?人教版2021屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 恒過定點的直線
一．選擇題（共14小題）
1．不論m如何變化，直線（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0恒過定點（　?。?br /> A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1）
2．a(chǎn)，b滿足2a+b＝2，則直線ax+2y+b＝0必過定點（　?。?br /> A．（0，2﹣2a） B．（1，2） C．（2，2） D．（2，﹣1）
3．不論k為何值，直線（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）＝0恒過的一個定點是（　?。?br /> A．（0，0） B．（2，3） C．（3，2） D．（﹣2，3）
4．直線l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0恒過定點（　　）
A．（﹣1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）
5．已知m∈R，過定點A的動直線mx+y＝0和過定點B的動直線x﹣my﹣m+3＝0交于點P，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
6．已知直線（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0恒過定點P（m，n），若正實數(shù)a，b滿足+＝1，則a+b的最小值為（　?。?br /> A．9 B．8 C．7 D．6
7．不論m為何值，直線（m﹣2）x﹣y+3m+2＝0恒過定點（　?。?br /> A．（3，8） B．（8，3） C．（﹣3，8） D．（﹣8，3）
8．已知直線kx﹣y+1﹣k＝0恒過定點A，且點A在直線mx+ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）上，則mn的最大值為（　　）
A． B． C．2 D．4
9．已知直線ax+y+a+1＝0，不論a取何值，該直線恒過的定點是（　　）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（1，﹣1）
10．當(dāng)a為任意實數(shù)時，直線（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0恒過的定點是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（1，﹣） D．（﹣2，0）
11．直線y+2＝k （x+1）恒過點（　?。?br /> A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
12．設(shè)直線2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0過定點P，則點P的坐標為（　?。?br /> A．（3，0） B．（0，2） C．（0，3） D．（2，0）
13．已知是k∈R，直線y﹣3＝k（x+2）總經(jīng)過點（　?。?br /> A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，0） D．（0，3）
14．直線y＝ax+a﹣1（a∈R）所過定點的坐標為（　　）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（1，1）
二．填空題（共18小題）
15．已知直線y＝kx+2k+1，則直線恒經(jīng)過的定點　 ?。?br /> 16．如果對任何實數(shù)k，直線（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k＝0都過一個定點A，那么點A的坐標是　 ?。?br /> 17．直線y＝kx+3k+1經(jīng)過的定點為 　 ?。?br /> 18．直線l1：2mx+（m﹣2）y+4＝0（m∈R）恒過定點　 ??；若過原點作直線l2∥l1，則當(dāng)直線l1與l2的距離最大時，直線l2的方程為　 ?。?br /> 19．已知直線ax+y+a+2＝0恒經(jīng)過一個定點，則過這一定點和原點的直線方程是　 ?。?br /> 20．已知直線l的方程為（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，其中m∈R．求出當(dāng)m變化時，點Q（3，4）到直線l的距離的最大值為　 ?。?br /> 21．已知直線l：kx﹣y+1﹣2k＝0（k∈R）過定點P，則點P的坐標為　 ?。?br /> 22．已知直線l：（2k﹣1）x+（2k+3）y﹣k＝0，則當(dāng)k變化時，直線l恒過定點　 　．
