5.2 運動的合成與分解 【學習目標】1.知道什么是運動的合成與分解，理解合運動與分運動等有關(guān)物理量之間的關(guān)系.2.會確定互成角度的兩分運動的合運動的運動性質(zhì).3.會分析小船渡河問題．【知識要點】一、位移和速度的合成與分解1．合運動和分運動：一個物體同時參與兩種運動時，這兩種運動是分運動，而物體的實際運動叫做合運動．2．位移的合成與分解：一個物體同時發(fā)生兩個方向的分位移與這個物體的合位移的效果可以相互替代．由分位移求合位移叫做位移的合成；由合位移求分位移叫做位移的分解．位移的合成與分解遵循矢量合成的平行四邊形定則．3．速度的合成與分解：物體同時發(fā)生的兩個方向上的分速度與這個物體的合速度的效果也可以相互替代，速度的合成與分解也遵循平行四邊形定則．注：合運動與分運動的關(guān)系(1)等時性：合運動與分運動經(jīng)歷的時間相等，即同時開始，同時進行，同時停止．(2)獨立性：一個物體同時參與了幾個分運動，各分運動獨立進行、互不影響，因此在研究某個分運動時，就可以不考慮其他分運動，就像其他分運動不存在一樣．(3)等效性：各分運動的相應參量疊加起來與合運動的參量相同．3．合運動性質(zhì)的判斷分析兩個直線分運動的合運動的性質(zhì)時，應先根據(jù)平行四邊形定則，求出合運動的合初速度V0和合加速度a，然后進行判斷．(1)判斷是否做勻變速運動①若a＝0時，物體沿合初速度v0的方向做勻速直線運動．②若a≠0且a恒定時，做勻變速運動．③若a≠0且a變化時，做非勻變速運動．(2)判斷軌跡的曲直①若a與速度共線，則做直線運動．②若a與速度不共線，則做曲線運動．二、小船渡河問題小船渡河問題一般有渡河時間最短和航程最短兩類問題：圖31．關(guān)于最短時間，可根據(jù)運動等時性原理由船對靜水的分運動時間來求解，由于河寬一定，當船對靜水速度v1垂直河岸時，如圖3所示，垂直河岸方向的分速度最大，所以必有tmin＝.圖42．關(guān)于最短航程，一般考察水流速度v2小于船對靜水速度v1的情況較多，此種情況船的最短航程就等于河寬d，此時船頭指向應與上游河岸成θ角，如圖4所示，且cos θ＝；若v2＞v1，則最短航程s＝d，此時船頭指向應與上游河岸成θ′角，且cos θ′＝.三、關(guān)聯(lián)物體速度的分解繩、桿等連接的兩個物體在運動過程中，其速度通常是不一樣的，但兩者的速度是有聯(lián)系的(一般兩個物體沿繩或桿方向的速度大小相等)，我們稱之為“關(guān)聯(lián)”速度．解決此類問題的一般步驟如下：第一步：先確定合運動，物體的實際運動就是合運動．第二步：確定合運動的兩個實際作用效果，一是沿牽引方向的平動效果，改變速度的大?。欢茄卮怪庇跔恳较虻霓D(zhuǎn)動效果，改變速度的方向．第三步：按平行四邊形定則進行分解，作好運動矢量圖．第四步：根據(jù)沿繩或桿牽引方向的速度相等列方程．例如，小車通過跨過滑輪的繩牽引小船B，某一時刻繩與水平方向的夾角為θ，如圖所示．小船速度vB有兩個效果(兩個分運動)：一是沿繩方向的平動，二是垂直繩方向的轉(zhuǎn)動．將vB沿著這兩個方向分解，其中v1＝vBcos θ＝vA，v2＝vBsin θ.【題型分類】題型一、運動的合成與分解【例1】質(zhì)量m＝2 kg的物體在光滑水平面上運動，其分速度vx和vy0隨時間變化的圖線如圖(a)、(b)所示，求：(1)  物體所受的合外力；(2)物體的初速度；(3)t＝8 s時物體的速度；(4)t＝4 s內(nèi)物體的位移．解析　(1)物體在x方向： ax＝0；y方向：ay＝＝0.5 m/s2，根據(jù)牛頓第二定律：F合＝may＝1 N，方向沿y軸正方向．