【教學目標】
知識目標：
（1）了解向量的概念；
（2）理解平面向量的線性運算；
（3）了解共線向量的充要條件
能力目標：
（1）能將生活中的一些簡單問題抽象為向量問題；
（2）正確進行平面向量的線性運算，并作出相應(yīng)的圖形；
（3）應(yīng)用共線向量的充要條件判斷兩個向量是否共線；
（4）通過相關(guān)問題的解決，培養(yǎng)計算技能和數(shù)學思維能力
情感目標：
（1）經(jīng)歷利用有向線段研究向量的過程，發(fā)展“數(shù)形結(jié)合”的思維習慣．
（2）經(jīng)歷合作學習的過程，樹立團隊合作意識．
【教學重點】
向量的線性運算．
【教學難點】
已知兩個向量，求這兩個向量的差向量以及非零向量平行的充要條件．
【教學設(shè)計】
從“不同方向的力作用于小車，產(chǎn)生運動的效果不同”的實際問題引入概念．
向量不同于數(shù)量，數(shù)量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向線段來直觀的表示向量，有向線段的長度叫做向量的模，有向線段的方向表示向量的方向．數(shù)量可以比較大小，而向量不能比較大小，記號“a＞b”沒有意義，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意義的.
教材通過生活實例，借助于位移來引入向量的加法運算．向量的加法有三角形法則與平行四邊形法則.
向量的減法是在負向量的基礎(chǔ)上，通過向量的加法來定義的.即a-b=a+(-b)，它可以通過幾何作圖的方法得到，即a-b可表示為從向量b 的終點指向向量a的終點的向量.作向量減法時，必須將兩個向量平移至同一起點.
實數(shù)乘以非零向量a，是數(shù)乘運算，其結(jié)果記作，它是一個向量，其方向與向量a相同，其模為的倍．由此得到．對向量共線的充要條件，要特別注意“非零向量a、b”與“ ”等條件.
【教學備品】
教學課件．
【課時安排】
2課時．(90分鐘)
【教學過程】
【教師教學后記】
教 學
過 程
教師
行為
學生
行為
教學
意圖
時間
*揭示課題
7.1 平面向量的概念及線性運算
*創(chuàng)設(shè)情境 興趣導入
如圖7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一輛車，效果一樣嗎？
圖7－1
介紹
播放
課件
引導
分析
了解
觀看
課件
思考
自我
分析
從實例出發(fā)使學生自然的走向知識點
0
3
*動腦思考 探索新知
【新知識】
在數(shù)學與物理學中，有兩種量．只有大小，沒有方向的量叫做數(shù)量（標量），例如質(zhì)量、時間、溫度、面積、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．
我們經(jīng)常用箭頭來表示方向，帶有方向的線段叫做有向線段．通常使用有向線段來表示向量．線段箭頭的指向表示向量的方向，線段的長度表示向量的大?。鐖D7-2所示，有向線段的起點叫做平面向量的起點，有向線段的終點叫做平面向量的終點．以A為起點，B為終點的向量記作．也可以使用小寫英文字母，印刷用黑體表示，記作a；手寫時應(yīng)在字母上面加箭頭，記作．
a
A
B
圖7－2
平面內(nèi)的有向線段表示的向量稱為平面向量．
向量的大小叫做向量的模．向量a, 的模依次記作，．
模為零的向量叫做零向量．記作0，零向量的方向是不確定的．
模為1的向量叫做單位向量．
總結(jié)
歸納
仔細
分析
講解
關(guān)鍵
詞語
思考
理解
記憶
帶領(lǐng)
學生
分析
引導
式啟
發(fā)學
生得
出結(jié)
果
10
*鞏固知識 典型例題
例1 一架飛機從A處向正南方向飛行200km，另一架飛機從A處朝北偏東45°方向飛行200km， 兩架飛機的位移相同嗎？分別用有向線段表示兩架飛機的位移．
解 位移是向量．雖然這兩個向量的模相等，但是它們的方向不同，所以兩架飛機的位移不相同．兩架飛機位移的有向線段表示分別為圖7-3中的有向線段a 與b．
a
b
A
圖7-3
說明
強調(diào)
引領(lǐng)
講解
說明
強調(diào)
含義
觀察
思考
主動
求解
通過例題進一步領(lǐng)會
13
*運用知識 強化練習
K
TK
圖7?4
A
B
C
D
E
F
H
G
M
N
Q
P
L
Z
說出下圖中各向量的模，并指出其中的單位向量 (小方格為1)．
提問
巡視
指導
思考
口答
及時
了解
學生
知識
掌握
得情
況
