?人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 余弦函數(shù)的圖像
一．選擇題（共19小題）
1．在同一直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝cosx與y＝﹣cosx的圖象之間的關(guān)系是（　　）
A．關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
C．關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于直線(xiàn)y＝﹣x對(duì)稱(chēng)
2．已知函數(shù)f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0）與g（x）=A2cosωx的部分圖象如圖所示，則（　?。?br />
A．A＝1，ω=3π B．A＝2，ω=π3 C．A＝1，ω=π3 D．A＝2，ω=3π
3．在平面直角坐標(biāo)系中，橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，如果函數(shù)f（x）的圖象恰好通過(guò)k（k∈N*）個(gè)格點(diǎn)，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為k階格點(diǎn)函數(shù)．對(duì)下列4個(gè)函數(shù)：①f(x)=?cos(π2?x)；②f(x)=(13)x；③f（x）＝3π（x﹣1）2+2；④f（x）＝log0.5x；其中是一階格點(diǎn)函數(shù)的有（　?。?br /> A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
4．若f（x）＝2cos（ωx+φ）+m（ω＞0）對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f（t+π4）＝f（﹣t），且f（π8）＝﹣1，則實(shí)數(shù)m的值等于（　?。?br /> A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．±3 D．±1
5．函數(shù)f（x）＝Acos（ωx+φ）的部分圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：
①f（x）的最小正周期為2
②f（x）的一條對(duì)稱(chēng)軸為x=?12
③f（x）在（k?14，k+34）（k∈Z）上單調(diào)遞減
④f（x）的最大值為A
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
6．若函數(shù)y＝|cosx|，（x＞0）與直線(xiàn)y＝kx有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為α、β，且α＜β，則（　?。?br /> A．β=cosβcosα B．β=αcosβcosα
C．β=cosβk D．β=?cosβsinβ
7．已知函數(shù)y＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，?π2＜φ＜π2）的部分圖象如圖所示，則φ＝（　?。?br />
A．π3 B．π6 C．?π6 D．?π3
8．已知定義在正整數(shù)集上的函數(shù)f(x)=sinπx2和g(x)=cosπx2，則當(dāng)x∈[0，2020]時(shí)，y＝f（x）圖象在y＝g（x）圖象上方的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　　）
A．505 B．504 C．1010 D．1009
9．已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+π6)(A＞0，ω＞0)，若f（x）在區(qū)間[0，2π]上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn)，則ω的取值范圍是（　?。?br /> A．[53，2312) B．[1112，2312) C．[53，136) D．[2312，136)
10．已知函數(shù)f（x）＝2cos（ωx+π3）﹣?3（ω＞0）在區(qū)間[0，?π2]上單調(diào)遞減，則ω的最大值為（　?。?br /> A．1 B．43 C．65 D．32
11．已知函數(shù)f（x）＝4cos（2ωx+π6）﹣2（ω＞0）在[0，π]內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（　?。?br /> A．.（32，136] B．[32，136） C．（34，1312] D．[34，1312）
12．已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+π6)(ω＞0)的最小正周期為π，則該函數(shù)圖象（　?。?br /> A．關(guān)于直線(xiàn)x=π6對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于點(diǎn)(π6，0)對(duì)稱(chēng)
C．關(guān)于直線(xiàn)x=π3對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于點(diǎn)(π3，0)對(duì)稱(chēng)
13．若函數(shù)y＝sin（x+φ）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(π6，0)，則函數(shù)y＝cos（x+φ）的一條對(duì)稱(chēng)軸為（　?。?br /> A．x=?π3 B．x=π6 C．x=π4 D．x=π3
14．cos3x+cosx＝0在[0，2π]上所有根之和為（　?。?br /> A．3π B．4π C．5π D．6π
15．如圖是函數(shù)f（x）＝cos（πx+φ）（0＜φ＜π2）的部分圖象，則f（6x0）＝（　?。?br />
A．12 B．?12 C．?32 D．32
16．已知函數(shù)f（x）＝2cos（3x+φ）+3（|φ|≤π2），若?x∈（?π6，π12），f（x）的圖象恒在直線(xiàn)y＝3的上方，則φ的取值范圍是（　?。?br /> A．（π12，π2） B．[π6，π3] C．（0，π4） D．（?π6，π3）
17．已知函數(shù)y=3cos(ωx+π6)(ω＞0)的圖象與直線(xiàn)y＝3相鄰的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離為2π3，則ω的值為（　?。?br /> A．3 B．23 C．13 D．32
18．已知函數(shù)y＝3cos（2x+π3）的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇﹣1，3]，則b﹣a的值可能是（　?。?br /> A．2π3 B．π2 C．3π4 D．π
19．已知函數(shù)f（x）＝2cos（ωx+π4ω）+1在（0，π8）上是減函數(shù)，則ω的最大值為（　?。?br /> A．12 B．10 C．8 D．6
二．多選題（共3小題）
20．對(duì)于函數(shù)f（x）＝2cos（2x+5π6），下列四個(gè)命題中正確的（　?。?br /> A．f（x）的最小正周期是π
B．x=π12是f（x）圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸
C．f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（π6，0）對(duì)稱(chēng)
D．?x∈[?π4，0]，使f（x）=3
21．已知函數(shù)y＝sin（ωx+φ）與y＝cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）在x∈[0，522]的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)P，M，N．若△PMN為直角三角形，則（　?。?br /> A．ω=22π
