【學(xué)習(xí)素養(yǎng)·明目標(biāo)】 物理觀念：1.理解合運(yùn)動(dòng)、分運(yùn)動(dòng)的概念，掌握運(yùn)動(dòng)的合成與分解的方法.2.經(jīng)歷蠟塊運(yùn)動(dòng)的探究過程，體會(huì)研究曲線運(yùn)動(dòng)的方法——運(yùn)動(dòng)的合成與分解．


科學(xué)思維：1.通過對合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)的分析，體會(huì)等效替代的思想在物理學(xué)中的應(yīng)用.2.能運(yùn)用合成和分解的思想分析兩類典型的運(yùn)動(dòng)模型——“小船渡河”模型和“關(guān)聯(lián)速度”模型．








一、一個(gè)平面運(yùn)動(dòng)的實(shí)例


1．蠟塊的位置：如圖所示，蠟塊沿玻璃管勻速上升的速度設(shè)為vy，玻璃管向右勻速移動(dòng)的速度設(shè)為vx，從蠟塊開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，在某時(shí)刻t，蠟塊的位置P可以用它的x、y兩個(gè)坐標(biāo)表示：x＝vxt，y＝vyt.





2．蠟塊運(yùn)動(dòng)的速度：大小v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))，方向滿足tan θ＝eq \f(vy,vx).


3．蠟塊運(yùn)動(dòng)的軌跡：y＝eq \f(vy,vx)x，是一條過原點(diǎn)的直線．


二、運(yùn)動(dòng)的合成與分解


1．合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)


如果物體同時(shí)參與了幾個(gè)運(yùn)動(dòng)，那么物體實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)就是合運(yùn)動(dòng)，參與的幾個(gè)運(yùn)動(dòng)就是分運(yùn)動(dòng)．


2．運(yùn)動(dòng)的合成與分解：已知分運(yùn)動(dòng)求合運(yùn)動(dòng)的過程，叫運(yùn)動(dòng)的合成；已知合運(yùn)動(dòng)求分運(yùn)動(dòng)的過程，叫運(yùn)動(dòng)的分解．


3．運(yùn)動(dòng)的合成與分解實(shí)質(zhì)是對運(yùn)動(dòng)的位移、速度和加速度的合成和分解，遵循矢量運(yùn)算法則．





1．思考判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)


(1)合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)是同時(shí)進(jìn)行的，時(shí)間相等．(√)


(2)合運(yùn)動(dòng)一定是實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)．(√)


(3)合運(yùn)動(dòng)的速度一定比分運(yùn)動(dòng)的速度大．(×)


(4)兩個(gè)互成角度的勻速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，一定也是勻速直線運(yùn)動(dòng)．(√)


2．雨滴由靜止開始下落，遇到水平方向吹來的風(fēng)，下述說法中正確的是( )


①風(fēng)速越大，雨滴下落時(shí)間越長 ②風(fēng)速越大，雨滴著地時(shí)速度越大 ③雨滴下落時(shí)間與風(fēng)速無關(guān) ④雨滴著地速度與風(fēng)速無關(guān)


A．①② B．②③


C．③④ D．①④


B [將雨滴的運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向分解，兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)相互獨(dú)立，雨滴下落時(shí)間與豎直高度有關(guān)，與水平方向的風(fēng)速無關(guān)，故①錯(cuò)誤，③正確．風(fēng)速越大，落地時(shí)，雨滴水平方向分速度越大，合速度也越大，故②正確，④錯(cuò)誤，故選B.]


3．如圖所示，在玻璃管的水中有一紅蠟塊正在勻速上升，若紅蠟塊在A點(diǎn)勻速上升的同時(shí)，使玻璃管從AB位置水平向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，則紅蠟塊實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌跡是圖中的( )





A．直線P B．曲線Q


C．曲線R D．三條軌跡都有可能


B [紅蠟塊參與了豎直方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和水平方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)，實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌跡即是合運(yùn)動(dòng)的軌跡．由于它在任意一點(diǎn)的合速度方向是向上或斜向右上的，而合加速度就是水平方向的加速度，方向是水平向右的，合加速度和合速度之間有一定夾角，故軌跡是曲線．又因?yàn)槲矬w做曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡總向加速度方向偏折(或加速度方向總指向曲線的凹側(cè))，故選項(xiàng)B正確．]