23．直線y＝k（x+3）﹣2與直線y＝﹣x+1的交點在第一象限，則斜率k的取值范圍是　 ?。?br /> 24．方程（a﹣1）x﹣ay+3a﹣1＝0所表示的直線恒過定點　 　．
25．不論m為何數(shù)，直線（m﹣1）x+（2m﹣3）y+m＝0恒過定點 　 　．
26．直線（3λ+1）x+（2﹣λ）y+4λ﹣1＝0恒過定點 　 ?。?br /> 27．若直線l1：y＝k（x﹣6）﹣2與直線l2關(guān)于點（2，1）對稱，則直線l2恒過定點　 ?。?br /> 28．設(shè)λ∈R，動直線l1：λx﹣y+λ＝0過定點A，動直線l2：x+λy﹣3﹣2λ＝0過定點B，若P為l1與l2的交點，則|PA|?|PB|的最大值為　 ?。?br /> 29．直線（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0，不管m怎樣變化該直線恒過定點M，則M的坐標為　 　．
30．已知實數(shù)m，n滿足2m﹣n＝1，則直線mx﹣3y+n＝0必過定點 　 ?。?br /> 31．已知直線l：kx﹣y+1﹣3k＝0，則直線l過定點　 　，當(dāng)k變動時，原點到直線l的距離的最大值為　 ?。?br /> 32．不論m為何實數(shù)，直線x﹣my﹣1+2m＝0恒過一個定點，則這個定點的坐標為　 　．
三．解答題（共7小題）
33．已知一條動直線3（m+1）x+（m﹣1）y﹣6m﹣2＝0，
（1）求證：直線恒過定點，并求出定點P的坐標；
（2）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，是否存在直線滿足下列條件：
①△AOB的周長為12；
②△AOB的面積為6．
若存在，求出方程；若不存在，請說明理由．
（3）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，當(dāng)PA+PB取最小值時，求直線的方程．
34．第一象限內(nèi)點P在x軸、y軸上的投影分別是A和B，若矩形APBO的周長為定值2m，試證明：過P垂直于AB的直線PC恒過定點，并求出頂點坐標．

35．已知xOy平面上的直線l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R．
（1）直線l恒過定點的坐標；
（2）直線l與x軸負半軸和y軸正半軸坐標軸圍成的三角形面積為，求k的值．
36．已知直線l：（2a﹣b）x+（a+b）y+a﹣b＝0及點P（1，3）．
（1）證明直線l過某定點，并求該定點的坐標；
（2）當(dāng)點P到直線l的距離最大時，求直線l的方程．
37．已知直線l：kx﹣y﹣3k+1＝0，k∈R．
（Ⅰ）證明：直線l恒過定點；
（Ⅱ）設(shè)O是坐標原點，A（﹣1，﹣1），若OA⊥l，求k的值．
38．不論m、n取什么值，直線（3m﹣n）x+（m+2n）y﹣n＝0必過一定點，試證明，并求此定點．
39．已知直線l的方程為（m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，m∈R．
（1）求證：直線l恒過定點P，并求出定點P的坐標；
（2）若直線l與直線3x﹣4y+2＝0平行，求m的值．

人教版2021屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 恒過定點的直線
參考答案與試題解析
一．選擇題（共14小題）
1．不論m如何變化，直線（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0恒過定點（　?。?br /> A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（2，1） D．（﹣2，﹣1）
【分析】直線（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0化為m（x﹣2y﹣3）+（2x+y+4）＝0，令，解出即可．
【解答】解：直線（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0化為m（x﹣2y﹣3）+（2x+y+4）＝0，
令，解得x＝﹣1，y＝﹣2．
