?人教版2021屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 直線與圓的方程的應(yīng)用
一．選擇題（共14小題）
1．已知半圓C：x2+y2＝1（y≥0），A、B分別為半圓C與x軸的左、右交點(diǎn)，直線m過點(diǎn)B且與x軸垂直，點(diǎn)P在直線m上，縱坐標(biāo)為t，若在半圓C上存在點(diǎn)Q使∠BPQ＝，則t的取值范圍是（　?。?br /> A．[﹣，0）] B．[﹣，0）∪（0，]
C．[﹣，0）∪（0，] D．[﹣，0）∪（0，]
2．過直線l：y＝2x+a上的點(diǎn)作圓C：x2+y2＝1的切線，若在直線l上存在一點(diǎn)M，使得過點(diǎn)M的圓C的切線MP，MQ（P，Q為切點(diǎn)）滿足∠PMQ＝90°，則a的取值范圍是（　?。?br /> A．[﹣10，10] B．[﹣，]
C．（﹣∞，﹣10]∪[10，+∞） D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）
3．已知點(diǎn)P（x，y）是直線kx+y+4＝0（k＞0）上一動點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2+y2﹣2y＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為（　?。?br /> A．3 B． C． D．2
4．由直線x+2y﹣7＝0上一點(diǎn)P引圓x2+y2﹣2x+4y+2＝0的一條切線，切點(diǎn)為A，則|PA|的最小值為（　?。?br /> A．2 B． C．2 D．2
5．曲線與直線y＝kx﹣4k+5有兩個不同的交點(diǎn)時，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　?。?br /> A． B．
C． D．
6．已知圓C：x2+y2﹣2y＝0，則的最大值為（　?。?br /> A．4 B．13 C．+1 D．2+11
7．過點(diǎn)（1，0）且傾斜角為30°的直線被圓（x﹣2）2+y2＝1所截得的弦長為（　?。?br /> A． B．1 C． D．
8．若函數(shù)y＝﹣的圖象與直線x﹣2y+m＝0有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　?。?br /> A．[﹣2﹣1，﹣2+1] B．[﹣2﹣1，1]
C．[﹣2+1，﹣1] D．[﹣3，1]
9．設(shè)直線x﹣y+a＝0與圓x2+y2+2x﹣4y+2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則a＝（　?。?br /> A．﹣1或1 B．1或5 C．﹣1或3 D．3或5
10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，兩動圓O1，O2均過定點(diǎn)（1，0），它們的圓心分別為（a1，0）（a2，0）（a1≠0，a2≠0），且與y軸正半軸分別交于點(diǎn)（0，y1），（0．y2）．若y1＝，則＝（　?。?br /> A． B．﹣ C．2 D．﹣2
11．點(diǎn)P是直線x+y﹣2＝0上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓x2+y2＝1上的動點(diǎn)，則線段PQ長的最小值為（　　）
A． B．1 C． D．2
12．已知圓C的方程為x2﹣2x+y2＝0，直線l：kx﹣y+2﹣2k＝0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)△ABC面積最大時，直線l的斜率k為（　?。?br /> A．1 B．6 C．1或7 D．2或6
13．已知圓C：x2+y2﹣4x+3＝0，則圓C關(guān)于直線y＝﹣x﹣4的對稱圓的方程是（　?。?br /> A．（x+4）2+（y+6）2＝1 B．（x+6）2+（y+4）2＝1
C．（x+5）2+（y+7）2＝1 D．（x+7）2+（y+5）2＝1
14．由直線x＝0上的一點(diǎn)向圓（x﹣3）2+y2＝1引切線，則切線長的最小值為（　?。?br /> A．1 B． C． D．3
二．填空題（共15小題）
15．若曲線恰有三個點(diǎn)到直線y＝x﹣b的距離為1，則b的取值范圍為　 　
16．過原點(diǎn)O作圓x2+y2﹣6x﹣8y+20＝0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P、Q，則線段PQ的長為　 ?。?br /> 17．過點(diǎn)P（，1）的直線L與圓C：（x﹣1）2+y2＝4相交于A、B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)∠ACB最小時，直線的方程為 　 　．
18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，1），B（1，﹣1），點(diǎn)P為圓（x﹣4）2+y2＝4上任意一點(diǎn)，記△OAP和△OBP的面積分別為S1和S2，則的最小值是　 ?。?br /> 19．若直線y＝x+b與曲線y＝有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是　 　
20．已知圓C：（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）與直線l：y＝x+3，且直線l上有唯一的一個點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P作圓C的兩條切線互相垂直．設(shè)EF是直線l上的一條線段，若對于圓C上的任意一點(diǎn)Q，，則的最小值是　 ?。?br /> 21．若直線l：ax+y﹣4a＝0上存在相距為2的兩個動點(diǎn)A，B，圓O：x2+y2＝1上存在點(diǎn)C，使得△ABC為等腰直角三角形（C為直角頂點(diǎn)），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　 ?。?br /> 22．已知動直線l：（m+1）x+（m+2）y﹣m﹣3＝0與圓C1：（x﹣2）2+（y+1）2＝36交于A，B兩點(diǎn)，以弦AB為直徑的圓為C2，則圓C2的面積的最小值是　 　．
23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2+y2＝1，直線l：y＝x+a，過直線l上點(diǎn)P作圓O的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A、B，若存在點(diǎn)P使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　 ?。?br /> 24．已知圓C：x2+（y﹣2）2＝2，直線l：kx﹣y﹣2＝0與y軸交于點(diǎn)A，過l上一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為T，若，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是　 ?。?br /> 25．已知圓O：x2+y2＝9，點(diǎn)A（﹣5，0），若在直線OA上（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），存在異于A的定點(diǎn)B，使得對于圓O上的任意一點(diǎn)P，都有為同一常數(shù)．則點(diǎn)B的坐標(biāo)是　 ?。?br /> 26．若A（﹣3，y0）是直線l：x+y+a＝0（a＞0）上的點(diǎn)，直線l與圓C：（x﹣）2+（y+2）2＝12相交于M、N兩點(diǎn)，若△MCN為等邊三角形，則過點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為P，則|AP|＝　 ?。?br /> 27．已知圓C：（x﹣7）2+y2＝16，過點(diǎn)M（5，0）作直線交圓C于A，B兩點(diǎn)．若P（2，5），則的最小值為　 ?。?br /> 28．圓C：（x﹣1）2+y2＝1的圓心到直線l：x﹣y+a＝0（a＞0）的距離為，則a的值為　 ?。?br /> 29．已知a，b為正數(shù)，若直線2ax+by﹣2＝0被圓x2+y2＝4截得的弦長為，則的最大值是　 　．
三．解答題（共9小題）
30．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3）和直線l：y＝2x﹣4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上．
（1）若圓心C也在直線y＝x﹣1上，過點(diǎn)A作圓C的切線．
①求圓C的方程；
②求切線的方程；
（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