[觀察探究]


如圖所示，跳傘運(yùn)動(dòng)員打開降落傘后正在從高空下落．





(1)跳傘員在無風(fēng)時(shí)豎直勻速下落，有風(fēng)時(shí)運(yùn)動(dòng)員的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡還豎直向下嗎？豎直方向的運(yùn)動(dòng)是跳傘員的合運(yùn)動(dòng)還是分運(yùn)動(dòng)？


(2)已知跳傘員的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)速度，怎樣求跳傘員的合速度？


提示：(1)有風(fēng)時(shí)不沿豎直向下運(yùn)動(dòng)．無風(fēng)時(shí)跳傘員豎直勻速下落，有風(fēng)時(shí)，一方面豎直勻速下落，一方面在風(fēng)力作用下水平運(yùn)動(dòng)．因此，豎直勻速下落的運(yùn)動(dòng)是跳傘員的分運(yùn)動(dòng)．


(2)應(yīng)用矢量運(yùn)算法則求合速度．


[探究歸納]


1．合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)


(1)如果物體同時(shí)參與了幾個(gè)運(yùn)動(dòng)，那么物體實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)就是合運(yùn)動(dòng)，參與的幾個(gè)運(yùn)動(dòng)就是分運(yùn)動(dòng)．


(2)物體實(shí)際運(yùn)動(dòng)的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分運(yùn)動(dòng)的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度．


2．合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的四個(gè)特性


3.運(yùn)動(dòng)的合成與分解


(1)運(yùn)動(dòng)的合成與分解：已知分運(yùn)動(dòng)求合運(yùn)動(dòng)，叫運(yùn)動(dòng)的合成；已知合運(yùn)動(dòng)求分運(yùn)動(dòng)，叫運(yùn)動(dòng)的分解．


(2)運(yùn)動(dòng)合成與分解的法則：合成和分解的對象是位移、速度、加速度，這些量都是矢量，遵循的是平行四邊形定則．


【例1】 豎直放置的兩端封閉的玻璃管中注滿清水，內(nèi)有一個(gè)蠟塊能在水中以0.1 m/s的速度勻速上?。谙瀴K從玻璃管的下端勻速上浮的同時(shí)，使玻璃管水平向右勻速運(yùn)動(dòng)，測得蠟塊實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向與水平方向成30°角，如圖所示．若玻璃管的長度為1.0 m，在蠟塊從底端上升到頂端的過程中，下列關(guān)于玻璃管水平方向的移動(dòng)速度和水平運(yùn)動(dòng)的距離計(jì)算結(jié)果正確的是( )





A．0.1 m/s,1.73 m B．0.173 m/s,1.0 m


C．0.173 m/s,1.73 m D．0.1 m/s,1.0 m


C [由題圖知豎直位移與水平位移之間的關(guān)系為tan 30°＝eq \f(y,x)


由分運(yùn)動(dòng)具有獨(dú)立性和等時(shí)性得：y＝vyt、x＝vxt


聯(lián)立解得：x＝1.73 m，vx＝0.173 m/s.故C項(xiàng)正確．]





上例中，若將玻璃管水平向右勻速運(yùn)動(dòng)改為從靜止開始勻加速運(yùn)動(dòng)；將蠟塊實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向與水平方向成30°角改為蠟塊最終位移方向與水平方向成45°角，其他條件不變，則玻璃管水平方向的加速度多大？


提示：由tan 45°＝eq \f(y,x)，則x＝1.0 m，由x＝eq \f(1,2)at2，y＝vyt得t＝10 s，a＝0.02 m/s2.