18
*創(chuàng)設(shè)情境 興趣導入
觀察圖7?4中的向量與，它們所在的直線平行，兩個向量的方向相同；向量與所在的直線平行，兩個向量的方向相反．
播放
課件
質(zhì)疑
引導
分析
觀看
課件
自我
分析
從實例出發(fā)使學生自然的走向知識點
20
*動腦思考 探索新知
【新知識】
方向相同或相反的兩個非零向量叫做互相平行的向量．向量與向量b平行記作//b．
規(guī)定：零向量與任何一個向量平行．
由于任意一組平行向量都可以平移到同一條直線上，因此相互平行的向量又叫做共線向量．
【想一想】
圖7?4中，哪些向量是共線向量？
總結(jié)
歸納
仔細
分析
講解
關(guān)鍵
詞語
思考
歸納
理解
記憶
帶領(lǐng)
學生
總結(jié)
23
*動腦思考 探索新知
【新知識】
圖7?4中的平行向量與，方向相同，模相等；平行向量與，方向相反，模相等．
我們所研究的向量只有大小與方向兩個要素．當向量a與向量b的模相等并且方向相同時，稱向量a與向量b相等，記作a = b ．也就是說，向量可以在平面內(nèi)任意平移，具有這種性質(zhì)的向量叫做自由向量．
與非零向量的模相等，且方向相反的向量叫做向量的負向量，記作．
規(guī)定：零向量的負向量仍為零向量．
顯然，在圖7－4中，= ，= －．
總結(jié)
歸納
仔細
分析
講解
關(guān)鍵
詞語
思考
歸納
理解
記憶
思考
歸納
理解
記憶
28
*鞏固知識 典型例題
例2 在平行四邊形ABCD中（圖7－5），O為對角線交點．
A
D
C
B
圖7－5
O
（1）找出與向量相等的向量；
（2）找出向量的負向量；
（3）找出與向量平行的向量．
分析 要結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)進行分析．兩個向量相等，它們必須是方向相同，模相等；兩個向量互為負向量，它們必須是方向相反，模相等；兩個平行向量的方向相同或相反．
解 由平行四邊形的性質(zhì)，得
（1）=；
（2）=,；
（3）//,//，//．
說明
強調(diào)
引領(lǐng)
講解
說明
引領(lǐng)
強調(diào)
含義
說明
觀察
思考
主動
求解
觀察
思考
求解
領(lǐng)會
思考
求解
通過例題進一步領(lǐng)
注意
觀察
學生
是否
理解
知識
點
反復
強調(diào)
+
33
*運用知識 強化練習
1． 如圖，ABC中，D、E、F分別是三邊的中點，試寫出
（1）與相等的向量；（2）與共線的向量．
F
A
D
B
E
C
（練習題1．1．1第2題圖）
第1題圖
E
F
A
B
C
D
O
（圖1－8）
第2題圖
2．如圖，O點是正六邊形ABCDEF的中心，試寫出
（1）與相等的向量； （2）的負向量； （3）與共線的向量．
啟發(fā)
引導
提問
巡視
指導
思考
了解
動手
求解
可以
交給
學生
自我
發(fā)現(xiàn)
歸納
38
*創(chuàng)設(shè)情境 興趣導入
王濤同學從家中（A處）出發(fā)，向正南方向行走500 m到達超市（B處），買了文具后，又沿著北偏東60°角方向行走200 m到達學校（C處）（如圖7－6）．王濤同學這兩次位移的總效果是從家（A處）到達了學校（C處）．
A
B
C
圖7－6
500m
200m
播放
課件
質(zhì)疑
引導
分析
觀看
課件
自我
分析
從實例出發(fā)使學生自然的走向知識點
42
*動腦思考 探索新知
位移叫做位移與位移的和，記作=+．
圖7－7
A
C
B
a
b
a+b
a
b
一般地，設(shè)向量a與向量b不共線，在平面上任取一點A(如圖7－6)，依次作=a, =b，則向量叫做向量a與向量b的和，記作a＋b ，即
a＋b =＋= （7．1）
求向量的和的運算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法則．
觀察圖7－7可以看到：依照三角形法則進行向量a與向量b的加法運算，運算的結(jié)果仍然是向量，叫做a與b的和向量．其和向量的起點是向量a的起點，終點是向量b 的終點．
【做一做】
給出兩個不共線的向量a和b，畫出它們的和向量．
【想一想】
（1）a＋b與b＋a相等嗎？請畫出圖來說明．
（2）如果向量a和向量b共線，如何畫出它們的和向量？
總結(jié)
歸納
仔細
分析
講解
關(guān)鍵
詞語
思考
歸納
理解
記憶
帶領(lǐng)
學生
總結(jié)
50
*動腦思考 探索新知
如圖7－9所示， ABCD為平行四邊形，由于=，根據(jù)三角形法則得