(2)由題圖可知vx0＝3 m/s，vy0＝0，則物體的初速度為v0＝3 m/s，方向沿x軸正方向．(3)由題圖知，t＝8 s時，vx＝3 m/s，vy＝4 m/s，物體的合速度為v＝＝5 m/s，設(shè)速度方向與x軸正方向的夾角為θ，則tan θ＝，θ＝53°，即速度方向與x軸正方向的夾角為53°.(4)t＝4 s內(nèi)，x＝vxt＝12 m，y＝ayt2＝4 m.物體的位移l＝≈12.6 m設(shè)位移方向與x軸正方向的夾角為α，則tan α＝＝，所以α＝arctan 即位移方向與x軸正方向的夾角為arctan .答案　(1)1 N，沿y軸正方向(2)3 m/s，沿x軸正方向(3)5 m/s，與x軸正方向的夾角為53°(4)12.6 m，與x軸正方向的夾角為arctan 【同類練習】1．在長約80cm-100cm一段封閉的玻璃管中注滿清水，水中放一個用紅蠟做成的小圓柱體（小圓柱體恰能在管中勻速上?。?，將玻璃管的開口端用膠塞塞緊，然后將玻璃管豎直倒置，在紅蠟燭勻速上浮的同時使玻璃管緊貼黑板面在水平方向上勻加速移動，你正對黑板面將看到紅蠟塊相對于黑板面的移動軌跡可能是下列選項中的（    ）【答案】C【解析】蠟塊參加了兩個分運動，豎直方向在管中以速度勻速上浮，水平方向向右勻加速直線運動，速度不斷變大，將與合成，如圖由于曲線運動的速度沿著曲線上該點的切線方向，又由于不變，不斷變大，故不斷變小，即切線方向與水平方向的夾角不斷變小，故C正確。2．關(guān)于運動的合成，下列說法中正確的是(　　)A．兩個直線運動的合運動，一定是直線運動B．兩個直線運動的合運動，可能是曲線運動C．兩個互成角度的勻速直線運動的合運動，一定是勻速直線運動D．兩個互成角度的勻加速直線運動的合運動，一定是勻加速直線運動答案　BC解析　兩個勻速直線運動的合成，就是其速度的合成，其合速度是確定的，等于兩個分速度的矢量和，加速度為零，即合力為零，故合運動一定是勻速直線運動，C對；兩個分運動的合加速度方向與合速度的方向不一定在同一直線上，既有可能做曲線運動，也有可能做直線運動，不是“一定”，而是“可能”，故A、D錯，B對．題型二、小船渡河問題例2　已知某船在靜水中的速率為v1＝4 m/s，現(xiàn)讓船渡過某條河，假設(shè)這條河的兩岸是理想的平行線，河寬為d＝100 m，河水的流動速度為v2＝3 m/s，方向與河岸平行．試分析：(1)欲使船以最短時間渡過河去，船的航向怎樣？最短時間是多少？到達對岸的位置怎樣？船發(fā)生的位移是多大？(2)欲使船渡河過程中的航行距離最短，船的航向又應怎樣？渡河所用時間是多少？解析　(1)根據(jù)運動的獨立性和等時性，當船在垂直河岸方向上的分速度v⊥最大時，渡河所用時間最短．設(shè)船頭指向上游且與上游河岸夾角為α，其合速度v與分運動速度v1、v2的矢量關(guān)系如圖所示．河水流速v2平行于河岸，不影響渡河快慢，船在垂直河岸方向上的分速度v⊥＝v1sin α，則船渡河所用時間為t＝.顯然，當sin α＝1即α＝90°時，v⊥最大，t最小，此時船身垂直于河岸，船頭始終垂直指向?qū)Π?，但船實際的航向斜向下游，如圖所示．渡河的最短時間tmin＝＝ s＝25 s船的位移為l＝tmin＝×25 m＝125 m船渡過河時到達正對岸的下游A處，其順水漂流的位移為x＝v2tmin＝3×25 m＝75 m.(2)由于v1＞v2，故船的合速度與河岸垂直時，船的航行距離最短．設(shè)此時船速v1的方向(船頭的指向)斜向上游，且與河岸成θ角，如圖所示，則cos θ＝＝，θ＝arccos .船的實際速度為v合＝＝ m/s＝ m/s 故渡河時間：故渡河時間：t′＝＝ s＝ s.【同類練習】 河寬為d，水流速度為，小汽艇在靜水中航行的速度為，且，如果小汽艇航向與河岸成角，斜向上游航行，求：（1）它過河需要多少時間？