“三步走”求解合運(yùn)動(dòng)或分運(yùn)動(dòng)


(1)根據(jù)題意確定物體的合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)．


(2)根據(jù)平行四邊形定則作出矢量合成或分解的平行四邊形．


(3)根據(jù)所畫圖形求解合運(yùn)動(dòng)或分運(yùn)動(dòng)的參量，求解時(shí)可以用勾股定理、三角函數(shù)、三角形相似等數(shù)學(xué)知識．








1．兩個(gè)互成角度的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，初速度分別為v1和v2，加速度分別為a1和a2，它們的合運(yùn)動(dòng)的軌跡( )


A．如果v1＝v2≠0，那么軌跡一定是直線


B．如果v1＝v2≠0，那么軌跡一定是曲線


C．如果a1＝a2，那么軌跡一定是直線


D．如果eq \f(a1,a2)＝eq \f(v1,v2)，那么軌跡一定是直線


D [本題考查兩直線運(yùn)動(dòng)合運(yùn)動(dòng)性質(zhì)的確定，解題關(guān)鍵是明確做曲線運(yùn)動(dòng)的條件是合外力的方向(即合加速度的方向)與速度的方向不在一條直線上．如果eq \f(a1,a2)＝eq \f(v1,v2)，那么，合加速度的方向與合速度的方向一定在一條直線上，所以D正確．]





[觀察探究]


小船渡河問題中，小船渡河參與了哪兩個(gè)運(yùn)動(dòng)？怎樣過河時(shí)間最短？怎樣過河位移最短？





提示：小船渡河參與了相對于靜水的運(yùn)動(dòng)和隨河水漂流的運(yùn)動(dòng)；船頭垂直河岸渡河時(shí)時(shí)間最短，合位移垂直河岸時(shí)位移最短．


[探究歸納]


1．模型特點(diǎn)：小船參與的兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)：小船在河流中實(shí)際的運(yùn)動(dòng)(站在岸上的觀察者看到的運(yùn)動(dòng))可視為船同時(shí)參與了這樣兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)：


(1)船相對水的運(yùn)動(dòng)(即船在靜水中的運(yùn)動(dòng))，它的方向與船身的指向相同．


(2)船隨水漂流的運(yùn)動(dòng)(即速度等于水的流速)，它的方向與河岸平行．船在流水中實(shí)際的運(yùn)動(dòng)(合運(yùn)動(dòng))是上述兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合成．


2．兩類最值問題


(1)渡河時(shí)間最短問題：若要渡河時(shí)間最短，由于水流速度始終沿河道方向，不能提供指向河對岸的分速度．因此，只要使船頭垂直于河岸航行即可．由圖可知，t短＝eq \f(d,v船)，此時(shí)船渡河的位移x＝eq \f(d,sin θ)，位移方向滿足tan θ＝eq \f(v船,v水).





(2)渡河位移最短問題





甲


情況一：v水＜v船


最短的位移為河寬d，此時(shí)渡河所用時(shí)間t＝eq \f(d,v船sin θ)，船頭與上游河岸夾角θ滿足v船cs θ＝v水，如圖甲所示．


情況二：v水＞v船


如圖乙所示，以v水矢量的末端為圓心，以v船的大小為半徑作圓，當(dāng)合速度的方向與圓相切時(shí)，合速度的方向與河岸的夾角最大(設(shè)為α)，此時(shí)航程最短．由圖可知sin α＝eq \f(v船,v水)，最短航程為x＝eq \f(d,sin α)＝eq \f(v水,v船)d.此時(shí)船頭指向應(yīng)與上游河岸成θ′角，且cs θ′＝eq \f(v船,v水).





乙


【例2】 一小船渡河，河寬d＝180 m，水流速度為v1＝2.5 m/s.船在靜水中的速度為v2＝5 m/s，求：


(1)小船渡河的最短時(shí)間為多少？此時(shí)位移多大？


(2)欲使船渡河的航程最短，船頭應(yīng)朝什么方向？用多長時(shí)間？


[解析] (1)欲使船在最短時(shí)間內(nèi)渡河，船頭應(yīng)朝垂直河岸方向．當(dāng)船頭垂直河岸時(shí)，如圖甲所示，





甲


合速度為傾斜方向，垂直分速度為


v2＝5 m/s.


t＝eq \f(d,v⊥)＝eq \f(d,v2)＝eq \f(180,5) s＝36 s


v合＝eq \r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2))＝eq \f(5,2)eq \r(5) m/s


x＝v合t＝90eq \r(5) m.


