成都市技師學(xué)院理論課教案副頁(yè)
聽課隨筆
教師備課專用 教務(wù)處印制
課程名稱
數(shù)學(xué)
課題名稱
7.3 平面向
量的內(nèi)積
課時(shí)
2
授課日期
任課教師
謝春霞
目標(biāo)群體
14級(jí)五高汽車工程系2,3,4班
教學(xué)環(huán)境
理論課堂
學(xué)習(xí)目標(biāo)
知識(shí)目標(biāo)：
（1）了解平面向量?jī)?nèi)積的概念及其幾何意義.
（2）了解平面向量?jī)?nèi)積的計(jì)算公式.利用向量的內(nèi)積研究有關(guān)問題奠定基礎(chǔ).
職業(yè)通用能力目標(biāo)：
培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，理解數(shù)形結(jié)合的思想方法．
制造業(yè)通用能力目標(biāo)：
通過把實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化,滲透數(shù)學(xué)建模的思想,提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí),及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好.
學(xué)習(xí)重點(diǎn)
平面向量數(shù)量積的概念及計(jì)算公式.
學(xué)習(xí)難點(diǎn)
數(shù)量積的概念及利用數(shù)量積來計(jì)算兩個(gè)非零向量的夾角．
教法.學(xué)法
教法：講授為主，學(xué)生自主預(yù)習(xí)為輔。
學(xué)法：直觀學(xué)習(xí)法、練習(xí)、討論
教學(xué)媒體
課件，教材
教學(xué).
學(xué)習(xí)準(zhǔn)備
教師：準(zhǔn)備課件、學(xué)生練習(xí)的資料
學(xué)生：教材、練習(xí)冊(cè)
教學(xué)
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容
教師
活動(dòng)
學(xué)生
活動(dòng)
時(shí)間
情景引入
新知
探索
例題
練習(xí)
新知識(shí)
例題
練習(xí)
小結(jié)
作業(yè)
創(chuàng)設(shè)情境 興趣導(dǎo)入
F
s
圖7—21
O