31．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣3，0），直線l：y＝x+4，設(shè)⊙C的半徑為2，圓心在直線l上．
（Ⅰ）若⊙C與直線y＝﹣2x﹣8相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且|AE|＝|AF|，求⊙C的方程；
（Ⅱ）若⊙C上存在點(diǎn)M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．
32．已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．
（1）若此方程表示圓，求m的取值范圍；
（2）若（1）中的圓與直線x+2y﹣4＝0相交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m；
（3）在（2）的條件下，求以MN為直徑的圓的方程．
33．如圖，圓M：（x﹣2）2+y2＝1，點(diǎn)P（﹣1，t）為直線l：x＝﹣1上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B．
（1）若t＝1，求切線所在直線方程；
（2）求|AB|的最小值；
（3）若兩條切線PA，PB與y軸分別交于S、T兩點(diǎn)，求|ST|的最小值．

34．已知圓M的方程為x2+（y﹣2）2＝1，直線l的方程為x﹣3y＝0，點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．
（1）若∠APB＝60°，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求四邊形PAMB面積的最小值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）求證：經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．

35．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)P為直線l：x＝2上一點(diǎn)，過點(diǎn)A（1，0）作OP的垂線與以O(shè)P為直徑的圓K相交于B，C兩點(diǎn)．
（1）若BC＝，求圓K的方程；
（2）求證：點(diǎn)B始終在某定圓上．
（3）是否存在一定點(diǎn)Q（異于點(diǎn)A），使得為常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
36．已知點(diǎn)A，B分別是射線l1：y＝x（x≥0），l2：y＝﹣x（x≥0）上的動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△OAB的面積為定值2．
（I）求線段AB中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（II）過點(diǎn)N（0，2）作直線l，與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，與射線l1，l2分別交于點(diǎn)R，S，若點(diǎn)P，Q恰為線段RS的兩個三等分點(diǎn)，求此時直線l的方程．
37．已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A（0，0），B（7，7），圓心在直線上．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與圓C相切且與x，y軸截距相等，求直線l的方程．
38．已知⊙C1：x2+y2﹣x﹣a＝0與⊙C2：x2+y2﹣2x﹣2＝0交于P、Q兩點(diǎn)，M（2，t）是直線PQ上的一個動點(diǎn)．
（1）求⊙C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x﹣4y﹣5＝0截得的弦長為2的圓C3的方程；
（3）過點(diǎn)C2作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，請判斷線段ON的長是否為定值？若是定值求出這個定值；若不是請說明理由．

人教版2021屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 直線與圓的方程的應(yīng)用
參考答案與試題解析
一．選擇題（共14小題）
1．已知半圓C：x2+y2＝1（y≥0），A、B分別為半圓C與x軸的左、右交點(diǎn)，直線m過點(diǎn)B且與x軸垂直，點(diǎn)P在直線m上，縱坐標(biāo)為t，若在半圓C上存在點(diǎn)Q使∠BPQ＝，則t的取值范圍是（　?。?br /> A．[﹣，0）] B．[﹣，0）∪（0，]
C．[﹣，0）∪（0，] D．[﹣，0）∪（0，]
【分析】根據(jù)題意，設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)T，分析可得在Rt△PBT中，|BT|＝|PB|＝|t|，分p在x軸上方、下方和x軸上三種情況討論，分析|BT|的最值，即可得t的范圍，綜合可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)PQ與x軸交于點(diǎn)T，則|PB|＝|t|，
由于BP與x軸垂直，且∠BPQ＝，則在Rt△PBT中，
|BT|＝|PB|＝|t|，
當(dāng)P在x軸上方時，PT與半圓有公共點(diǎn)Q，PT與半圓相切時，|BT|有最大值3，此時t有最大值，
當(dāng)P在x軸下方時，當(dāng)Q與A重合時，|BT|有最大值2，|t|有最大值，則t取得最小值﹣，
t＝0時，P與B重合，不符合題意，
則t的取值范圍為[﹣，0）∪（0，]；
故選：A．

2．過直線l：y＝2x+a上的點(diǎn)作圓C：x2+y2＝1的切線，若在直線l上存在一點(diǎn)M，使得過點(diǎn)M的圓C的切線MP，MQ（P，Q為切點(diǎn)）滿足∠PMQ＝90°，則a的取值范圍是（　　）
A．[﹣10，10] B．[﹣，]
C．（﹣∞，﹣10]∪[10，+∞） D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）
【分析】由切線的對稱性和圓的知識將問題轉(zhuǎn)化為C（0，0）到直線l的距離小于或等于，再由點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于a的不等式求解．
【解答】解：圓C：x2+y2＝1，圓心為：（0，0），半徑為1，
∵在直線l上存在一點(diǎn)M，使得過M的圓C的切線MP，MQ（P，Q為切點(diǎn)）滿足∠PMQ＝90°，
∴在直線l上存在一點(diǎn)M，使得M到C（0，0）的距離等于，
∴只需C（0，0）到直線l：y＝2x+a的距離小于或等于，
故，解得﹣≤a≤，
故選：B．
3．已知點(diǎn)P（x，y）是直線kx+y+4＝0（k＞0）上一動點(diǎn)，PA，PB是圓C：x2+y2﹣2y＝0的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，若四邊形PACB的最小面積是2，則k的值為（　?。?br /> A．3 B． C． D．2
【分析】先求圓的半徑，四邊形PACB的最小面積是2，轉(zhuǎn)化為三角形PBC的面積是1，求出切線長，再求PC的距離也就是圓心到直線的距離，可解k的值．
【解答】解：圓C：x2+y2﹣2y＝0的圓心（0，1），半徑是r＝1，
由圓的性質(zhì)知：S四邊形PACB＝2S△PBC，四邊形PACB的最小面積是2，
∴S△PBC的最小值＝1＝rd（d是切線長）∴d最小值＝2
圓心到直線的距離就是PC的最小值，
∵k＞0，∴k＝2
故選：D．
4．由直線x+2y﹣7＝0上一點(diǎn)P引圓x2+y2﹣2x+4y+2＝0的一條切線，切點(diǎn)為A，則|PA|的最小值為（　?。?br /> A．2 B． C．2 D．2
【分析】根據(jù)題意，將圓的一般方程變形為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得圓心坐標(biāo)與半徑，由直線與圓相切的性質(zhì)可得|PA|2＝|MP|2﹣r2＝|MP|2﹣3，分析可得|MP|取得最小值時，|PA|取得最小值，據(jù)此分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，圓x2+y2﹣2x+4y+2＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+（y+2）2＝3，
則圓的圓心為（1，﹣2），半徑r＝，
設(shè)圓心為M，
則|PA|2＝|MP|2﹣r2＝|MP|2﹣3，
則|MP|取得最小值時，|PA|取得最小值，
且|MP|的最小值即M到直線x+2y﹣7＝0的距離，|MP|最小值＝＝2，
則|PA|最小值＝＝，
故選：B．
5．曲線與直線y＝kx﹣4k+5有兩個不同的交點(diǎn)時，實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)題意，將曲線的方程變形可得（x﹣1）2+y2＝9，（x≥1），分析可得其為圓（x﹣1）2+y2＝9的右半部分，而直線y＝kx﹣4k+5，變形可得y﹣5＝k（x﹣4），恒過定點(diǎn)（4，5），作出直線與圓的圖形，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，曲線，變形可得（x﹣1）2+y2＝9，（x≥1），
為圓（x﹣1）2+y2＝9的右半部分，設(shè)A（1，﹣3），C（4，0），
直線y＝kx﹣4k+5，變形可得y﹣5＝k（x﹣4），恒過定點(diǎn)（4，5），設(shè)P（4，5），
且KPA＝＝，PC與x軸垂直，如圖
若曲線與直線y＝kx﹣4k+5有兩個不同的交點(diǎn)時，必有k≥，
則k的取值范圍為[，+∞）；
故選：C．

