單調(diào)遞減，當(dāng)x＜﹣1時，y=5x+1單調(diào)遞減，且其圖象也關(guān)于點（﹣1，0）對稱，
根據(jù)兩個函數(shù)的圖象均關(guān)于點（﹣1，0）對稱，可知兩個函數(shù)圖象的交點關(guān)于點（﹣1，0）對稱，
畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：
由圖象可得共有6個交點，得到所有交點的橫坐標(biāo)之和為﹣2×3＝﹣6，
故答案為：﹣6．
20．設(shè)函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的圖象關(guān)于直線x=2π3對稱，它的周期為π，則下列說法正確的是 ③ ．（填寫序號）
①f（x）的圖象過點(0，32)；
②f（x）在[π12，2π3]上單調(diào)遞減；
③f（x）的一個對稱中心是(5π12，0)；
④將f（x）的圖象向右平移|φ|個單位長度得到函數(shù)y＝2sinωx的圖象．
【分析】根據(jù)對稱軸的性質(zhì)和周期公式求解出ω，φ，可得f（x）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)判斷可得答案．
【解答】解：由題意，周期為π，即T=2πω=π，可得ω＝2．則f（x）＝2sin（2x+φ）
圖象關(guān)于直線x=2π3對稱，可得2×2π3+φ＝kπ+π2，k∈Z．
∵0＜φ＜π2，
∴φ=π6．
則f（x）＝2sin（2x+π6）
當(dāng)x＝0時，可得f（0）＝1，圖象過點（0，1），∴①不對．
由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z．
得：π6+kπ≤x≤2π3+kπ．
可得f（x）在[π6，2π3]上單調(diào)遞減；∴②不對．
當(dāng)x=5π12時，可得f（5π12）＝0，圖象關(guān)于點（5π12，0）對稱，∴③對．
將f（x）＝2sin（2x+π6）的圖象向右平移π6個單位長度得到：2sin（2x?π6），∴④不對．
故答案為③．
21．已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ），若f(π12)?f(?5π12)=2，則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為 [kπ?5π12，kπ+π12]，k∈Z ．
【分析】由條件可得π6+φ＝2kπ+π2，且?5π6+φ＝2kπ?π2，k∈Z，求得φ的值，可得f（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)論．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ），若f(π12)?f(?5π12)=2，
則函數(shù)的周期為π，f（π12）＝sin（π6+φ）＝1，f（?5π12）＝sin（?5π6+φ）＝﹣1，
故π6+φ＝2kπ+π2，且?5π6+φ＝2kπ?π2，k∈Z，即φ＝2kπ+π3，k∈Z．
故取φ=π3，f（x）＝sin（2x+π3 ）．
令2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π2，求得kπ?5π12≤x≤kπ+π12，
故答案為：[kπ?5π12，kπ+π12]，k∈Z．
22．已知函數(shù)f(x)=sin(ωx?π6)(ω＞0)在[0，π]有且僅有3個零點，則函數(shù)f（x）在[0，π]上存在 1 個極小值點，實數(shù)ω的取值范圍是 [13π6，19π6） ．
【分析】由x∈[0，π]可得，ωx?π6∈[?π6，ωπ?π6]，根據(jù)題意可得2π≤ωπ?π6＜3π，令t＝ωx?π6，作出函數(shù)y＝sint的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可．
【解答】解：當(dāng)x∈[0，π]時，ωx?π6∈[?π6，ωπ?π6]，
由于函數(shù)f（x）在[0，π]上有且僅有3個零點，則2π≤ωπ?π6＜3π，
∴136≤ω＜196，∴ω的取值范圍為[13π6，19π6）．
令t＝ωx?π6，則2π≤t＜3π，
作出函數(shù)y＝sint在區(qū)間[?π6，ωπ?π6]上的圖象如圖所示，
∴函數(shù)f（x）在[0，π]上有且僅有1個極小值點．
故答案為：1，[13π6，19π6）．
23．已知函數(shù)f(x)=sin(x?π6)，若對任意的實數(shù)α∈[?5π6，?π2]，都存在唯一的實數(shù)β∈[0，m]，使f（α）+f（β）＝0，則實數(shù)m的最小值是 π2 ．
【分析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果．
【解答】解：函數(shù)f(x)=sin(x?π6)，若對任意的實數(shù)α∈[?5π6，?π2]，
則：f（α）∈[?32，0]，
由于使f（α）+f（β）＝0，
則：f（β）∈[0，32]．
sin(β?π6)∈[0，32]，
0≤β?π6≤π3，
β=π2，
所以：實數(shù)m的最小值是π2．
故答案為：π2
24．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的圖象與x軸的交點中，相鄰兩個交點之間的距離為π2，且圖象上一個最低點為M（2π3，﹣2）．則f（x）的解析式為 f（x）＝2sin（2x+π6） ．
