?人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 正弦函數(shù)的單調(diào)性
一．選擇題（共12小題）
1．若函數(shù)y＝sinx和y＝cosx在區(qū)間D上都是增函數(shù)，則區(qū)間D可以是（　?。?br /> A．(0，π2) B．(π2，π) C．(π，3π2) D．(3π2，2π)
2．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）滿足f（π4?x）＝﹣f（π4+x），f（?π2?x）＝f（x），且在（0，π8）上是單調(diào)函數(shù)，則ω的值可能是（　?。?br /> A．3 B．4 C．5 D．6
3．設(shè)f(x)=3sin(ωx?π12)+1，若f（x）在[?π3，π6]上為增函數(shù)，則ω的取值范圍是（　?。?br /> A．[512，72] B．[54，72] C．（0，74] D．（0，54]
4．已知函數(shù)f（x）＝sin2xcosφ+cos2xsinφ（x∈R），其中φ為實數(shù)，且f(x)≤f(2π9)對任意x∈R恒成立，記p=f(7π18)，q=f(5π6)，r=f(7π6)，則p，q，r的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．r＜p＜q B．q＜r＜p C．p＜q＜r D．q＜p＜r
5．若函數(shù)f(x)=2sin(ωx+π3)(ω＞0)在區(qū)間[?π4，π4]上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是（　?。?br /> A．(0，103] B．(0，23] C．[23，103] D．[103，+∞)
6．若0＜x＜y＜π4，m＝sinx+cosx，n＝siny+cosy，則（　?。?br /> A．m2＞n2 B．m2＜n2 C．mn＜1 D．mn＞2
7．已知函數(shù)f（x）＝cos（ωx?π6）（ω＞0）滿足f（x+π）+f（x）＝0，則函數(shù)g（x）＝sin（π6?ωx）的單調(diào)遞增區(qū)間為（　?。?br /> A．[?π6+kπ，π3+kπ]，k∈Z B．[?π3+2kπ，2π3+2kπ]，k∈Z
C．[π3+kπ，5π6+kπ]，k∈Z D．[2π3+2kπ，5π3+2kπ]，k∈Z
8．已知函數(shù)y=cos(π2?3x)，則下列關(guān)于它的說法正確的是（　?。?br /> A．圖象關(guān)于y軸對稱
B．圖象的一個對稱中心是(?2π3，0)
C．周期是?2π3
D．在(π6，π2)上是增函數(shù)．
9．若α，β為第二象限的角，且sinα＞sinβ則（　　）
A．α＞β B．cosα＞cosβ C．tanα＞tanβ D．cosα＜cosβ
10．設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+2π3)，則下列結(jié)論中正確的是（　　）
A．y＝f（x）的圖象關(guān)于點(π3，0)對稱
B．y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x=π3對稱
C．f（x）在[0，π3]上單調(diào)遞減
D．f（x）在[?π6，0]上的最小值為0
11．已知ω＞0，函數(shù)f(x)=2sin(ωx+π6)在[π2，5π6]上單調(diào)遞減，則實數(shù)ω的取值范圍是（　?。?br /> A．（0，1] B．[12，85] C．[23，56] D．[23，85]
12．函數(shù)y＝sinx?12π的單調(diào)遞增區(qū)間是（　?。?br /> A．[4kπ，（4k+1）π]（k∈Z） B．[4k，4k+2]（k∈Z）
C．[2kπ，（2k+2）π]（k∈Z） D．[2k，2k+2]（k∈Z）
二．填空題（共19小題）
13．函數(shù)f（x）＝3sin（﹣2x+π4）﹣2的最小正周期π，單調(diào)增區(qū)間為　 　，對稱中心是　 ??；對稱軸為　 ?。?br /> 14．函數(shù)y=sin(π6?x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 　 ?。?br /> 15．函數(shù)y=sin(x+π6)的單調(diào)遞增區(qū)間為　 　．
16．已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），x=?π3為f（x）的一個零點，x=π3為y＝f（x）圖象的一條對稱軸，且f（x）在（π2021，π6）內(nèi)不單調(diào)，則ω的最小值為　 ?。?br /> 17．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的圖象關(guān)于直線x=π2對稱且f（3π8）＝1，f（x）在區(qū)間[?3π8，?π4]上單調(diào)．則ω可取數(shù)值的個數(shù)為　 ?。?br /> 18．已知奇函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），函數(shù)f（x）圖象的相鄰兩對稱軸的距離為π2，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為　 ?。?br /> 19．函數(shù)f（x）＝sin（2x?π4）的最小正周期為　 　，單調(diào)遞增區(qū)間為　 　．
20．對任意φ∈[0，π4]，函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）在區(qū)間[π2，π]上單調(diào)遞增，則實數(shù)ω的取值范圍是　 ?。?br /> 21．已知函數(shù)f(x)=sin(wx+φ)(w＞0，|φ|＜π2)的部分圖象如圖所示，
若f（x）在區(qū)間[π，a2]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的最大值為　 ?。?br />