6．已知圓C：x2+y2﹣2y＝0，則的最大值為（　?。?br /> A．4 B．13 C．+1 D．2+11
【分析】表示的是：圓C上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)（1，﹣2）的距離，要求其最大值，只需算出圓心到點(diǎn)（1，﹣2）的距離，再加上半徑即可．
【解答】解：d＝＝，
該式子表示圓C上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)（1，﹣2）的距離，因?yàn)閳AC：x2+（y﹣1）2＝1，圓心C（0，1），半徑r＝1．
顯然dmax＝+r＝．
故選：C．
7．過點(diǎn)（1，0）且傾斜角為30°的直線被圓（x﹣2）2+y2＝1所截得的弦長為（　　）
A． B．1 C． D．
【分析】根據(jù)題意，設(shè)過點(diǎn)（1，0）且傾斜角為30°的直線為l，設(shè)直線l與圓交于點(diǎn)AB，由直線的點(diǎn)斜式方程可得直線l的方程，由點(diǎn)到直線的距離可得圓心到直線的距離d，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)過點(diǎn)（1，0）且傾斜角為30°的直線為l，
其方程為y＝tan30°（x﹣1），即y＝（x﹣1），變形可得x﹣y﹣1＝0；
圓（x﹣2）2+y2＝1的圓心為（2，0），半徑r＝1，
設(shè)直線l與圓交于點(diǎn)AB，
圓心到直線的距離d＝＝，
則AB＝2×＝，
故選：C．
8．若函數(shù)y＝﹣的圖象與直線x﹣2y+m＝0有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　?。?br /> A．[﹣2﹣1，﹣2+1] B．[﹣2﹣1，1]
C．[﹣2+1，﹣1] D．[﹣3，1]
【分析】根據(jù)題意，將函數(shù)的解析式變形可得x﹣1）2+y2＝4，（﹣2≤y≤0），其圖象為圓（x﹣1）2+y2＝4的下半部分，直線x﹣2y+m＝0即y＝x+，必有直線與半圓有公共點(diǎn)，結(jié)合圖形分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，函數(shù)y＝﹣，變形可得（x﹣1）2+y2＝4，（﹣2≤y≤0），
其圖象為圓（x﹣1）2+y2＝4的下半部分，如圖：
直線x﹣2y+m＝0即y＝x+，必有直線與半圓有公共點(diǎn)，
當(dāng)m＝﹣2﹣1時，直線x﹣2y+m＝0在圓心的下方且與圓相切，
當(dāng)m＝1時，直線經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），
則m的取值范圍為[﹣2﹣1，1]；
故選：B．

9．設(shè)直線x﹣y+a＝0與圓x2+y2+2x﹣4y+2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則a＝（　?。?br /> A．﹣1或1 B．1或5 C．﹣1或3 D．3或5
【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心與半徑，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得圓心到直線x﹣y+a＝0的距離d，又由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝＝，解可得a的值，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，圓x2+y2+2x﹣4y+2＝0，即（x+1）2+（y﹣2）2＝3，圓心C（﹣1，2），半徑r＝，
若|AB|＝2，則圓心到直線x﹣y+a＝0的距離d＝＝，
又由C（﹣1，2），則有d＝＝，解可得a＝5或1；
故選：B．
10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，兩動圓O1，O2均過定點(diǎn)（1，0），它們的圓心分別為（a1，0）（a2，0）（a1≠0，a2≠0），且與y軸正半軸分別交于點(diǎn)（0，y1），（0．y2）．若y1＝，則＝（　?。?br /> A． B．﹣ C．2 D．﹣2
【分析】根據(jù)點(diǎn)的距離公式可得y12＝1﹣2a1，y22＝1﹣2a2，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可得到y(tǒng)1y2＝1，可得＝2，
【解答】解：因?yàn)閞1＝|1﹣a1|＝，則y12＝1﹣2a1，
同理可得y22＝1﹣2a2，
又因?yàn)閥1y2＝1，
則（1﹣2a1）（1﹣2a2）＝1，
即2a1a2＝a1+a2，
則＝2，
故選：C．
11．點(diǎn)P是直線x+y﹣2＝0上的動點(diǎn)，點(diǎn)Q是圓x2+y2＝1上的動點(diǎn)，則線段PQ長的最小值為（　　）
A． B．1 C． D．2
【分析】根據(jù)題意，分析圓的圓心與半徑，求出圓心（0，0）到直線x+y﹣2＝0的距離，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，圓x2+y2＝1的圓心為（0，0），半徑r＝1，
圓心（0，0）到直線x+y﹣2＝0的距離d＝＝，
則線段PQ長的最小值為﹣1；
故選：A．
12．已知圓C的方程為x2﹣2x+y2＝0，直線l：kx﹣y+2﹣2k＝0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則當(dāng)△ABC面積最大時，直線l的斜率k為（　?。?br /> A．1 B．6 C．1或7 D．2或6
【分析】根據(jù)題意，由圓的半徑分析圓心與半徑，分析可得當(dāng)CA與CB垂直時，△ABC面積最大，求出圓心到直線的距離，進(jìn)而可得＝，解可得k的值，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，圓C的方程為x2﹣2x+y2＝0，即為（x﹣1）2+y2＝1，則圓半徑r＝1，圓心C（1，0），
直線l：kx﹣y+2﹣2k＝0與圓C交于A，B兩點(diǎn)，
當(dāng)CA與CB垂直時，△ABC面積最大，
此時△ABC為等腰直角三角形，圓心C到直線AB的距離d＝，
則有＝，
解可得k＝1或7；
故選：C．
13．已知圓C：x2+y2﹣4x+3＝0，則圓C關(guān)于直線y＝﹣x﹣4的對稱圓的方程是（　?。?br /> A．（x+4）2+（y+6）2＝1 B．（x+6）2+（y+4）2＝1
C．（x+5）2+（y+7）2＝1 D．（x+7）2+（y+5）2＝1
【分析】根據(jù)題意，設(shè)要求圓的圓心為C′，其坐標(biāo)為（a，b），由C與C′關(guān)于直線y＝﹣x﹣4對稱，則有，解可得a、b的值，即可得圓的圓心，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)要求圓的圓心為C′，其坐標(biāo)為（a，b），
圓C：x2+y2﹣4x+3＝0，即（x﹣2）2+y2＝1，其圓心為（2，0），半徑r＝1，
C與C′關(guān)于直線y＝﹣x﹣4對稱，則有，解可得，
則要求圓的圓心為（﹣4，﹣6），半徑r′＝1，
其方程為（x+4）2+（y+6）2＝1；
故選：A．
14．由直線x＝0上的一點(diǎn)向圓（x﹣3）2+y2＝1引切線，則切線長的最小值為（　?。?br /> A．1 B． C． D．3
【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線x＝0上的一點(diǎn)到圓（x﹣3）2+y2＝1的圓心的距離為d，由切線長公式可得過該點(diǎn)引圓（x﹣3）2+y2＝1的切線的長度為l＝＝，分析可得當(dāng)d最小時，切線長的最小，求出d的最小值，分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，圓（x﹣3）2+y2＝1的圓心為（3，0），半徑r＝1，設(shè)直線x＝0上的一點(diǎn)到圓（x﹣3）2+y2＝1的圓心的距離為d，
則過該點(diǎn)引圓（x﹣3）2+y2＝1的切線的長度為l＝＝，
分析可得：當(dāng)d最小時，切線長的最小，
又由d的最小值為圓心（3，0）到直線x＝0的距離，則dmin＝3，
則切線長的最小值為＝2；
故選：C．
二．填空題（共15小題）
15．若曲線恰有三個點(diǎn)到直線y＝x﹣b的距離為1，則b的取值范圍為　[2﹣，）　
【分析】曲線表示圓x2+y2＝4的右半部分，由距離公式可得臨界直線，數(shù)形結(jié)合可得．
【解答】解：曲線示圓x2+y2＝4的右半部分，直線y＝x﹣b的斜率為1，（如圖），
設(shè)滿足條件的兩條臨界直線分別為m和l，
根據(jù)題意，曲線上恰好有三個點(diǎn)到直線y＝x﹣b的距離為1，因此其中兩個交點(diǎn)必須在直線m″（過點(diǎn)（0，﹣2））和直線l″之間，
設(shè)（0，﹣2）到直線m的距離為1，可得＝1，
解得b＝2﹣，或b＝2+（舍去），
∴直線m的截距為﹣2，
設(shè)直線l″為圓的切線，則直線l″的方程為x﹣y﹣2＝0，
由l到l″的距離為1可得＝1，
解方程可得b＝，即直線l的截距為，
（2，0）到直線y＝x﹣b的距離為1時，，
解得b∈[2﹣，2+]
根據(jù)題意可知，直線在m和l之間，
∴b的取值范圍為：[2﹣，）．
故答案為：[2﹣，）．