【分析】由圖象最低點得出A的值，由圖象與x軸的交點中相鄰兩個交點之間的距離求出周期T，得出ω，再根據(jù)圖象過點M求出φ的值即可．
【解答】解：由題意得A＝2，周期T=2πω=2×π2=π，得ω＝2，
此時f（x）＝2sin（2x+φ），
將M（2π3，﹣2）代入f（x）得﹣2＝2sin（4π3+φ），
即sin（4π3+φ）＝﹣1，0＜φ＜π2，
解得φ=π6，所以f（x）＝2sin（2x+π6）．
故答案為：f（x）＝2sin（2x+π6）．
25．已知x1，x2是函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+π3）（A＞0，ω＞0）的兩個零點，若|x1﹣x2|的最小值為π2，則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為 [kπ?5π12，kπ+π12]，k∈z ．
【分析】由已知可求周期T，進(jìn)而可求ω，然后結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求解．
【解答】解：由題意得，12T=π2，即T＝π，
所以ω＝2，f（x）＝Asin（2x+π3），
令?π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，
則?5π12+kπ≤x≤π12+kπ，
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?5π12，kπ+π12]，k∈Z．
故答案為：[kπ?5π12，kπ+π12]，k∈Z．
26．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）圖象的任意兩對稱軸之間的距離為整數(shù)，且其圖象上存在四點M、N、P、Q，使得四邊形MNPQ為菱形，則A的最小值為 32 ．
【分析】先由函數(shù)f（x）圖象上存在四點M，N，P，Q，使得四邊形MNPQ為菱形，得出M，P關(guān)于函數(shù)f（x）的對稱點對稱，N，Q關(guān)于函數(shù)f（x）的對稱點對稱，再由A有最小值，得出A，T關(guān)系式即可．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）圖象上存在四點M，N，P，Q，使得四邊形MNPQ為菱形，
∴M，P關(guān)于函數(shù)f（x）的對稱點對稱，N，Q關(guān)于函數(shù)f（x）的對稱點對稱，
設(shè)函數(shù)的周期為T，
∵要使A有最小值，則MQ＝T＝MN，
又∵M(jìn)N=(T2)2+(2A)2，∴(T2)2+(2A)2=T，∴A=34T，
∵函數(shù)f（x）圖象的任意兩條對稱軸之間的距離為整數(shù)，且A最小，
∴T＝2時，A有最小值為32．
故答案為：32．
27．在[0，2π]內(nèi)，使sinx≥?32成立的x的取值范圍是 [0，4π3]∪[5π3，2π] ．
【分析】畫出正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象，再作出直線y=?32，即得解．
【解答】解：如圖示：
畫出正弦函數(shù)y＝sinx，x∈[0，2π]的圖象，再作出直線y=?32，
觀察圖象即得不等式sinx≥?32的解集為[0，4π3]∪[5π3，2π]．
故答案為：[0，4π3]∪[5π3，2π]
28．比較下列各數(shù)的大小：sin1，sin2，sin3 sin3＜sin1＜sin2 ．
【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：根據(jù)角度的轉(zhuǎn)換關(guān)系，1弧度≈57°18′，2弧度≈114°36′，3弧度≈171°54′．
所以：sin1≈sin57°18′，
sin2≈sin114°36′＝sin66°24′，
sin3≈sin171°54′＝sin8°6′，
由于y＝sinx在區(qū)間（0，π2）上是單調(diào)遞增函數(shù)．
故：sin3＜sin1＜sin2．
故答案為：sin3＜sin1＜sin2
29．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π4）（ω＞0），若f（x）在[0，3π]恰有3個極值點，則ω的取值范圍是 [34，1312） ．
【分析】由題意利用正弦函數(shù)的極值點和周期性，求得ω的范圍．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π4）（ω＞0），若f（x）在[0，3π]恰有3個極值點，
而ωx+π4∈[π4，3ωπ+π4]，∴5π2≤3ωπ+π4＜7π2，求得34≤ω＜1312，
則ω的取值范圍是[34，1312），
故答案為：[34，1312）．
30．若點（π4，b）在函數(shù)y=2sinx+1的圖象上，則b＝ 2 ．
【分析】將點（π4，b）代入函數(shù)解析式中即可求得b值．
【解答】解：因為點（π4，b）在函數(shù)y=2sinx+1的圖象上，
所以b=2sinπ4+1＝2．
故答案為：2．
31．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）是R上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于點M（34π，0）對稱，在[0，π2]是單調(diào)函數(shù)，則符合條件的數(shù)組（ω，φ）有 4 對．