22．函數(shù)f(x)=2sin(2πx+π6)在區(qū)間[0，1]的單調(diào)增區(qū)間為　 ?。?br /> 23．能使“函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π3）在區(qū)間[π2，π]上單調(diào)遞減”是真命題的一個正數(shù)ω的值為　 ?。?br /> 24．設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(3π2?x)cos(π+x)+sin2(π2?x)，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為　 　．
25．已知函數(shù)f(x)=|sin(ωx+π4)|(ω＞1)在(π，54π)上單調(diào)遞減，則實數(shù)ω的取值范圍是　 ?。?br /> 26．已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|＜π2)，若函數(shù)f（x）在[π2，5π6]上具有單調(diào)性，且f(π2)=?f(5π6)，則f(76π)=　 ?。?br /> 27．當(dāng)φ＝　 　時，函數(shù)f（x）＝2sin（2x+φ）在區(qū)間[π6，2π3]上單調(diào)．（寫出一個值即可）．
28．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點M(π4，0)對稱，且在區(qū)間[0，π2]上是單調(diào)函數(shù)，則ω＝　 　，φ＝　 　．
29．已知函數(shù)f（x）＝sinxcosx﹣sin2x，x∈R．若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，π16]上遞增，則實數(shù)a的取值范圍為 　 　．
30．已知函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π），f（4）＝f（2）﹣6，且f（x）在[2，4]上單調(diào)．設(shè)函數(shù)g（x）＝f（x）﹣1，且g（x）的定義域為[﹣5，8]，則函數(shù)g（x）的所有零點之和等于　 ?。?br /> 31．若函數(shù)g(x)=sinωx+cos(ωx+π6)(ω＞0)的圖象關(guān)于點（2π，0）對稱，且在區(qū)間[?π3，π6]上是單調(diào)函數(shù)，則ω的值為　 　．
三．解答題（共4小題）
32．已知函數(shù)f（x）=3cosxcos(x?π2）+sin2（x?π6）?12．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[0，π4]，f（x）=36，求cos2x的值．
33．已知函數(shù)f(x)=a(2cos2x2+sinx)+b．
（1）當(dāng)a＝1時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時，f（x）的值域為[3，4]，求a、b的值．
34．已知函數(shù)f（x）＝2cos2x﹣23sinxcosx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求方程f（x）=?13在區(qū)間[0，π2]內(nèi)的所有實根之和．
35．已知函數(shù)f(x)=sin(x2+π4)．
（1）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[?π6，2π3]上的值域．

人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 正弦函數(shù)的單調(diào)性
參考答案與試題解析
一．選擇題（共12小題）
1．若函數(shù)y＝sinx和y＝cosx在區(qū)間D上都是增函數(shù)，則區(qū)間D可以是（　?。?br /> A．(0，π2) B．(π2，π) C．(π，3π2) D．(3π2，2π)
【分析】由題意利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性，可得結(jié)論．
【解答】解：∵函數(shù)y＝sinx和y＝cosx在區(qū)間D上都是增函數(shù)，
則區(qū)間D為（2kπ+3π2，2kπ+2π），k∈Z，
故選：D．
2．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）滿足f（π4?x）＝﹣f（π4+x），f（?π2?x）＝f（x），且在（0，π8）上是單調(diào)函數(shù)，則ω的值可能是（　?。?br /> A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根據(jù)條件判斷f（x）的圖象關(guān)于點（π4，0）對稱，同時關(guān)于x=?π4對稱，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性分別進(jìn)行討論即可．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）滿足f（π4?x）＝﹣f（π4+x），
∴f（x）的圖象關(guān)于點（π4，0）對稱，
∵f（?π2?x）＝f（x），∴函數(shù)關(guān)于?π2?x+x2=?π4對稱，
∵f（x）在（0，π8）上是單調(diào)函數(shù)，∴12?2πω≥π8，∴ω≤8．
若對稱中心（π4，0）和對稱軸x=?π4得距離d=π4?（?π4）=π2，
①若d=π2=T4，即T＝2π，即T=2πω=2π，則ω＝1，此時f（x）＝sin（x+φ），
x=?π4是對稱軸，則?π4+φ＝kπ+π2，得φ＝kπ+3π4，∵|φ|＜π2，∴k＝﹣1時，φ=?π4，此時f（x）＝sin（x?π4），滿足條件，
②若d=π2=3T4，即T=23π，即T=2πω=23π，則ω＝3此時f（x）＝sin（3x+φ），
x=?π4是對稱軸，則?π4×3+φ＝kπ+π2，得φ＝kπ+5π4，∵|φ|＜π2，∴k＝﹣1時，φ=π4，此時f（x）＝sin（3x+π4），
當(dāng)0＜x＜π8時，π4＜3x+π4＜5π8，此時函數(shù)不單調(diào)，不滿足條件．
③若d=π2=5T4，即T=25π，即T=2πω=25π，則ω＝5此時f（x）＝sin（5x+φ），
