?人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 正弦函數(shù)的奇偶性與對稱性
一．選擇題（共17小題）
1．如果函數(shù)y＝sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=π12對稱，那么該函數(shù)的最大值為（　　）
A．2 B．2 C．3 D．3
2．已知函數(shù)f（x）＝sin（x+φ+π4）（0＜φ＜π）是奇函數(shù)，則φ＝（　?。?br /> A．3π4 B．π2 C．π4 D．π6
3．函數(shù)y=3sin(2x+π6)的圖象的一條對稱軸方程是（　?。?br /> A．x＝0 B．x=2π3 C．x=?π6 D．x=π3
4．若曲線y＝sin（3x+φ）（φ＜2π）關(guān)于直線x=π12對稱，則φ的最大值為（　?。?br /> A．π4 B．5π4 C．2π3 D．5π3
5．函數(shù)f(x)=sin(x+πk)，k∈N的一個對稱軸方程為x=π3，則k可以使（　?。?br /> A．3 B．4 C．6 D．12
6．已知角φ的終邊經(jīng)過點P（3，﹣4），函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于π2，則f(π4)=（　?。?br /> A．?35 B．35 C．?45 D．45
7．已知（π6，0）為f（x）＝sin（﹣2x+φ）（|φ|＜π2）的一個對稱中心，則f（x）的對稱軸可能為（　　）
A．x=π2 B．x=2π3 C．x=?π3 D．x=?π12
8．已知函數(shù)f(x)=3sin(2x+π6)，則下列說法正確的是（　?。?br /> A．圖象關(guān)于點(π6，0)對稱 B．圖象關(guān)于點(π3，0)對稱
C．圖象關(guān)于直線x=π6對稱 D．圖象關(guān)于直線x=π3對稱
9．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0）的圖象經(jīng)過點(π24，0)，一條對稱軸方程為x=π6．則函數(shù)f（x）的周期可以是（　?。?br /> A．3π4 B．π2 C．π4 D．π12
10．函數(shù)y=2sin(x?π6)的圖象（　　）
A．關(guān)于直線x=π6對稱 B．關(guān)于直線x=?π6對稱
C．關(guān)于點(π6，0)對稱 D．關(guān)于點(?π6，0)對稱
11．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（0＜ω＜8，|φ|＜π2），若f（x）滿足f(3π16)+f(11π16)=2，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=π16對稱
B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(7π16，0)對稱
C．函數(shù)f（x）在區(qū)間[?π16，π16]上單調(diào)遞增
D．存在m∈(0，π8]，使函數(shù)f（x+m）為偶函數(shù)
12．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx?π6）（ω＞0），其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2，則下列四個結(jié)論中正確的是（　　）
A．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（5π12，0）中心對稱
B．函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣π，π）內(nèi)有4個零點
C．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=?π8對稱
D．函數(shù)f（x）在區(qū)間[?π2，0]上單調(diào)遞增
13．函數(shù)f(x)=sin(x+π3)+cos(x?π6)具有性質(zhì)（　?。?br /> A．最大值為2，圖象關(guān)于(?π6，0)對稱
B．最大值為2，圖象關(guān)于(?π6，0)對稱
C．最大值為2，圖象關(guān)于直線x=π6對稱
D．最大值為2，圖象關(guān)于直線x=π6對稱
14．已知函數(shù)f（x）＝sin（4x+φ）（﹣π＜φ＜0）圖象的一個對稱中心為(?π10，0)，則φ＝（　?。?br /> A．?2π5 B．?3π10 C．?3π5 D．?7π10
15．已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且y＝f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為π2，則f（π6）的值為（　?。?br /> A．﹣1 B．1 C．3． D．2
16．已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+π3)（A＞0，ω＞0），若函數(shù)f（x）圖象上相鄰兩對稱軸之間的距離為π3，則下列關(guān)于函數(shù)f（x）的敘述，正確的是（　?。?br /> A．關(guān)于點(π12，0)對稱
B．關(guān)于x=π3對稱
C．在(π3，π2)上單調(diào)遞減
D．在（?π6，π18）上單調(diào)遞增
17．已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+2π3），則下列結(jié)論錯誤的是（　?。?br /> A．f（x）的一個周期為﹣π
B．f（x）的圖象關(guān)于直線x=?56π對稱
C．f（x+π）的一個零點為π6
D．f（x）在區(qū)間（0，π3）上單調(diào)遞減
二．多選題（共3小題）
18．已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），直線x=5π12，x=11π12是f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸，則下列說法正確的是（　?。?br /> A．函數(shù)y＝f（x+5π12）為偶函數(shù)
B．f（x）的圖象的一個對稱中心為（π6，0）
C．f（x）在區(qū)間[0，5π6]上有2個零點
D．f（x）在區(qū)間[?π6，π6]上為單調(diào)函數(shù)
19．關(guān)于函數(shù)y＝|sin（2x?π6）|，下列敘述正確的是（　?。?br /> A．最小正周期為π2
B．直線x=π12是函數(shù)圖象的一條對稱軸
C．函數(shù)在[7π12，5π6]上單調(diào)遞增
D．函數(shù)在[π2，π]上先遞減，后遞增
20．已知函數(shù)f（x）＝sin（2x?3π2）（x∈R），下列說法正確的是（　　）
A．函數(shù)f（x）的最小正周期是π