【分析】根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、對稱性和單調(diào)性，進(jìn)行求解即可．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜2π）是R上的偶函數(shù)，
∴φ=π2 或φ=3π2，
故當(dāng)φ=π2時，f（x）＝csωx，
∵它的圖象關(guān)于點M（34π，0）對稱，∴ω×3π4=kπ+π2，k∈Z，即ω=4k+23．
在[0，π2]是單調(diào)函數(shù)，∴T2=πω≥π2?0，∴0＜ω≤2．
當(dāng)k＝0，ω=23；當(dāng)k＝1，ω＝2．
則符合條件的數(shù)組（ω，φ）有：（23，π2）、（2，π2）．
當(dāng)φ=3π2 時，f（x）＝﹣csωx，同理求得符合條件的數(shù)組（ω，φ）有：（23，3π2）、（2，3π2）．
綜上可得，符合條件的數(shù)組（ω，φ）有4對，
故答案為：4．
32．函數(shù)y＝1﹣2sinx的最大值為 3 ，此時x＝ ?π2+2kπ，k∈Z． ．
【分析】要求1﹣2sinx的最大值，即求sinx的最小值，然后再求出取最小值時x的取值集合即可．
【解答】解：要使y＝1﹣2sinx的最大，只需sinx取最小值﹣1，
此時ymax＝3．x=?π2+2kπ，k∈Z．
故答案為：3，?π2+2kπ，k∈Z．
33．已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+π6）+acsωx（a＞0，ω＞0）對任意x1，x2∈R都有f（x1）+f（x2）≤43，若f（x）在[0，π]上的取值范圍是[3，23]，則實數(shù)ω的取值范圍是 [16，13] ．
【分析】由輔助角公式可得f（x）=3+(1+a)2sin（ωx+φ），由題意可知f（x）的最大值為23，可求得a，然后結(jié)合已知函數(shù)的值域及正弦函數(shù)的圖象的性質(zhì)可求實數(shù)ω的取值范圍．
【解答】解：f（x）＝2sin（ωx+π6）+acsωx=3sinωx+（1+a）csωx=3+(1+a)2sin（ωx+φ），其中tanφ=1+a3，
因為函數(shù)f（x）對任意x1，x2∈R都有f（x1）+f（x2）≤43，
所以f（x）的最大值為23，所以3+(1+a)2=23，即（1+a）2＝9，a＞0，所以a＝2，
所以f（x）＝23sin（ωx+π3），
因為0≤x≤π，所以π3≤ωx+π3≤ωπ+π3，
若f（x）在[0，π]上的值域為[3，23]，
所以32≤sin（ωx+π3）≤1
結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，π2≤ωπ+π3≤2π3，
解得16≤ω≤13，
即實數(shù)ω的取值范圍是[16，13]．
故答案為：[16，13]．
34．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π6）sin（ωx+2π3）（ω＞0），若存在α，β∈（﹣3，0），對任意x∈R，f（α）≤f（x）≤f（β），則ω的取值范圍是 （11π36，+∞） ．
【分析】首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π6）sin（ωx+2π3）＝sin（ωx+π6）cs（ωx+π3）=12sin(2ωx+π3)，
對任意x∈R，f（α）≤f（x）≤f（β），
則f（α）=?12，f（β）=12，
由x∈（﹣3，0），可得?6ω+π3＜2ωx+π3＜π3，
故?6ω+π3＜?3π2，
解得ω＞11π36．
故答案為：（11π36，+∞）．
四．解答題（共8小題）
35．函數(shù)f(x)=3sin(ωx+π4)+m，其中0＜ω＜6，f(π8)=2，且對于任意x∈R，都有f(5π8)≤f(x)≤f(9π8)．
（1）求ω和m；
（2）當(dāng)x∈[0，π2]時，求f（x）的值域．
【分析】（1）由已知可得函數(shù)取得最大值和最小值，根據(jù)自變量的長度以及ω的范圍可推出函數(shù)的周期，進(jìn)而可以求出ω，m的值，
（2）根據(jù)定義域，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出值域．
【解答】解：（1）因為f（5π8）≤f(x)≤f(9π8)恒成立，
所以f（9π8）是函數(shù)f（x）的最大值，f（5π8）是函數(shù)f（x）的最小值，
所以（k+12）?T=9π8?5π8=π2，k∈Z，解得T=π2k+1，k∈Z，
因為0＜ω＜6，所以T=2πω＞π3，所以k＝0，故T＝π，所以ω＝2；
又因為f（π8）＝3sin（2×π8+π4）+m＝2，
即3+m＝2，所以m＝﹣1，
故m的值為﹣1；
（2）函數(shù)f（x）＝3sin（2x+π4）﹣1，
當(dāng)x∈[0，π2]時，2x+π4∈[π4，5π4]，
所以sin（2x+π4）∈[?22，1]，從而f（x）∈[?322?1，2]，
故函數(shù)的值域為：[?322?1，2]．
36．已知函數(shù)f（x）＝2cs2ωx+2sinωxcsωx（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求f（π3）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性求得ω的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
