?專題1.1 勾股定理章末重難點(diǎn)題型匯編【舉一反三】
【北師大版】



【考點(diǎn)1 利用勾股定理求面積】
【方法點(diǎn)撥】解決此類問題要善于將面積中的平方式子與勾股定理中的平方式子建立聯(lián)系.
【例1】（2019春?鄂城區(qū)期中）在中，，，，以為邊在的外側(cè)作正方形，則正方形的面積是　　
A．5 B．25 C．7 D．10
【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)正方形的面積公式即可得到結(jié)論．
【答案】解：在中，，，，
，
四邊形是正方形，
正方形的面積，
故選：．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，正方形的面積的計算，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2019春?賓陽縣期中）如圖，圖中所有的三角形都是直角三角形，四邊形都是正方形，其中最大正方形的邊長為10，則四個正方形，，，的面積之和為　　

A．24 B．56 C．121 D．100
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理的幾何意義解答即可．
【答案】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知：


；
即四個正方形，，，的面積之和為100；
故選：．

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的幾何意義，關(guān)鍵是掌握兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．
【變式1-2】（2019春?武昌區(qū)校級期中）如圖，中，，以、為直徑作半圓和，且，則的長為　　

A．16 B．8 C．4 D．2
【分析】根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)圓的面積公式計算，得到答案．
【答案】解：由勾股定理得，，
，
解得，，
則，
解得，，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是，，斜邊長為，那么．
【變式1-3】（2019春?蘭山區(qū)期中）如圖，其中所有三角形都是直角三角形，所有四邊形都是正方形．若，，，和分別代表相應(yīng)的正方形的面積，且，，，，則等于　　

A．25 B．31 C．32 D．40
【分析】如圖，根據(jù)勾股定理分別求出、，進(jìn)而得到，即可解決問題．
【答案】解：如圖，由題意得：
，
，
，
．
故選：．

【點(diǎn)睛】主要考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握勾股定理等幾何知識點(diǎn)．
【考點(diǎn)2 判斷直角三角形】
【方法點(diǎn)撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.
【例2】（2019春?蕪湖期中）在以線段，，的長三邊的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的是　　
A．，， B．
C．，， D．，，
【分析】知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．
【答案】解：、，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；
、設(shè)三角形三邊為，，，，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
、，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
、，能構(gòu)成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的逆定理，判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．
【變式2-1】（2018春?淮南期中）、、為三邊，不是直角三角形的是　　
A． B．，，
C． D．，，
【分析】利用勾股定理的逆定理判斷、、選項(xiàng)，用直角三角形各角之間的關(guān)系判斷選項(xiàng)．
【答案】解：、，設(shè)，則，，
，即，解得，，
，故本選項(xiàng)錯誤；
、，，故本選項(xiàng)正確；
、，，故本選項(xiàng)正確；
、，，故本選項(xiàng)正確．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的逆定理及直角三角形的性質(zhì)，若已知三角形的三邊判定其形狀時要根據(jù)勾股定理判斷；若已知三角形各角之間的關(guān)系，應(yīng)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出最大角的度數(shù)或求出兩較小角的和再進(jìn)行判斷．
【變式2-2】（2018秋?金牛區(qū)校級期中）下列說法中，正確的有　　
①如果，那么是直角三角形；
②如果，則是直角三角形；
③如果三角形三邊之比為，則為直角三角形；
④如果三角形三邊長分別是、、，則是直角三角形；
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【分析】根據(jù)直角三角形的判定進(jìn)行分析，從而得到答案．
【答案】解：①正確，由三角形內(nèi)角和定理可求出為90度；
②不正確，因?yàn)楦鶕?jù)三角形的內(nèi)角和得不到的角；
③正確，設(shè)三邊分別為，，，則有；
④正確，因?yàn)椋哉_的有三個．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理和有一角為來判定．
【變式2-3】（2019春?壽光市期中）如圖：在一個邊長為1的小正方形組成的方格稿紙上，有、、、、、、七個點(diǎn)，則在下列任選三個點(diǎn)的方案中可以構(gòu)成直角三角形的是　　

A． 點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn) B．點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)
C．點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn) D．點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)
【分析】根據(jù)勾股定理分別求得每兩個點(diǎn)之間的距離的平方，再進(jìn)一步利用勾股定理的逆定理進(jìn)行分析．
【答案】解：、，，，，不可以構(gòu)成直角三角形；
、，，，，不可以構(gòu)成直角三角形；
、，，，，可以構(gòu)成直角三角形
、，，，，不可以構(gòu)成直角三角形．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)3 利用勾股定理求最短路徑】
【方法點(diǎn)撥】解決此類問題需先將立體圖形進(jìn)行展開，在平面上利用兩點(diǎn)之間線段最短作圖，利用勾股
定理即可求解.
【例3】（2018秋?福田區(qū)校級期中）如圖，一圓柱高為，底面周長是，一只螞蟻從點(diǎn)爬到點(diǎn)處吃食，且，則最短路線長為　　

A． B． C． D．
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，連接，則就是螞蟻爬行的最短路線長，根據(jù)勾股定理求出即可．
【答案】解：

如圖展開，連接，則就是螞蟻爬行的最短路線長，
則，，
，，
，
由勾股定理得：，
即螞蟻爬行的最短路線長是，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和平面展開最短路線問題，題目比較典型，是一道比較好的題目．
【變式3-1】（2018秋?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，三級臺階，每一級的長、寬、高分別為、、．和是這個臺階上兩個相對的端點(diǎn)，點(diǎn)處有一只螞蟻，想到點(diǎn)處去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬行到點(diǎn)的最短路程為　　