B．函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
C．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（π4，0）中心對稱
D．函數(shù)f（x）在[0，π2]上是增函數(shù)
三．填空題（共17小題）
21．若函數(shù)f（x）＝2sin（πx+φ）+1（0＜φ＜π）是偶函數(shù)，則φ＝　 ?。?br /> 22．關(guān)于函數(shù)f（x）＝4sin（πx+π3），x∈R，有下列命題：
①對任意x∈R，有f（x+1）＝﹣f（x）成立；
②y＝f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為﹣4；
③y＝f（x）的圖象關(guān)于點（?13，0）對稱；
④y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x=π6對稱．
其中正確的命題的序號是　 ?。ㄗⅲ喊涯阏J(rèn)為正確的命題的序號都填上．）
23．關(guān)于y=3sin(2x+π4)有如下說法：
①若f（x1）＝f（x2）＝0，則x1﹣x2是π的整數(shù)倍，
②函數(shù)解析式可改為y=3cos(2x?π4)，
③函數(shù)圖象關(guān)于x=?3π8對稱，
④函數(shù)圖象關(guān)于點(π8，0)對稱．
其中正確的是　 ?。ㄌ钫_的序號）
24．已知函數(shù)f（x）＝2sin（3x+2φ）為偶函數(shù)，則φ的最小正值為　 ?。?br /> 25．已知函數(shù)f（x）＝sin（3x+φ）（?π2＜φ＜π2）的圖象關(guān)于直線x=π4對稱，則φ＝　 ?。?br /> 26．寫出一個對稱中心為（π4，0）的函數(shù)f（x）＝　 ?。?br /> 27．若函數(shù)f(x)=sinωxcosωx+3cos2ωx的圖象關(guān)于直線x=π3對稱，則正數(shù)ω的最小值為　 　
28．已知曲線y＝sin（ωx+π6）關(guān)于（﹣1，0）對稱，則|ω|的最小值為　 ?。?br /> 29．若曲線y=sin(ωx?π5)(0＜ω＜π2)關(guān)于點（2，0）對稱，則ω＝　 ?。?br /> 30．已知函數(shù)f(x)=3sin(2x?π6)，則f（x）圖象的一條對稱軸方程是　 ??；當(dāng)x∈[0，π2]時，f（x）的值域為　 ?。?br /> 31．若函數(shù)y＝sin（2x+φ）（其中常數(shù)φ∈[0，π]）是R上的偶函數(shù)，則φ的值為　 ?。?br /> 32．已知函數(shù)f（x）＝sin2x，則該函數(shù)的對稱軸方程為　 ?。?br /> 33．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，則φ＝　 　，若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點M（3π4，0）對稱，且在[0，π2]上單調(diào)，則ω＝　 ?。?br /> 34．設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+?)(ω＞0，?π2＜?＜π2)，有下列論斷：
①f（x）的圖象關(guān)于直線x=π12對稱；
②f（x）的圖象關(guān)于(π3，0)對稱；
③f（x）的最小正周期為π；
④在區(qū)間[?π6，0]上，f（x）為增函數(shù)．
以其中的兩個論斷為條件，剩下的兩個論斷為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：若　 　，則　 ?。ㄌ钚蛱柤纯桑?br /> 35．函數(shù)f(x)=2sin(2x+π4)+1的圖象的一個對稱中心的坐標(biāo)是　 　．
36．在下列結(jié)論中：
①函數(shù)y＝sin（kπ﹣x）為奇函數(shù)；
②函數(shù)y＝tan2x的定義域是{x∈R|x≠π2+kπ，k∈z|}；
③函數(shù)y＝cos（2x+π3）的圖象的一條對稱軸為x=?23π；
④方程2x﹣x＝3的實根個數(shù)為1個．
其中正確結(jié)論的序號為　 ?。ò阉姓_結(jié)論的序號都填上）．
37．若函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）對任意實數(shù)x都有f（π3+x）＝f（π3?x）恒成立，則f（π3）的值為　 ?。?br /> 四．解答題（共5小題）
38．已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期為π，且（?π6，0）為圖象的一個對稱中心，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[?π3，0]上的值域．
39．已知函數(shù)f（x）=3sin(ωx?π6)（其中ω＞0）的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象的所有對稱軸；
（2）若函數(shù)y＝f（x）﹣m在[π2，π]內(nèi)有兩個零點x1、x2，求m的取值范圍．
40．設(shè)函數(shù)f（x）＝cosωx（3sinωx+cosωx），其中0＜ω＜2．
（Ⅰ）若f（x）的周期為π，當(dāng)?π6≤x≤π3時，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸為x=π3，求ω的值．
41．已知函數(shù)f（x）＝asinx+bcosx，其中ab≠0．
（1）若b＝1，是否存在實數(shù)a使得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；
（2）若x=34π為函數(shù)f（x）的對稱軸，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
42．已知函數(shù)f（x）＝3sin(12x+φ)(φ∈(0，π2))的圖象的一條對稱軸是直線x=π4．
（1）求φ值；
（2）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)增區(qū)間和對稱中心．

人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 正弦函數(shù)的奇偶性與對稱性
參考答案與試題解析
一．選擇題（共17小題）
1．如果函數(shù)y＝sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=π12對稱，那么該函數(shù)的最大值為（　　）
A．2 B．2 C．3 D．3
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的輔助角公式求出最大值，結(jié)合三角函數(shù)的對稱性建立方程關(guān)系進行求解即可．
【解答】解：y＝sin2x+acos2x=1+a2（sin2x?11+a2+cos2x?a1+a2），