【解答】解：（1）函數(shù)f（x）＝2cs2ωx+2sinωxcsωx＝cs2ωx+sin2ωx+1=2sin（2ωx+π4）+1，
因為f（x）最小正周期為π，所以2π2ω=π，解得ω＝1，
所以f（x）=2sin（2x+π4）+1，
f（π3）=2sin（2π3+π4）+1=2（sin2π3csπ4+cs2π3sinπ4）+1=3+12．
（2）由2kπ?π2≤2x+π4≤2kπ+π2，可得 kπ?3π8≤x≤kπ+π8，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?3π8，kπ+π8]，k∈Z．
37．已知函數(shù)f（x）＝2sin（2x+π6）+1，x∈R
（1）求函數(shù)f（x）的最值及取得最值時自變量x的取值集合；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的最值和單調(diào)性應(yīng)用整體法求出f（x）的最值和單調(diào)區(qū)間即可．
【解答】解：（1）∵f（x）＝2sin（2x+π6）+1，
∴當(dāng)2x+π6=π2+2kπ，k∈Z，
f（x）max＝3，此時x=π6+kπ，k∈Z，
∴x的取值集合為{x|x=π6+kπ，k∈Z}
∴當(dāng)2x+π6=?π2+2kπ，k∈Z，
f（x）min＝﹣1，此時x=?π3+kπ，k∈Z，
∴x的取值集合為{x|x=?π3+kπ，k∈Z}
（2）由?π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z可得
?π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[?π3+kπ，π6+kπ]，k∈Z
由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z可得
π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為：[π6+kπ，2π3+kπ]，k∈Z
38．設(shè)函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y＝f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=π6．
（Ⅰ）求φ；
（Ⅱ）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
【分析】（Ⅰ）由正弦函數(shù)圖象在對稱軸取得最值，結(jié)合φ的范圍，即可求出φ的值；
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間即可．
【解答】解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）＝sin（2x+φ），
且y＝f（x）圖象的一條對稱軸是直線x=π6；
∴π3+φ=π2+kπ，k∈Z，
解得φ=π6+kπ，k∈Z，
又﹣π＜φ＜0，
∴φ=?5π6；
（Ⅱ）由函數(shù)f（x）＝sin（2x?5π6），
令?π2+2kπ≤2x?5π6≤π2+2kπ，k∈Z，
解得π3+2kπ≤2x≤4π3+2kπ，k∈Z，
即π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z；
∴函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[π6+kπ，2π3+kπ]，k∈Z．
39．已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的最小正周期為π，且π6是它的一個零點．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若α，β∈[0，π2]，f（a2+5π12）=2，f（β2+π6）=3，求cs（α+β）的值．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的周期和零點求出ω，φ，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用兩角和差的余弦公式進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）＝2sin（ωx﹣φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的最小正周期為π，
∴2πω=π，解得ω＝2，
則f（x）＝2sin（2x﹣φ） …（2分）
又π6是它的一個零點，
即2×π6?φ＝kπ，…（4分）
則φ=π3?kπ，k∈Z，
∵0＜φ＜π2 …（5分）
∴當(dāng)k＝0時，φ=π3 …（6分）
故f（x）的解析式為f（x）＝2sin（2x?π3） …（7分）
（2）由（1）f（x）＝2sin（2x?π3）
又∵f（a2+5π12）=2，f（β2+π6）=3
∴sin（α+π2）=22，sinβ=32 …（9分）
∴csα=22，
又α，β∈[0，π2]，
∴α=π4，β=π3，
則cs（α+β）＝csαcsβ﹣sinαsinβ=22×12?22×32=2?64 …（12分）
40．已知函數(shù)y＝f（x），若存在實數(shù)m、k（m≠0），使得對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，均有m?f（x）＝f（x+k）+f（x﹣k）成立，則稱函數(shù)y＝f（x）為“可平衡”函數(shù)，有序數(shù)對（m，k）稱為函數(shù)f（x）的“平衡”數(shù)對；