x=?π4是對稱軸，則?π4×5+φ＝kπ+π2，得φ＝kπ+7π4，∵|φ|＜π2，∴k＝﹣2時，φ=?π4，此時f（x）＝sin（5x?π4），
當(dāng)0＜x＜π8時，?π4＜5x?π4＜3π8，此時函數(shù)單調(diào)遞增，滿足條件．
③若d=π2=74T，即T=27π，即T=2πω=27π，則ω＝7此時f（x）＝sin（7x+φ），
x=?π4是對稱軸，則?π4×7+φ＝kπ+π2，得φ＝kπ?5π4，∵|φ|＜π2，∴k＝1時，φ=?π4，此時f（x）＝sin（7x?π4），
當(dāng)0＜x＜π8時，?π4＜7x?π4＜5π8，此時函數(shù)不單調(diào)，不滿足條件，
④若d=π2=94T，即T=29π，即T=2πω=29π，則ω＝9＞8不成立，
綜上滿足條件的ω＝1或ω＝5，
故選：C．
3．設(shè)f(x)=3sin(ωx?π12)+1，若f（x）在[?π3，π6]上為增函數(shù)，則ω的取值范圍是（　?。?br /> A．[512，72] B．[54，72] C．（0，74] D．（0，54]
【分析】由題意利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，可得ωx?π12∈[?ωπ3?π12，ωπ6?π12]，故有?ωπ3?π12≥?π2ωπ6?π12≤π2，由此求得
ω的取值范圍．
【解答】解：設(shè)f(x)=3sin(ωx?π12)+1，在[?π3，π6]上，ωx?π12∈[?ωπ3?π12，ωπ6?π12]，
由于f（x）為增函數(shù)，∴?ωπ3?π12≥?π2ωπ6?π12≤π2，即 ω≤54ω≤72，
求得 0＜ω≤54，
故選：D．
4．已知函數(shù)f（x）＝sin2xcosφ+cos2xsinφ（x∈R），其中φ為實數(shù)，且f(x)≤f(2π9)對任意x∈R恒成立，記p=f(7π18)，q=f(5π6)，r=f(7π6)，則p，q，r的大小關(guān)系是（　?。?br /> A．r＜p＜q B．q＜r＜p C．p＜q＜r D．q＜p＜r
【分析】根據(jù)不等式恒成立，得到當(dāng)x=2π9時，函數(shù)f（x）取得最大值，然后求出φ的值和函數(shù)f（x）的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較即可．
【解答】解：f（x）＝sin（2x+φ），
∵f(x)≤f(2π9)對任意x∈R恒成立，
∴當(dāng)x=2π9時，函數(shù)f（x）取得最大值，
即2×2π9+φ＝2kπ+π2，即φ＝2kπ+π18，
則f（x）＝sin（2x+2kπ+π18）＝sin（2x+π18），
則p=f(7π18)=sin（2×7π18+π18）＝sin（15π18）＝sin（3π18），q=f(5π6)=sin（31π18）＝sin（2π?5π18）＝sin（?5π18），
r=f(7π6)=sin（43π18）＝sin（2π+7π18）＝sin（7π18），
∵y＝sinx在（?π2，π2）內(nèi)為增函數(shù)，
∴sin（?5π18）＜sin（3π18）＜sin（7π18），
即q＜p＜r，
故選：D．
5．若函數(shù)f(x)=2sin(ωx+π3)(ω＞0)在區(qū)間[?π4，π4]上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是（　　）
A．(0，103] B．(0，23] C．[23，103] D．[103，+∞)
【分析】求出角ωx+π3的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．
【解答】解：當(dāng)?π4≤x≤π4，時，?π4ω≤ωx≤π4ω，π3?π4ω≤ωx+π3≤π4ω+π3，
要使f（x）在[?π4，π4]上單調(diào)遞增，
則π3?π4ω≥?π2π4ω+π3≤π2，得ω≤103ω≤23，
又ω＞0，
∴0＜ω≤23．
故選：B．
6．若0＜x＜y＜π4，m＝sinx+cosx，n＝siny+cosy，則（　　）
A．m2＞n2 B．m2＜n2 C．mn＜1 D．mn＞2
【分析】將m，n平方，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可得m2＝1+sin2x，n2＝1+sin2y，結(jié)合x，y的范圍及正弦函數(shù)在[0，π2]的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．
【解答】解：m2＝（sinx+cosx）2＝1+sin2x，n2＝（siny+cosy）2＝1+sin2y，
∵0＜x＜y＜π4，
∴0＜2x＜2y＜π2，
∴0＜siin2x＜sin2y＜1，
∴m2＜n2．
故選：B．
7．已知函數(shù)f（x）＝cos（ωx?π6）（ω＞0）滿足f（x+π）+f（x）＝0，則函數(shù)g（x）＝sin（π6?ωx）的單調(diào)遞增區(qū)間為（　?。?br /> A．[?π6+kπ，π3+kπ]，k∈Z B．[?π3+2kπ，2π3+2kπ]，k∈Z
C．[π3+kπ，5π6+kπ]，k∈Z D．[2π3+2kπ，5π3+2kπ]，k∈Z
【分析】求出函數(shù)的周期，然后求出ω，利用正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可．
【解答】解：因為函數(shù)f（x）＝cos（ωx?π6）（ω＞0）滿足f（x+π）＝﹣f（x），
所以最小正周期為2π，所以2πω=2π，解得ω＝1．
所以g（x）＝sin（π6?x）＝﹣sin（x?π6）．
由π2+2kπ≤x?π6≤3π2+2kπ，k∈Z，得2π3+2kπ≤x≤5π3+2kπ，k∈Z．
故選：D．
8．已知函數(shù)y=cos(π2?3x)，則下列關(guān)于它的說法正確的是（　?。?br /> A．圖象關(guān)于y軸對稱
B．圖象的一個對稱中心是(?2π3，0)
C．周期是?2π3
D．在(π6，π2)上是增函數(shù)．
【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式轉(zhuǎn)換為正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：函數(shù)y=cos(π2?3x)，