16．過原點(diǎn)O作圓x2+y2﹣6x﹣8y+20＝0的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為P、Q，則線段PQ的長為　4?。?br /> 【分析】如圖：先求出圓心坐標(biāo)和半徑，直角三角形中使用邊角關(guān)系求出cosα，二倍角公式求出cos∠PO1Q，三角形PO1Q中，
用余弦定理求出|PQ|．
【解答】解：圓x2+y2﹣6x﹣8y+20＝0 可化為 （x﹣3）2+（y﹣4）2＝5，
圓心（3，4）到原點(diǎn)的距離為5．故cosα＝，
∴cos∠PO1Q＝2cos2α﹣1＝﹣，
∴|PQ|2＝（）2+（）2+2×（）2×＝16．∴|PQ|＝4．
故答案為：4．

17．過點(diǎn)P（，1）的直線L與圓C：（x﹣1）2+y2＝4相交于A、B兩點(diǎn)，C為圓心，當(dāng)∠ACB最小時，直線的方程為 　2x﹣4y+3＝0　．
【分析】研究知點(diǎn)在圓內(nèi)，過它的直線與圓交于兩點(diǎn)A，B，當(dāng)∠ACB最小時，直線l與CP垂直，故先求直線CP的斜率，再根據(jù)充要條件求出直線l的斜率，由點(diǎn)斜式寫出其方程．
【解答】解：驗(yàn)證知點(diǎn)在圓內(nèi)，
當(dāng)∠ACB最小時，直線l與CP垂直，
由圓的方程，圓心C（1，0）
∵kCP＝＝﹣2，
∴kl＝
∴l(xiāng)：y﹣1＝（x﹣），整理得2x﹣4y+3＝0
故應(yīng)填2x﹣4y+3＝0
18．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（1，1），B（1，﹣1），點(diǎn)P為圓（x﹣4）2+y2＝4上任意一點(diǎn)，記△OAP和△OBP的面積分別為S1和S2，則的最小值是　2﹣?。?br /> 【分析】利用三角形面積公式化面積比為正弦比，從而找到相切位置為最優(yōu)解，求解比較容易．
【解答】解：
＝
＝
顯然，當(dāng)OP與圓C：（x﹣4）2+y2＝4相切時，比值最?。?br /> 在Rt△OPC中，OC＝4，CP＝2，
∴∠COP＝30°，
結(jié)合A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)，
易知∠AOP＝15°，∠BOP＝75°，
∴＝
＝tan15°＝2﹣，
故答案為：2﹣．
19．若直線y＝x+b與曲線y＝有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是　[﹣2，2]　
【分析】把已知曲線方程變形，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合求得b的取值范圍．
【解答】解：由y＝，得x2+y2＝4（y≥0）．
如圖，

當(dāng)直線y＝x+b與圓x2+y2＝4切于第二象限時，b＝2．
∴若直線y＝x+b與曲線y＝有公共點(diǎn)，則b的取值范圍是[﹣2，2]．
故答案為：[﹣2，2]．
20．已知圓C：（x﹣1）2+y2＝r2（r＞0）與直線l：y＝x+3，且直線l上有唯一的一個點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P作圓C的兩條切線互相垂直．設(shè)EF是直線l上的一條線段，若對于圓C上的任意一點(diǎn)Q，，則的最小值是　4+4?。?br /> 【分析】由圓的對稱性知直線l上的唯一點(diǎn)P與圓心C（1，0）所在直線必與直線l垂直，求得PC所在直線方程，與直線l求得交點(diǎn)P，再根據(jù)對稱性可得r＝2，由題意，知|EF|取得最小值時，一定關(guān)于直線y＝﹣x+1對稱，畫出圖形，通過圖形觀察，當(dāng)兩圓相內(nèi)切時，求得最小值．
【解答】解：根據(jù)圓的對稱性知直線l上的唯一點(diǎn)P與圓心C（1，0）所在直線必與直線l垂直，
則PC所在直線的方程為x+y＝1，與直線y＝x+3聯(lián)立求得P（﹣1，2），
再根據(jù)對稱性知過點(diǎn)P（﹣1，2）的兩條切線必與坐標(biāo)軸垂直，r＝2；
由題意，知|EF|取得最小值時，一定關(guān)于直線y＝﹣x+1對稱，如圖所示，
因此可設(shè)以點(diǎn)P（﹣1，2）為圓心，以R為半徑的圓，
即（x+1）2+（y﹣2）2＝R2與圓C內(nèi)切時，
的最小值即為2R，
由相切條件易知2R＝2（|CP|+2）＝2（2+2）＝4+4．
故答案為：4+4．