因此不論實數(shù)m取何值，直線（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0都經(jīng)過定點（﹣1，﹣2）．
故選：B．
2．a(chǎn)，b滿足2a+b＝2，則直線ax+2y+b＝0必過定點（　　）
A．（0，2﹣2a） B．（1，2） C．（2，2） D．（2，﹣1）
【分析】根據(jù)條件方程2a+b＝2化為a×2+2×（﹣1）+b＝0，即可得出直線ax+2y+b＝0恒過定點．
【解答】解：∵2a+b＝2，∴a×2+2×（﹣1）+b＝0，
∴直線ax+2y+b＝0恒過定點（2，﹣1）．
故選：D．
3．不論k為何值，直線（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）＝0恒過的一個定點是（　　）
A．（0，0） B．（2，3） C．（3，2） D．（﹣2，3）
【分析】方法1：不論k為何值直線恒過定點，即跟參數(shù)k無關(guān)，原直線方程可整理為（2x﹣y﹣1）k﹣（x﹣2y+4）＝0，k的系數(shù)為0，解方程組即可．
方法2：因為是選擇題，跟k無關(guān)，不妨取兩個特殊值，確定兩條直線求交點即可．
【解答】解：方法1：直線方程（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）＝0
變形為（2x﹣y﹣1）k﹣（x﹣2y+4）＝0
∵直線過定點，與k無關(guān)
∴
解得 故選B
方法2：（特殊值法）
無論k取何值，不妨取k＝，得y＝3
取k＝2，得x＝2
而直線x＝2與y＝3的交點為（2，3）
故選：B．
4．直線l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0恒過定點（　?。?br /> A．（﹣1，1） B．（1，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，1）
【分析】直線l化為：（x﹣y﹣2）k+x+y＝0，由此能求出直線l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0恒過定點（1，﹣1）．
【解答】解：∵直線l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0，
∴直線l：（x﹣y﹣2）k+x+y＝0，
∴，
解得x＝1，y＝﹣1，
∴直線l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0恒過定點（1，﹣1）．
故選：B．
5．已知m∈R，過定點A的動直線mx+y＝0和過定點B的動直線x﹣my﹣m+3＝0交于點P，則的取值范圍是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】可得直線分別過定點（0，0）和（﹣3，﹣1）且垂直，可得|PA|2+|PB|2＝10．三角換元后，由三角函數(shù)的知識可得．
【解答】解：由題意可知，動直線mx+y＝0經(jīng)過定點A（0，0），
動直線x﹣my﹣m+3＝0即﹣m（y+1）x+3＝0，經(jīng)過點定點B（﹣3，﹣1），
∵動直線mx+y＝0和過定點B的動直線x﹣my﹣m+3＝0滿足m×1+1×（﹣m）＝0，∴兩直線始終垂直，
P又是兩條直線的交點，∴PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝10．
設(shè)∠ABP＝θ，則|PA|＝sinθ，|PB|＝cosθ，
由|PA|≥0且|PB|≥0，可得θ∈[0，]
則＝sinθ+?cosθ＝2sin（），
∵θ+∈[，]，∴sin（），
∴2sin（），2]，
故選：D．
6．已知直線（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0恒過定點P（m，n），若正實數(shù)a，b滿足+＝1，則a+b的最小值為（　?。?br /> A．9 B．8 C．7 D．6
【分析】直線（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0化為：k（x+y﹣5）+x﹣y﹣3＝0，令，解得此直線恒過定點P（4，1），可得m，n．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．
【解答】解：直線（k+1）x+（k﹣1）y﹣5k﹣3＝0化為：k（x+y﹣5）+x﹣y﹣3＝0，
令，解得x＝4，y＝1．
∴此直線恒過定點P（4，1），即m＝4，n＝1．