[來源:Z.xx.k.Com]（2）到達對岸的位置？（3）若以最短的時間渡河，航向應如何？（4）若要直達正對岸，航向又應怎樣？【解析】如圖， （1）根據(jù)分運動與合運動的獨立性和等時性，過河時間可按下列三種方法計算：        根據(jù)本題可知。    （2）如上圖，C點是O點正對岸上的一點，以v1 、v2 為鄰邊做平行四邊形，合速度的方向沿著OA ，則    （3）要用最短的時間過河，船過河所用的時間，可以看出，當即船頭指向正對岸時，最小。    （4）如果直達正對岸，即    ，    則有，即  。題型三、關(guān)聯(lián)物體的速度分解問題例3　如圖所示，做勻速直線運動的汽車A通過一根繞過定滑輪的長繩吊起一重物B，設(shè)重物和汽車的速度的大小分別為vB、vA，則(　　)A．vA＝vB  B．vA＜vBC．vA＞vB  D．重物B的速度逐漸增大解析　如圖所示，汽車的實際運動是水平向左的運動，它的速度vA可以產(chǎn)生兩個運動效果：一是使繩子伸長；二是使繩子與豎直方向的夾角增大，所以車的速度vA應有沿繩方向的分速度v0和垂直繩的分速度v1，由運動的分解可得v0＝vA cos α；又由于vB＝v0，所以vB＝v0，故C正確．因為隨著汽車向左行駛，α角逐漸減小，所以vB逐漸增大，故D正確．答案　CD【同類練習】1.如圖所示，中間有孔的物塊A套在光滑的豎直桿上，通過滑輪用不可伸長的輕繩將物體拉著勻速向上運動．則關(guān)于拉力F及拉力作用點的移動速度v的下列說法正確的是(　　)A．F不變、v不變B．F增大、v不變C．F增大、v增大D．F增大、v減小答案　D解析　設(shè)繩子與豎直方向上的夾角為θ，因為A做勻速直線運動，在豎直方向上合力為零，有：Fcos θ＝mg，因為θ增大，則F增大．物體A沿繩子方向上的分速度v＝v物cos ，因為θ增大，則v減?。?/span>D正確．【成果鞏固訓練】1.關(guān)于運動的合成和分解，下列說法正確的是A．合運動的速度一定大于兩個分運動的速度   B．合運動的時間一定大于分運動的時間C．兩個直線運動的合運動一定是直線運動     D．兩個勻速直線運動合運動一定是直線運動【答案】D【解析】試題分析：兩勻速直線運動的速度大小分別為V1、V2，則合速度V大小的范圍為|V1-V2|≤V≤V1+V2；合速度可以大于、等于、小于分速度；故A錯誤；合運動與分運動具有等時性，故B錯誤；平拋運動是曲線運動，其豎直分運動和水平分運動都是直線運動，故C錯誤；兩個勻速直線運動合運動一定是直線運動，D正確；2．兩個互相垂直的勻變速直線運動，初速度分別為V1和V2，加速度分別為a1和a2，它們的合運動軌跡(　     　)．A．軌跡一定是直線B．如果V1=0，V2=0，那么軌跡一定是曲線C．軌跡一定是曲線D．如果 ，那么軌跡一定是直線【答案】D【解析】當v1=v2=0，則將沿著合加速度方向，做勻加速直線運動，那么軌跡一定是直線，故B錯誤；如果v1≠0，v2≠0，當合初速度方向與合加速度方向共線時，則做直線運動，若兩者不共線時，則那么軌跡一定是曲線，故AC錯誤；當合速度的方向與合加速度的方向在同一條直線上時，即時，運動軌跡為直線，故D正確；故選D。3．如圖所示，跳傘員在降落傘打開一段時間以后，在空中做勻速運動．若跳傘員在無風時豎直勻速下落，著地速度大小是4.0 m/s.當有正東方向吹來的風，風速大小是3.0m/s，則跳傘員著地時的速度(　　)A．大小為5.0 m/s，方向偏西B．大小為5.0 m/s，方向偏東C．大小為7.0 m/s，方向偏西D．