21．若直線l：ax+y﹣4a＝0上存在相距為2的兩個動點(diǎn)A，B，圓O：x2+y2＝1上存在點(diǎn)C，使得△ABC為等腰直角三角形（C為直角頂點(diǎn)），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為　[﹣，]　．
【分析】根據(jù)題意，由直角三角形的性質(zhì)分析可得C到AB的距離為＝1，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得圓心O到直線l的距離d≤2，即有≤2，解得a的取值范圍，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，若△ABC為等腰直角三角形，其中C為直角頂點(diǎn)且|AB|＝2，
則C到AB的距離為＝1，
若圓O：x2+y2＝1上存在點(diǎn)C，使得△ABC為等腰直角三角形，
則圓心O到直線l的距離d≤2，即有≤2，
解可得：﹣≤a≤，即a的取值范圍[﹣，]；
故答案為：[﹣，]．
22．已知動直線l：（m+1）x+（m+2）y﹣m﹣3＝0與圓C1：（x﹣2）2+（y+1）2＝36交于A，B兩點(diǎn)，以弦AB為直徑的圓為C2，則圓C2的面積的最小值是　18π?。?br /> 【分析】根據(jù)題意，由直線l的方程分析可得直線l恒過定點(diǎn)（﹣1，2），設(shè)M（﹣1，2），分析圓C1的方程可得圓心C1的坐標(biāo)以及半徑r，分析可得當(dāng)|AB|最小時，圓C2的面積的最??；結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得當(dāng)MC1與直線l垂直，即M為AB的中點(diǎn)時，|AB|最小，求出此時的值，由圓的面積公式即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，直線l：（m+1）x+（m+2）y﹣m﹣3＝0即m（x+y﹣1）+（x+2y﹣3）＝0，
，解可得，則直線l恒過定點(diǎn)（﹣1，2），設(shè)M（﹣1，2），
圓C1：（x﹣2）2+（y+1）2＝36，圓心C1為（2，﹣1），半徑r＝6，|MC1|＝＝3，
若直線l與圓C1：（x﹣2）2+（y+1）2＝36交于A，B兩點(diǎn)，以弦AB為直徑的圓為C2，
當(dāng)|AB|最小時，圓C2的面積的最小；
當(dāng)MC1與直線l垂直，即M為AB的中點(diǎn)時，|AB|最小，
此時＝＝3，
此時圓C2的面積S＝（3）2×π＝18π，
故答案為：18π．
23．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2+y2＝1，直線l：y＝x+a，過直線l上點(diǎn)P作圓O的切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A、B，若存在點(diǎn)P使得，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　[﹣2，2]?。?br /> 【分析】設(shè)PO與AB交于H，運(yùn)用直角三角形的射影定理以及向量共線定理可得PA2＝PO2，設(shè)P（m，n），可得P在直線y＝x+a上，又在圓x2+y2＝4上，由直線和圓有交點(diǎn)的條件：d≤r，解不等式可得所求范圍．
【解答】解：設(shè)PO與AB交于H，
在直角三角形PAO中，由射影定理可得PA2＝PH?PO，
，且+＝2，
即＝，
則PA2＝PO2，
設(shè)P（m，n），可得m2+n2﹣1＝（m2+n2），
即為m2+n2＝4，
可得P在直線y＝x+a上，又在圓x2+y2＝4上，
可得≤2，即﹣2≤a≤2，
故答案為：[﹣2，2]．

24．已知圓C：x2+（y﹣2）2＝2，直線l：kx﹣y﹣2＝0與y軸交于點(diǎn)A，過l上一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為T，若，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是　或　．
【分析】根據(jù)題意，設(shè)P（x，y），求出A的坐標(biāo)，分析可得若，則|PA|2＝2|PT|2，即x2+（y+2）2＝2[x2+（y﹣2）2﹣2]，變形可得P的軌跡方程，進(jìn)而原問題可轉(zhuǎn)化為直線l與圓x2+（y﹣6）2＝36有公共點(diǎn)，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得d＝≤6，解可得k的取值范圍，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)P（x，y），直線l：kx﹣y﹣2＝0即y＝kx﹣2與y軸交于點(diǎn)A，則A（0，﹣2）
若，則|PA|2＝2|PT|2，即x2+（y+2）2＝2[x2+（y﹣2）2﹣2]，
變形可得：x2+y2﹣12y＝0，變形可得x2+（y﹣6）2＝36，
即點(diǎn)P的軌跡是圓x2+（y﹣6）2＝36，
則原問題可轉(zhuǎn)化為直線l與圓x2+（y﹣6）2＝36有公共點(diǎn)，
則有圓心（0，6）到直線l的距離d＝≤6，解可得或；
即k的取值范圍為或；
故答案為：或．
25．已知圓O：x2+y2＝9，點(diǎn)A（﹣5，0），若在直線OA上（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），存在異于A的定點(diǎn)B，使得對于圓O上的任意一點(diǎn)P，都有為同一常數(shù)．則點(diǎn)B的坐標(biāo)是?。ī?，0）?。?br /> 【分析】根據(jù)題意，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)B（t，0）滿足題意，設(shè)＝λ，結(jié)合圓的方程變形可得（x﹣t）2+y2＝λ2[（x+5）2+y2]，據(jù)此分析可得，解可得t的值，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，點(diǎn)A（﹣5，0）在x軸的負(fù)半軸上，直線OA即x軸，
假設(shè)存在這樣的點(diǎn)B（t，0），使得對于圓O上的任意一點(diǎn)P，都有為同一常數(shù)，這個常數(shù)為λ，即＝λ，變形可得則PB2＝λ2PA2，
則有（x﹣t）2+y2＝λ2[（x+5）2+y2]，
將y2＝9﹣x2代入得：x2﹣2xt+t2+9﹣x2＝λ2（x2+10x+25+9﹣x2），
即2（5λ2+t）x+34λ2﹣t2﹣9＝0對x∈[﹣3，3]恒成立，
則有，解可得t＝﹣；
故B的坐標(biāo)為（﹣，0）；
故答案為：（﹣，0）．
26．若A（﹣3，y0）是直線l：x+y+a＝0（a＞0）上的點(diǎn)，直線l與圓C：（x﹣）2+（y+2）2＝12相交于M、N兩點(diǎn)，若△MCN為等邊三角形，則過點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為P，則|AP|＝　6?。?br /> 【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)C到直線l的距離為3，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出a＝5，即可求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)切線的性質(zhì)和勾股定理即可求出．
【解答】解：如圖所示∵M(jìn)CN為等邊三角形，
過點(diǎn)C做CD⊥MN，
∴CM＝2，
∴CD＝2×＝3，
∴C（，﹣2）到直線x+y+a＝0的距離為3，
∴＝3，
解得a＝5，
∵是直線x+y+5＝0的點(diǎn)，
∴y0＝4，
∴A（﹣3，4），
∴AC2＝（+3）2+（﹣2﹣4）2＝84，
∵過點(diǎn)A作圓C的切線，切點(diǎn)為P，
∴CP2＝12，
∴AP2＝AC2﹣CP2＝84﹣12＝72，
∴|AP|＝6，
故答案為：6