圖7－9
A
D
C
B
＋=＋=
這說明，在平行四邊形ABCD中， 所表示的向量就是與的和．這種求和方法叫做向量加法的平行四邊形法則．
平行四邊形法則不適用于共線向量，可以驗證，向量的加法具有以下的性質(zhì)：
（1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（?a）= 0；
（2）a＋b=b＋a；
（3）（a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
總結(jié)
歸納
仔細
分析
講解
關(guān)鍵
詞語
思考
歸納
理解
記憶
帶領(lǐng)
學生
總結(jié)
55
*鞏固知識 典型例題
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度為5 km/h，求該船的實際航行速度．
A
B
D
C
圖7－10
解 如圖7－10所示，表示船速，為水流速度，由向量加法的平行四邊形法則，是船的實際航行速度，顯然
==13．
又，利用計算器求得
．
即船的實際航行速度大小是13km/h，其方向與河岸線(水流方向)的夾角約．
*例4 用兩條同樣的繩子掛一個物體（圖7－11）．設(shè)物體的重力為k，兩條繩子與垂線的夾角為，求物體受到沿兩條繩子的方向的拉力與的大?。?br>分析 由于兩條同樣的繩子與豎直垂線所成的角都是，所以．解決問題不考慮其它因素，只考慮受力的平衡，所以.
解 利用平行四邊形法則，可以得到
F1
F2
k
圖7－11
，
所以
．
【想一想】
根據(jù)例題4的分析，判斷在單杠上懸掛身體時(如圖7－12)，兩臂成什么角度時，雙臂受力最小？
圖7-12
說明
強調(diào)
引領(lǐng)
講解
說明
引領(lǐng)
分析
講解
說明
觀察
思考
主動
求解
觀察
思考
求解
領(lǐng)會
思考
求解
注意
觀察
學生
是否
理解
知識
點
反復
強調(diào)
62
*運用知識 強化練習
練習7.1.2
如圖，已知a，b，求a＋b．
（圖1－15）
b
b
a
a
（1）
（2）
第1題圖
2．填空（向量如圖所示）：
（1）a＋b =_____________ ,
（2）b＋c =_____________ ,
（3）a＋b＋c =_____________ ．
3．計算：
（1）＋＋； （2）＋＋．
啟發(fā)
引導
提問
巡視
指導
思考
了解
動手
求解
可以
交給
學生
自我
發(fā)現(xiàn)
歸納
65
*創(chuàng)設(shè)情境 興趣導入
在進行數(shù)學運算的時候，減去一個數(shù)可以看作加上這個數(shù)的相反數(shù)．
質(zhì)疑
引導
分析
思考
參與
分析
引導啟發(fā)學生思考
66
*動腦思考 探索新知
與數(shù)的運算相類似，可以將向量a與向量b的負向量的和定義為向量a與向量b的差．即
a ?b = a＋(?b)．
設(shè)a，b ，則
．
即 = （7．2）
觀察圖7－13可以得到：起點相同的兩個向量a、 b，其差a－b仍然是一個向量，叫做a與b的差向量，其起點是減向量b的終點，終點是被減向量a的終點．
a
A
a-b
B
b
O
圖7－13
總結(jié)
歸納
仔細
分析
講解
關(guān)鍵
詞語
思考
歸納
理解
記憶
帶領(lǐng)
學生
總結(jié)
68
*鞏固知識 典型例題
例5 已知如圖7－14（1）所示向量a 、b ，請畫出向量a－b．
B
b
O
a
A
b
a
（1）
（2）
圖7－14
解 如圖7－14（2）所示，以平面上任一點O為起點，作=a，=b，連接BA，則向量為所求的差向量，即
= a－b ．
【想一想】
當a與 b共線時，如何畫出a－b ．
強調(diào)
含義
說明
思考
求解
領(lǐng)會
思考
求解
注意
觀察
學生
是否
理解
知識
點
70
*運用知識 強化練習
1．填空：（1）=_______________，
（2）=______________，
（3）=______________．
2．如圖，在平行四邊形ABCD中，設(shè)= a,= b，試用a, b表示向量、、．
啟發(fā)
引導
提問
巡視
指導
思考
了解
動手
求解
可以
交給
學生
自我
發(fā)現(xiàn)
歸納
72
*創(chuàng)設(shè)情境 興趣導入
觀察圖7－15可以看出，向量與向量a共線，并且
＝3a．
a
a
a
a
O
A
B
C
圖7?15
質(zhì)疑
引導
分析
思考
參與
分析