＝sin3x．
則：①函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，故選項A錯誤．
函數(shù)的最小正周期為T=2π3，
故選項C錯誤．
②當(dāng)x=?2π3時f（?2π3）＝0，
故選項B正確．
③令：?π2+2kπ≤3x≤2kπ+π2（k∈Z），
整理得：?π6+23kπ≤x≤23kπ+π6，
所以函數(shù)在[π6，π2]上單調(diào)遞減．
故選項D錯誤．
故選：B．
9．若α，β為第二象限的角，且sinα＞sinβ則（　?。?br /> A．α＞β B．cosα＞cosβ C．tanα＞tanβ D．cosα＜cosβ
【分析】根據(jù)題意，畫出單位圓以及α，β為第二象限的角的三角函數(shù)線，根據(jù)三角函數(shù)線的定義分析選項即可確定答案．
【解答】解：α，β為第二象限的角，且sinα＞sinβ，
即AB＝sinβMP＝sinαOM＝cosαOA＝cosβ
顯然OA＜OM
即：cosα＞cosβ
故選：B．

10．設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x+2π3)，則下列結(jié)論中正確的是（　　）
A．y＝f（x）的圖象關(guān)于點(π3，0)對稱
B．y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x=π3對稱
C．f（x）在[0，π3]上單調(diào)遞減
D．f（x）在[?π6，0]上的最小值為0
【分析】由題意利用查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．
【解答】解：對于函數(shù)f(x)=sin(2x+2π3)，令x=π3，求得f（x）=?32，不是最值，
可得y＝f（x）的圖象不關(guān)于點(π3，0)對稱，也不關(guān)于直線x=π3對稱，故A、B都不正確；
在[0，π3]上，2x+2π3∈[2π3，4π3]，故f（x）在[0，π3]上單調(diào)遞減，故C正確；
在[?π6，0]上，2x+2π3∈[π3，2π3]，故f（x）在[0，π3]上沒有單調(diào)性，
最小值為f（?π6）＝f（0）=32，故D不正確，
故選：C．
11．已知ω＞0，函數(shù)f(x)=2sin(ωx+π6)在[π2，5π6]上單調(diào)遞減，則實數(shù)ω的取值范圍是（　?。?br /> A．（0，1] B．[12，85] C．[23，56] D．[23，85]
【分析】由題意利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，可得 12×2πω≥5π6?π2，且 π2ω+π6≥π2，且 5π6ω+π6≤3π2，由此求得實數(shù)ω的取值范圍．
【解答】解：∵ω＞0，由 π2≤x≤5π6，得 π2ω+π6≤ωx+π6≤5π6ω+π6，
函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+π6）在[π2，5π6]上單調(diào)遞減，
∴12×2πω≥5π6?π2，∴0＜ω≤3 ①．
且 π2ω+π6≥π2+2kπ，且 5π6ω+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，
解得ω≥23+4k，且ω≤85+125k，即4k+23≤ω≤85+12k5，
結(jié)合①可得k＝0，即 23≤ω≤85．
故選：D．
12．函數(shù)y＝sinx?12π的單調(diào)遞增區(qū)間是（　?。?br /> A．[4kπ，（4k+1）π]（k∈Z） B．[4k，4k+2]（k∈Z）
C．[2kπ，（2k+2）π]（k∈Z） D．[2k，2k+2]（k∈Z）
【分析】利用誘導(dǎo)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．
【解答】解：由數(shù)y＝sinx?12π＝sin（π2x?π2）＝﹣cosπ2x，
由2kπ≤π2x≤2kπ+π，k∈Z，
解得4k≤x≤4k+2，k∈Z，
故函數(shù)y＝sinx?12π的單調(diào)遞增區(qū)間是[4k，4k+2]（k∈Z），
故選：B．
二．填空題（共19小題）
13．函數(shù)f（x）＝3sin（﹣2x+π4）﹣2的最小正周期π，單調(diào)增區(qū)間為　[kπ+3π8，kπ+7π8]，k∈Z　，對稱中心是?。╧π2+π8，﹣2），k∈Z　；對稱軸為　x=kπ2+3π8，k∈Z?。?br /> 【分析】由條件利用正弦函數(shù)的單調(diào)性、以及它的圖象的對稱性，得出結(jié)論．
【解答】解：對于函數(shù)f（x）＝3sin（﹣2x+π4）﹣2＝﹣3sin（2x?π4）﹣2，
令2kπ+π2≤2x?π4≤2kπ+3π2，求得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ+3π8，kπ+7π8]，k∈Z．
令2x?π4=kπ，求得x=kπ2+π8，故函數(shù)的圖象的對稱中心為（kπ2+π8，﹣2），k∈Z．
令2x?π4=kπ+π2，求得x=kπ2+3π8，可得函數(shù)的圖象的對稱軸為x=kπ2+3π8，k∈Z．
故答案為：[kπ+3π8，kπ+7π8]，k∈Z；（kπ2+π8，﹣2），k∈Z；x=kπ2+3π8，k∈Z．
14．函數(shù)y=sin(π6?x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 　[?π3+2kπ，2kπ+2π3]（k∈Z）　．
【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：函數(shù)y＝sin（π6?x）＝﹣sin（x?π6），
令：?π2+2kπ≤x?π6≤2kπ+π2（k∈Z），
整理得：?π3+2kπ≤x≤2kπ+2π3（k∈Z），
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[?π3+2kπ，2kπ+2π3]（k∈Z）．
故答案為：[?π3+2kπ，2kπ+2π3]（k∈Z）．
15．函數(shù)y=sin(x+π6)的單調(diào)遞增區(qū)間為　[2kπ?2π3，2kπ+π3]k∈Z　．