27．已知圓C：（x﹣7）2+y2＝16，過點(diǎn)M（5，0）作直線交圓C于A，B兩點(diǎn)．若P（2，5），則的最小值為　?。?br /> 【分析】根據(jù)題意，設(shè)AB的中點(diǎn)H，連接CH，分析可得H的軌跡為以CM為直徑的圓，分析該圓的圓心和半徑，由向量的中點(diǎn)表示和圓外一點(diǎn)與圓上的點(diǎn)的距離的最值性質(zhì)，計(jì)算可得所求最小值．
【解答】解：根據(jù)題意，如圖：設(shè)AB的中點(diǎn)H，連接CH，
則有CH⊥AB，故中點(diǎn)H的軌跡為以CM為直徑的圓，
設(shè)該圓為N，則其圓心N為（6，0），半徑r＝1，
H為AB的中點(diǎn)，則+＝2，則有|+|＝2||，
則|PN|＝＝，
點(diǎn)P到圓N上點(diǎn)的距離最小值為﹣r＝﹣1，
則的最小值為2（﹣1）＝2﹣2，
故答案為：．

28．圓C：（x﹣1）2+y2＝1的圓心到直線l：x﹣y+a＝0（a＞0）的距離為，則a的值為　1　．
【分析】根據(jù)題意，求出圓C的圓心，由點(diǎn)到直線的距離公式可得d＝＝，解可得a的值，結(jié)合a的范圍分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，圓C：（x﹣1）2+y2＝1的圓心為（1，0），
又由圓C的圓心到直線l：x﹣y+a＝0（a＞0）的距離為，則有d＝＝，
變形可得：|1+a|＝2，
解可得a＝1或﹣3，
又由a＞0，則a＝1；
故答案為：1．
29．已知a，b為正數(shù)，若直線2ax+by﹣2＝0被圓x2+y2＝4截得的弦長為，則的最大值是　?。?br /> 【分析】根據(jù)題意，由圓的方程分析圓的圓心與半徑，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系可得圓心到直線2ax+by﹣2＝0的距離d＝1，由點(diǎn)到直線的距離公式可得＝1，即4a2+b2＝4，又由＝×，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，圓x2+y2＝4的圓心為（0，0），半徑r＝2，
若直線2ax+by﹣2＝0被圓x2+y2＝4截得的弦長為，則圓心到直線2ax+by﹣2＝0的距離d＝1，
又由圓心到直線2ax+by﹣2＝0的距離d＝＝，則有＝1，即4a2+b2＝4，
則＝×≤×＝×＝；
則的最大值是；
故答案為：．
三．解答題（共9小題）
30．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3）和直線l：y＝2x﹣4，設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上．
（1）若圓心C也在直線y＝x﹣1上，過點(diǎn)A作圓C的切線．
①求圓C的方程；
②求切線的方程；
（2）若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．

【分析】（1）求出圓心C為（3，2），圓C的半徑為1，得到圓的方程，切線的斜率一定存在，設(shè)所求圓C的切線方程為y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，利用圓心到直線的距離等于半徑，求解k即可得到切線方程．
（2）設(shè)圓心C為（a，2a﹣4），圓C的方程為：（x﹣a）2+[y﹣（2a﹣4）]2＝1，設(shè)M為（x，y）列出方程得到圓D的方程，通過圓C和圓D有交點(diǎn)，得到1≤CD≤3，轉(zhuǎn)化求解a的取值范圍．
【解答】解：（1）由得圓心C為（3，2），
∵圓C的半徑為1，
∴圓C的方程為：（x﹣3）2+（y﹣2）2＝1，
顯然切線的斜率一定存在，設(shè)所求圓C的切線方程為y＝kx+3，即kx﹣y+3＝0，
∴∴，
∴2k（4k+3）＝0∴k＝0或者，
∴所求圓C的切線方程為：y＝3或者．
即y＝3或者3x+4y﹣12＝0．
（2）∵圓C的圓心在在直線l：y＝2x﹣4上，
所以，設(shè)圓心C為（a，2a﹣4），
則圓C的方程為：（x﹣a）2+[y﹣（2a﹣4）]2＝1，
又∵M(jìn)A＝2MO，
∴設(shè)M為（x，y）則整理得：x2+（y+1）2＝4設(shè)為圓D，
∴點(diǎn)M應(yīng)該既在圓C上又在圓D上
即：圓C和圓D有交點(diǎn)，∴1≤CD≤3，
∴，
由5a2﹣12a+8≥0得a∈R，
由5a2﹣12a≤0得，
綜上所述，a的取值范圍為：．
31．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A（﹣3，0），直線l：y＝x+4，設(shè)⊙C的半徑為2，圓心在直線l上．
（Ⅰ）若⊙C與直線y＝﹣2x﹣8相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且|AE|＝|AF|，求⊙C的方程；
（Ⅱ）若⊙C上存在點(diǎn)M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．
【分析】（Ⅰ）設(shè)EF的中點(diǎn)為G，連結(jié)AE，AF，CE，CF，AG，CG，求出直線AC的方程為，圓心C坐標(biāo)，即可求解圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)M（x，y），整理得：（x﹣1）2+y2＝4，列出|2﹣2|≤≤|2+2|，然后求解a的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）設(shè)EF的中點(diǎn)為G，連結(jié)AE，AF，CE，CF，AG，CG，
由已知得AG⊥EF，
又CE＝CF，所以CG⊥EF，則可得AC⊥EF，
則直線AC的方程為，
圓心C滿足，，解得C（﹣5，﹣1），
則圓C的方程為（x+5）2+（y+1）2＝4．
（Ⅱ）∵⊙C的圓心在在直線l：y＝x+4上，設(shè)圓心C為（a，a+4），則⊙C的方程為（x﹣a）2+[y﹣（a+4）]2＝4，
又∵|MA|＝2|MO|，設(shè)M（x，y），整理得：（x﹣1）2+y2＝4，
設(shè)此為⊙D，
∴點(diǎn)M應(yīng)該既在⊙C上又在⊙D上即⊙C和⊙D有交點(diǎn)，
∴，
由2a2+6a+17≥0得a∈R，
由2a2+6a+1≤0得，
終上所述，a的取值范圍為：．