B．△PMN的面積S＝π
C．φ∈[?π4，π4]
D．兩函數(shù)圖象必在x=9π?4φ4ω處有交點(diǎn)
22．已知函數(shù)f（x）＝2cos（ωx+π3）﹣1（ω＞0），若函數(shù)f（x）的三個(gè)相鄰的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且|x1﹣x2|＝λ|x2﹣x3|=π3，則ω+λ的值可能是（　?。?br /> A．52 B．92 C．4 D．6
三．填空題（共11小題）
23．已知函數(shù)f（x）＝cos（3x+π3），其中x∈[π6，m]（m∈R且m＞π6），若f（x）的值域是[﹣1，?32]，則 m的最大值是　 ?。?br /> 24．已知函數(shù)f（x）＝cos（x+π3）+cosx，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為　 ?。?br /> 25．若函數(shù)f(x)=2sin(wx?π6)(w＞0)和g（x）＝3cos（2x+φ）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸完全相同則當(dāng)x∈[0，π]，關(guān)于x的不等式f（x）﹣1≥0的解集為　 ?。?br /> 26．函數(shù)f（x）＝cos2πnx，x∈Z的值域由6個(gè)實(shí)數(shù)組成，則非零整數(shù)n的值是　 ?。?br /> 27．已知ω＞0，在函數(shù)y＝3sinωx與y＝3cosωx圖象的交點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為33，則ω的值是　 ?。?br /> 28．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A，B，C，D為函數(shù)y＝sinωx與y＝cosωx（ω＞0）的圖象的四個(gè)相鄰的交點(diǎn)，且四邊形ABCD的面積為π，則ω的值為　 　．
29．已知函數(shù)y＝a+cosωx，x∈[﹣π，π]（其中a、ω為常數(shù)，且ω＞0）有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是 　 ?。?br /> 30．已知函數(shù)f(x)=cos(ωx?π6)(ω＞0)，若函數(shù)f（x）在(0，7π6)上沒(méi)有零點(diǎn)，則ω的取值范圍是　 ?。?br /> 31．函數(shù)f(x)=2cos(12x+π3)?1在（0，2020π）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為　 ?。?br /> 32．方程3sinx＝1+cos2x在區(qū)間[0，2π]上的所有解的和為 　 ?。?br /> 33．已知函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝2cosx﹣1在區(qū)間(0，π2)上的圖象的交點(diǎn)為P0，過(guò)點(diǎn)P0作x軸的垂線(xiàn)l，垂足為H，l與函數(shù)y＝tanx的圖象交于點(diǎn)P1，則線(xiàn)段P1H的長(zhǎng)為 　 ?。?br /> 四．解答題（共7小題）
34．已知函數(shù)f（x）＝cosωx（ω＞0），其圖象上相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為π2，
（Ⅰ）求f（x+π6）在區(qū)間[?π6，2π3]上的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若α∈（5π12，π2），f（α+π3）=13，求sin2α的值．
35．已知函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的部分圖象，如圖所示．
（1）求函數(shù)解析式，并求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若方程f（x）＝m在[?π6，13π12]有兩個(gè)不同的實(shí)根，求m的取值范圍．

36．若函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜π2）的一個(gè)零點(diǎn)與之相鄰的對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為π4，且x=2π3時(shí)f（x）有最小值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[π4，5π6]，求f（x）的值域．
37．已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的最小正周期為π，直線(xiàn)x=?π24為它的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸．
（1）當(dāng)x∈[?5π24，5π24]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊，若f(?A2)=2，a=3，求b+c的最大值．
38．已知函數(shù)f（x）＝2cos（2x?π3）+1．
（1）求函數(shù)f（x）取得最大值時(shí)x的取值集合；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
39．已知函數(shù)f（x）＝cos（πΩx﹣φ）（Ω＞0，0≤φ＜2π）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
（1）求φ的值；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，試求當(dāng)Ω取最小值時(shí)，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）的值．
40．已知函數(shù)f（x）＝cos（2x?π3）+2sin（x?π4）sin（x+π4）．
（1）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足c＝23，f（C）＝1，且點(diǎn)O滿(mǎn)足|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，求CO→?（CA→+CB→）的取值范圍．

人教版2022屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 余弦函數(shù)的圖像
參考答案與試題解析
一．選擇題（共19小題）
1．在同一直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝cosx與y＝﹣cosx的圖象之間的關(guān)系是（　?。?br /> A．關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)
C．關(guān)于直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于直線(xiàn)y＝﹣x對(duì)稱(chēng)
【分析】根據(jù)當(dāng)自變量相同時(shí)，它們的函數(shù)值相反，可得它們的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．
【解答】解：由于當(dāng)自變量相同時(shí)，它們的函數(shù)值相反，故它們的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
故選：A．
2．已知函數(shù)f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0）與g（x）=A2cosωx的部分圖象如圖所示，則（　?。?br />
A．A＝1，ω=3π B．A＝2，ω=π3 C．A＝1，ω=π3 D．A＝2，ω=3π
【分析】結(jié)合圖象可知，12A＝1，T4=1.5，然后再由周期公式即可求解ω
【解答】解：由圖象可知，12A＝1，T4=1.5，
∴A＝2，T＝6，
又6＝T=2πω，
∴ω=13π，
故選：B．