令cosθ=11+a2，則sinθ=a1+a2），則y=1+a2（sin2xcosθ+cos2xsinθ）=1+a2sin（2x+θ），
則函數(shù)的最大值為1+a2，
∵函數(shù)y＝sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x=π12對稱，
∴sin（2×π12）+acos（2×π12）＝±1+a2，
即，sinπ6+acosπ6=±1+a2，
則12+32a＝±1+a2，
平方得14+32a+34a2＝1+a2．
得a2﹣23a+3＝0，
即（a?3）2＝0，則a=3，
則函數(shù)的最大值為1+a2=1+3=4=2，
故選：B．
2．已知函數(shù)f（x）＝sin（x+φ+π4）（0＜φ＜π）是奇函數(shù)，則φ＝（　?。?br /> A．3π4 B．π2 C．π4 D．π6
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程進行求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝sin（x+φ+π4）（0＜φ＜π）是奇函數(shù)，
∴φ+π4=kπ，k∈Z，
得φ＝kπ?π4，k∈Z，
∵0＜φ＜π，
∴當(dāng)k＝1時，φ＝π?π4=3π4，
故選：A．
3．函數(shù)y=3sin(2x+π6)的圖象的一條對稱軸方程是（　?。?br /> A．x＝0 B．x=2π3 C．x=?π6 D．x=π3
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性建立方程進行求解即可．
【解答】解：由2x+π6=kπ+π2，k∈Z，得x=kπ2+π6，k∈Z，
當(dāng)k＝1時，對稱軸為x=π6+π2=2π3，
故選：B．
4．若曲線y＝sin（3x+φ）（φ＜2π）關(guān)于直線x=π12對稱，則φ的最大值為（　　）
A．π4 B．5π4 C．2π3 D．5π3
【分析】利用正弦函數(shù)的對稱性質(zhì)可知3×π12+φ=π2+kπ，k∈Z，從而可得φ=π4+kπ，k∈Z，再由φ的范圍即可得答案．
【解答】解：∵y＝sin（3x+φ）圖象關(guān)于直線x=π12對稱，
∴3×π12+φ=π2+kπ，k∈Z，
∴φ=π4+kπ，k∈Z，
∵φ＜2π，∴φ的最大值為5π4．
故選：B．
5．函數(shù)f(x)=sin(x+πk)，k∈N的一個對稱軸方程為x=π3，則k可以使（　?。?br /> A．3 B．4 C．6 D．12
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：函數(shù)f(x)=sin(x+πk)，k∈N的一個對稱軸方程為x=π3，
則π3+πk=π2+mπ，m∈Z，
可得：k=116+m，當(dāng)m＝0時，k＝6．
故選：C．
6．已知角φ的終邊經(jīng)過點P（3，﹣4），函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于π2，則f(π4)=（　　）
A．?35 B．35 C．?45 D．45
【分析】由題意可得，最小正周期，求得ω 的值，可得f（x）的解析式．再根據(jù)角φ的終邊經(jīng)過點P（3，﹣4），求得cosφ 和sinφ 的值，從而求得函數(shù)的解析式，然后求解f(π4)的值．
【解答】解：由函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的圖象的相鄰的兩條對稱軸之間的距離等于π2，
可得最小正周期為 2πω=2×π2，求得ω＝2，故f（x）＝sin（2x+φ）．
再根據(jù)角φ的終邊經(jīng)過點P（3，﹣4），可得 cosφ=xr=35，sinφ=yr=?45，
∴f（π4）＝sin（π2+φ）＝cosφ=35，
故選：B．
7．已知（π6，0）為f（x）＝sin（﹣2x+φ）（|φ|＜π2）的一個對稱中心，則f（x）的對稱軸可能為（　?。?br /> A．x=π2 B．x=2π3 C．x=?π3 D．x=?π12
【分析】根據(jù)f（x）的對稱中心列式f（π6）＝0，解得φ=π3+kπ，k∈Z，代入φ后根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸求得f（x）的對稱軸為：x=?π12+k?n2π，k，n∈Z．當(dāng)k＝n時，可知選D．
【解答】解：因為（π6，0）為f（x）＝sin（﹣2x+φ）的一個對稱中心，
所以f（π6）＝0，即sin（?π3+φ）＝0，∴?π3+φ＝kπ，k∈Z，
∴φ=π3+kπ，k∈Z，∴f（x）＝sin（﹣2x+π3+kπ），k∈Z，
由﹣2x+π3+kπ=π2+nπ，k，n∈Z，
得x=?π12+k?n2π，k，n∈Z，
當(dāng)k＝n時，x=?π12，
故選：D．
8．已知函數(shù)f(x)=3sin(2x+π6)，則下列說法正確的是（　　）
A．圖象關(guān)于點(π6，0)對稱 B．圖象關(guān)于點(π3，0)對稱
C．圖象關(guān)于直線x=π6對稱 D．圖象關(guān)于直線x=π3對稱
【分析】利用正弦函數(shù)的對稱軸以及對稱中心的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：令2x+π6=π2+kπ，k∈Z，
解得x=π6+kπ2，k∈Z，所以當(dāng)k＝0時，函數(shù)的對稱軸為x=π6，
故C正確，D錯誤；
因為f（π6）＝3sin（2×π6+π6）＝3sinπ2=3≠0所以A錯誤；
f（π3）＝3sin（2×π3+π6）＝3sin5π6=32≠0，故B錯誤，
故選：C．
9．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω≠0）的圖象經(jīng)過點(π24，0)，一條對稱軸方程為x=π6．則函數(shù)f（x）的周期可以是（　?。?br /> A．3π4 B．π2 C．π4 D．π12
【分析】直接根據(jù)對稱中心和對稱軸之間的距離即可求解結(jié)論．
【解答】解：由π6?π24=2k+14T，
則T=π4k+2，k∈Z，
當(dāng)k＝0時，T=π2．
故選：B．
10．函數(shù)y=2sin(x?π6)的圖象（　?。?br /> A．關(guān)于直線x=π6對稱 B．關(guān)于直線x=?π6對稱
C．關(guān)于點(π6，0)對稱 D．關(guān)于點(?π6，0)對稱
【分析】由題意利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．
【解答】解：對于函數(shù)y=2sin(x?π6)，
令x=π6，求得函數(shù)值y＝0，可得它的圖象關(guān)于點(π6，0)對稱，故A錯誤，且C正確；
令x=?π6，求得函數(shù)值y=?3，可得它的圖象不關(guān)于直線x=?π6對稱，
也不關(guān)于點(?π6，0)對稱，故BD錯誤，
故選：C．