【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可直接求解．
【解答】解：令?π2+2kπ≤x+π6≤π2+2kπ可得，?2π3+2kπ≤x≤π3+2kπ，k∈Z，
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間[2kπ?2π3，2kπ+π3]，k∈Z．
故答案為：[2kπ?2π3，2kπ+π3]，k∈Z．
16．已知函數(shù)f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），x=?π3為f（x）的一個零點，x=π3為y＝f（x）圖象的一條對稱軸，且f（x）在（π2021，π6）內(nèi)不單調(diào)，則ω的最小值為　154　．
【分析】直接利用已知條件和三角函數(shù)中正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：由題意知?π3ω+φ=k1ππ3ω+φ=k2π+π2，則φ=kπ2+π4．
由0＜kπ2+π4＜π2，
得，?12＜k＜12，又k∈Z，
所以k＝0，
則φ=π4．
故ω=?3k1+34．
所以f(x)=2sin(ωx+π4)．
由題設(shè)知ω＞0，當(dāng)k1＝0時，ω=34，則f(x)=2sin(34x+π4)．
由?π2+2nπ≤34x+π4≤π2+2nπ，?π+8nπ3≤x≤π3+8nπ3，
知f（x）在(?π，π3)內(nèi)單增，顯然在(π2021，π6)內(nèi)單增，不合題意．
當(dāng)k1＝﹣1時，ω=154，則f(x)=2sin(154x+π4)．
由?π2+2nπ≤154x+π4≤π2+2nπ，?π5+8nπ15≤x≤π15+8nπ15，
知f（x）在(?π5，π15)內(nèi)單增，在(π15，π3)內(nèi)單減，
符合在(π2021，π6)內(nèi)不單調(diào)的條件．
故ω的最小值為154．
故答案為：154．
17．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的圖象關(guān)于直線x=π2對稱且f（3π8）＝1，f（x）在區(qū)間[?3π8，?π4]上單調(diào)．則ω可取數(shù)值的個數(shù)為　1　．
【分析】由題意利用根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，可求ω取數(shù)值的個數(shù)．
【解答】解：∵f（x）在區(qū)間[?3π8，?π4]上單調(diào)，
即[?3π8，?π4]在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，∴?π4+3π8≤12?2πω，∴0＜ω≤8 ①．
∵函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的圖象關(guān)于直線x=π2對稱，
∴當(dāng)x=π2時，函數(shù)f（x）＝±2，即ωπ2+φ=π2+kπ，k∈Z②．
由f（3π8）＝1，可得sin（ω?3π8+φ）=22，
∴ω?3π8+φ=π4+2nπ③，或ω?3π8+φ=3π4+2mπ，m、n∈Z④．
故①②③成立，或者①②④成立．
由②③可得ω＝2+（k﹣2n）?8，再結(jié)合①可得，ω＝2；
此時，k＝2n，令n＝0，可得φ=?π2，f（x）=2sin（2x?π2），
滿足f（x）在[?3π8，?π4]上單調(diào)第減．
由②④可得ω＝﹣2+（k﹣2m）?8，再結(jié)合①可得ω＝6，
此時，k＝2m+1，令m＝1，可得φ=π2，f（x）=2sin（6x+π2），
f（x）在[?3π8，?π4]上不單調(diào)，故不滿足條件．
綜上可得，ω可取數(shù)值的個數(shù)為1，
故答案為：1．
18．已知奇函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），函數(shù)f（x）圖象的相鄰兩對稱軸的距離為π2，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為　[kπ+π4，kπ+3π4]（k∈Z）．?。?br /> 【分析】利用三角函數(shù)圖象的周期性和單調(diào)性可得答案．
【解答】解：由題意知，奇函數(shù)f（x）的圖象過坐標(biāo)原點，f（0）＝0，即sinφ＝0．
又因為|φ|＜π2，故φ＝0．
又因為函數(shù)f（x）＝sinωx的圖象的相鄰兩對稱軸的距離為π2，則T2=π2（T為函數(shù)f（x）的最小正周期），
T＝2π，ω=2πT=2，所以函數(shù)f（x）＝sin2x．
令2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2，k∈Z，
解得：kπ+π4≤x≤kπ+3π4]（k∈Z），
則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+π4，kπ+3π4]（k∈Z）．
故答案為：函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[kπ+π4，kπ+3π4]（k∈Z）．
19．函數(shù)f（x）＝sin（2x?π4）的最小正周期為　π　，單調(diào)遞增區(qū)間為　[?π8+kπ，3π8+kπ]（k∈Z）?。?br /> 【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，求得結(jié)果．
【解答】解：對于函數(shù)f（x）＝sin（2x?π4），它的最小正周期為2π2=π，
令2kπ?π2≤2x?π4≤2kπ+π2，求得kπ?π8≤x≤kπ+3π8，可得它的增區(qū)間為[kπ?π8，kπ+3π8]，k∈Z，
故答案為：π；[kπ?π8，kπ+3π8]，k∈Z．
20．對任意φ∈[0，π4]，函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）在區(qū)間[π2，π]上單調(diào)遞增，則實數(shù)ω的取值范圍是　(0，14]∪{?32}?。?br /> 【分析】由對任意φ∈[0，π4]，函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）在區(qū)間[π2，π]上單調(diào)遞增，可得|ω|≤2，然后分ω＞0和ω＜0兩種情況求出ω的范圍．