(2)欲使船渡河的航程最短，船的合運(yùn)動(dòng)方向應(yīng)垂直河岸．船頭應(yīng)朝上游與河岸成某一角度β.


如圖乙所示，由v2sin α＝v1得α＝30°.所以當(dāng)船頭朝上游與河岸成一定角度β＝60°時(shí)航程最短．





乙


x＝d＝180 m


t＝eq \f(d,v′⊥)＝eq \f(d,v2cs 30°)＝eq \f(180,\f(5,2)\r(3)) s＝24eq \r(3) s.


[答案] (1)36 s 90eq \r(5) m


(2)偏向上游與河岸成60°角 24eq \r(3) s





小船渡河問題要注意三點(diǎn)


(1)eq \x(研究小船渡河時(shí)間時(shí))→常對某一分運(yùn)動(dòng)進(jìn)行研究求解，一般用垂直河岸的分運(yùn)動(dòng)求解．


(2)eq \x(分析小船速度時(shí))→可畫出小船的速度分解圖進(jìn)行分析．


(3)eq \x(研究小船渡河位移時(shí))→要對小船的合運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，必要時(shí)畫出位移合成圖．








2．一艘船的船頭始終正對河岸方向行駛，如圖所示．已知船在靜水中行駛的速度為v1，水流速度為v2，河寬為d.則下列判斷正確的是( )





A．船渡河時(shí)間為eq \f(d,v2)


B．船渡河時(shí)間為eq \f(d,\r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2)))


C．船渡河過程被沖到下游的距離為eq \f(v2,v1)·d


D．船渡河過程被沖到下游的距離為eq \f(d,\r(v\\al(2,1)＋v\\al(2,2)))·d


C [船正對河岸運(yùn)動(dòng)，渡河時(shí)間最短t＝eq \f(d,v1)，沿河岸運(yùn)動(dòng)的位移s2＝v2t＝eq \f(v2,v1)·d，所以A、B、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確．]


[觀察探究]


繩聯(lián)物體問題中，如何判斷合速度和分速度？速度怎樣分解？





提示：物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)是合運(yùn)動(dòng)；將物體的實(shí)際速度分解為垂直于繩(桿)和沿繩(桿)的兩個(gè)分量．


[探究歸納]


1．“繩聯(lián)物體”指物體拉繩(桿)或繩(桿)拉物體的問題(下面為了方便，統(tǒng)一說“繩”)，要注意以下兩點(diǎn)：


(1)物體的實(shí)際速度一定是合速度，分解時(shí)兩個(gè)分速度方向應(yīng)取沿繩方向和垂直于繩方向．


(2)由于繩不可伸長，一根繩兩端物體沿繩方向的速度分量相等．


2．常見的速度分解模型





【例3】 如圖所示，以速度v沿豎直桿勻速下滑的物體A用輕繩通過定滑輪拉物體B，當(dāng)繩與水平面夾角為θ時(shí)，物體B的速度為( )





A．v


B.eq \f(v,sin θ)


C．vcs θ


D．vsin θ


D [將A的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，如圖所示，根據(jù)平行四邊形定則得，vB＝vsin θ，故D正確．


]





上例中，若物體B以速度v向左勻速運(yùn)動(dòng)，則物體A做什么運(yùn)動(dòng)？





提示：vA′＝eq \f(v,sin θ)


由于θ變小，故vA′變大，故物體A向上做加速運(yùn)動(dòng)．





3.如圖所示，AB桿和墻的夾角為θ時(shí)，桿的A端沿墻下滑的速度大小為v1，B端沿地面的速度大小為v2，則v1、v2的關(guān)系是( )





A．v1＝v2 B．v1＝v2cs θ


C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ


C [可以把A、B兩點(diǎn)的速度分解，如圖所示，由于桿不能變長或變短，沿桿方向的速度應(yīng)滿足v1x＝v2x，即v1cs θ＝v2sin θ，v1＝v2tan θ，C正確．]








1.關(guān)于合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，下列說法正確的是( )


A．合運(yùn)動(dòng)速度一定不小于分運(yùn)動(dòng)速度


B．合運(yùn)動(dòng)加速度不可能與分運(yùn)動(dòng)加速度相同


C．合運(yùn)動(dòng)的速度與分運(yùn)動(dòng)的速度沒有關(guān)系，但合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等