∵正實數(shù)a，b滿足+＝1，∴+＝1．
則a+b＝（a+b）（+）＝5++≥5+2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2b＝6時取等號．
∴a+b的最小值為9．
故選：A．
7．不論m為何值，直線（m﹣2）x﹣y+3m+2＝0恒過定點（　　）
A．（3，8） B．（8，3） C．（﹣3，8） D．（﹣8，3）
【分析】將直線的方程（m﹣2）x﹣y+3m+2＝0是過某兩直線交點的直線系，故其一定通過某個定點，將其整理成直線系的標準形式，求兩定直線的交點此點即為直線恒過的定點．
【解答】解：直線（m﹣2）x﹣y+3m+2＝0可為變?yōu)閙（x+3）+（﹣2x﹣y+2）＝0
令 解得：
故不論m為何值，直線（m﹣2）x﹣y+3m+2＝0恒過定點（﹣3，8）
故選：C．
8．已知直線kx﹣y+1﹣k＝0恒過定點A，且點A在直線mx+ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）上，則mn的最大值為（　?。?br /> A． B． C．2 D．4
【分析】把直線方程整理成點斜式，求得A點的坐標，代入直線mx+ny﹣1＝0中，求得m+n的值，最后根據(jù)基本不等式求得mn的最大值．
【解答】解：整理直線方程得y＝k（x﹣1）+1，
∴點A的坐標為（1，1），
∵點A在直線mx+ny﹣1＝0（m，n＞0）上，
∴m+n﹣1＝0，即m+n＝1，
∵m＞0，n＞0，
∴m+n≥2，m＝n時取等號，
∴mn≤，
即mn的最大值為，
故選：B．
9．已知直線ax+y+a+1＝0，不論a取何值，該直線恒過的定點是（　?。?br /> A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，1） D．（1，﹣1）
【分析】由直線ax+y+a+1＝0變形為a（x+1）+y+1＝0，令，解得即可．
【解答】解：由直線ax+y+a+1＝0變形為a（x+1）+y+1＝0，
令，解得x＝﹣1，y＝﹣1，
∴該直線過定點（﹣1，1），
故選：A．
10．當(dāng)a為任意實數(shù)時，直線（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0恒過的定點是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（1，﹣） D．（﹣2，0）
【分析】直線過定點，說明直線（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0是直線系方程，先求出定點P即得．
【解答】解：當(dāng)a為任意實數(shù)時，直線（a﹣1）x﹣y+2a+1＝0恒過定點P，
則直線可化為（x+2）a+（﹣x﹣y+1）＝0，
對于a為任意實數(shù)時，
此式恒成立有
得，
故定點坐標是（﹣2，3）．
故選：B．
11．直線y+2＝k （x+1）恒過點（　?。?br /> A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（1，2）
【分析】直接由直線的點斜式方程可得．
【解答】解：∵直線y+2＝k （x+1），
∴由直線的點斜式方程可知直線恒過點（﹣1，﹣2）．
故選：C．
12．設(shè)直線2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0過定點P，則點P的坐標為（　?。?br /> A．（3，0） B．（0，2） C．（0，3） D．（2，0）
【分析】對于任意實數(shù)k，直線2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0恒過定點，則與k的取值無關(guān)，則將方程轉(zhuǎn)化為（y﹣2）k+（2x﹣3y+6）＝0．讓k的系數(shù)和常數(shù)項為零即可．
【解答】解：方程2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0可化為（y﹣2）k+（2x﹣3y+6）＝0，
∵對于任意實數(shù)k，當(dāng)時，直線2x+（k﹣3）y﹣2k+6＝0恒過定點，
由當(dāng)，得 x＝0，y＝2．
故定點坐標是（0，2）．
故選：B．
13．已知是k∈R，直線y﹣3＝k（x+2）總經(jīng)過點（　?。?br /> A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（﹣2，0） D．（0，3）
【分析】利用直線的點斜式方程進行分析求解即可．