11．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（0＜ω＜8，|φ|＜π2），若f（x）滿足f(3π16)+f(11π16)=2，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br /> A．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=π16對稱
B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(7π16，0)對稱
C．函數(shù)f（x）在區(qū)間[?π16，π16]上單調(diào)遞增
D．存在m∈(0，π8]，使函數(shù)f（x+m）為偶函數(shù)
【分析】根據(jù)條件得到f（11π16）＝f（3π16）＝1，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)先求出函數(shù)的解析式，然后進行判斷即可．
【解答】解：∵f(3π16)+f(11π16)=2，
∴f（11π16）＝f（3π16）＝1，
設(shè)函數(shù)f（x）的最小正周期為T，
根據(jù)條件知nT=11π16?3π16=π2，其中n為正整數(shù)，
于是T=π2n=2πω，解得ω＝4n，
又0＜ω＜8，則當(dāng)n＝1時，ω＝4，
f（x）＝sin（4x+φ），將x=3π16代入，
sin（4×3π16+φ）＝1，
即3π4+φ=π2+2kπ，
即φ=?π4+2kπ，k∈Z
∵|φ|＜π2，∴當(dāng)k＝0時，φ=?π4，
f（x）＝sin（4x?π4），
f（π16）＝sin（4×π16?π4）＝sin0，則函數(shù)關(guān)于x=π16不對稱，故A錯誤，
f（7π16）＝sin（4×7π16?π4）＝sin3π2=?1，函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(7π16，0)不對稱，故B錯誤，
當(dāng)x∈[?π16，π16]時，4x∈[?π4，π4]，4x?π4∈[?π2，0]此時函數(shù)f（x）為增函數(shù)，故C正確，
故選：C．
12．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx?π6）（ω＞0），其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2，則下列四個結(jié)論中正確的是（　?。?br /> A．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（5π12，0）中心對稱
B．函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣π，π）內(nèi)有4個零點
C．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=?π8對稱
D．函數(shù)f（x）在區(qū)間[?π2，0]上單調(diào)遞增
【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的關(guān)系式，進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論．
【解答】解：由函數(shù)f（x）＝sin（ωx?π6）（ω＞0），其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為π2，利用周期T＝π，解得ω＝2．
所以函數(shù)的關(guān)系式為f（x）＝sin（2x?π6）．
對于A，f(5π12)=sin(2?5π12?π6)=sin2π3=32≠0，故A錯誤；
對于B，當(dāng)x∈（﹣π，π）時，?13π6≤2x?π6≤11π6，
當(dāng)2x?π6=?2π，?π，0，π時，sin（2x?π6）＝0，故B正確；
對于C，f(?π8)=sin[2?(?π8)?π6]=sin(?5π12)≠±1，故C錯誤；
對于D，由?π2+2kπ≤2x?π6≤2kπ+π2（k∈Z），
解得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[?π6+kπ，π3+kπ]（k∈Z），
令k＝0時，x∈[?π6，π3]，令k＝﹣1時，x∈[?7π6，2π3]，
所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[?π2，0]上不單調(diào)遞增，故D錯誤．
故選：B．
13．函數(shù)f(x)=sin(x+π3)+cos(x?π6)具有性質(zhì)（　?。?br /> A．最大值為2，圖象關(guān)于(?π6，0)對稱
B．最大值為2，圖象關(guān)于(?π6，0)對稱
C．最大值為2，圖象關(guān)于直線x=π6對稱
D．最大值為2，圖象關(guān)于直線x=π6對稱
【分析】f(x)=sin(x+π3)+cos(x?π6)=sinxcosπ3+cosxsinπ3+cosxcosπ6+sinxsinπ6=2sin（x+π3），然后進行判斷．
【解答】解：f(x)=sin(x+π3)+cos(x?π6)=sinxcosπ3+cosxsinπ3+cosxcosπ6+sinxsinπ6=2sin（x+π3），
當(dāng)sin（x+π3）＝1時，f（x）取最大值2，∴BD錯；
∵f（?π6）＝2sin（?π6+π3）＝1，∴A錯；
∵f（π6）＝2sin（π6+π3）＝2，∴圖象關(guān)于直線x=π6對稱，∴C對．
故選：C．
14．已知函數(shù)f（x）＝sin（4x+φ）（﹣π＜φ＜0）圖象的一個對稱中心為(?π10，0)，則φ＝（　　）
A．?2π5 B．?3π10 C．?3π5 D．?7π10
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的對稱性進行求解即可．
【解答】解：∵f（x）的一個對稱中心為(?π10，0)，
∴4×（?π10）+φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝kπ+2π5，k∈Z，
∵﹣π＜φ＜0，
∴當(dāng)k＝﹣1時，∴φ=?3π5．
故選：C．
15．已知函數(shù)f（x）=3sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且y＝f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為π2，則f（π6）的值為（　　）
A．﹣1 B．1 C．3． D．2
【分析】利用輔助角公式進行化簡，結(jié)合f（x）是偶函數(shù)，求出φ的值，利用f（x）的對稱軸之間的距離求出函數(shù)的周期和ω，代入進行求值即可．
【解答】解：f（x）=3sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）＝2sin（ωx+φ?π6），
∵f（x）是偶函數(shù)，∴φ?π6=kπ+π2，k∈Z，
得φ＝kπ+2π3，