3．在平面直角坐標(biāo)系中，橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，如果函數(shù)f（x）的圖象恰好通過(guò)k（k∈N*）個(gè)格點(diǎn)，則稱(chēng)函數(shù)f（x）為k階格點(diǎn)函數(shù)．對(duì)下列4個(gè)函數(shù)：①f(x)=?cos(π2?x)；②f(x)=(13)x；③f（x）＝3π（x﹣1）2+2；④f（x）＝log0.5x；其中是一階格點(diǎn)函數(shù)的有（　?。?br /> A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【分析】根據(jù)題意，依次分析4個(gè)所給的函數(shù)，①利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)后，求出整數(shù)點(diǎn)的個(gè)數(shù)，判定是否滿(mǎn)足題意；②找出反例判斷正誤．③找出滿(mǎn)足題意的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是即可判斷正誤；④利用對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的互化，找出整點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可判定正誤，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：顯然點(diǎn)（0，0）是函數(shù)f(x)=?cos(π2?x)=?sinx的圖象上，而且函數(shù)只有最高點(diǎn)和最低點(diǎn)以及圖象與x軸的交點(diǎn)處，
橫坐標(biāo)都不是整點(diǎn)，所以函數(shù)f(x)=?cos(π2?x)是一階格點(diǎn)函數(shù)．
f（x）＝3π（x﹣1）2+2的圖象上點(diǎn)（1，2）為整點(diǎn)，當(dāng)x≠1的整數(shù)時(shí)，函數(shù)值都不是整數(shù)，故函數(shù)是一階格點(diǎn)函數(shù)；
函數(shù)f(x)=(13)x中，當(dāng)x取負(fù)整數(shù)或0時(shí)，都是整點(diǎn)，不成立；
當(dāng)x=(12)n(n=0，1，2，3，?)，都是整點(diǎn)，故函數(shù)f（x）＝log0.5x不是一階格點(diǎn)函數(shù)．
故選：A．
4．若f（x）＝2cos（ωx+φ）+m（ω＞0）對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f（t+π4）＝f（﹣t），且f（π8）＝﹣1，則實(shí)數(shù)m的值等于（　?。?br /> A．﹣3或1 B．﹣1或3 C．±3 D．±1
【分析】根據(jù)f（t+π4）＝f（﹣t）得出函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸即函數(shù)取得最值的x值，結(jié)合f（π8）＝﹣1求出m的值．
【解答】解：f（x）＝2cos（ωx+φ）+m（ω＞0）對(duì)任意實(shí)數(shù)t都有f（t+π4）＝f（﹣t），
所以函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸是x=π42=π8，此時(shí)函數(shù)f（x）取得最值，
又f（π8）＝﹣1，
所以﹣1＝±2+m，
解得m＝1或﹣3．
故選：A．
5．函數(shù)f（x）＝Acos（ωx+φ）的部分圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：
①f（x）的最小正周期為2
②f（x）的一條對(duì)稱(chēng)軸為x=?12
③f（x）在（k?14，k+34）（k∈Z）上單調(diào)遞減
④f（x）的最大值為A
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（　?。?br />
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)圖象判斷函數(shù)的解析式f（x）＝Acos（ωx+φ），結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：由圖易知最小正周期為T(mén)＝2×（54?14）＝2，①正確；
由圖知，左側(cè)第一個(gè)零點(diǎn)為：14?1=?34，所以對(duì)稱(chēng)軸為：x=?34+142=?14，所以x=?12不是對(duì)稱(chēng)軸，②不正確；
因?yàn)閿?shù)f（x）＝Acos（ωx+φ）的最小正周期為2，所以③不正確；
因?yàn)锳正負(fù)不定，所以④不正確．
所以只有①正確．
故選：A．
6．若函數(shù)y＝|cosx|，（x＞0）與直線(xiàn)y＝kx有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為α、β，且α＜β，則（　?。?br /> A．β=cosβcosα B．β=αcosβcosα
C．β=cosβk D．β=?cosβsinβ
【分析】利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)論．
【解答】解：若函數(shù)y＝|cosx|，（x＞0）與直線(xiàn)y＝kx有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，
則直線(xiàn)y＝kx與y＝﹣cosx在（π2，π）內(nèi)相切，
y′＝f′（x）＝sinx，即k＝sinβ，
由kβ＝﹣cosβ，
消去k得sinβ?β＝﹣cosβ，
即β=?cosβsinβ，
故選：D．

7．已知函數(shù)y＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，?π2＜φ＜π2）的部分圖象如圖所示，則φ＝（　?。?br />
A．π3 B．π6 C．?π6 D．?π3
【分析】根據(jù)題意，先由周期求出ω，再由五點(diǎn)法作圖求出φ的值．
【解答】解：函數(shù)y＝Acos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，?π2＜φ＜π2）的部分圖象，
可得14?2πω=2π3+π3，∴ω=12．
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖，12×2π3+φ＝0，∴φ=?π3，故函數(shù)y＝Acos（2x?π3）．
故選：D．
8．已知定義在正整數(shù)集上的函數(shù)f(x)=sinπx2和g(x)=cosπx2，則當(dāng)x∈[0，2020]時(shí)，y＝f（x）圖象在y＝g（x）圖象上方的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（　?。?br /> A．505 B．504 C．1010 D．1009
【分析】直接利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要利用周期性的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：根據(jù)函數(shù)f(x)=sinπx2和g(x)=cosπx2的圖象，他們的最小正周期為4，
由于當(dāng)x∈[0，2020]時(shí)，對(duì)函數(shù)f(x)=sinπx2正好有505個(gè)正周期，
當(dāng)定義在正整數(shù)集上y＝f（x）圖象在y＝g（x）圖象上方的點(diǎn)在第一個(gè)最小正周期內(nèi)有兩個(gè)正整數(shù)點(diǎn)為1和2．第二個(gè)正周期的整數(shù)點(diǎn)為5和6，…，
所以在x∈[0，2020]時(shí)，有505×2＝1010個(gè)整數(shù)點(diǎn)．
故選：C．