32．已知方程x2+y2﹣2x﹣4y+m＝0．
（1）若此方程表示圓，求m的取值范圍；
（2）若（1）中的圓與直線x+2y﹣4＝0相交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求m；
（3）在（2）的條件下，求以MN為直徑的圓的方程．
【分析】（1）圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用半徑大于0，可得m的取值范圍；
（2）直線方程與圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及OM⊥ON，建立方程，可求m的值；
（3）寫出以MN為直徑的圓的方程，代入條件可得結(jié)論．
【解答】解：（1）（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5﹣m，∴方程表示圓時，m＜5；
（2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1＝4﹣2y1，x2＝4﹣2y2，得x1x2＝16﹣8（y1+y2）+4y1y2，
∵OM⊥ON，∴x1x2+y1y2＝0，∴16﹣8（y1+y2）+5y1y2＝0①，
由，得5y2﹣16y+m+8＝0，
∴，．
代入①得．
（3）以MN為直徑的圓的方程為（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）＝0，
即x2+y2﹣（x1+x2）x﹣（y1+y2）y＝0，
∴所求圓的方程為．
33．如圖，圓M：（x﹣2）2+y2＝1，點(diǎn)P（﹣1，t）為直線l：x＝﹣1上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B．
（1）若t＝1，求切線所在直線方程；
（2）求|AB|的最小值；
（3）若兩條切線PA，PB與y軸分別交于S、T兩點(diǎn)，求|ST|的最小值．

【分析】（1）設(shè)切線方程，利用圓心到切線距離等于半徑求得斜率即可得解；
（2）連接PM，AB交于N，利用∠MPA＝∠MAN，結(jié)合正余弦可得最值；
（3）利用（1）的方法，得到k的二次方程，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系，用含t的式子表示去表示|ST|，可得最值．
【解答】解：（1）由題意，切線斜率存在，
可設(shè)切線方程為y﹣1＝k（x+1），
即kx﹣y+k+1＝0，
則圓心M到切線的距離d＝＝1，
解得k＝0或﹣，
故所求切線方程為y＝1，3x+4y﹣1＝0；
（2）
連接PM，AB交于點(diǎn)N，
設(shè)∠MPA＝∠MAN＝θ，
則|AB|＝2|AM|cosθ＝2cosθ，
在Rt△MAP中，sinθ＝＝，
∵|PM|≥3，
∴（sinθ）max＝，
∴（cosθ）min＝，
∴|AB|min＝；
（3）設(shè)切線方程為y﹣t＝k（x+1），即kx﹣y+k+t＝0，
PA，PB的斜率為k1，k2，
故圓心M到切線的距離d＝＝1，
得8k2+6kt+t2﹣1＝0，
∴k1+k2＝﹣，k1k2＝，
在切線方程中令x＝0可得y＝k+t，
故|ST|＝|（k1+t）﹣（k2+t）|＝|k1﹣k2|
＝
＝，
∴|ST|min＝，此時t＝0．
故|ST|的最小值為．

34．已知圓M的方程為x2+（y﹣2）2＝1，直線l的方程為x﹣3y＝0，點(diǎn)P在直線l上，過點(diǎn)P作圓M的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B．
（1）若∠APB＝60°，試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求四邊形PAMB面積的最小值及此時點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）求證：經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．

【分析】（1）設(shè)P（3m，m），連接MP，分析易得MP＝2MA＝2，即有（3m）2+（m﹣2）2＝4，解可得m的值，即可得答案；
（2）根據(jù)題意，分析易得S四邊形PAMB＝2S△APM＝MA?AP＝AP，又由AP2＝MP2﹣MA2＝MP2﹣1，當(dāng)MP最小時，即直線MP與直線l垂直時，四邊形PAMB面積最小，設(shè)出P的坐標(biāo)，則有＝﹣3，解可得n的值，進(jìn)而分析MP的最小值，求出四邊形PAMB面積，即可得答案；
（3）根據(jù)題意，分析可得：過A，P，M三點(diǎn)的圓為以MP為直徑的圓，設(shè)P的坐標(biāo)為（3m，m），用m表示過A，P，M三點(diǎn)的圓為x2+y2﹣2y﹣m（3x+y﹣2）＝0，結(jié)合直線與圓位置關(guān)系，分析可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，點(diǎn)P在直線l上，
設(shè)P（3m，m），連接MP，
因?yàn)閳AM的方程為x2+（y﹣2）2＝1，
所以圓心M（0，2），半徑r＝1．
因?yàn)檫^點(diǎn)P作圓M的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B；
則有PA⊥MA，PB⊥MB，且MA＝MB＝r＝1，
易得△APM≌△BPM，
又由∠APB＝60°，即∠APM＝30°，
則MP＝2MA＝2，
即有（3m）2+（m﹣2）2＝4，
解可得：m＝0或m＝，
即P的坐標(biāo)為（0，0）或（，）；
（2）根據(jù)題意，△APM≌△BPM，則S四邊形PAMB＝2S△APM＝MA?AP＝AP，
又由AP2＝MP2﹣MA2＝MP2﹣1，
當(dāng)MP最小時，即直線MP與直線l垂直時，四邊形PAMB面積最小，
設(shè)此時P的坐標(biāo)為（3n，n）；有＝﹣3，解可得n＝，
即P的坐標(biāo)為（，）；
此時MP＝＝，則四邊形PAMB面積的最小值為＝；
（3）根據(jù)題意，PA是圓M的切線，則PA⊥MA，則過A，P，M三點(diǎn)的圓為以MP為直徑的圓，
設(shè)P的坐標(biāo)為（3m，m），M（0，2），
則以MP為直徑的圓為（x﹣0）（x﹣3m）+（y﹣m）（y﹣2）＝0，
變形可得：x2+y2﹣3mx﹣（m+2）y+2m＝0，即x2+y2﹣2y﹣m（3x+y﹣2）＝0；
則有，解可得：或；
則當(dāng)x＝0、y＝2和x＝、y＝時，x2+y2﹣2y﹣m（3x+y﹣2）＝0恒成立，
則經(jīng)過A，P，M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，且定點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，2）和（，）．