【解答】解：直線y﹣3＝k（x+2），
當(dāng)x＝﹣2時，y＝3，
故直線y﹣3＝k（x+2）總經(jīng)過點（﹣2，3）．
故選：B．
14．直線y＝ax+a﹣1（a∈R）所過定點的坐標為（　?。?br /> A．（﹣1，﹣1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣1） D．（1，1）
【分析】先分離參數(shù)，再令參數(shù)的系數(shù)等于零，求得x、y的值，可得直線所過定點的坐標．
【解答】解：直線y＝ax+a﹣1（a∈R），即 a（x+1）﹣y﹣1＝0，令x+1＝0，求得x＝﹣1，y＝﹣1，
可得直線所過定點的坐標為（﹣1，﹣1），
故選：A．
二．填空題（共18小題）
15．已知直線y＝kx+2k+1，則直線恒經(jīng)過的定點　（﹣2，1）　．
【分析】將直線化簡成點斜式的形式得：y﹣1＝k（x+2），可得直線的斜率為k且經(jīng)過定點（﹣2，1），從而得到答案．
【解答】解：將直線y＝kx+2k+1化簡為點斜式，可得y﹣1＝k（x+2），
∴直線經(jīng)過定點（﹣2，1），且斜率為k．
即直線y＝kx+2k+1恒過定點（﹣2，1）．
故答案為：（﹣2，1）．
16．如果對任何實數(shù)k，直線（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k＝0都過一個定點A，那么點A的坐標是　（﹣1，2）　．
【分析】由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k＝0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）＝0，進而有x﹣2y+5＝0且3x+y+1＝0，由此即可得到結(jié)論．
【解答】解：由（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k＝0可得3x+y+1+k（x﹣2y+5）＝0
∴x﹣2y+5＝0且3x+y+1＝0
∴x＝﹣1，y＝2
∴對任何實數(shù)k，直線（3+k）x+（1﹣2k）y+1+5k＝0都過一個定點A（﹣1，2）
故答案為：（﹣1，2）
17．直線y＝kx+3k+1經(jīng)過的定點為 　（﹣3，1）　．
【分析】根據(jù)題意，將直線的方程變形為點斜式形式，分析可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，直線y＝kx+3k+1，變形可得y﹣1＝k（x+3），
恒過定點（﹣3，1），
故答案為：（﹣3，1）．
18．直線l1：2mx+（m﹣2）y+4＝0（m∈R）恒過定點?。ī?，2）??；若過原點作直線l2∥l1，則當(dāng)直線l1與l2的距離最大時，直線l2的方程為　x﹣2y＝0　．
【分析】直接由直線系方程求直線l1所過定點P；求出OP的斜率，利用兩直線垂直與斜率的關(guān)系得到直線l2的斜率，則方程可求．
【解答】解：由2mx+（m﹣2）y+4＝0，得m（2x+y）﹣2y+4＝0，
聯(lián)立，解得．
∴直線l1過定點P（﹣1，2）；
∵直線l2過原點，
∴當(dāng)直線l1與l2的距離最大時，直線l2的斜率為k＝，
則直線l2的方程為y＝，即x﹣2y＝0．
故答案為：（﹣1，2）；x﹣2y＝0．
19．已知直線ax+y+a+2＝0恒經(jīng)過一個定點，則過這一定點和原點的直線方程是　y＝2x　．
【分析】由直線ax+y+a+2＝0，可得a（x+1）+（y+2）＝0，從而可得定點坐標，進而可求直線方程．
【解答】解：由直線ax+y+a+2＝0，可得a（x+1）+（y+2）＝0
令，可得x＝﹣1，y＝﹣2
∴直線ax+y+a+2＝0恒經(jīng)過一個定點（﹣1，﹣2），
∴過這一定點和原點的直線方程是，即y＝2x
故答案為：y＝2x．
20．已知直線l的方程為（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，其中m∈R．求出當(dāng)m變化時，點Q（3，4）到直線l的距離的最大值為　2　．
【分析】根據(jù)題意，將直線l的方程變形為m（2y﹣x+3）+2x+y+4＝0，則有，解出x、y的值，即可得直線l恒過定點（﹣1，﹣2），設(shè)M（﹣1，﹣2），求出|MQ|的值，又由點Q（3，4）到直線l的距離的最大值為|MQ|，即可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，設(shè)Q（3，4）到直線l的距離為d，