如圖7－21所示，水平地面上有一輛車，某人用100 N的力，朝著與水平線成角的方向拉小車，使小車前進(jìn)了100 m．那么，這個(gè)人做了多少功？
【新知識(shí)】
我們知道，這個(gè)人做功等于力與在力的方向上移動(dòng)的距離的乘積．如圖7－22所示，設(shè)水平方向的單位向量為i，垂直方向的單位向量為j，則
i + y j ，
即力F是水平方向的力與垂直方向的力的和，垂直方向上沒有產(chǎn)生位移，沒有做功，水平方向上產(chǎn)生的位移為s，即
W＝｜F｜c(diǎn)s·｜s｜＝100×·10＝500 （J）
O
x
i
j
F(x,y)
y
圖7－22
B
A
O
圖7－23
a
b
這里，力F與位移s都是向量，而功W是一個(gè)數(shù)量，它等于由兩個(gè)向量F，s的模及它們的夾角的余弦的乘積，W叫做向量F與向量s的內(nèi)積,它是一個(gè)數(shù)量，又叫做數(shù)量積．
如圖7－23，設(shè)有兩個(gè)非零向量a, b，作＝a, ＝b,由射線OA與OB所形成的角叫做向量a與向量b的夾角，記作．
兩個(gè)向量a,b的模與它們的夾角的余弦之積叫做向量a與向量b的內(nèi)積，記作a·b, 即
a·b＝｜a||b|cs (7.10)
上面的問題中，人所做的功可以記作W＝F·s.
由內(nèi)積的定義可知a·0＝0, 0·a＝0．
由內(nèi)積的定義可以得到下面幾個(gè)重要結(jié)果：
1.當(dāng)＝0時(shí)，a·b＝|a||b|；當(dāng)＝時(shí)，a·b＝?|a||b|.
2.cs＝.
3.當(dāng)b＝a時(shí)，有＝0，所以a·a＝|a||a|＝|a|2，即|a|＝.
4.當(dāng)時(shí)，ab，因此，a·b＝因此對(duì)非零向量a，b，有a·b＝0ab.
可以驗(yàn)證，向量的內(nèi)積滿足下面的運(yùn)算律：
a·b＝b·a．
()·b＝(a·b)＝a·(b)．
(a＋b)·c＝a·c＋b·c．
例1 已知|a|＝3,|b|＝2, ＝,求a·b．
解 a·b＝|a||b| cs ＝3×2×cs＝3．
例2 已知|a|＝|b|＝,a·b＝,求．
解 cs＝＝＝?.
由于 0≤≤，
所以 ＝．
*運(yùn)用知識(shí) 強(qiáng)化練習(xí)
設(shè)平面向量a＝(x1,y1),b＝(x2,y2)，i，j分別為x軸，y軸上的單位向量，由于i⊥j，故i·j ＝0，又| i |＝|j|＝1，所以
a·b＝(x1 i＋y1j)· (x2 i＋y2j)
＝ x1 x2 i ?i＋ x1 y2 i ?j＋ x2 y1 i ?j ＋ y1 y2 j ?j
＝ x1 x2 |j|2＋ y1 y2 |j|2
＝ x1 x2＋ y1 y2．
這就是說，兩個(gè)向量的內(nèi)積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和，即
a·b＝ x1 x2＋ y1 y2 (7.11)
利用公式(7．11)可以計(jì)算向量的模．設(shè)a＝(x,y)，則
，即
由平面向量?jī)?nèi)積的定義可以得到，當(dāng)a、b是非零向量時(shí)，
cs＝＝. (7.13)
利用公式(7.13)可以方便地求出兩個(gè)向量的夾角.
由于aba·b＝0，由公式(7.11)可知
a·b＝0 x1 x2＋ y1 y2＝0．
因此ab x1 x2＋ y1 y2＝0． (7.14)
例3 求下列向量的內(nèi)積：
a＝ (2,?3), b＝(1,3)；
a＝ (2, ?1), b＝(1,2)；
a＝ (4,2), b＝(?2, ?3)．
解 (1) a·b＝2×1＋(?3)×3＝?7；
(2) a·b＝2×1＋(?1)×2＝0；
(3) a·b＝2×(?2)＋2×(?3)＝?14．
例4 已知a＝(?1,2),b＝(?3,1).求a·b, |a|,|b|, ．
解 a·b＝(?1)( ?3)＋2×1＝5；
|a|＝；
|b|＝；
cs＝＝，
所以 ＝．
例5 判斷下列各組向量是否互相垂直：
(1) a＝(?2, 3), b＝(6, 4)；
(2) a＝(0, ?1), b＝(1, ?2)．
解 (1) 因?yàn)閍·b＝(?2)×6＋3×4＝0，所以ab．
(2) 因?yàn)閍·b＝0×1＋(?1)×（?2)＝2，所以a與b不垂直．
*運(yùn)用知識(shí) 強(qiáng)化練習(xí)
*歸納小結(jié) 強(qiáng)化思想
本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？重點(diǎn)和難點(diǎn)各是什么？
兩個(gè)向量a,b的模與它們的夾角的余弦之積叫做向量a與向量b的內(nèi)積，記作a·b, 即
a·b＝｜a||b|cs (7.10)
a·b的幾何意義就是向量a的模與向量b在向量a上投影的乘積．
繼續(xù)探索 活動(dòng)探究
(1)讀書部分：閱讀教材
(2)書面作業(yè)：教材習(xí)題7.3 A組（必做）；7.3 B組（選做）
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強(qiáng)調(diào)
講解
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中職數(shù)學(xué)高教版（中職）基礎(chǔ)模塊下冊(cè)電子課本

7.3.1 平面向量的內(nèi)積

版本： 高教版（中職）

年級(jí)： 基礎(chǔ)模塊下冊(cè)

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