∵0＜φ＜π，∴當(dāng)k＝0時，φ=2π3，
即f（x）＝2sin（ωx+2π3?π6）＝2sin（ωx+π2）＝2cosωx，
∵y＝f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為π2，
∴T2=π2，即T＝π，即2πω=π，
得ω＝2，
則f（x）＝2cos2x，
則f（π6）＝2cos（2×π6）＝2cosπ3=2×12=1，
故選：B．
16．已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+π3)（A＞0，ω＞0），若函數(shù)f（x）圖象上相鄰兩對稱軸之間的距離為π3，則下列關(guān)于函數(shù)f（x）的敘述，正確的是（　　）
A．關(guān)于點(π12，0)對稱
B．關(guān)于x=π3對稱
C．在(π3，π2)上單調(diào)遞減
D．在（?π6，π18）上單調(diào)遞增
【分析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的關(guān)系式，進一步確定A、B、C、D的結(jié)論．
【解答】解：函數(shù)f(x)=Asin(ωx+π3)（A＞0，ω＞0），若函數(shù)f（x）圖象上相鄰兩對稱軸之間的距離為π3，
所以T=2π3，
故ω＝3，
所以f（x）＝Asin（3x+π3），
對于A：當(dāng)x=π12時，f（π12）＝Asin（π3+π4）≠0，故A錯誤；
對于B：當(dāng)x=π3時，f（π3）＝Asin（π+π3）=?32A≠±A，故B錯誤；
對于C：當(dāng)x∈(π3，π2)時，3x+π3∈(4π3，11π6)，在該區(qū)間內(nèi)先增后減，故C錯誤；
對于D：當(dāng)x∈(?π6，π18)時，3x+π3∈(?π6，π2)，故函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確；
故選：D．
17．已知函數(shù)f（x）＝sin（2x+2π3），則下列結(jié)論錯誤的是（　　）
A．f（x）的一個周期為﹣π
B．f（x）的圖象關(guān)于直線x=?56π對稱
C．f（x+π）的一個零點為π6
D．f（x）在區(qū)間（0，π3）上單調(diào)遞減
【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分別檢驗各選項即可判斷．
【解答】解：由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，﹣π為函數(shù)的一個周期，故A正確；
當(dāng)x=?56π時，f（?5π6）＝sinπ＝0不是函數(shù)的最值，故x=?56π不是函數(shù)的對稱軸，B錯誤；
f（x+π）＝sin（2x+2π+2π3）＝sin（2x+2π3），當(dāng)x=π6顯然是函數(shù)的一個零點，C正確；
令π2≤2x+2π3≤3π2可得?π12≤x≤5π12，即函數(shù)的一個單獨遞減區(qū)間（?π12，5π12），D 正確．
故選：B．
二．多選題（共3小題）
18．已知f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），直線x=5π12，x=11π12是f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸，則下列說法正確的是（　?。?br /> A．函數(shù)y＝f（x+5π12）為偶函數(shù)
B．f（x）的圖象的一個對稱中心為（π6，0）
C．f（x）在區(qū)間[0，5π6]上有2個零點
D．f（x）在區(qū)間[?π6，π6]上為單調(diào)函數(shù)
【分析】先利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性求得函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，得出結(jié)論．
【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0），直線x=5π12，x=11π12是f（x）的圖象的相鄰兩條對稱軸，
則 12?2πω=11π12?5π12，∴ω＝2．
再結(jié)合2×5π12+φ＝kπ+π2，k∈Z，求得φ＝kπ?π3，
∴可取 φ=?π3，f（x）＝sin（2x?π3）．
∵函數(shù)y＝f（x+5π12）＝sin（2x+π2）＝cos2x 為偶函數(shù)，故A正確；
令x=π6，求得f（x）＝0，故f（x）的圖象的一個對稱中心為（π6，0），故B正確；
在區(qū)間[0，5π6]上，2x?π3∈[?π3，4π3]，函數(shù)f（x）只有2個零點，2x?π3=0和 2x?π3=π，故C正確；
在區(qū)間[?π6，π6]上，2x?π3∈[?2π3，0]，函數(shù)f（x）沒有單調(diào)性，故D錯誤，
故選：ABC．
19．關(guān)于函數(shù)y＝|sin（2x?π6）|，下列敘述正確的是（　?。?br /> A．最小正周期為π2
B．直線x=π12是函數(shù)圖象的一條對稱軸
C．函數(shù)在[7π12，5π6]上單調(diào)遞增
D．函數(shù)在[π2，π]上先遞減，后遞增
【分析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象對各個選項進行判斷即可．
【解答】解：作出函數(shù)的圖象，如圖示：

根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知，選項A，B，C正確，
函數(shù)在[π2，π]上先遞減，再遞增，再遞減，故選項D錯誤；
故選：ABC．
20．已知函數(shù)f（x）＝sin（2x?3π2）（x∈R），下列說法正確的是（　?。?br /> A．函數(shù)f（x）的最小正周期是π
B．函數(shù)f（x）是偶函數(shù)
C．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點（π4，0）中心對稱
D．函數(shù)f（x）在[0，π2]上是增函數(shù)
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)的解析式，再利用余弦函數(shù)的周期性、奇偶性、對稱性以及單調(diào)性，得出結(jié)論．
【解答】解：對于函數(shù)f（x）＝sin（2x?3π2）（x∈R），它的最小正周期為2π2=π，故A正確；
由于f（x）＝﹣sin（ 3π2?2x）＝cos2x，故函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故B正確；
令x=π4，求得f（x）＝cosπ2=0，故函數(shù)f（x）圖象關(guān)于（ π4，0）對稱，故C正確；
在[0，π2]上，2x∈[0，π]，求得f（x）＝cos2x，故函數(shù)f（x）在[0，π2]上是減函數(shù)，故D錯誤，
