1. 若向量{a→，b→，c→}是空間的一個(gè)基底，則一定可以與向量p→=2a→+b→，q→=2a→?b→構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量是（ ）
A.a→B.b→C.c→D.a→+b→

2. 如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若A1B1→=a→，A1D1→=b→，A1A→=c→．則下列向量中與B1M→相等的向量是( )

A.?12a→+12b→+c→B.12a→+12b→+c→
C.12a→?12b→+c→D.?12a→?12b→+c→

3. 若向量MA→，MB→，MC→的起點(diǎn)M和終點(diǎn)A，B，C互不重合，且無(wú)三點(diǎn)共線，則能使向量MA→，MB→，MC→成為空間一個(gè)基底的關(guān)系式是（ ）
A.OM→=13OA→+13OB→+13OC→
B.MA→=MB→+MC→
C.OM→=OA→+OB→+OC→
D.MA→=2MB→?MC→

4. 如圖所示，在四面體O?ABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且＝2，N為BC的中點(diǎn)，則＝（ ）

A.-+B.-++C.D.

5. 在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，向量AB→,AD→,AA1→兩兩的夾角均為60°，且|AB→|=1，|AD→|=2，|AA1→|=3，則|AC1→|等于( )
A.5B.6C.4D.8
二、填空題

在四面體O?ABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則OE→=________（用a，b，c表示）

已知{，，}是空間的一個(gè)單位正交基底，{+，-，}是空間的另一個(gè)基底，若向量在基底{，，}下表示為＝3+5+9，則在基底，{+，-，3}下可表示為________．

在四棱錐P?ABCD中，ABCD為平行四邊形，AC與BD交于O，G為BD上一點(diǎn)，BG＝2GD，＝，＝，＝，試用基底{，，}表示向量＝________．
三、解答題

如圖所示，正方體OABCO′A′B′C′，且＝，＝，＝．

（1）用，，表示向量，；

（2）設(shè)G，H分別是側(cè)面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用，，表示．

如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，＝-，＝，設(shè)＝，＝，＝，試用，，表示．

四、選擇題

已知，，是不共面的三個(gè)向量，則下列向量組中，不能構(gòu)成一個(gè)基底的一組向量是（ ）
A.2，-，+2B.2，-，+2
C.，2，-D.，+，-

給出下列命題，其中是真命題的是（ ）
A.若{，，}可以作為空間的一個(gè)基底，與共線，≠，則{，，}也可以作為空間的一個(gè)基底
B.已知向量 // ，則，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底
C.已知A，B，M，N是空間中的四點(diǎn)，若，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則A，B，M，N四點(diǎn)共面
D.已知{，，}是空間的一個(gè)基底，若＝+，則{，，}也是空間的一個(gè)基底
五、填空題

已知空間的一個(gè)基底{，，}，＝-+，＝x+y+，若與共線，則x＝________，y＝________．

已知e→1，e→2是空間單位向量，e→1?e→2=12，若空間向量b→滿足b→?e→1=2，b→?e→2=52，且對(duì)于任意x，y∈R，|b→?(xe1→+ye2→)|≥|b→?(x0e1→+y0e2→)|=1(x0, y0∈R)，則x0=________，y0=________，|b→|=________．

在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)＝，＝，＝，E，F(xiàn)分別是AD1，BD的中點(diǎn)．