大小為7.0 m/s，方向偏東【答案】A【解析】將跳傘員的速度分解，豎直分速度還是4m/s，當水平分速度為3m/s，根據(jù)平行四邊形定則得，合速度為5m/s，方向偏西．故A正確，B、C錯誤．故選A．4．如圖所示，在水平地面上做勻速直線運動的汽車，通過定滑輪用繩子吊起一個物體，若汽車和被吊物體在同一時刻的速度分別為v1和v2，則下面說法正確的是(　　)A．物體做勻速運動，且v2＝v1B．物體做加速運動，且v2>v1C．物體做加速運動，且v2<v1D．物體做減速運動，且v2<v1【答案】C【解析】試題分析：小車的運動可分解為沿繩方向和垂直于繩的方向兩個運動，其中沿繩方向的運動與物體上升的運動速度相等．將汽車的運動分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向, 設(shè)兩段繩子夾角為，沿繩子方向的速度等于重物的速度大小重物的速度,所以,汽車向右勻速行駛,則增大,則增大,所以重物的速度增大,物體在做加速運動，故C正確.5．在寬度為d的河中，水流速度為v2，船在靜水中速度為v1（且v1<v2），船頭方向可以選擇，現(xiàn)讓該船開始渡河，則該船A．不管船頭與河岸夾角是多少，渡河時間和水速均無關(guān)B．過河的最短渡河時間為，此時需船頭垂直河岸，但不是垂直過河C．過河的最短位移是D．當最短位移過河時，船頭與河岸夾角為，，船身斜向下游過河【答案】ABC【解析】A. 船渡河的時間只由船沿著垂直于河岸方向的分速度決定，不管船頭與河岸夾角是多少，渡河時間和水速均無關(guān)，選項A正確；B. 當船頭垂直河岸時，船沿著垂直于河岸方向的分速度最大，此時過河的時間最短，為，但船的實際運動路徑不是垂直過河岸，選項B正確；CD. 因v1<v2，則船不能垂直于河岸渡河，當船的速度方向與合速度方向垂直時，船渡河的位移最短，由幾何關(guān)系可知，此時合速度的方向與河岸的夾角為α，，則渡河的最小位移是，此時船身斜向上游方向，選項C正確，D錯誤。6．一小船欲渡過寬為d的河流，船頭方向始終與河岸垂直，河水的流速與時間t的關(guān)系如圖甲所示，小船在靜水中的速度與時間t的關(guān)系如圖乙所示．設(shè)小船從t=0時開始出發(fā)，t=t0時恰好到達河對岸，則下列說法正確的是(　　)A．小船到達河對岸時的速度為B．小船過河的平均速度為C．小船到達河對岸時的位移為D．小船到達河對岸的過程中做勻變速運動【答案】AD【解析】船頭方向始終與河岸垂直，則渡河最短時間為t0，小船在靜水中做初速度為零的勻加速運動，當?shù)竭_河岸時速度為靜水中速度與水流速度的合成，即為，故A正確；
小船在靜水中做初速度為零的勻加速運動，水流速度不變，則小船過河的平均速度為，故B錯誤；由于沿河岸方向上的位移為：x=v0t0，所以小船到達河對岸時的位移，故C錯誤；由題意可在，小船做勻變速曲線運動，故D正確；
故選AD．7．質(zhì)量為2kg的物體在x-y平面上作曲線運動，在x方向的速度圖象和y方向的位移圖象如圖所示，下列說法正確的是（    ）A．質(zhì)點初速度的方向與合外力方向垂直B．2s末質(zhì)點速度大小為6m/sC．質(zhì)點的初速度為5m/sD．質(zhì)點所受的合外力為3N【答案】CD【解析】從圖象可知，物體在x軸做初速度為3m/s，加速度為1.5m/s2的勻加速直線運動，物體在y軸方向做沿y軸負方向，速度為4m/s的勻速直線運動。所以物體所受的合外力大小為F=ma=3N，方向沿x軸正方向，質(zhì)點的初速度為，方向與x軸方向成53°，A選項錯；CD選項正確；2s末質(zhì)點速度沿x軸方向大小為，B錯。8．如圖所示，人在岸上拉船，已知船的質(zhì)量為m，水的阻力恒為f，當輕繩與水平面的夾角為θ時，人的速度為v，人的拉力為F(不計滑輪與繩之間的摩擦)，則以下說法正確的是(　　)A．