故選：ABC．
三．填空題（共17小題）
21．若函數(shù)f（x）＝2sin（πx+φ）+1（0＜φ＜π）是偶函數(shù)，則φ＝　π2?。?br /> 【分析】由于函數(shù)為偶函數(shù)，故需要符合誘導(dǎo)公式中的奇變偶不變，故φ=π2+kπ，即可得出結(jié)論．
【解答】解：由于函數(shù)為偶函數(shù)，故需要符合誘導(dǎo)公式中的奇變偶不變，故φ=π2+kπ，
由于0＜φ＜π，所以φ=π2．
故答案為π2．
22．關(guān)于函數(shù)f（x）＝4sin（πx+π3），x∈R，有下列命題：
①對任意x∈R，有f（x+1）＝﹣f（x）成立；
②y＝f（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為﹣4；
③y＝f（x）的圖象關(guān)于點（?13，0）對稱；
④y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x=π6對稱．
其中正確的命題的序號是?、佗邸。ㄗⅲ喊涯阏J(rèn)為正確的命題的序號都填上．）
【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡f（x+1）的解析式，可得①正確．
根據(jù)π3≤πx+π3≤4π3，得πx+π3=4π3 時，f（x）有最小值為 4×（?32）＝﹣23，可得②不正確．
由點（?13，0）是f（x）與x軸的交點，可得③正確．
由當(dāng)x=π6時，f（x）＝sinπ2+2π6≠±1，故x=π6不是函數(shù)的對稱軸，可得④不正確．
【解答】解：f（x+1）＝4sin（π+πx+π3）＝﹣4sin（πx+π3）＝﹣f（x），故①正確．
在區(qū)間[0，1]上，π3≤πx+π3≤4π3，故πx+π3=4π3 時，f（x）有最小值為 4×（?32）＝﹣23，故②不正確．
當(dāng)x=?13時，f（x）＝sin0＝0，故點（?13，0）是f（x）與x軸的交點，故y＝f（x）的圖象關(guān)于點（?13，0）對稱，故③正確．
當(dāng)x=π6時，f（x）＝sinπ2+2π6≠±1，故x=π6不是函數(shù)的對稱軸，故④不正確．
故答案為 ①③．
23．關(guān)于y=3sin(2x+π4)有如下說法：
①若f（x1）＝f（x2）＝0，則x1﹣x2是π的整數(shù)倍，
②函數(shù)解析式可改為y=3cos(2x?π4)，
③函數(shù)圖象關(guān)于x=?3π8對稱，
④函數(shù)圖象關(guān)于點(π8，0)對稱．
其中正確的是　②③?。ㄌ钫_的序號）
【分析】①若f（x1）＝f（x2）＝0，則x1﹣x2是半個周期的整數(shù)倍，故不正確．
②利用誘導(dǎo)公式可得，函數(shù)解析式可化為3cos(2x?π4)，故正確．
③當(dāng)x=?3π8時，y＝﹣3，是函數(shù)的最小值，故正確．④當(dāng) x=π8 時，y＝3，是函數(shù)的最大值，故不正確．
【解答】解：①若f（x1）＝f（x2）＝0，則x1﹣x2是半個周期的整數(shù)倍，函數(shù)y=3sin(2x+π4) 的周期為π，故x1﹣x2是π2的整數(shù)倍，故①不正確．
②函數(shù)解析式 y=3sin(2x+π4)=3cos[π2?（2x+π4）]=3cos(π4?2x)=3cos(2x?π4)，故②正確．
③當(dāng)x=?3π8時，y＝﹣3，是函數(shù)的最小值，故函數(shù)圖象關(guān)于x=?3π8對稱，故③正確．
④當(dāng) x=π8 時，y＝3，是函數(shù)的最大值，故函數(shù)圖象關(guān)于x=π8 對稱，故④不正確．
故答案為：②③．
24．已知函數(shù)f（x）＝2sin（3x+2φ）為偶函數(shù)，則φ的最小正值為　π4?。?br /> 【分析】利用函數(shù)是偶函數(shù)，求出φ的表達式，然后求解最小正值．
【解答】解：由題意，2φ=kπ+π2(k∈Z)，所以φ=kπ2+π4(k∈Z)．所以當(dāng)k＝0時，φ取得最小正值π4．
故答案為：π4．
25．已知函數(shù)f（x）＝sin（3x+φ）（?π2＜φ＜π2）的圖象關(guān)于直線x=π4對稱，則φ＝　?π4　．
【分析】直接利用函數(shù)的關(guān)系式的變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：數(shù)f（x）＝sin（3x+φ）（?π2＜φ＜π2）的圖象關(guān)于直線x=π4對稱，
所以3×π4+φ=kπ+π2（k∈Z），
解得φ=kπ?π4（k∈Z），
由于?π2＜φ＜π2，
當(dāng)k＝0時，φ=?π4．
故答案為：?π4
26．寫出一個對稱中心為（π4，0）的函數(shù)f（x）＝　y＝sin（x?π4）　．
【分析】根據(jù)對稱中心，考慮將正弦函數(shù)平移得到．
【解答】解：y＝sin（x?π4），答案不唯一，正確即可．
27．若函數(shù)f(x)=sinωxcosωx+3cos2ωx的圖象關(guān)于直線x=π3對稱，則正數(shù)ω的最小值為　14　
【分析】利用輔助角公式進行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的對稱性求出ω的表達式，進行求解即可．
【解答】解：數(shù)f(x)=sinωxcosωx+3cos2ωx的=12sin2x+3×1+cos2ωx2=12sin2ωx+32cos2ωx+32
＝sin（2ωx+π3）+32，
∵f（x）的圖象關(guān)于直線x=π3對稱，
∴π3×2ω+π3=kπ+π2，k∈Z，
即ω=3k2+14，
∵ω是正數(shù)，
∴當(dāng)k＝0時，ω取得最小值14，
故答案為：14
28．已知曲線y＝sin（ωx+π6）關(guān)于（﹣1，0）對稱，則|ω|的最小值為　π6　．
【分析】由題意可得sin（﹣ω+π6）＝0，解得：ω=π6?kπ，k∈Z，進而即可求解|ω|的最小值．
【解答】解：因為曲線y＝sin（ωx+π6）關(guān)于（﹣1，0）對稱，
所以sin（﹣ω+π6）＝0，
可得﹣ω+π6=kπ，k∈Z，解得：ω=π6?kπ，k∈Z，
則|ω|的最小值為π6．
故答案為：π6．
29．若曲線y=sin(ωx?π5)(0＜ω＜π2)關(guān)于點（2，0）對稱，則ω＝　π10?。?br /> 【分析】直接利用正弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：函數(shù)y=sin(ωx?π5)關(guān)于（2，0）對稱，
所以2ω?π5=kπ（k∈Z），解得ω=kπ2+π10（k∈Z），
由于0＜ω＜π2，
所以ω=π10．
故答案為：π10
30．已知函數(shù)f(x)=3sin(2x?π6)，則f（x）圖象的一條對稱軸方程是　x=π3?。划?dāng)x∈[0，π2]時，f（x）的值域為　[?32，3]?。?br /> 【分析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：①當(dāng)x=π3時，函數(shù)的值為3．