（1）用向量，，表示，；

（2）若＝x+y+z，求實(shí)數(shù)x，y，z的值．
參考答案與試題解析
人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)《1.2 空間向量基本定理》2021年同步練習(xí)卷（5）
一、選擇題
1.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
空間向量的基本定理及其意義
【解析】
空間向量的一組基底，要滿足不為零向量，且三個(gè)向量不共面，逐個(gè)判斷即可．
【解答】
解：由已知及向量共面定理，結(jié)合p→+q→=2a→+b→+2a→?b→=4a→，
可知向量p→，q→，a→共面，同理可得p→?q→=2a→+b→?2a→+b→=2b→，
故向量p→，q→，b→共面，故向量a→，b→都不可能與p→，q→構(gòu)成基底，
又可得a→+b→=34(2a→+b→)?14(2a→?b→)=34p→?14q→，
故向量a→+b→也不可能與p→，q→構(gòu)成基底，只有c→符合題意，
故選C
2.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義
相等向量與相反向量
【解析】
由題意可得B1M→=B1B→+BM→=A1A→+12B1D1→=c→+12[b→?a→]，化簡(jiǎn)得到結(jié)果．
【解答】
解：由題意可得B1M→=B1B→+BM→=A1A→+12BD→
=A1A→+12B1D1→=c→+12(A1D1→?A1B1→)
=c→+12(b→?a→)=?12a→+12b→+c→，
故選A．
3.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
平面向量的基本定理及其意義
【解析】
A．由OM→=13OA→+13OB→+13OC→，13+13+13=1，利用平面向量基本定理可知：點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)；
B．由MA→=MB→+MC→，利用平面向量基本定理可知：向量MA→，MB→，MC→共面；
C．由OM→=OA→+OB→+OC→，且向量MA→，MB→，MC→的起點(diǎn)M與終點(diǎn)A、B、C互不重合且無(wú)三點(diǎn)共線，由空間平行六面體法則即可判斷出；
D．由MA→=2MB→?MC→可知：向量MA→，MB→，MC→共面．
【解答】
解：A．∵ OM→=13OA→+13OB→+13OC→，13+13+13=1，
∴ 點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，
因此向量MA→，MB→，MC→不能構(gòu)成一個(gè)空間基底；
B．∵ MA→=MB→+MC→，
∴ 向量MA→，MB→，MC→共面，不能構(gòu)成一個(gè)空間基底；
C．由OM→=OA→+OB→+OC→，且向量MA→，MB→，MC→的起點(diǎn)M與終點(diǎn)A、B、C互不重合且無(wú)三點(diǎn)共線，
由空間平行六面體法則可知：
OM是以點(diǎn)O為頂點(diǎn)的對(duì)角線，
∴ 向量MA→，MB→，MC→能構(gòu)成一個(gè)空間基底；
D．由MA→=2MB→?MC→可知：向量MA→，MB→，MC→共面，
因此不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底．
綜上可得：只有C正確．
故選：C．
4.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
平面向量的基本定理
【解析】
根據(jù)向量加法和減法的三角形法則得出．
【解答】
連接ON，
∵ N是BC的中點(diǎn)，∴ ＝，
∵ ＝2，∴ ＝，
∴ ＝＝-＝-++，
5.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
平面向量的夾角
向量在幾何中的應(yīng)用
【解析】
由題設(shè)知AC1→=AB→+BC→+CC1→，故AC1→2=(AB→+BC→+CC1→)2，由此能求出|AC1→|．
【解答】
解：如圖，
∵ 在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，
向量AB→、AD→、AA1→兩兩的夾角均為60°，
且|AB→|=1，|AD→|=2，|AA1→|=3，
∴ AC1→=AB→+BC→+CC1→，
∴ AC1→2=(AB→+BC→+CC1→)2
=AB→2+BC→2+CC1→2+2AB→?BC→+
2AB→?CC1→+2BC→?CC1→
=1+4+9+2×1×2×cs60°+
2×1×3×cs60°+2×2×3×cs60°
=25，
∴ |AC1→|=5．
故選A．
二、填空題
【答案】
12a→+14b→+14c→
【考點(diǎn)】
空間向量的加減法
中點(diǎn)坐標(biāo)公式
【解析】
利用D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，OE→=12(OA→+OD→)，OD→=12(OB→+OC→)，化簡(jiǎn)可得結(jié)果．
【解答】
解：在四面體O?ABC中，OA→=a，OB→=b，OC→=c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，
∴ OE→=12(OA→+OD→)=OA→2+OD→2=12a→+12×12(OB→+OC→)=12a→+14(b→+c→)=12a→+14b→+14c→，
故答案為：12a→+14b→+14c→．
【答案】
＝4（+）-（-）+3(3）
【考點(diǎn)】
空間向量的基本定理及其意義
空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
【解析】
設(shè)＝x（+）+y（-）+z(3），利用向量相等列方程組求出x、y、z的值即可．
【解答】
由題意知，＝3+9，
設(shè)＝x（+-）+z(2），
