1. 理解數(shù)列的通項公式的意義，能根據(jù)通項公式寫出數(shù)列的任意一項，以及根據(jù)其前幾項寫出它的一個通項公式．
2. 了解數(shù)列的遞推公式，會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出前幾項．
3. 培養(yǎng)學生積極參與、大膽探索的精神，培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納的能力．
教學重點 數(shù)列的通項公式及其應用．
教學難點 根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出滿足條件的數(shù)列的一個通項公式．
教學方法
本節(jié)課主要采用例題解決法．通過列舉實例，進一步研究數(shù)列的項與序號之間的關(guān)系．通過三類題目，使學生深刻理解數(shù)列通項公式的意義，為以后學習等差數(shù)列與等比數(shù)列打下基礎(chǔ)．
【教學過程】
環(huán)節(jié)
教學內(nèi)容
師生互動
設計意圖
導
入
⒈ 數(shù)列的定義
按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列．
注意：（1）數(shù)列中的數(shù)是按一定次序排列的；
（2）同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn)．
2. 數(shù)列的一般形式
數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…，可記作{ an }．
3. 數(shù)列的通項公式：
如果數(shù)列{ an }的第n項an與n之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式．
教師引導學生復習．
為學生進一步理解通項公式，應用通項公式解決實際問題做好準備．
新
課
新
課
新
課
如果已知一個數(shù)列的通項公式，則可依次用限定的正整數(shù)1，2，3，…去代替公式中的n，就可求出數(shù)列中的各項．
例1 根據(jù)通項公式，寫出下面數(shù)列{ an }的前5項：
（1）an = eq \f( n , n+1 )；
（2）an = (－1)n ·n .
解 （1）在通項公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到數(shù)列的前5項為
eq \f(1,2) ， eq \f(2,3) ， eq \f(3,4)， eq \f(4,5) ， eq \f(5,6)；
（2）在通項公式中依次取n=1，2，3，4，5，得到數(shù)列的前5項為
－1，2，－3，4，－5．
練習一
根據(jù)下列數(shù)列{an}的通項公式，寫出它的前5項：
（1）an = n3；
（2）an = 5(－1)n+1 .
練習二
根據(jù)下列數(shù)列{an}的通項公式，寫出它的第7項和第10項：
（1）an = eq \f( n , n2 )；
（2）an = n (n+2)；
（3）an = eq \f( (－1)n+1 , n )；
（4）an = －2n+3 .
例2 寫出數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：
（1）1，3，5，7；
（2） eq \f(22－1,2)， eq \f(32－1,3)， eq \f(42－1,4)， eq \f(52－1,5)；
（3）－ eq \f(1,1?2) ， eq \f(1,2?3) ，－ eq \f(1,3?4) ， eq \f(1,4?5) ．
解 （1）數(shù)列的前四項1，3，5，7都是序號的2倍減去1，所以它的一個通項公式是
an = 2n－1；
（2）數(shù)列的前四項 eq \f(22－1,2)， eq \f(32－1,3)， eq \f(42－1,4)， eq \f(52－1,5)分母都是序號加上1，分子都是分母的平方減去1，所以它的一個通項公式是
an = eq \f(( n + 1 ) 2－1,n + 1) = eq \f( n ( n + 2 ),n + 1)；
（3）數(shù)列的前四項 － eq \f(1,1?2)， eq \f(1,2?3)，－ eq \f(1,3?4)， eq \f(1,4?5)的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式是
an = eq \f(( －1 ) n,n?( n + 1 ))．
總結(jié)：
（1）當一個數(shù)列中的數(shù)依次出現(xiàn)“＋”“－”相間時，應先把符號分離出來，用(－1)n或(－1)n+1等來表示．
（2）認真觀察各數(shù)列所給出的項，尋求各項與序號的關(guān)系，歸納其規(guī)律，抽象出其通項公式．
練習三
（1）已知一個數(shù)列的前4項分別是 eq \f(1,2)， eq \f(1,4)， eq \f(1,6)， eq \f(1,8)，…，則它的一個通項公式是 ．
（2）數(shù)列 eq \f(23－1,2)， eq \f(33－1,3)， eq \f(43－1,4)， eq \f(53－1,5)，…的一個通項公式是（ ）．