直線l的方程為（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，變形可得m（2y﹣x+3）+2x+y+4＝0，
則有，解可得，則直線l恒過定點（﹣1，﹣2），
設(shè)M（﹣1，﹣2），又由Q（3，4），
則|MQ|＝＝2，
而d≤|MQ|，即點Q（3，4）到直線l的距離的最大值為2，
故答案為：2．
21．已知直線l：kx﹣y+1﹣2k＝0（k∈R）過定點P，則點P的坐標為　（2，1）　．
【分析】kx﹣y+1﹣2k＝0，化為y﹣1＝k（x﹣2），即可得出直線經(jīng)過的定點．
【解答】解：kx﹣y+1﹣2k＝0，化為y﹣1＝k（x﹣2），
∵k∈R，∴，解得x＝2，y＝1．
∴點P的坐標為（2，1）．
故答案為（2，1）．
22．已知直線l：（2k﹣1）x+（2k+3）y﹣k＝0，則當(dāng)k變化時，直線l恒過定點　?。?br /> 【分析】直接利用恒過定點的直線系建立方程組，進一步求出交點的坐標．
【解答】解：直線方程（2k﹣1）x+（2k+3）y﹣k＝0可化為k（2x+2y﹣1）﹣x+3y＝0，
因為直線所過的定點與k的取值無關(guān)，
所以，
解得，
所以直線恒過定點．
故答案為：．
23．直線y＝k（x+3）﹣2與直線y＝﹣x+1的交點在第一象限，則斜率k的取值范圍是?。ǎ?）?。?br /> 【分析】聯(lián)立方程求出兩直線的交點坐標，根據(jù)交點在第一象限這一條件來確定k的取值范圍即可．
【解答】解：聯(lián)立，解之可得交點（，），
由題意可得，，
解之可得＜k＜1，故k的取值范圍是（，1）
故答案為：（，1）
24．方程（a﹣1）x﹣ay+3a﹣1＝0所表示的直線恒過定點?。ī?，2）?。?br /> 【分析】分離a，得到關(guān)于x，y的方程組，求出定點的坐標即可．
【解答】解：方程（a﹣1）x﹣ay+3a﹣1＝0，
即 a（x﹣y+3）﹣（x+1）＝0，
由，解得定點坐標為（﹣1，2），
故答案為：（﹣1，2）．
25．不論m為何數(shù)，直線（m﹣1）x+（2m﹣3）y+m＝0恒過定點 ?。ī?，1）?。?br /> 【分析】將直線方程化為m（x+2y+1）+（﹣x﹣3y）＝0，解方程組，可得所求定點．
【解答】解：直線（m﹣1）x+（2m﹣3）y+m＝0即為m（x+2y+1）+（﹣x﹣3y）＝0，
可得x+2y+1＝0，且﹣x﹣3y＝0，
解得x＝﹣3，y＝1，
所以直線恒過定點（﹣3，1）．
故答案為：（﹣3，1）．
26．直線（3λ+1）x+（2﹣λ）y+4λ﹣1＝0恒過定點 ?。ī?，1）?。?br /> 【分析】先分離參數(shù)，再令參數(shù)的系數(shù)等于零，可得定點坐標．
【解答】解：直線（3λ+1）x+（2﹣λ）y+4λ﹣1＝0，即 λ（3x﹣y+4）+（x+2y﹣1）＝0，
顯然，它經(jīng)過直線3x﹣y+4＝0 和直線x+2y﹣1＝0的交點．
由，求得，
可得直線（3λ+1）x+（2﹣λ）y+4λ﹣1＝0恒過定點（﹣1，1），
故答案為：（﹣1，1）．
27．若直線l1：y＝k（x﹣6）﹣2與直線l2關(guān)于點（2，1）對稱，則直線l2恒過定點　（﹣2，4）　．
【分析】在直線l2恒上任意取一點A（x，y），根據(jù)題意以及直線關(guān)于某個點對稱的性質(zhì)，求得直線l2的方程，可得直線l2恒過定點的坐標．
【解答】解：在直線l2恒上任意取一點A（x，y），則點A關(guān)于點（2，1）的對稱點（4﹣x，2﹣y）在直線l1：y＝k（x﹣6）﹣2上，
故有2﹣y＝k（4﹣x﹣6）﹣2，即 kx﹣y+2k+4＝0，即 k（x+2）﹣y+4＝0，
令x+2＝0，求得x＝﹣2，y＝4，可得直線l2恒過定點（﹣2，4），
故答案為：（﹣2，4）．
28．設(shè)λ∈R，動直線l1：λx﹣y+λ＝0過定點A，動直線l2：x+λy﹣3﹣2λ＝0過定點B，若P為l1與l2的交點，則|PA|?|PB|的最大值為　10　．
【分析】先求出動直線l1：λx﹣y+λ＝0過定點A的坐標和動直線l2：x+λy﹣3﹣2λ＝0過定點B的坐標，由題意可知l1⊥l2，所以點P在以AB為直徑的圓上，所以|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝20≥2|PA||PB|，從而求出|PA||PB|≤10．
【解答】解：∵動直線l1：λx﹣y+λ＝0過定點A，∴點A（﹣1，0），
∵動直線l2：x+λy﹣3﹣2λ＝0過定點B，∴點B（3，2），
由題意可知l1⊥l2，∴點P在以AB為直徑的圓上，