9．已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+π6)(A＞0，ω＞0)，若f（x）在區(qū)間[0，2π]上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)和1個(gè)極大值點(diǎn)，則ω的取值范圍是（　　）
A．[53，2312) B．[1112，2312) C．[53，136) D．[2312，136)
【分析】由x∈[0，2π]，得ωx+π6∈[π6，2πω+π6]，結(jié)合已知條件，可得得7π2≤2πω+π6＜9π2①，2π≤2πω+π6＜4π②，聯(lián)立①②式，即可求解．
【解答】解：由x∈[0，2π]，得ωx+π6∈[π6，2πω+π6]，
由A＞0，ω＞0，f（x）在區(qū)間[0，2π]上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)得7π2≤2πω+π6＜9π2①，
又f（x）在區(qū)間[0，2π]上有且僅有1個(gè)極大值點(diǎn)，2π≤2πω+π6＜4π②，
依題意需同時(shí)滿(mǎn)足①②式，
于是得7π2≤2πω+π6＜4π，即10π3≤2πω＜23π6，
解得53≤ω＜2312，故ω的取值范圍是[53，2312)．
故選：A．
10．已知函數(shù)f（x）＝2cos（ωx+π3）﹣?3（ω＞0）在區(qū)間[0，?π2]上單調(diào)遞減，則ω的最大值為（　?。?br /> A．1 B．43 C．65 D．32
【分析】直接利用余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用和不等式的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：令f（x）＝2cos（ωx+π3）﹣?3=?2?3，
即ωx+π3=2kπ+π（k∈Z），
所以x=2π3+2kπω（k∈Z），
由于ω＞0，
當(dāng)x＞0時(shí)，xmin=2π3ω，
由于函數(shù)區(qū)間[0，?π2]上單調(diào)遞減，
故2π3ω≥π2，
整理得0＜ω≤43．
故選：B．
11．已知函數(shù)f（x）＝4cos（2ωx+π6）﹣2（ω＞0）在[0，π]內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是（　?。?br /> A．.（32，136] B．[32，136） C．（34，1312] D．[34，1312）
【分析】由題意可得cos（2ωx+π6）=12在[0，π]內(nèi)有且僅有兩個(gè)解，再利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求得ω的取值范圍．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝4cos（2ωx+π6）﹣2（ω＞0）在[0，π]內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則
即 cos（2ωx+π6）=12在[0，π]內(nèi)有且僅有兩個(gè)解．
當(dāng)x∈[0，π]，則2ωx+π6∈[π6，2ωπ+π6]．
∴由于cosπ3=cos5π3=cos7π3，∴2ωπ+π6∈[5π3，7π3），∴ω∈[34，1312），
故選：D．
12．已知函數(shù)f(x)=cos(ωx+π6)(ω＞0)的最小正周期為π，則該函數(shù)圖象（　　）
A．關(guān)于直線(xiàn)x=π6對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于點(diǎn)(π6，0)對(duì)稱(chēng)
C．關(guān)于直線(xiàn)x=π3對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于點(diǎn)(π3，0)對(duì)稱(chēng)
【分析】直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和余弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：函數(shù)f(x)=cos(ωx+π6)(ω＞0)的最小正周期為π，
所以f(x)=cos(2x+π6)，
當(dāng)x=π6時(shí)，f（π6）＝0，
當(dāng)x=π3時(shí)，f（π3）＝cos5π6=?32，
故選：B．
13．若函數(shù)y＝sin（x+φ）的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為(π6，0)，則函數(shù)y＝cos（x+φ）的一條對(duì)稱(chēng)軸為（　?。?br /> A．x=?π3 B．x=π6 C．x=π4 D．x=π3
【分析】結(jié)合相同角的y＝sin（x+φ）和y＝cos（x+φ）的圖象的對(duì)稱(chēng)中心和對(duì)稱(chēng)軸在相同直線(xiàn)上進(jìn)行求解即可．
【解答】解：∵函數(shù)y＝sin（x+φ）的對(duì)稱(chēng)中心和y＝cos（x+φ）的對(duì)稱(chēng)軸在一條直線(xiàn)上的，
∴若y＝sin（x+φ）的對(duì)稱(chēng)中心為(π6，0)，則函數(shù)y＝cos（x+φ）的一條對(duì)稱(chēng)軸為x=π6．
故選：B．
14．cos3x+cosx＝0在[0，2π]上所有根之和為（　?。?br /> A．3π B．4π C．5π D．6π
【分析】由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)已知等式可得（4cos2x﹣2）cosx＝0，解得cosx＝0，或cosx＝±22，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：因?yàn)閏os3x+cosx＝0，
所以cos（2x+x）+cosx＝0，
所以cos2xcosx﹣sin2xsinx+cosx＝0，
所以（2cos2x﹣1）cosx﹣2sin2xcosx+cosx＝0，化簡(jiǎn)可得（4cos2x﹣2）cosx＝0，
解得cosx＝0，或cosx＝±22，
可得x1，x2，x3，x4，x5，x6，共6個(gè)根，它們兩兩關(guān)于x＝π對(duì)稱(chēng)，所以6個(gè)根之和為6π．
故選：D．
15．如圖是函數(shù)f（x）＝cos（πx+φ）（0＜φ＜π2）的部分圖象，則f（6x0）＝（　　）

A．12 B．?12 C．?32 D．32
【分析】根據(jù)f（x）的部分圖象求得φ和x0的值，再計(jì)算f（6x0）的值．
【解答】解：f（x）＝cos（πx+φ）的圖象過(guò)點(diǎn)（0，32），
∴cosφ=32，
結(jié)合范圍0＜φ＜π2，可得：φ=π6，
由圖象可得：cos（πx0+π6）=32，
可得：πx0+π6=2π?π6=11π6，
解得：x0=53，
∴f（6x0）＝f（10）＝cos（10π+π6）＝cosπ6=32．
故選：D．
16．已知函數(shù)f（x）＝2cos（3x+φ）+3（|φ|≤π2），若?x∈（?π6，π12），f（x）的圖象恒在直線(xiàn)y＝3的上方，則φ的取值范圍是（　?。?br /> A．（π12，π2） B．[π6，π3] C．（0，π4） D．（?π6，π3）
【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）的解析式，利用x的取值范圍，結(jié)合題意即可求出φ的取值范圍．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝2cos（3x+φ）+3（|φ|≤π2），
當(dāng)x∈（?π6，π12）時(shí)，3x+φ∈（?π2+φ，π4+φ），
又f（x）的圖象恒在直線(xiàn)y＝3的上方，
∴2cos（3x+φ）+3＞3，∴cos（3x+φ）＞0，
∴?π2+φ＞?π2π4+φ＜π2，解得0＜φ＜π4，
∴φ的取值范圍是（0，π4）．
故選：C．
17．已知函數(shù)y=3cos(ωx+π6)(ω＞0)的圖象與直線(xiàn)y＝3相鄰的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離為2π3，則ω的值為（　?。?br /> A．3 B．23 C．13 D．32