②當(dāng)x∈[0，π2]時，所以?π6≤2x?π6≤5π6，
所以f（x）的值域為[?32，3]．
故答案為：π3，[?32，3]
31．若函數(shù)y＝sin（2x+φ）（其中常數(shù)φ∈[0，π]）是R上的偶函數(shù)，則φ的值為　π2?。?br /> 【分析】根據(jù)函數(shù)y＝sin（2x+φ）的圖象特征，函數(shù)是偶函數(shù)，只需要x＝0時，函數(shù)取得最值，然后求解即可．
【解答】解：函數(shù)y＝sin（2x+φ）是R上的偶函數(shù)，就是x＝0時函數(shù)取得最值，
所以f（0）＝±1，
即sinφ＝±1，
所以φ＝kπ+π2（k∈Z），
當(dāng)且僅當(dāng)取 k＝0時，得φ=π2，符合0≤φ≤π
故答案為：π2．
32．已知函數(shù)f（x）＝sin2x，則該函數(shù)的對稱軸方程為　x=kπ2+π4，(k∈Z)?。?br /> 【分析】由題意利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．
【解答】解：對于函數(shù)f（x）＝sin2x，令2x＝kπ+π2，k∈Z，
求得x=kπ2+π4，故該函數(shù)的對稱軸方程為x=kπ2+π4，k∈Z，
故答案為：x=kπ2+π4，k∈Z．
33．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，則φ＝　π2　，若函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點M（3π4，0）對稱，且在[0，π2]上單調(diào)，則ω＝　2?。?br /> 【分析】首先利用三角函數(shù)的奇偶性求出φ的值，進一步利用函數(shù)的對稱性的應(yīng)用求出ω的值．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞1）是R上的偶函數(shù)
所以φ=kπ+π2（k∈Z），
由于0≤φ≤π，
所以φ=π2．
由于函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點M（3π4，0）對稱，
所以f(3π4)=sin(3ωπ4+π2)=cos3ωπ4=0，
整理得3ωπ4=kπ+π2（k∈Z），
所以ω=23(2k+1)，
當(dāng)k＝1時，ω＝2，所以函數(shù)f（x）＝cos2x在[0，π2]上單調(diào)，
當(dāng)k≥2時，ω≥103，函數(shù)f（x）在[0，π2]上不單調(diào)，
所以：ω＝2．
故答案為：π2；2
34．設(shè)函數(shù)f(x)=sin(ωx+?)(ω＞0，?π2＜?＜π2)，有下列論斷：
①f（x）的圖象關(guān)于直線x=π12對稱；
②f（x）的圖象關(guān)于(π3，0)對稱；
③f（x）的最小正周期為π；
④在區(qū)間[?π6，0]上，f（x）為增函數(shù)．
以其中的兩個論斷為條件，剩下的兩個論斷為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：若?、佗邸?，則　②④?。ㄌ钚蛱柤纯桑?br /> 【分析】經(jīng)驗證可得①③可推②④，由三角函數(shù)的對稱性和單調(diào)性證明即可．
【解答】解：由題意可得①③可推②④，下面證明之，
由③f（x）的最小正周期為π，可得2πω=π，即ω＝2，
可得f（x）＝sin（2x+?），
又①f（x）的圖象關(guān)于直線x=π12對稱；
故sin（2×π12+?）＝±1，即2×π12+?=kπ+π2，k∈Z，
解之可得?=kπ+π3，
又因為?π2＜?＜π2，所以?=π3，
故可得f（x）＝sin（2x+π3），
由于sin（2×π3+π3）＝sinπ＝0，故②f（x）的圖象關(guān)于(π3，0)對稱，正確；
由2kπ?π2≤2x+π3≤2kπ+π2可得kπ?5π12≤x≤kπ+π12，當(dāng)k＝0時，
單調(diào)遞增區(qū)間為[?5π12，π12]?[?π6，0]，故④在區(qū)間[?π6，0]上，f（x）為增函數(shù)，正確．
故由①③作為論斷可推出②④，
故答案為：①③，②④
35．函數(shù)f(x)=2sin(2x+π4)+1的圖象的一個對稱中心的坐標(biāo)是　(3π8，1)?。?br /> 【分析】直接利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：函數(shù)f(x)=2sin(2x+π4)+1的圖象的對稱中心為：
令2x+π4=kπ（k∈Z），解得x=kπ2?π8（k∈Z），
當(dāng)k＝1時，x=3π8．
所以函數(shù)的一個對稱中心為（3π8，1）．
故答案為：（3π8，1）
36．在下列結(jié)論中：
①函數(shù)y＝sin（kπ﹣x）為奇函數(shù)；
②函數(shù)y＝tan2x的定義域是{x∈R|x≠π2+kπ，k∈z|}；
③函數(shù)y＝cos（2x+π3）的圖象的一條對稱軸為x=?23π；
④方程2x﹣x＝3的實根個數(shù)為1個．
其中正確結(jié)論的序號為?、佗邸。ò阉姓_結(jié)論的序號都填上）．
【分析】利用函數(shù)的奇偶性判斷①的正誤；求解函數(shù)的定義域判斷②的正誤；利用函數(shù)的最值判斷③的正誤；利用函數(shù)的圖象零點的個數(shù)判斷④的正誤．
【解答】解：對于①，函數(shù)y＝sin（kπ﹣x）＝±sinx，顯然函數(shù)為奇函數(shù)；①正確．
②函數(shù)y＝tan2x的定義域是{x∈R|x≠kπ2+π2，k∈z|}；
所以函數(shù)的定義域是{x∈R|x≠π2+kπ，k∈z|}不正確；
③函數(shù)y＝cos（2x+π3）的圖象的一條對稱軸為x=?23π；因為cos[2×(?2π3)+π3]＝cos（﹣π）＝﹣1，函數(shù)取得最值，所以③是正確的．
④方程2x﹣x＝3的實根個數(shù)為1個．因為y＝2x與y＝x+3的圖象如圖：
實數(shù)根的個數(shù)是2．所以判斷不正確．
故答案為：①③．

37．若函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）對任意實數(shù)x都有f（π3+x）＝f（π3?x）恒成立，則f（π3）的值為　±3?。?br /> 【分析】根據(jù)f（π3+x）＝f（π3?x），求出對稱軸．f（ π3）應(yīng)該取函數(shù)的最值±3．
【解答】解：∵f（π3+x）＝f（π3?x），∴對稱軸x=π3．
∴f（π3）＝±3．
故答案為：±3．
四．解答題（共5小題）
38．已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期為π，且（?π6，0）為圖象的一個對稱中心，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[?π3，0]上的值域．