∴|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝20≥2|PA|?|PB|，
∴|PA||PB|≤10，當(dāng)且僅當(dāng)|PA|＝|PB|＝時取等號，
故答案為：10．
29．直線（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0，不管m怎樣變化該直線恒過定點M，則M的坐標為?。ī?，﹣2）　．
【分析】把已知方程變形，化為m（x﹣2y﹣3）+2x+y+4＝0，聯(lián)立，求解得答案．
【解答】解：由（m+2）x﹣（2m﹣1）y﹣（3m﹣4）＝0，得
mx+2x﹣2my+y﹣3m+4＝0，即m（x﹣2y﹣3）+2x+y+4＝0．
聯(lián)立，解得．
∴M的坐標為（﹣1，﹣2）．
故答案為：（﹣1，﹣2）．
30．已知實數(shù)m，n滿足2m﹣n＝1，則直線mx﹣3y+n＝0必過定點 ?。ī?，）　．
【分析】將n＝2m﹣1代入直線方程進行化簡，由求解即可．
【解答】解：因為2m﹣n＝1，
則n＝2m﹣1，
代入方程可得，mx﹣3y+2m﹣1＝0，即（x+2）m+（﹣3y﹣1）＝0，
則，解得x＝﹣2，y＝，
所以直線mx﹣3y+n＝0必過定點（﹣2，）．
故答案為：（﹣2，）．
31．已知直線l：kx﹣y+1﹣3k＝0，則直線l過定點?。?，1）　，當(dāng)k變動時，原點到直線l的距離的最大值為　?。?br /> 【分析】現(xiàn)在直線的方程中分離參數(shù)，再令參數(shù)的系數(shù)等于零，求得x、y的值，可得直線l過定點的坐標．當(dāng)直線和OM垂直時，原點到直線l的距離的最大，為OM線段的長度，計算求得結(jié)果．
【解答】解：直線l：kx﹣y+1﹣3k＝0，即直線l：k（x﹣3）﹣y+1＝0，令x﹣3＝0，求得x＝3，y＝1，
可得直線l過定點M（3，1）．
當(dāng)直線和OM垂直時，原點到直線l的距離的最大，為OM線段的長度，即＝，
故答案為：（3，1）；．
32．不論m為何實數(shù)，直線x﹣my﹣1+2m＝0恒過一個定點，則這個定點的坐標為?。?，2）?。?br /> 【分析】先分離參數(shù)，再令參數(shù)的系數(shù)等于零，求得x、y的值，可得這個定點的坐標．
【解答】解：直線x﹣my﹣1+2m＝0，即 x﹣1+m（2﹣y）＝0，令y＝2，求得x＝1，可得它恒過一個定點（1，2），
故答案為：（1，2）．
三．解答題（共7小題）
33．已知一條動直線3（m+1）x+（m﹣1）y﹣6m﹣2＝0，
（1）求證：直線恒過定點，并求出定點P的坐標；
（2）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，是否存在直線滿足下列條件：
①△AOB的周長為12；
②△AOB的面積為6．
若存在，求出方程；若不存在，請說明理由．
（3）若直線與x、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，當(dāng)PA+PB取最小值時，求直線的方程．
【分析】（1）整理直線方程得（3x+y﹣6）m+3x﹣y﹣2＝0．由3x+y﹣6＝0且3x﹣y﹣2＝0可求；
（2）設(shè)直線的方程，滿足①可得，聯(lián)立可解a，b，即可得方程；若滿足②，可得，同樣可得方程，它們公共的方程即為所求．
（3）利用直線的傾斜角表示PA+PB，利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性可求．
【解答】解：（1）整理直線方程得（3x+y﹣6）m+3x﹣y﹣2＝0．由3x+y﹣6＝0且3x﹣y﹣2＝0可得x＝，y＝2，
故直線恒過定點P（，2），
（2）設(shè)直線方程為，（a＞0，b＞0），
若滿足條件（1），則a+b+＝12，①
又∵直線過點P（，2），
，②
由①②可得5a2﹣32a+48＝0，
解得，或．
∴所求直線的方程為或＝1，
即3x+4y﹣12＝0或15x+8y﹣36＝0．
若滿足條件②，則ab＝12，③
由題意得，＝1，④
由③④整理得a2﹣6a+8＝0，
解得a＝4，b＝3，或a＝2，b＝6，（舍），
∴所求直線的方程為，
即3x+4y﹣12＝0或3x+y﹣6＝0．
綜上所述：存在同時滿足①②兩個條件的直線方程，為3x+4y﹣12＝0，
（3）由題意可知直線的傾斜角，
所以PA＝，PB＝﹣，
所以PA+PB＝﹣＝，
令t＝cosα﹣sinα＝，
由可得，cos（），t，
PA+PB＝﹣＝＝在[﹣，﹣1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)t＝﹣即時，上式取得最小值4，此時直線方程為y﹣2＝﹣（x﹣），