【解答】解：∵對任意φ∈[0，π4]，函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）在區(qū)間[π2，π]上單調(diào)遞增，
∴12×|2πω|≥π?π2，∴|ω|≤2．
①ω＞0時，此時，0＜ω≤2，y＝sin（ωx+φ）單調(diào)遞增，
可得π2ω+φ≥?π2+2kππω+φ≤π2+2kπ，k∈Z，則φ≥2kπ?π2?π2ωφ≤2kπ+π2?πω，
∵φ∈[0，π4]，∴ω≤12?14+2kω≥4k?1，
當(dāng)k＝0時，可得0＜ω≤14；
①ω＜0時，此時，﹣2≤ω＜0，y＝sin（ωx+φ）單調(diào)遞增，
即y＝﹣sin（﹣ωx﹣φ）在區(qū)間[π2，π]上單調(diào)遞減；
可得?π2ω?φ≥π2+2kπ?πω?φ≤3π2+2kπ，k∈Z，則φ≤?2kπ?π2ω?π2φ≥?2kπ?3π2?πω，
∵φ∈[0，π4]，∴ω≤?4k?12?1ω≥?2k?32，
當(dāng)k＝0時，可得ω=?32；
綜上，則實數(shù)ω的取值范圍是(0，14]∪{?32}．
21．已知函數(shù)f(x)=sin(wx+φ)(w＞0，|φ|＜π2)的部分圖象如圖所示，
若f（x）在區(qū)間[π，a2]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的最大值為　9π4　．

【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．
【解答】解：由圖象知3T4=5π8?（?π8）=6π8，得T＝π，即2πω=π得ω＝2，
則f（x）＝sin（2x+φ）
由五點對應(yīng)法得?π8×2+φ＝0，得φ=π4，
則f（x）＝sin（2x+π4），
當(dāng)π≤x≤a2時，則2π≤2x≤a，9π4≤2x+π4≤a+π4，
要使函數(shù)為增函數(shù)，則a+π4≤2π+π2，
得a≤9π4
即a的最大值為9π4，
故答案為：9π4
22．函數(shù)f(x)=2sin(2πx+π6)在區(qū)間[0，1]的單調(diào)增區(qū)間為　[0，16]和[23，1]?。?br /> 【分析】求出角的范圍，利用換元法結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：∵0≤x≤1，∴0≤2πx≤2π，π6≤2πx+π6≤13π6，
設(shè)t＝2πx+π6，則函數(shù)y＝2sint在π6≤t≤π2和3π2≤t≤13π6上為增函數(shù)，
由π6≤2πx+π6≤π2和3π2≤2πx+π6≤13π6，得0≤x≤16或23≤x≤1，
即f（x）在區(qū)間[0，1]的單調(diào)增區(qū)間為[0，16]和[23，1]．
故答案為：[0，16]和[23，1]
23．能使“函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π3）在區(qū)間[π2，π]上單調(diào)遞減”是真命題的一個正數(shù)ω的值為　13　．
【分析】利用正弦函數(shù)的單調(diào)性和周期性的定義解得ω的范圍可得答案．
【解答】解：因為函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π3），x∈[π2，π]，
所以ωx+π3∈[π2ω+π3，πω+π3]，
又因為函數(shù)f（x）＝sin（ωx+π3）在區(qū)間[π2，π]上單調(diào)遞減，
T=2πω≥π，ω≤2，①
所以π2ω+π3≥π2+2kπ，k∈Z，且πω+π3≤3π2+2kπ，k∈Z，
解得：13+4k≤ω，ω≤76+2k，k∈Z，②
取k＝0時，13≤ω≤76，且0＜ω≤2，
所以一個正數(shù)ω的值可?。?3．
故答案為：13（不唯一）．
24．設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(3π2?x)cos(π+x)+sin2(π2?x)，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為　[kπ?π2，kπ]（k∈Z）　．
【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為f（x）=32cos2x+32，然后利用余弦函數(shù)的性質(zhì)，解關(guān)于x的不等式，求出函數(shù)的遞增區(qū)間即可．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝2sin（32π﹣x）cos（π+x）+sin2（π2?x）
＝3cos2x=32cos2x+32，
令﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，解得：kπ?π2≤x≤kπ，
故函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是[kπ?π2，kπ]（k∈Z），
故答案為：[kπ?π2，kπ]（k∈Z）．
25．已知函數(shù)f(x)=|sin(ωx+π4)|(ω＞1)在(π，54π)上單調(diào)遞減，則實數(shù)ω的取值范圍是　[54，74]?。?br /> 【分析】根據(jù)x∈（π，5π4）時求出ωx+π4的取值范圍，由正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)列出不等式組求實數(shù)ω的取值范圍．
【解答】解：當(dāng)x∈（π，5π4）時，ωπ+π4＜ωx+π4＜5π4ω+π4，
由函數(shù)f(x)=|sin(ωx+π4)|(ω＞1)在(π，54π)上單調(diào)遞減，
則ωπ+π4≥3π2ω?5π4+π4≤2π，
解得54≤ω≤75；
所以實數(shù)ω的取值范圍是[54，74]．
故答案為：[54，74]．