【分析】利用三角函數(shù)的周期性可得答案．
【解答】解：已知函數(shù)y=3cos(ωx+π6)(ω＞0)的圖象與直線(xiàn)y＝3相鄰的兩個(gè)公共點(diǎn)之間的距離為2π3，
則y＝3cos（ωx+π6）＝3，
即cos（ωx+π6）＝1時(shí)兩個(gè)相鄰解之間的距離為2π3，
即函數(shù)y＝cos（ωx+π6）一個(gè)周期間的距離為2π3，
2πω=2π3，
ω＝3，
故選：A．
18．已知函數(shù)y＝3cos（2x+π3）的定義域?yàn)閇a，b]，值域?yàn)閇﹣1，3]，則b﹣a的值可能是（　?。?br /> A．2π3 B．π2 C．3π4 D．π
【分析】根據(jù)定義域和值域的關(guān)系，可求得滿(mǎn)足題意的2x+π3的最大范圍與最小范圍，從而可求得b﹣a的范圍，即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵﹣1≤3cos（2x+π3）≤3，
∴?13≤cos（2x+π3）≤1．
∴?12＜?13≤cos（2x+π3）≤1．
則滿(mǎn)足上述條件的2x+π3的最大范圍是2kπ?2π3＜2x+π3≤2π3+2kπ（k∈Z），
即kπ?π2＜x≤π6+kπ（k∈Z），
∴（b﹣a）max＜π6+π2=2π3，排除C，D．
則滿(mǎn)足上述條件的2x+π3的最小范圍是2kπ≤2x+π3＜2π3+2kπ（k∈Z），
即kπ?π6≤x＜π6+kπ（k∈Z），
∴（b﹣a）min＞π6+π6=π3．排除A，
故b﹣a的值可能是π2．
故選：B．
19．已知函數(shù)f（x）＝2cos（ωx+π4ω）+1在（0，π8）上是減函數(shù)，則ω的最大值為（　?。?br /> A．12 B．10 C．8 D．6
【分析】求出f（x）的減區(qū)間I，令（0，π8）?I，解得ω的范圍，由ω得范圍非空求出k的最大值，代入ω得范圍得出ω的最大值．
【解答】解：令2kπ≤ωx+π4ω≤2kπ+π，解得2kπω?π4≤x≤2kπω+πω?π4，
令（0，π8）?[2kπω?π4，2kπω+πω?π4]，得2kπω?π4≤0且2kπω+πω?π4≥π8，
解得8k≤ω≤16k+83．
∴8k≤16k+83，解得k≤1．
∴當(dāng)k＝1時(shí)，8≤ω≤8．即ω＝8．
故選：C．
二．多選題（共3小題）
20．對(duì)于函數(shù)f（x）＝2cos（2x+5π6），下列四個(gè)命題中正確的（　?。?br /> A．f（x）的最小正周期是π
B．x=π12是f（x）圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸
C．f（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)（π6，0）對(duì)稱(chēng)
D．?x∈[?π4，0]，使f（x）=3
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，即可分別求解．
【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝2cos（2x+5π6），
∴f（x）的最小正周期T=2πω=2π2=π，故選項(xiàng)A正確，
∵f(π12)=2cos(2×π12+5π6)=?2，
∴x=π12 是圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，故B選項(xiàng)正確，
f(π6)=2cos(2×π6+5π6)≠0，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，
當(dāng)x∈[?π4，0] 時(shí)，2x+5π6∈[π3，5π6]，
∴?3≤2cos(2x+5π6)≤1，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：AB．
21．已知函數(shù)y＝sin（ωx+φ）與y＝cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）在x∈[0，522]的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)P，M，N．若△PMN為直角三角形，則（　　）
A．ω=22π
B．△PMN的面積S＝π
C．φ∈[?π4，π4]
D．兩函數(shù)圖象必在x=9π?4φ4ω處有交點(diǎn)
【分析】由已知推出△PMN的高為2的等腰直角三角形，進(jìn)而求出函數(shù)的周期以及ω的值，也即可求出△PMN的面積，再由已知x的范圍判斷選項(xiàng)C，D是否正確即可．
【解答】解：∵兩圖象恰有三個(gè)交點(diǎn)P，M，N，且△PMN為直角三角形，
則△PMN的高為2，且是等腰直角三角形，
∴斜邊長(zhǎng)為22，即周期T＝22，∴2πω=22，解得ω=22π，故A正確．
∵△PMN的面積為S=12×2×22=2，故B錯(cuò)誤．
當(dāng) x∈[0，522]時(shí)，ωx+φ∈[φ，5π2+φ]，
設(shè)t＝ωx+φ，則y＝sint與y＝cost的圖象的交點(diǎn)分別為
（π4，22），（5π4，?22），（9π4，22），（13π4，?22），...，
∵有三個(gè)交點(diǎn)，則[π4，9π4]?[φ，5π2+φ]，即φ≤π45π2+φ≥9π4，
所以φ∈[?π4，π4]，故C正確，
當(dāng)x=9π?4φ4ω時(shí)，ωx+φ=9π4，故D正確．故選：ACD．
22．已知函數(shù)f（x）＝2cos（ωx+π3）﹣1（ω＞0），若函數(shù)f（x）的三個(gè)相鄰的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），且|x1﹣x2|＝λ|x2﹣x3|=π3，則ω+λ的值可能是（　?。?br /> A．52 B．92 C．4 D．6
【分析】由題意，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝2cos（ωx+π3）﹣1（ω＞0），若函數(shù)f（x）的三個(gè)相鄰的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），
即cos（ωx+π3）=12的三個(gè)相鄰的解分別為x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），
且|x1﹣x2|＝λ|x2﹣x3|=π3，
∴23×2πω=π3，∴ω＝4，λ＝2；或 13×2πω=π3，∴ω＝2，λ=12，
∴ω+λ＝6，或ω+λ=52，
故選：AD．
三．填空題（共11小題）
23．已知函數(shù)f（x）＝cos（3x+π3），其中x∈[π6，m]（m∈R且m＞π6），若f（x）的值域是[﹣1，?32]，則 m的最大值是　5π18?。?br /> 【分析】將x=π6帶入f（x），可得f（π6）=?32，則x∈[π6，m]的值一定取得最小值﹣1，求解最低的對(duì)稱(chēng)軸，利用對(duì)稱(chēng)性可得答案．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝cos（3x+π3），
當(dāng)x=π6，可得f（π6）=?32，則x∈[π6，m]的值一定取得最小值﹣1，且f（m）≤?32．
對(duì)稱(chēng)軸方程：3x+π3=π+2kπ，
∴x=23kπ+2π9，k∈Z，
當(dāng)k＝0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸x=2π9，
那么：12(π6+m)=2π9，
解得：m=5π18，
故答案為：5π18．
24．已知函數(shù)f（x）＝cos（x+π3）+cosx，則函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為　[2kπ?7π6，2kπ?π6]（k∈Z）　．
【分析】首先利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成余弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【解答】解：函數(shù)f（x）＝cos（x+π3）+cosx=12cosx?32sinx+cosx=3cos(x+π6)，