化簡可得，直線方程為3x+3y﹣10＝0．
34．第一象限內(nèi)點P在x軸、y軸上的投影分別是A和B，若矩形APBO的周長為定值2m，試證明：過P垂直于AB的直線PC恒過定點，并求出頂點坐標．

【分析】設(shè)出P的坐標，求出PC的方程，判斷求解即可．
【解答】解：設(shè)A（a，0），則P（a，m﹣a），a∈（0，m），
則B（0，m﹣a），
PC的斜率為：，
PC的方程為：y﹣（m﹣a）＝（x﹣a），
即：（m﹣a）y﹣（m﹣a）（m﹣a）﹣a（x﹣a）＝0，
即：my﹣ay﹣m2+2am﹣ax＝0，
可得my﹣m2﹣a（x+y﹣2m）＝0，
由，可得，
直線PC恒過（m，m）．
35．已知xOy平面上的直線l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R．
（1）直線l恒過定點的坐標；
（2）直線l與x軸負半軸和y軸正半軸坐標軸圍成的三角形面積為，求k的值．
【分析】（1）在直線方程中分離參數(shù)，再令參數(shù)的系數(shù)等于零，求得x、y的值，可得直線l恒過定點的坐標．
（2）先求出直線l與x軸負半軸和y軸正半軸的交點，再根據(jù)它與坐標軸圍成的三角形面積為，求得k的值．
【解答】解：（1）直線l：kx﹣y+1+2k＝0，k∈R，即 k（x+2）﹣y+1＝0，
令x+2＝0，求得x＝﹣2，y＝1，該直線經(jīng)過點（﹣2，1）．
（2）直線l：kx﹣y+1+2k＝0與x軸負半軸交點為（﹣，0），和y軸正半軸交點為（0，1+2k），
故1+2k＞0，且﹣＜0，解得k＞0．
直線l坐標軸圍成的三角形面積為 ?（）?（1+2k）＝，即 4k2﹣5k+1＝0，
求得k＝1，或k＝．
36．已知直線l：（2a﹣b）x+（a+b）y+a﹣b＝0及點P（1，3）．
（1）證明直線l過某定點，并求該定點的坐標；
（2）當(dāng)點P到直線l的距離最大時，求直線l的方程．
【分析】（1）變形后令a，b的系數(shù)為0，解方程組可得；
（2）當(dāng)直線l垂直于直線PA時，點P到直線l的距離最大．
【解答】解：（1）證明：直線l的方程可化為 a（2x+y+1）+b（﹣x+y﹣1）＝0，
由，
得，所以直線l恒過定點（﹣，）．
（2）由（1）知直線l恒過定點A（﹣，），
當(dāng)直線l垂直于直線PA時，點P到直線l的距離最大．
又直線PA的斜率k＝＝，所以直線l的斜率kl＝﹣．
故直線l的方程為y﹣＝﹣（x+），
即15x+24y+2＝0．
37．已知直線l：kx﹣y﹣3k+1＝0，k∈R．
（Ⅰ）證明：直線l恒過定點；
（Ⅱ）設(shè)O是坐標原點，A（﹣1，﹣1），若OA⊥l，求k的值．
【分析】（1）由直線l：kx﹣y﹣3k+1＝0，變形為：k（x﹣3）＝y(tǒng)﹣1，結(jié)合直線方程的點斜式可求．
（2）先求kOA，然后根據(jù)直線垂直與斜率的關(guān)系即可求解．
【解答】解：（1）由直線l：kx﹣y﹣3k+1＝0，變形為：k（x﹣3）＝y(tǒng)﹣1，
結(jié)合直線方程的點斜式可知，直線l恒過定點A（3，1），
（2）∵OA⊥l，且kOA＝1，
∴直線l：kx﹣y﹣3k+1＝0的斜率k＝﹣1．
38．不論m、n取什么值，直線（3m﹣n）x+（m+2n）y﹣n＝0必過一定點，試證明，并求此定點．
【分析】直線（3m﹣n）x+（m+2n）y﹣n＝0化為：（3x+y）m﹣（x﹣2y+1）n＝0，令，解出即可得出．
【解答】證明：直線（3m﹣n）x+（m+2n）y﹣n＝0化為：（3x+y）m﹣（x﹣2y+1）n＝0，
令，解得，
因此在直線必過一定點，
39．已知直線l的方程為（m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，m∈R．
（1）求證：直線l恒過定點P，并求出定點P的坐標；
（2）若直線l與直線3x﹣4y+2＝0平行，求m的值．
【分析】（1）令參數(shù)的系數(shù)等于零可得P點坐標；（2）兩直線平行得到兩斜率相等進而建立等式求解m．
【解答】解：（1）由（m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，化簡得
m（x+y﹣10）+（﹣x+3y+6）＝0，
令，
故直線l恒過定點P（9，1）．
（2）由題得 （m﹣1）x+（m+3）y+6﹣10m＝0，與直線 3x﹣4y+2＝0 平行，
∴3（m+3）+4（m﹣1）＝0，即 ．

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