船的速度為 B．船的速度為vsinθC．船的加速度為 D．船的加速度為【答案】AC【解析】AB．船運動的速度是沿繩子收縮方向的速度和繞定滑輪的擺動速度的合速度，根據(jù)平行四邊形定則有，v人=v船cosθ，則船的速度為，A正確，B錯誤；CD．對小船受力分析，有Fcosθ-f=ma，因此船的加速度大小為，C正確，D錯誤。9．如圖甲所示，在雜技表演中，猴子沿豎直桿向上運動，其圖像如圖乙所示，同時人頂著桿沿水平地面運動的圖像如圖丙所示。若以地面為參考系，下列說法正確的是（　?。?/span>A．猴子的運動軌跡為直線B．猴子在0～2s內(nèi)做勻變速曲線運動C．時猴子的速度大小為8m/sD．猴子在0～2s內(nèi)的加速度大小為4m/s2【答案】BD【解析】AB．由題圖乙可知，猴子在豎直方向做初速度為，加速度大小為的勻減速運動，水平方向做速度大小為的勻速運動，其合運動為曲線運動，故猴子在內(nèi)做勻變速曲線運動，選項A錯誤，B正確；C．時猴子的速度大小為選項C錯誤；D．猴子在內(nèi)的加速度大小為，選項D正確。故選BD。10．物體在一平面直角坐標系內(nèi)運動，開始時位于坐標原點，物體在x軸和y軸方向運動的速度-時間圖像分別如圖甲、乙所示。求：(1) t1=2s時物體的速度大??；(2) t2=4s時物體的位移大小。【答案】（1）2.5m/s；（2）10m。【解析】由圖像可知，物體沿軸正方向作 的勻速直線運動，沿軸正方向作初速度為0，加速度為 的勻加速直線運動         (1)s時，x軸方向速度 y軸方向速度合速度大小 代入數(shù)據(jù)得(2)s時，x軸方向位移 y軸方向位移合位移大小代入數(shù)據(jù)得 11．某直升機空投物資時，可以停留在空中不動，設(shè)投出的物資離開飛機后由于降落傘的作用在空中能勻速下落，無風時落地速度為5 m/s.若飛機停留在離地面100 m高處空投物資，由于風的作用，使降落傘和物資以1 m/s的速度勻速水平向北運動，求：(1)物資在空中運動的時間；(2)物資落地時速度的大??；(3)物資在下落過程中水平方向移動的距離．【答案】(1)20 s　(2) m/s　(3)20 m【解析】物資的實際運動可以看做是豎直方向的勻速直線運動和水平方向的勻速直線運動兩個分運動的合運動．(1)分運動與合運動具有等時性，故物資實際運動的時間與豎直方向分運動的時間相等．所以t＝h/vy＝100/5 s＝20 s(2)物資落地時vy＝5 m/s，vx＝1 m/s，由平行四邊形定則得v＝＝ m/s＝ m/s(3)物資在下落過程中水平方向移動的距離為：x＝vxt＝1×20 m＝20 m．答：(1)物資在空中的運動時間20s；(2)物資落地時的速度大小m/s；(3)物資下落時水平向右移動的距離20m.12．小船勻速橫渡一條河流，當船頭垂直對岸方向航行時，在出發(fā)點10min到達對岸下游120m處，若船頭保持與河岸成α角向上游航行，在出發(fā)12.5min到達正對岸，求：（1）水流的速度，（2）船在靜水中的速度，（3）河的寬度，（4）船頭與河岸間的夾角α【答案】（1）0.2m/s；（2）200m；（3）m/s；（4）53°【解析】（1）設(shè)靜水速為v1，水流速為v2．船頭保持跟河岸垂直的方向航行時有：v2t=120m，則有：v2=m/s=0.2m/s（2、3）而v1t=d，當合速度與河岸垂直時，合速度為： ，且d=vt′．聯(lián)立以上各式解得：d=200m，v1=m/s．（4）斜著航線時，船的速度為：v1sinα= ；因 解得：α=53°  

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