令2kπ?π≤x+π6≤2kπ（k∈Z），
解得2kπ?7π6≤x≤2kπ?π6（k∈Z）．
故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：[2kπ?7π6，2kπ?π6]（k∈Z）．
故答案為：[2kπ?7π6，2kπ?π6]（k∈Z）．
25．若函數(shù)f(x)=2sin(wx?π6)(w＞0)和g（x）＝3cos（2x+φ）的圖象的對(duì)稱(chēng)軸完全相同則當(dāng)x∈[0，π]，關(guān)于x的不等式f（x）﹣1≥0的解集為　[π6，π2]?。?br /> 【分析】直接利用函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：由兩函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)軸相同可得兩函數(shù)的周期相同，得2πw=2π2，
所以f(x)=2sin(2x?π6)(w＞0)，
則f（x）﹣1≥0，x∈[0，π]，
即為2sin(2x?π6)≥1，
解得x∈[π6，π2]．
故答案為：[π6，π2]
26．函數(shù)f（x）＝cos2πnx，x∈Z的值域由6個(gè)實(shí)數(shù)組成，則非零整數(shù)n的值是　±10或±11?。?br /> 【分析】根據(jù)題意，求出f（x）的周期，分析x可取的數(shù)值，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)分析其一個(gè)周期中的函數(shù)值個(gè)數(shù)，分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，f（x）＝cos2πnx，其周期T=2π|2πn|=|n|，
又由x∈Z，則周期[0，|n|]上，x可取的值為0，1，2，……，|n|﹣1，
若函數(shù)f（x）＝cos2πnx，x∈Z的值域由6個(gè)實(shí)數(shù)組成，
而其中f（1）＝f（|n|﹣1），f（2）＝f（|n|﹣2），……，
若n為偶數(shù)，除f（0）和f（|n|2）之外，有4個(gè)函數(shù)值，必有n＝±10，
若n為奇數(shù)，除f（0），有5個(gè)不同的函數(shù)值，必有n＝±11，
故答案為：±10或±11
27．已知ω＞0，在函數(shù)y＝3sinωx與y＝3cosωx圖象的交點(diǎn)中，距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為33，則ω的值是　π3?。?br /> 【分析】利用正弦、余弦函數(shù)的圖象特征求得兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)中距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，列方程求出ω的值．
【解答】解：由題意，分別令ωx=π4和5π4，解得x=π4ω和5π4ω；
所以?xún)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)中距離最短的兩個(gè)交點(diǎn)為A（π4ω，322），B（5π4ω，?322）；
所以(5π4ω?π4ω)2+(?322?322)2=(33)2，
整理得(πω)2=9，
解得ω=π3．
故答案為：π3．
28．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A，B，C，D為函數(shù)y＝sinωx與y＝cosωx（ω＞0）的圖象的四個(gè)相鄰的交點(diǎn)，且四邊形ABCD的面積為π，則ω的值為　22?。?br /> 【分析】作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，得出四邊形ABDC為平行四邊形，結(jié)合四邊形的面積公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．
【解答】解：作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖：
則四邊形ABDC為平行四邊形，
其中|AC|＝T，
由sinωx＝cosωx，即tanωx＝1，
則ωx=π4+kπ，k∈Z，
則x=π4ω+kπω，則當(dāng)k＝0時(shí)，C（π4ω，22），
當(dāng)k＝1時(shí)，D（5π4ω，?22），
則四邊形ABDC的高h(yuǎn)=22+22=2，
由四邊形ABDC的面積為π，
即T?2=π，
即2πω?2=π，得ω＝22，
故答案為：22

29．已知函數(shù)y＝a+cosωx，x∈[﹣π，π]（其中a、ω為常數(shù)，且ω＞0）有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，則ω的取值范圍是 　[2，4）?。?br /> 【分析】利用函數(shù)的奇偶性得到a的值，然后將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解即可．
【解答】解：函數(shù)y＝a+cosωx在[﹣π，π]上為偶函數(shù)，且函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
故必有一個(gè)零點(diǎn)為x＝0，
所以a+cos0＝0，解得a＝﹣1，
所以函數(shù)y＝cosωx﹣1，
則函數(shù)y＝cosωx﹣1在[﹣π，π]上有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
等價(jià)于y＝cosωx的圖象與直線(xiàn)y＝1在[﹣π，π]上有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，
當(dāng)ω＝1時(shí)，函數(shù)y＝cosx與y＝1在[﹣π，π]上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，故ω＞1；
當(dāng)ω＝2時(shí)，函數(shù)y＝cos2x與y＝1在[﹣π，π]上恰有3個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，故ω≥2，
當(dāng)ω＝4時(shí)，函數(shù)y＝cos4x與y＝1在[﹣π，π]上恰有5個(gè)交點(diǎn)，如圖所示，故ω＜4．
綜上所述，ω的取值范圍是[2，4）．
故答案為：[2，4）．


30．已知函數(shù)f(x)=cos(ωx?π6)(ω＞0)，若函數(shù)f（x）在(0，7π6)上沒(méi)有零點(diǎn)，則ω的取值范圍是　(0，47]?。?br /> 【分析】由題意利用余弦函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，可得 7ωπ6?π6≤π2，由此求得ω的取值范圍．
【解答】解：∵函數(shù)f(x)=cos(ωx?π6)(ω＞0)在(0，7π6)上沒(méi)有零點(diǎn)，
結(jié)合ωx?π6∈（?π6，7ωπ6?π6），可得 7ωπ6?π6≤π2，
解得ω≤47，
所以，ω的取值范圍是(0，47]，
故答案為：(0，47]．
31．函數(shù)f(x)=2cos(12x+π3)?1在（0，2020π）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為　1009?。?br /> 【分析】直接利用函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根的關(guān)系及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解令 f（x）＝0等價(jià)于cos(12x+π3)=12．
因?yàn)?＜x＜2020π，
所以π3＜12x+π3＜1010π+π3．
由函數(shù)圖象及性質(zhì)可知，cost=12(t∈(π3，1010π+π3))共有1009個(gè)解，