D．合位移可能等于兩分位移的代數(shù)和


D [根據(jù)平行四邊形定則，作出以兩個(gè)互成角度的分速度為鄰邊的平行四邊形，過兩鄰邊夾角的對角線表示合速度，對角線的長度可能等于鄰邊長度，也可能小于鄰邊長度，也可能大于鄰邊長度，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；合運(yùn)動(dòng)的加速度可能大于、等于或小于分運(yùn)動(dòng)的加速度，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)具有等效性、同體性、等時(shí)性等關(guān)系，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；如果兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)在同一直線上，且方向相同，其合位移就等于兩分位移的代數(shù)和，選項(xiàng)D正確．]


2．(多選)已知河水自西向東流動(dòng)，流速為v1，小船在靜水中的速度為v2，且v2>v1，用小箭頭表示船頭的指向及小船在不同時(shí)刻的位置，虛線表示小船過河的路徑，則下圖中可能正確的是( )





A B





C D


CD [小船的路徑應(yīng)沿合速度方向，不可能與船頭指向相同，故A、B錯(cuò)誤，C、D正確．]


3．如圖所示，在不計(jì)滑輪摩擦和繩子質(zhì)量的條件下，當(dāng)小車以速度v勻速向右運(yùn)動(dòng)到如圖所示位置時(shí)，物體P的速度為( )





A．v B．vcs θ


C.eq \f(v,cs θ) D．vcs2 θ


B [如圖所示，繩子與水平方向的夾角為θ，將小車的速度沿繩子方向和垂直于繩子方向分解，沿繩子方向的速度等于P的速度，根據(jù)平行四邊形定則得vP＝vcs θ，故B正確，A、C、D錯(cuò)誤．]





4．飛機(jī)在航行時(shí)，它的航線方向要嚴(yán)格地從東到西，如果飛機(jī)的速度是160 km/h，風(fēng)從南面吹來，風(fēng)的速度為80 km/h，那么：


(1)飛機(jī)應(yīng)朝哪個(gè)方向飛行？


(2)如果所測地區(qū)長達(dá)80eq \r(3) km，飛機(jī)飛過所測地區(qū)所需時(shí)間是多少？


[解析] (1)根據(jù)平行四邊形定則可確定飛機(jī)的航向，如圖所示，





有sin θ＝eq \f(v1,v2)＝eq \f(80,160)＝eq \f(1,2)，θ＝30°即西偏南30°.


(2)飛機(jī)的合速度


v＝v2cs 30°＝80eq \r(3) km/h


所需時(shí)間t＝eq \f(x,v)＝1 h.


[答案] (1)西偏南30° (2)1 h


運(yùn)動(dòng)的合成與分解
等時(shí)性
各分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)同時(shí)發(fā)生和結(jié)束，時(shí)間相同
等效性
各分運(yùn)動(dòng)的共同效果與合運(yùn)動(dòng)的效果相同
同體性
各分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)是同一物體的運(yùn)動(dòng)
獨(dú)立性
各分運(yùn)動(dòng)之間互不相干，彼此獨(dú)立，互不影響
小船渡河問題
“繩聯(lián)物體”的速度分解問題
課 堂 小 結(jié)
知 識 脈 絡(luò)
1.物體實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)是合運(yùn)動(dòng)，參與的幾個(gè)運(yùn)動(dòng)是分運(yùn)動(dòng)，合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)遵循平行四邊形定則．


2．小船渡河問題中，船頭垂直河岸渡河時(shí)間最短，合速度垂直河岸位移最?。?br/>

3．“繩聯(lián)物體”問題中，將物體的實(shí)際速度分解為垂直于繩(桿)和沿繩(桿)的兩個(gè)分量.

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2020-2021學(xué)年2 運(yùn)動(dòng)的合成與分解導(dǎo)學(xué)案
高中物理人教版 (2019)必修 第二冊2 向心力學(xué)案設(shè)計(jì)

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高中物理人教版 (2019)必修 第二冊電子課本

2 運(yùn)動(dòng)的合成與分解

版本： 人教版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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