【分析】利用函數(shù)f（x）的最小正周期為π，可以確定ω的值；再由（?π6，0）為圖象的一個對稱中心，可以確定φ，利用整體代換可以確定函數(shù)f（x）在區(qū)間[?π3，0]上的值域．
【解答】解：函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期為π，得ω=2ππ=2，
∴f（x）＝2sin（2x+φ），
由（?π6，0）為圖象的一個對稱中心，∴2×(?π6)+φ＝kπ，
∵|φ|＜π2，∴φ=π3，
∴f（x）＝2sin（2x+π3），
∵x∈[?π3，0]，∴2x+π3∈[?π3，π3]，
∴sin（2x+π3）∈[?32，32]，
∴f（x）∈[?3，3]，
即：函數(shù)f（x）在區(qū)間[?π3，0]上的值域為[?3，3]．
39．已知函數(shù)f（x）=3sin(ωx?π6)（其中ω＞0）的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象的所有對稱軸；
（2）若函數(shù)y＝f（x）﹣m在[π2，π]內(nèi)有兩個零點x1、x2，求m的取值范圍．
【分析】（1）函數(shù)f（x）=3sin(ωx?π6)（其中ω＞0）的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π．可得T＝π=2πω，解得ω．由f（x）=±3即可得出對稱軸．．
（2）若函數(shù)y＝f（x）﹣m在[π2，π]內(nèi)有兩個零點x1、x2，可得函數(shù)y＝m與函數(shù)y＝f（x）的圖象有兩個交點，即可得出m的取值范圍．
【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=3sin(ωx?π6)（其中ω＞0）的圖象上相鄰兩個最高點的距離為π．
∴T＝π=2πω，解得ω＝2．
∴f（x）=3sin（2x?π6），
令2x?π6=kπ+π2，解得x=kπ2+π3，k∈Z．
∴函數(shù)f（x）的圖象的所有對稱軸方程為：x=kπ2+π3，k∈Z．
（2）若函數(shù)y＝f（x）﹣m在[π2，π]內(nèi)有兩個零點x1、x2，
∴函數(shù)y＝m與函數(shù)y＝f（x）的圖象有兩個交點，
則?3＜m≤?32．

40．設(shè)函數(shù)f（x）＝cosωx（3sinωx+cosωx），其中0＜ω＜2．
（Ⅰ）若f（x）的周期為π，當(dāng)?π6≤x≤π3時，求f（x）的值域；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象的一條對稱軸為x=π3，求ω的值．
【分析】（Ⅰ）先利用二倍角公式及輔助角公式把不同名的三角函數(shù)化簡為只含一個角的三角函數(shù)的關(guān)系，根據(jù)周期公式可求ω，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的值域
（Ⅱ）采用整體思想求解，由函數(shù)的對稱軸為π3可知，2ω×π3+π6=kπ+π2，K∈Z，由ω的范圍解出k的范圍，結(jié)合已知k∈Z可求k及ω的值
【解答】解：（Ⅰ）f(x)=3sinωxcosωx+cos2ωx=sin(2ωx+π6)+12
∵T＝π，ω＞0
∴2π2ω=π
∴ω＝1
當(dāng)?π6≤x≤π3即 2x+π6∈[?π6，5π6]時，sin(2x+π6)∈[?12，1]
∴f(x)∈[0，32]
∴f（x）的值域為[0，32]
（Ⅱ）f(x)=sin(2ωx+π6)+12的對稱軸為x=π3
∴2ω×π3+π6=kπ+π2，K∈Z
∴ω=3K+12
∵0＜ω＜2
∴?13＜K＜1
k＝0，ω=12
41．已知函數(shù)f（x）＝asinx+bcosx，其中ab≠0．
（1）若b＝1，是否存在實數(shù)a使得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由；
（2）若x=34π為函數(shù)f（x）的對稱軸，求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
【分析】（1）由題意利用函數(shù)的奇偶性的定義，得出結(jié)論．
（2）由正弦函數(shù)的最值、結(jié)合輔助角公式得出b＝﹣a，可得f（x）的解析式，分類討論a的符號，求出函數(shù)的增區(qū)間．
【解答】解：（1）當(dāng)b＝1時，f（x）＝asinx+cosx，
若存在實數(shù)a使得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，則f（﹣x）＝f（x）恒成立，
即asin（﹣x）+cos（﹣x）＝asinx+cosx恒成立，
整理得asinx＝0恒成立，所以a＝0，與ab≠0矛盾，故不存在．
（2）結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)知，三角函數(shù)在對稱軸處取最值，
又由輔助角公式知f（x）的最值為±a2+b2，
所以f(34π)=22a?22b=±a2+b2，
兩邊平方，得12a2+12b2?ab=a2+b2，所以12a2+12b2+ab=0，
即12(a+b)2=0，所以b＝﹣a，
所以，f(x)=a(sinx?cosx)=2asin(x?π4)，
當(dāng)a＞0時，令2kπ?π2≤x?π4≤2kπ+π2，k∈Z，
解得2kπ?π4≤x≤2kπ+3π4，k∈Z，
所以，單調(diào)增區(qū)間是[2kπ?π4，2kπ+3π4]，k∈Z，
當(dāng)a＜0時，令2kπ+π2≤x?π4≤2kπ+3π2，k∈Z，
解得2kπ+3π4≤x≤2kπ+7π4，k∈Z，
所以，單調(diào)增區(qū)間是[2kπ+3π4，2kπ+7π4]，k∈Z．
42．已知函數(shù)f（x）＝3sin(12x+φ)(φ∈(0，π2))的圖象的一條對稱軸是直線x=π4．
（1）求φ值；
（2）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)增區(qū)間和對稱中心．
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的對稱性建立方程，求出φ的值．
（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性和對稱性進行求解即可．
【解答】解：（1）∵f（x）象的一條對稱軸是直線x=π4．
∴12×π4+φ＝kπ+π2，k∈Z，
即φ＝kπ+3π8，k∈Z，
當(dāng)k＝0時，φ=3π8．
（2）由（1）知，y＝3sin（12x+3π8），
由2kπ?π2≤12x+3π8≤2kπ+π2，k∈Z，
得4kπ?7π4≤x≤4kπ+π4，k∈Z，
即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4kπ?7π4，4kπ+π4]，k∈Z
由12x+3π8=kπ，得x＝2kπ?3π4，
即函數(shù)的對稱中心為（2kπ?3π4，0），k∈Z．

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