故f(x)=2cos(12x+π3)?1，x∈(0，2020π)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1009．
故答案為：1009
32．方程3sinx＝1+cos2x在區(qū)間[0，2π]上的所有解的和為 　π?。?br /> 【分析】由題意利用三角恒等變換，化簡(jiǎn)所給的方程為sinx=12，再利用正弦函數(shù)的圖象特征，求得它的兩個(gè)解，從而得出結(jié)論．
【解答】解：方程3sinx＝1+cos2x＝1+（1﹣2sin2x ），即 2sin2x+3sinx﹣2＝0，
解得sinx=12，sinx＝﹣2（舍去），
它在區(qū)間[0，2π]上共有2個(gè)解，這2個(gè)解分別為π6和5π6，
故這2個(gè)解的和為π6+5π6=π，
故答案為：π．
33．已知函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝2cosx﹣1在區(qū)間(0，π2)上的圖象的交點(diǎn)為P0，過(guò)點(diǎn)P0作x軸的垂線(xiàn)l，垂足為H，l與函數(shù)y＝tanx的圖象交于點(diǎn)P1，則線(xiàn)段P1H的長(zhǎng)為 　34?。?br /> 【分析】作出函數(shù)的圖象，設(shè)P0（x0，y0），根據(jù)圖象關(guān)系求出點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【解答】解：設(shè)P0（x0，y0），則H（x0，0），P1（x0，tanx0），
∵y＝sinx與函數(shù)y＝2cosx﹣1在區(qū)間(0，π2)上的圖象的交點(diǎn)為P0，
∴sinx0＝2cosx0﹣1＞0，則cosx0＞0，
代入sin2x0+cos2x0＝1得sinx0=35，cosx0=45，則tanx0=3545=34，
則|P1H|＝|tanx0|=34，
故答案為：34．

四．解答題（共7小題）
34．已知函數(shù)f（x）＝cosωx（ω＞0），其圖象上相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為π2，
（Ⅰ）求f（x+π6）在區(qū)間[?π6，2π3]上的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若α∈（5π12，π2），f（α+π3）=13，求sin2α的值．
【分析】（Ⅰ）由題意知函數(shù)f（x）的周期T，求出ω，寫(xiě)出f（x）解析式，再求函數(shù)f（x+π6）的單調(diào)增、減區(qū)間，從而得出結(jié)論；
（Ⅱ）根據(jù)f（α+π3）=13求出sin（2α?π3）的值，再化sin2α＝sin（2α?π3+π3），從而求出對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值．
【解答】解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）＝cosωx（ω＞0）圖象上相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為π2，
知T＝π，∴ω=2πT=2，
∴f（x）＝cos2x，
∴f(x+π6)=cos(2x+π3)；
令2kπ?π≤2x+π3≤2kπ，
解得kπ?2π3≤x≤kπ?π6，
∴函數(shù)f（x+π6）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ?2π3，kπ?π6]，k∈Z；
單調(diào)減區(qū)間為[kπ?π6，kπ+π3]，k∈Z；
又x∈[?π6，2π3]，
∴f（x+π6）的單減區(qū)間為x∈[?π6，π3]，
單增區(qū)間為x∈[π3，2π3]；…（7分）
（Ⅱ）已知f（α+π3）＝cos[2（α+π3）]
＝cos（2α+2π3）
＝﹣cos（2α?π3）=13，
∴cos(2α?π3)=?13，
又α∈(5π12，π2)，
∴2α?π3∈(π2，2π3)，
∴sin(2α?π3)=223；
∴sin2α＝sin（2α?π3+π3）
＝sin（2α?π3）cosπ3+cos（2α?π3）sinπ3
=223×12+（?13）×32
=22?36．…（13分）
35．已知函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的部分圖象，如圖所示．
（1）求函數(shù)解析式，并求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若方程f（x）＝m在[?π6，13π12]有兩個(gè)不同的實(shí)根，求m的取值范圍．

【分析】（1）由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由題意可得直線(xiàn)y＝m和函數(shù)f（x）的圖象在[?π6，13π12]有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合求得m的范圍．
【解答】解：（1）由函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）的部分圖象，
可得12?2πω=5π6?π3，求得ω＝2．
再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2?π3+φ＝π，∴φ=π3，f（x）＝cos（2x+π3）．
令2kπ+π≤2x+π3≤2kπ+2π，求得kπ+π3≤x≤kπ+5π6，
∴函數(shù)f（x）的增區(qū)間為[kπ+π3，kπ+5π6]，k∈Z．
（2）若方程f（x）＝m在[?π6，13π12]有兩個(gè)不同的實(shí)根，
故直線(xiàn)y＝m和函數(shù)f（x）的圖象在[?π6，13π12]有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
數(shù)形結(jié)合可得m＝1或 m∈（﹣1，0）．

36．若函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ），ω＞0，|φ|＜π2）的一個(gè)零點(diǎn)與之相鄰的對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為π4，且x=2π3時(shí)f（x）有最小值．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x∈[π4，5π6]，求f（x）的值域．
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象和性質(zhì)，求出最小正周期T、ω和φ的值，
從而寫(xiě)出f（x）的解析式；
（2）根據(jù)x的取值范圍求出2x?π3的取值范圍，從而求出f（x）的最小、最大值，
即可得出f（x）的值域．
【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)與之相鄰的對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為π4，
∴f（x）的周期為T(mén)＝π，即2πω=π，∴ω＝2；
又∵x=2π3時(shí)f（x）有最小值，
∴f（2π3）＝cos（4π3+φ）＝﹣1，
∴4π3+φ＝2kπ+π，解得φ＝2kπ?π3，
∵|φ|＜π2，∴φ=?π3，
∴f（x）＝cos（2x?π3）；
（2）∵x∈[π4，5π6]，∴π6≤2x?π3≤4π3，
∴當(dāng)2x?π3=π時(shí)，f（x）取得最小值﹣1，
當(dāng)2x?π3=π6時(shí)，f（x）取得最大值32，
∴f（x）的值域是[﹣1，32]．
37．已知函數(shù)f(x)=2cos(ωx+φ)(ω＞0，0＜φ＜π2)的最小正周期為π，直線(xiàn)x=?π24為它的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸．
（1）當(dāng)x∈[?5π24，5π24]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊，若f(?A2)=2，a=3，求b+c的最大值．