（A） eq \f(n (n2－1) ,n +1) （B） eq \f(n (n 2+1),n)
（C） eq \f(n (n2 +3n+ 3) ,n + 1)（D） eq \f(n (n2 +2),n)
例3 已知數(shù)列{an}的第1項是1，以后各項由公式
an = 1＋ eq \f(1,an－1)（n≥2）
給出，寫出這個數(shù)列的前5項．
例3中的函數(shù)表達式，表達的是任一項an與它的前一項an-1的關(guān)系，這樣的關(guān)系式叫做數(shù)列的遞推公式．
解 不難得出
a1 = 1；
a2 = 1＋ eq \f(1,a1) = 1＋ eq \f(1,1) = 2；
a3 = 1＋ eq \f(1,a2) = 1＋ eq \f(1,2) = eq \f(3,2)；
a4 = 1＋ eq \f(1,a3) = 1＋ eq \f( 1 ,\f(3,2)) = eq \f(5,3)；
a5 = 1＋ eq \f(1,a4) = 1＋ eq \f( 1 ,\f(5,3)) = eq \f(8,5)．
練習四
（1）已知數(shù)列{an}，其中a1=1 981，an = an－1＋12，n≥2，寫出這個數(shù)列的前5項．
（2）已知數(shù)列{an}中，a5 = 2009，an = an－1＋12，n≥2．求a1．
學生解答例題．
師：你能總結(jié)一下這類題目的解決方法嗎？
學生總結(jié)解法，教師點撥、解答學生疑難，多媒體出示解題過程．
請學生在黑板上做練習一和練習二．
老師巡視指導．
師生共同訂正答案．
教師引導學生分析數(shù)列的每一項與這一項的序號之間的對應關(guān)系：
項 1 3 5 7
↓ ↓ ↓ ↓
序號 1 2 3 4
師：你能找出各項與項數(shù)二者的對應關(guān)系滿足什么規(guī)律嗎？
學生探究找出規(guī)律：數(shù)列的前四項1，3，5，7都是序號的2倍減去1．
師：如何用含有n的式子來表示第n項an？
教師對學生的回答給以點評，板書解題過程．
學生根據(jù)（1）題的解題思路，分組合作，討論解答后兩道題．
教師巡視指導．
教師說明數(shù)列的通項公式可以不止一個．
教師引導學生總結(jié)．
師：當一個數(shù)列中的數(shù)依次出現(xiàn)“＋”“－” 相間時，應如何解決？
師：根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫數(shù)列的一個通項公式的方法是什么？
學生合作探究，完成練習．
教師巡視指導．
師生共同訂正答案．
教師出示例3，引導、點撥．
師：數(shù)列中， an 項與an-1項是什么關(guān)系？
引導學生得出：是任一項與前一項的關(guān)系．
教師給出遞推公式的定義．
學生分組探究．
教師巡視指導，強調(diào)代數(shù)計算時，要注意正確性．
請學生在黑板上做題．
教師巡視指導、訂正．
將例題直接當作成練習，由學生自己尋找解題方法，讓學生體驗探索與成功的快樂．
由數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列的前幾項是簡單的代入法，本練習為寫通項公式做準備，尤其是對接受能力偏弱的學生，可多舉幾個例子讓學生觀察，歸納通項公式與各項序號的關(guān)系，盡量為例2做準備．
由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是學生學習中的一個難點，要幫助學生分析各項的結(jié)構(gòu)特征，讓學生依據(jù)前幾項的規(guī)律，尋求項與序號的關(guān)系．最后教師引導學生結(jié)論．
培養(yǎng)學生的合作探究意識和創(chuàng)新意識．
學生可能會寫出多種不同的通項公式，對學生善于思考，勇于創(chuàng)新的精神給予賞識性評價．
培養(yǎng)學生勤動手、動腦、善于總結(jié)、歸納的習慣．
通過練習，讓學生進一步掌握寫通項公式的方法．
在教師的引導下，培養(yǎng)學生觀察、分析、歸納的能力．
培養(yǎng)學生積極實踐、科學探究的學習態(tài)度．
加強練習，體會遞推公式的應用．
小
結(jié)
三類題目：
（1）由數(shù)列的通項公式寫出數(shù)列某一項；
（2）根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式；
（3）根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項．
學生閱讀課本P5～P7，暢談本節(jié)課的收獲，老師引導梳理，總結(jié)本節(jié)課的知識點．
梳理總結(jié)也可針對學生薄弱或易錯處強調(diào)總結(jié)．
作
業(yè)
教材P8，習題第5，6，7題．
學生課后完成．
鞏固拓展．

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6.1.1 數(shù)列的定義

版本： 高教版（中職）

年級： 基礎(chǔ)模塊下冊

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