35．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn)P為直線l：x＝2上一點(diǎn)，過點(diǎn)A（1，0）作OP的垂線與以O(shè)P為直徑的圓K相交于B，C兩點(diǎn)．
（1）若BC＝，求圓K的方程；
（2）求證：點(diǎn)B始終在某定圓上．
（3）是否存在一定點(diǎn)Q（異于點(diǎn)A），使得為常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【分析】（1）設(shè)P（2，t）（t≠0），則圓K的方程為，通過圓心到直線BC的距離，可得t＝±2，從而得圓K的方程；
（2）設(shè)B（x0，y0），利用 消去參數(shù)t，即得點(diǎn)B的軌跡方程；
（3）設(shè)點(diǎn)Q（a，b）， （c為常數(shù)），利用x2+y2＝2計(jì)算（x﹣a）2+（y﹣b）2＝c[（x﹣1）2+y2]即可．
【解答】解：（1）設(shè)P（2，t）（t≠0），則圓K的方程為，
直線OP的斜率為，又OP⊥BC，所以BC的斜率，
從而BC的方程為，即2x+ty﹣2＝0，
則圓心K（1，）到直線BC的距離為，
由（）2+（）2＝，解得t＝±2，
所以圓K的方程為（x﹣1）2+（y±1）2＝2；
（2）設(shè)B（x0，y0），由 得，
消去參數(shù)t，得，
所以點(diǎn)B的軌跡方程為圓：x2+y2＝2；
（3）設(shè)點(diǎn)Q（a，b）， （c為常數(shù)），
則（x﹣a）2+（y﹣b）2＝c[（x﹣1）2+y2]，
整理，得（c﹣1）（x2+y2）+2（a﹣c）x+2by+c﹣a2﹣b2＝0，
由于x2+y2＝2，所以2（a﹣c）x+2by+3c﹣a2﹣b2﹣2＝0，
從而，解得 或（舍），
所以存在定點(diǎn)Q（2，0），使得．
36．已知點(diǎn)A，B分別是射線l1：y＝x（x≥0），l2：y＝﹣x（x≥0）上的動點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且△OAB的面積為定值2．
（I）求線段AB中點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（II）過點(diǎn)N（0，2）作直線l，與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P，Q，與射線l1，l2分別交于點(diǎn)R，S，若點(diǎn)P，Q恰為線段RS的兩個三等分點(diǎn)，求此時直線l的方程．
【分析】（I）通過設(shè)A（x1，x1），B（x2，﹣x2），M（x，y），建立M與AB的關(guān)系，繼而轉(zhuǎn)化為x與y的關(guān)系，整理即可得到所以點(diǎn)M的軌跡方程．
（II）根據(jù)題意，因?yàn)閘斜率存在，故設(shè)出直線方程．根據(jù)xP，xQ＞0以及由于P，Q為RS的三等分點(diǎn)分別得出一個等式，最后通過兩個等式分別化簡即可得出l的斜率．此時，直線方程即可得到．
【解答】解：（I）由題可設(shè)A（x1，x1），B（x2，﹣x2），M（x，y），其中x1＞0，x2＞0．
則
∵△OAB的面積為定值2，
∴
（1）2﹣（2）2，消去x1，x2，
得：x2﹣y2＝2．
由于x1＞0，x2＞0，
∴x＞0，
所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2﹣y2＝2（x＞0）．

（II）依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx+2．
由
消去y得：（1﹣k2）x2﹣4kx﹣6＝0，
設(shè)點(diǎn)P、Q、R、S的橫坐標(biāo)分別是xP、xQ、xR、xs，
∴由xP，xQ＞0得
解之得：．
∴．
由消去y得：，
由消去y得：，
∴．
由于P，Q為RS的三等分點(diǎn)，
∴|xR﹣xS|＝3|xP﹣xQ|．
解之得．
經(jīng)檢驗(yàn)，此時P，Q恰為RS的三等分點(diǎn)，
故所求直線方程為．
37．已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A（0，0），B（7，7），圓心在直線上．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與圓C相切且與x，y軸截距相等，求直線l的方程．
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)圓C的圓心為（a，b），半徑為r，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式可得，解可得a、b、r的值，代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中即可得答案；
（2）根據(jù)題意，①，直線l經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為y＝kx，則有＝5，②，直線l不經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為x+y﹣m＝0，則有＝5，分別求出直線l的方程，綜合2種情況即可得答案．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)圓C的圓心為（a，b），半徑為r，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2，
圓C經(jīng)過點(diǎn)A（0，0），B（7，7），圓心在直線上，
則有，解可得，
則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25，
（2）若直線l與圓C相切且與x，y軸截距相等，
分2種情況討論：
①，直線l經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為y＝kx，則有＝5，
解可得：k＝﹣，此時直線l的方程為y＝﹣x；
②，直線l不經(jīng)過原點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為x+y﹣m＝0，則有＝5，解可得m＝7+5或7﹣5，
此時直線l的方程為x+y+5﹣7＝0或x+y﹣5﹣7＝0；
綜合可得：直線l的方程為y＝﹣x或x+y+5﹣7＝0或x+y﹣5﹣7＝0．
38．已知⊙C1：x2+y2﹣x﹣a＝0與⊙C2：x2+y2﹣2x﹣2＝0交于P、Q兩點(diǎn)，M（2，t）是直線PQ上的一個動點(diǎn)．
（1）求⊙C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求以O(shè)M為直徑且被直線3x﹣4y﹣5＝0截得的弦長為2的圓C3的方程；
（3）過點(diǎn)C2作OM的垂線與以O(shè)M為直徑的圓交于點(diǎn)N，請判斷線段ON的長是否為定值？若是定值求出這個定值；若不是請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)題意，有⊙C1與⊙C2的方程，計(jì)算可得直線PQ的方程，分析可得a﹣2＝2，解可得a的值，將a的值代入⊙C1的方程，即可得答案；
（2）設(shè)OM的中點(diǎn)為E，用t可以表示圓E的方程，由直線與圓的位置關(guān)系分析可得1+＝1+，解可得t的值，將t的代入圓的方程即可得答案；
（3）根據(jù)題意，設(shè)N的坐標(biāo)為（m，n），解可得題意分析可得m2+n2＝2m+tn①和t＝②，聯(lián)立兩個式子分析可得m2+n2＝2，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式可得|ON|＝＝，即可得結(jié)論．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，⊙C1：x2+y2﹣x﹣a＝0與⊙C2：x2+y2﹣2x﹣2＝0，
則兩圓交線的方程為：x＝a﹣2，即直線PQ的方程為x＝a﹣2，
又由M（2，t）是直線PQ上的一個動點(diǎn)，則有a﹣2＝2，解可得a＝4，
⊙C1的方程為x2+y2﹣x﹣4＝0，變形可得（x﹣）2+y2＝；
（2）根據(jù)題意，設(shè)OM的中點(diǎn)為E，又由M（2，t），則OM的中點(diǎn)E為（1，），
以O(shè)M為直徑的圓的圓心為E（1，），半徑r＝|OM|＝|OE|＝，
又由圓E被直線3x﹣4y﹣5＝0截得的弦長為2，
圓心E到直線的距離d＝＝
則有1+＝1+，
解可得：t＝4或﹣；
則圓C3的方程為（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5或（x﹣1）2+（y+）2＝；
（3）根據(jù)題意，設(shè)N的坐標(biāo)為（m，n），
由（2）的結(jié)論，以O(shè)M為直徑的圓的方程為（x﹣1）2+（y﹣）2＝1+，
變形可得：x2+y2﹣2x﹣ty＝0，
又由N在圓上，則有m2+n2＝2m+tn，①
⊙C2：x2+y2﹣2x﹣2＝0，其圓心C2為（1，0），
又由NC2⊥OM，則有＝﹣，變形可得t＝，②
將②代入①可得：m2+n2＝2m+t×＝2，
則有|ON|＝＝，
即ON的長為定值．

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