26．已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|＜π2)，若函數(shù)f（x）在[π2，5π6]上具有單調(diào)性，且f(π2)=?f(5π6)，則f(76π)=　0　．
【分析】由題意利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得φ的范圍，根據(jù)圖象的對稱性求得φ的值，可得函數(shù)的解析式，從而求得要求式子的值．
【解答】解：函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(|φ|＜π2)，若函數(shù)f（x）在[π2，5π6]上具有單調(diào)性，
∴2×π2+φ≥π2，且 2×5π6+φ≤3π2，∴?π2≤φ≤?π6．
∵f(π2)=?f(5π6)，π2+5π62=2π3，故f（x）的圖象關(guān)于點（2π3，0）對稱，
故 f（2π3）＝sin（4π3+φ）＝0，∴φ=?π3，f（x）＝sin（2x?π3）．
則f(76π)=sin（7π3?π3）＝sin2π＝0，
故答案為：0．
27．當(dāng)φ＝　π6　時，函數(shù)f（x）＝2sin（2x+φ）在區(qū)間[π6，2π3]上單調(diào)．（寫出一個值即可）．
【分析】利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)，可知φ=π6滿足條件．
【解答】解當(dāng)φ=π6時，函數(shù)f（x）＝2sin（2x+π6），
由于x∈[π6，2π3]，
所以2x+π6∈[π2，3π2]滿足函數(shù)單調(diào)遞減，
故答案為：π6．
28．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點M(π4，0)對稱，且在區(qū)間[0，π2]上是單調(diào)函數(shù)，則ω＝　2　，φ＝　π2　．
【分析】根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的奇偶性、對稱性和單調(diào)性，進(jìn)行求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+φ）是R上的偶函數(shù)，0≤φ≤π，
∴φ=π2，
∴f（x）＝sin（ωx+π2）＝cosωx；
又f（x）圖象關(guān)于點M（π4，0）對稱，
∴f（π4）＝cos（π4ω）＝0，即π4ω=π2+kπ，k∈Z，即ω＝2+4k，k∈Z，
又f（x）在區(qū)間[0，π2]上是單調(diào)函數(shù)，
∴T2≥π2，即πω≥π2，解得0＜ω≤2，當(dāng)k＝0時，ω＝2，
∴ω的值為2．
故答案為：2，π2．
29．已知函數(shù)f（x）＝sinxcosx﹣sin2x，x∈R．若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，π16]上遞增，則實數(shù)a的取值范圍為 　[?3π8，π16）?。?br /> 【分析】由題意利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間，求得a的范圍．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝sinxcosx﹣sin2x=sin2x2?1?cos2x2=22sin（2x+π4）?12，x∈R，
若函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，π16]上遞增，
此時，2x+π4∈[2a+π4，3π8]，∴?π2≤2a+π4＜3π8，求得?3π8≤a＜π16，
則實數(shù)a的取值范圍為[?3π8，π16 ），
故答案為：[?3π8，π16 ）．
30．已知函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π），f（4）＝f（2）﹣6，且f（x）在[2，4]上單調(diào)．設(shè)函數(shù)g（x）＝f（x）﹣1，且g（x）的定義域為[﹣5，8]，則函數(shù)g（x）的所有零點之和等于　12?。?br /> 【分析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用函數(shù)的對稱性求出零點的和．
【解答】解：由于函數(shù)f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π），滿足f（4）＝f（2）﹣6，
所以f（2）﹣f（4）＝6，且f（x）在[2，4]上單調(diào)．
所以f（2）＝3，f（4）＝﹣3，
所以T＝4，
故ω=π2，
由于f（2）＝3，
所以π+φ=2kπ+π2（k∈Z），
解得φ=?π2，
所以f（x）＝3sin（π2x?π2）＝﹣3cosπ2x，
故g（x）=?3cosπ2x?1，
令g（x）＝0，解得cosπ2x=?13，
由于函數(shù)cosπ2x關(guān)于x＝2，﹣2，6對稱，
所以零點的和為﹣4+4+12＝12．
故答案為：12．
31．若函數(shù)g(x)=sinωx+cos(ωx+π6)(ω＞0)的圖象關(guān)于點（2π，0）對稱，且在區(qū)間[?π3，π6]上是單調(diào)函數(shù)，則ω的值為　13或56?。?br /> 【分析】展開兩角和的余弦，再由輔助角公式化積，由g(x)=sinωx+cos(ωx+π6)(ω＞0)的圖象關(guān)于點（2π，0）對稱求得ω=k2?16（k∈Z），取k值驗證得答案．
【解答】解：∵g（x）＝sinωx+cosωx?cosπ6?sinωx?sinπ6=12sinωx+32cosωx
＝sin（ωx+π3）．
∵函數(shù)g(x)=sinωx+cos(ωx+π6)(ω＞0)的圖象關(guān)于點（2π，0）對稱，
∴g（2π）＝sin（2πω+π3）＝0，得2πω+π3=kπ，∴ω=k2?16（k∈Z），
∵ω＞0，∴取k＝1時，ω=13，此時g（x）＝sin（13x+π3），
當(dāng)x∈[?π3，π6]時，13x+π3∈[2π9，7π18]，g（x）在區(qū)間[?π3，π6]上是單調(diào)函數(shù)；
取k＝2時，ω=56，此時g（x）＝sin（56x+π3），
當(dāng)x∈[?π3，π6]時，56x+π3∈[π18，17π36]，g（x）在區(qū)間[?π3，π6]上是單調(diào)函數(shù)；