引導啟發(fā)學生思考
74
*動腦思考 探索新知
一般地，實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，它的模為
（7．3）
若0，則當＞0時，a的方向與a的方向相同，當＜0時，a的方向與a的方向相反．
由上面定義可以得到，對于非零向量a、b，當時，有 （7．4）
一般地，有
0a= 0, 0 = 0 ．
數(shù)與向量的乘法運算叫做向量的數(shù)乘運算，容易驗證，對于任意向量a, b及任意實數(shù)，向量數(shù)乘運算滿足如下的法則：
【做一做】
請畫出圖形來，分別驗證這些法則．
向量加法及數(shù)乘運算在形式上與實數(shù)的有關(guān)運算規(guī)律相類似，因此，實數(shù)運算中的去括號、移項、合并同類項等變形，可直接應(yīng)用于向量的運算中．但是，要注意向量的運算與數(shù)的運算的意義是不同的．
總結(jié)
歸納
仔細
分析
講解
關(guān)鍵
詞語
思考
歸納
理解
記憶
理解
記憶
帶領(lǐng)
學生
分析
引導
啟發(fā)
學生
得出
結(jié)論
78
*鞏固知識 典型例題
例6 在平行四邊形ABCD中，O為兩對角線交點如圖7－16，＝a ，＝b，試用a, b表示向量、．
分析 因為,，所以需要首先分別求出向量與.
圖7－16
解 ＝a＋b,＝b ?a，
因為O分別為AC，BD的中點，所以
（a＋b）＝a＋b，
＝＝（b ?a）＝?a+b．
例6中，a＋b和?a+b都叫做向量a，b的線性組合，或者說，、可以用向量a，b線性表示．
一般地，a＋b叫做a, b的一個線性組合（其中,均為系數(shù)）．如果l ＝a＋ b，則稱l可以用a，b線性表示．
向量的加法、減法、數(shù)乘運算都叫做向量的線性運算．
強調(diào)
含義
說明
思考
求解
領(lǐng)會
思考
求解
注意
觀察
學生
是否
理解
知識
點
81
*運用知識 強化練習
1． 計算：（1）3（a ?2 b）－2（2 a＋b）；
（2）3 a ?2（3 a ?4 b）＋3（a ?b）．
2．設(shè)a, b不共線，求作有向線段，使＝（a＋b）．
3. 在正方形ABCD中，，。
（1）用、表示向量；
（2）用、表示向量。
啟發(fā)
引導
提問
巡視
指導
思考
了解
動手
求解
可以
交給
學生
自我
發(fā)現(xiàn)
歸納
83
*理論升華 整體建構(gòu)
思考并回答下面的問題：
向量、向量的模、向量相等是如何定義的？
結(jié)論：
當一種量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，這種量叫做向量（矢量）
向量的大小叫做向量的模．向量a, 的模依次記作，．
a與向量b的模相等并且方向相同時，稱向量a與向量b相等，記作a = b ．
質(zhì)疑
歸納強調(diào)
回答
及時了解學生知識掌握情況
85
*歸納小結(jié) 強化思想
本次課學了哪些內(nèi)容？重點和難點各是什么？
引導
回憶
*自我反思 目標檢測
本次課采用了怎樣的學習方法？你是如何進行學習的？你的學習效果如何？
計算：
（1）＋＋； （2）＋＋．
提問
巡視
指導
反思
動手
求解
檢驗
學生
學習
效果
88
*繼續(xù)探索 活動探究
(1)讀書部分：教材
(2)書面作業(yè)：教材習題7．1 A組（必做）；7．1 B組（選做）
(3)實踐調(diào)查：試著用向量的觀點解釋生活中的一些問題
說明
記錄
分層次要求
90
項目
反思點
學生知識、技能的掌握情況
學生是否真正理解有關(guān)知識；
是否能利用知識、技能解決問題；
在知識、技能的掌握上存在哪些問題；
學生的情感態(tài)度
學生是否參與有關(guān)活動；
在數(shù)學活動中，是否認真、積極、自信；
遇到困難時，是否愿意通過自己的努力加以克服；
學生思維情況
學生是否積極思考；
思維是否有條理、靈活；
是否能提出新的想法；
是否自覺地進行反思；
學生合作交流的情況
學生是否善于與人合作；
在交流中，是否積極表達；
是否善于傾聽別人的意見；
學生實踐的情況
學生是否愿意開展實踐；
能否根據(jù)問題合理地進行實踐；
在實踐中能否積極思考；
能否有意識的反思實踐過程的方面；

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7.1.4 平面向量的數(shù)乘運算

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