（1）若m=3，判斷f（x）＝sinx是否為“可平衡”函數(shù)，并說明理由；
（2）若m1，m2∈R且（m1，π2），（m2，π4）均為f（x）＝sin2x的“可平衡”數(shù)對，當(dāng)0＜x＜π3時，方程m1+m2＝a有兩個不相等的實根，求a 的取值范圍．
【分析】（1）假設(shè)f（x）＝sinx是“可平衡”函數(shù)，由題意3sinx＝sin（x+k）+sin（x﹣k），由此求出m、k的值；
（2）由題意求出m1、m2的值，利用m1+m2＝a，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求出a 的取值范圍．
【解答】解：（1）假設(shè)f（x）＝sinx是“可平衡”函數(shù)，則由題意應(yīng)有：
3sinx＝sin（x+k）+sin（x﹣k）
＝sinxcsk+csxsink+sinxcsk﹣csxsink
＝2sinxcsk；
∴csk=32，解得 k＝2tπ±π6，t∈Z；
∴存在實數(shù)m、k（m≠0），使得對于定義域內(nèi)的任意實數(shù)x，
均有m?f（x）＝f（x+k）+f（x﹣k）成立；
∴f（x）＝sinx是“可平衡”函數(shù)，
且 csk=32∴k=±π6+2nπ，n∈Z；
（2）由題意m1sin2x＝sin2（x+π2）+sin2（x?π2）＝2cs2x，
∴m1=2cs2xsin2x；
m2sin2x＝sin2（x+π4）+sin2 （x?π4）＝sin2（x+π4）+cs2（x+π4）＝1，
解得m2=1sin2x；
∴m1+m2=2cs2x+1sin2x=2cs2x+41?cs2x=a，
解得cs2x=a?4a+2，
∵0＜x＜π3，∴0＜2x＜2π3，
∴?12＜cs2x＜1，且y＝cs2x是單調(diào)遞減，
∴方程m1+m2＝a不會有兩個不相等的實根，即a的取值范圍為?．
41．已知函數(shù)f(x)=2sin(2x+π4)，x∈R
（1）寫出函數(shù)f（x）的最小正周期、對稱軸方程及單調(diào)區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，π2]上的最值及取最值時x的值．
【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象性質(zhì)，利用正弦函數(shù)的周期性求得f（x）的最小正周期，進(jìn)而結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（2）根據(jù)題意，若x∈[0，π2]，計算可得π4≤2x+π4≤5π4，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=2sin(2x+π4)，
則其周期T=2π2=π，
令2x+π4=kπ+π2，可得x=kπ2+π8，即函數(shù)f（x）的對稱軸為x=kπ2+π8，
令2kπ?π2≤2x+π4≤2kπ+π2，解可得kπ?3π8≤x≤kπ+π8，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ?3π8，kπ+π8]，
令2kπ+π2≤2x+π4≤2kπ+3π2，解可得kπ+π8≤x≤kπ+5π8，即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ+π8，kπ+5π8]，
（2）根據(jù)題意，若x∈[0，π2]，即0≤x≤π2，
則π4≤2x+π4≤5π4，
結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，可得當(dāng)2x+π4=π2，即x=π8時，函數(shù)f(x)=2sin(2x+π4)有最大值2，
當(dāng)2x+π4=5π4，即x=π2時，函數(shù)f(x)=2sin(2x+π4)有最小值?2．
42．已知cs(θ+π6)=a(|a|≤1)，函數(shù)f（x）=23sin（x?π3），
（1）求f（θ）的值
（2）求f（x）在x∈[π2，π]上的最大值及取最大值時x的取值
（3）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，利用（π3?θ）+（θ+π6）=π2，求出f（θ）的值；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出f（x）的最大值以及對應(yīng)x的值；
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
【解答】解：（1）∵cs(θ+π6)=a(|a|≤1)，函數(shù)f（x）=23sin（x?π3），
∴f（θ）=23sin（θ?π3）=?23sin（π3?θ）=?23cs（θ+π6）＝﹣a；
（2）當(dāng)x∈[π2，π]時，x?π3∈[π6，2π3]，
∴sin（x?π3）∈[12，1]；
當(dāng)x?π3=π2，即x=5π6時，
函數(shù)f（x）=23sin（x?π3）取得最大值為23；
（3）令?π2+2kπ≤x?π3≤π2+2kπ，k∈Z，
∴?π6+2kπ≤x≤5π6+2kπ，k∈Z，
∴f（x）=23sin（x?π3）的單調(diào)增區(qū)間是：[?π6+2kπ，5π6+2kπ]，k∈Z．

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