取k＝3時，ω=43，此時g（x）＝sin（43x+π3），
當(dāng)x∈[?π3，π6]時，43x+π3∈[?π9，5π9]，g（x）在區(qū)間[?π3，π6]上不是單調(diào)函數(shù)；
取k≥4時，可知g（x）在區(qū)間[?π3，π6]上不是單調(diào)函數(shù)．
∴ω的值為13或56．
故答案為：13或56．
三．解答題（共4小題）
32．已知函數(shù)f（x）=3cosxcos(x?π2）+sin2（x?π6）?12．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若x∈[0，π4]，f（x）=36，求cos2x的值．
【分析】（Ⅰ）首先把函數(shù)的關(guān)系式通過恒等變換，變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果．
（Ⅱ）利用函數(shù)的關(guān)系式，通過角的恒等變換，進(jìn)一步求出函數(shù)的值．
【解答】解（Ⅰ）f（x）=3cosxcos(x?π2）+sin2（x?π6）?12．
=3sinxcosx+1?cos(2x?π3)2?12，
=32sin2x?12(12cos2x+32sin2x)，
=34sin2x?14cos2x，
=12sin(2x?π6)
令：?π2+2kπ≤2x?π6≤2kπ+π2（k∈Z），
解得：kπ?π6≤x≤kπ+π3（k∈Z），
故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ?π6，kπ+π3]（k∈Z）．
（Ⅱ）由于：f（x）=36，
則：12sin(2x?π6)=36，
即：sin(2x?π6)=33，
由于：0≤x≤π4，
則：π6≤2x?π6≤π3，
所以：cos(2x?π6)=63．
cos2x＝cos[（2x?π6）+π6]=，
=63?32?12?33，
=22?36．
33．已知函數(shù)f(x)=a(2cos2x2+sinx)+b．
（1）當(dāng)a＝1時，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時，f（x）的值域為[3，4]，求a、b的值．
【分析】（1）a＝1時f（x）＝（2cos2x2+sinx）+b，利用三角恒等變換求出f（x）的解析式，再求單調(diào)遞增區(qū)間
（2）由三角恒等變換化簡f（x），討論a的正負(fù)，求出對應(yīng)a、b的值．
【解答】解：（1）a＝1時，f（x）＝（2cos2x2+sinx）+b＝cosx+1+sinx+b=2sin（x+π4）+1+b，
2kπ?π2≤x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，
2kπ?3π4≤x≤2kπ+π4，k∈Z；
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ?3π4，2kπ+π4]，k∈Z；
（2）f（x）＝a（2cos2x2+sinx）+b＝a（cosx+1+sinx）+b=2asin（x+π4）+a+b，
當(dāng)x∈[0，π]時，sin（x+π4）∈[?22，1]；
當(dāng)a＞0時，由2a?(?22)+a+b=32a?1+a+b=4，解得a=2?1b=3；
當(dāng)a＜0時，由2a?(?22)+a+b=42a?1+a+b=3，解得a=1?2b=4；
綜上知，a=2?1，b＝3；或a＝1?2，b＝4．
34．已知函數(shù)f（x）＝2cos2x﹣23sinxcosx．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）求方程f（x）=?13在區(qū)間[0，π2]內(nèi)的所有實根之和．
【分析】（Ⅰ）先根據(jù)二倍角公式、輔助角公式化基本三角函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求減區(qū)間．
（Ⅱ）根據(jù)正弦函數(shù)圖象與性質(zhì)求簡單三角方程的根．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2cos2x﹣23sinxcosx＝1+cos2x?3sin2x＝1﹣2sin（2x?π6），
由f（x）單調(diào)遞減可知，sin（2x?π6）遞增，
故2kπ?π2≤2x?π6≤2kπ+π2，k∈Z，即kπ?π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是：[kπ?π6，kπ+π3]，k∈Z，
（Ⅱ）由1﹣2sin（2x?π6）=?13，得：sin（2x?π6）=23，
由sin（2x?π6）在[0，π3]上遞增，在[π3，π2]上遞減，且12＜23＜1，
得，方程在[0，π2]上有兩不等實根α，β，且滿足α+β2=π3．
∴α+β=2π3．
35．已知函數(shù)f(x)=sin(x2+π4)．
（1）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[?π6，2π3]上的值域．
【分析】（1）由題意利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（2）由題意利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）在區(qū)間[?π6，7π12]上的值域．
【解答】解：（1）要求函數(shù)f(x)=sin(x2+π4)的單調(diào)遞增區(qū)間，只需滿足?π2+2kπ≤x2+π4≤π2+2kπ(k∈Z)，
解得：?3π2+4kπ≤x≤π2+4kπ(k∈Z)，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[?3π2+4kπ，π2+4kπ](k∈Z)．
（2）因為?π6≤x≤2π3，所以，π6≤x2+π4≤7π12．
又因為sinπ6＜sin7π12＜sinπ2，所以，函數(shù)f（x）在區(qū)間[?π6，7π12]上的值域為[12，1]．

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