所以＝(x+y)+3z，
由向量相等得，
解得；
所以在基底{+，-，4
＝4（+）-（-）．
【答案】
【考點(diǎn)】
空間向量的基本定理及其意義
空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
【解析】
由題意畫出圖形，然后利用向量加減法的三角形法則求得．
【解答】
如圖，
＝
＝．
三、解答題
【答案】
正方體OABC?O′A′B′C′，且＝，＝，＝．
所以，
．
根據(jù)三角形法則：連接OG和OH，
【考點(diǎn)】
空間向量的基本定理及其意義
空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
【解析】
（1）直接利用三角形法則和向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果．
（2）直接利用三角形法則和向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】
正方體OABC?O′A′B′C′，且＝，＝，＝．
所以，
．
根據(jù)三角形法則：連接OG和OH，
【答案】
連接AN，
∴ ＝+，
∵ ＝-（+），＝+＝+（-）＝+，
∴ ＝-（++＝-++．
【考點(diǎn)】
空間向量的基本定理及其意義
空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
【解析】
根據(jù)向量的加減的幾何意義即可求出．
【解答】
連接AN，
∴ ＝+，
∵ ＝-（+），＝+＝+（-）＝+，
∴ ＝-（++＝-++．
四、選擇題
【答案】
A,B,D
【考點(diǎn)】
空間向量的基本定理及其意義
空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
平面向量的基本定理
【解析】
分別判斷向量是否共面即可．
【解答】
A，因?yàn)?＝（-（+8）、-、+2，故它們不能構(gòu)成一個(gè)基底；
B，因?yàn)?＝（-（+2）、-、+2，故它們不能構(gòu)成一個(gè)基底；
C，因?yàn)檎也坏綄?shí)數(shù)λ、μ，使+μ（-，故、8、-三個(gè)向量不共面；
對(duì)于D，因?yàn)椋剑?（-），得、+、-三個(gè)向量共面，
【答案】
A,B,C,D
【考點(diǎn)】
命題的真假判斷與應(yīng)用
【解析】
直接利用向量的基底的定義，向量的共線，共面向量的充要條件判定A、B、C、D的結(jié)果．
【解答】
對(duì)于選項(xiàng)A：若{，，}可以作為空間的一個(gè)基底，與，≠，則{，，，真命題．
對(duì)于選項(xiàng)B：已知向量 // ，則，與任何向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底．
對(duì)于選項(xiàng)C：已知A，B，M，N是空間中的四點(diǎn)，若，，，則A，B，M，真命題．
對(duì)于選項(xiàng)D：已知{，，}是空間的一個(gè)基底，若＝+，，}也是空間的一個(gè)基底．
五、填空題
【答案】
1,?1
【考點(diǎn)】
共線向量與共面向量
【解析】
由與共線，得存在實(shí)數(shù)λ，使，列出方程組能求出結(jié)果．
【解答】
因?yàn)榭臻g的一個(gè)基底{，，}，
＝-+，＝x+，與共線，
所以存在實(shí)數(shù)λ，使，
即-+＝λx+λ，
∴ ，解得．
【答案】
1,2,22
【考點(diǎn)】
空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
【解析】
由題意和數(shù)量積的運(yùn)算可得=π3，不妨設(shè)e1→=(12, 32, 0)，e2→=(1, 0, 0)，由已知可解b→=(52, 32, t)，可得|b→?(xe1→+ye2→|2=(x+y?42)2+34(y?2)2+t2，由題意可得當(dāng)x=x0=1，y=y0=2時(shí)，(x+y?42)2+34(y?2)2+t2取最小值1，由模長(zhǎng)公式可得|b→|．
【解答】
解：∵ e1→?e2→=|e1→||e2→|cs=cs=12，
∴ =π3，不妨設(shè)e1→=(12, 32, 0)，e2→=(1, 0, 0)，b→=(m, n, t)，
則由題意可知b→?e1→=12m+32n=2，b→?e2→=m=52，解得m=52，n=32，∴ b→=(52, 32, t)，
∵ b→?(xe1→+ye2→)=(52?12x?y, 32?32x, t)，
∴ |b→?(xe1→+ye2→|2=(52?12x?y)2+(32?32x)2+t2
=x2+xy+y2?4x?5y+t2+7=(x+y?42)2+34(y?2)2+t2，
由題意當(dāng)x=x0=1，y=y0=2時(shí)，(x+y?42)2+34(y?2)2+t2取最小值1，
此時(shí)t2=1，故|b→|=(52)2+(32)2+t2=22
故答案為：1；2；22
【答案】
如圖，＝+＝-+-＝--，
＝+＝+
＝-（+）+（+（-）．
＝（+）
＝（-+）
＝（-+--）
＝--，
∴ x＝，y＝-．
【考點(diǎn)】
數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角
平面向量的基本定理
【解析】
（1）如圖，＝+＝-+-，＝+＝+＝-（+）+（+），進(jìn)而得到答案；
（2）＝（+）＝（-+），結(jié)合＝x+y+z，可得實(shí)數(shù)x，y，z的值．
【解答】
如圖，＝+＝-+-＝--，
＝+＝+
＝-（+）+（+（-）．
＝（+）
＝（-+）
＝（-+--）
＝--，
∴ x＝，y＝-．

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊(cè)電子課本

1.2 空間向量基本定理

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