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的解析式，求出角的范圍，利用三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可．
（2）f(?A2)=2，a=3，求出角A的大小，利用余弦定理和基本不等式解得b+c≤6．
【解答】解：（1）∵函數(shù)的周期是π，
∴T=2πω=π，則ω＝2，
則f（x）＝2cos（2x+φ），
∵x=?π24為它的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，
∴2×（?π24）+φ＝kπ，k∈Z，
即φ＝kπ+π12，
∵0＜φ＜π2，
∴當(dāng)k＝0時(shí)，φ=π12，
即f（x）＝2cos（2x+π12），
若x∈[?5π24，5π24]時(shí)，2x∈[?5π12，5π12]，
2x+π12∈[?π3，π2]，
即當(dāng)2x+π12=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值此時(shí)f（x）＝2，
當(dāng)2x+π12=π2時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值此時(shí)f（x）＝0，
即函數(shù)的值域?yàn)閇0，2]．
（2）若f(?A2)=2，a=3，
則2cos[2×(?A2)+π12]＝2cos（﹣A+π12）=2，
即cos（﹣A+π12）=22，
則cos（A?π12）=22，
∵0＜A＜π，∴?π12＜A?π12＜11π12，
即A?π12=π4，
即A=π3，
∵a＝3，
∴由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosπ3=b2+c2﹣bc＝9，
即（b+c）2﹣3bc＝9
即3bc＝（b+c）2﹣9，
∵bc≤（b+c2）2，（b+c）2﹣9≤3（b+c2）2，
即4（b+c）2﹣36≤3（b+c）2，
則（b+c）2≤36，
即0＜b+c≤6，
即b+c的最大值是6．
38．已知函數(shù)f（x）＝2cos（2x?π3）+1．
（1）求函數(shù)f（x）取得最大值時(shí)x的取值集合；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
【分析】（1）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得函數(shù)f（x）的最大及取得最值時(shí)相應(yīng)的x的取值集合；
（2）令2kπ﹣π≤2x?π3≤2kπ，求得x的范圍，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
【解答】解：（1）當(dāng)cos（2x?π3）＝1，2x?π3=2kπ，k∈Z時(shí)，
函數(shù)f（x）＝2cos（2x?π3）+1取得最大值3，
此時(shí)x＝kπ+π6，k∈Z，
所以函數(shù)f（x）取得最大值時(shí)x的取值集合為{x|x＝kπ+π6，k∈Z}．
（2）由2kπ﹣π≤2x?π3≤2kπ，k∈Z，
求得kπ?π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ?π3，kπ+π6]，k∈Z．
39．已知函數(shù)f（x）＝cos（πΩx﹣φ）（Ω＞0，0≤φ＜2π）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
（1）求φ的值；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，試求當(dāng)Ω取最小值時(shí)，f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）的值．
【分析】（1）由函數(shù)f（x）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)求出φ的值，再根據(jù)0≤φ＜2π確定φ＝0或φ＝π；
（2）討論φ＝π和φ＝0時(shí)，確定函數(shù)f（x）的解析式，再計(jì)算Ω取最小值時(shí)f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）的值．
【解答】解：（1）由函數(shù)f（x）＝cos（πΩx﹣φ）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
所以f（﹣x）＝f（x），
即cos（?πΩx﹣φ）＝cos（πΩx+φ）＝cos（πΩx﹣φ），
所以φ＝kπ；
又0≤φ＜2π，
所以φ＝0或φ＝π；
（2）若φ＝π，則f（x）＝﹣cosπΩx，可知函數(shù)f（x）不滿(mǎn)足在（0，3）上單調(diào)遞減；
若φ＝0，則函數(shù)f（x）＝cosπΩx，由Ω＞0，0＜x＜3，
得0＜πΩx＜3πΩ，
又f（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，所以3πΩ≤π，解得Ω≥3；
當(dāng)Ω取最小值3時(shí)，f（x）＝cosπ3x，它的最小正周期為T(mén)=2ππ3=6，
所以f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2020）
＝336[f（1）+f（2）+f（3）+…+f（6）]+f（1）+f（2）+f（3）+f（4）
＝336×（cosπ3+cos2π3+cosπ+cos4π3+cos5π3+cos2π）+cosπ3+cos2π3+cosπ+cos4π3
＝336×0+12?12?1?12
=?32．
40．已知函數(shù)f（x）＝cos（2x?π3）+2sin（x?π4）sin（x+π4）．
（1）求函數(shù)y＝f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，滿(mǎn)足c＝23，f（C）＝1，且點(diǎn)O滿(mǎn)足|OA→|＝|OB→|＝|OC→|，求CO→?（CA→+CB→）的取值范圍．
【分析】（1）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，求出它的單調(diào)增區(qū)間即可；
（2）先求出C的值，再根據(jù)平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)公式，即可求出正確的結(jié)果．
【解答】解：（1）∵f(x)=cos(2x?π3)+2sin(x?π4)sin(x+π4)
=12cos2x+32sin2x+(sinx?cosx)(sinx+cosx)
=12cos2x+32sin2x+sin2x﹣cos2x
=12cos2x+32sin2x﹣cos2x
=32sin2x?12cos2x
＝sin（2x?π6）；…（3分）
令?π2+2kπ≤2x?π6≤π2+2kπ，k∈Z，
得?π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z；
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ?π6，kπ+π3]，k∈Z；…（5分）
（2）f(C)=sin(2C?π6)=1，
∵0＜C＜π，0＜2C＜2π，
∴?π6＜2C?π6＜11π6，
∴2C?π6=π2，
解得C=π3，…（6分）
設(shè)CA，CB的中點(diǎn)分別為M，N，
∵O點(diǎn)滿(mǎn)足|OA→|=|OB→|=|OC→|，∴O為△ABC的外心，
CO→?（CA→+CB→）=CO→?CA→+CO→?CB→
＝|CM→|×|CA→|+|CN→|×|CB→|
=12(a2+b2)?（8分）
=12(csinC)2（sin2A+sin2B）
＝8×2?cos2A?cos2B2
＝4（2﹣2cos（A+B）cos（A﹣B））
＝4（2+cos（A﹣B））（*），
又C=π3，∴A+B=2π3，
∴A﹣B=2π3?2B∈（?2π3，2π3）；
由（*）得A＝B=π3時(shí)，得最大值12，
則6＜4（2+cos（A﹣B））≤12，
故CO→?（CA→+CB→）的取值范圍是[6，12]．…（12分）

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