A．15 B．17 C．20 D．25
【分析】先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行解答．
【答案】解：三級臺階平面展開圖為長方形，長為，寬為，

則螞蟻沿臺階面爬行到點(diǎn)最短路程是此長方形的對角線長．
可設(shè)螞蟻沿臺階面爬行到點(diǎn)最短路程為，
由勾股定理得：，
解得．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．
【變式3-2】（2018春?涼州區(qū)期末）如圖，長方體的底面邊長為和，高為．如果用一根細(xì)線從點(diǎn)開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達(dá)，那么所用細(xì)線最短需要　　

A． B． C． D．
【分析】要求所用細(xì)線的最短距離，需將長方體的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．
【答案】解：將長方體展開，連接、，
則，，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，．
故選：．

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開最短路徑問題，本題就是把長方體的側(cè)面展開“化立體為平面”，用勾股定理解決．
【變式3-3】（2019秋?松滋市期末）如圖，桌上有一個圓柱形玻璃杯（無蓋）高6厘米，底面周長16厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口1.5厘米的處有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，的相對方向有一小蟲，小蟲離杯底的垂直距離為1.5厘米，小蟲爬到蜜糖處的最短距離是　　

A．厘米 B．10厘米 C．厘米 D．8厘米
【分析】由于小蟲從外壁進(jìn)入內(nèi)壁，要先到杯子上沿，再進(jìn)入杯子，故先求出到杯子沿的最短距離即可解答．
【答案】解：如圖所示：最短路徑為：，將圓柱展開，

，
最短路程為．
故選：．
【點(diǎn)睛】此題考查了平面展開最短路徑問題，將圖形展開，利用勾股定理進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．同時也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力．
【考點(diǎn)4 勾股數(shù)相關(guān)問題】
【方法點(diǎn)撥】勾股數(shù)的求法：
（1） 如果a為1個大于1的奇數(shù)，b，c是兩個連續(xù)的自然數(shù)，且有a2=b+c，則a,b,c為一組勾股數(shù)；
（2） 如果a,b,c為一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc也是一組勾股數(shù)，其中n為自然數(shù).
【例4】（2018秋?新密市校級期中）下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)的有　　組．（填寫數(shù)量即可）
（1）6，8，10 （2）1.5，2，2.5 （3），，（4）7，24，25 （5），，
【分析】根據(jù)勾股數(shù)：滿足 的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)進(jìn)行計算可得答案．
【答案】解：因?yàn)椋唬?，8，10，7，24，25都是正整數(shù)
勾股數(shù)有2組，
故答案為2．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三邊滿足，則三角形是直角三角形．
【變式4-1】（2019春?閩侯縣期中）勾股定理本身就是一個關(guān)于，，的方程，顯然這個方程有無數(shù)解，滿足該方程的正整數(shù)，，通常叫做勾股數(shù)．如果三角形最長邊，其中一短邊，另一短邊為，如果，，是勾股數(shù)，則　?。ㄓ煤拇鷶?shù)式表示，其中為正整數(shù)）
【分析】根據(jù)勾股定理解答即可．
【答案】解：，
，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股數(shù)，根據(jù)勾股定理解答是解題的關(guān)鍵．
【變式4-2】（2018春?襄城區(qū)期中）觀察下列各組勾股數(shù)，并尋找規(guī)律：
①4，3，5； ②6，8，10； ③8，15，17； ④10，24，
請根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出第⑦組勾股數(shù)：　　．
【分析】根據(jù)前面的幾組數(shù)可以得到每組勾股數(shù)與各組的序號之間的關(guān)系，如果是第組數(shù)，則這組數(shù)中的第一個數(shù)是，第二個是：，第三個數(shù)是：．根據(jù)這個規(guī)律即可解答．
【答案】解：觀察前4組數(shù)據(jù)的規(guī)律可知：第一個數(shù)是；第二個是：；第三個數(shù)是：．
所以第⑦組勾股數(shù)：16，63，65．
故答案為：16，63，65．
【點(diǎn)睛】考查了勾股數(shù)，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，觀察已知的幾組數(shù)的規(guī)律，是解決本題的關(guān)鍵．
【變式4-3】（2019春?永城市期中）探索勾股數(shù)的規(guī)律：
觀察下列各組數(shù)：，4，，，12，，，24，，，40，可發(fā)現(xiàn)，，，請寫出第5個數(shù)組：　 ?。?br /> 【分析】先找出每組勾股數(shù)與其組數(shù)的關(guān)系，找出規(guī)律，再根據(jù)此規(guī)律進(jìn)行解答．
【答案】解：①，，；
②，，；
③，，；
④，，；
⑤，，，
故答案為：11，60，61．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股數(shù)，根據(jù)所給的每組勾股數(shù)找出各數(shù)與組數(shù)的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)5 利用勾股定理求長度】
【例5】（2018春?港南區(qū)期中）如圖，在中，，于點(diǎn)，，，求，的長．

【分析】首先根據(jù)勾股定理求得直角三角形的斜邊，再根據(jù)直角三角形的面積公式求得斜邊上的高，進(jìn)一步根據(jù)勾股定理即可求得的長．
【答案】解：，，，
．
根據(jù)直角三角形的面積公式，得．
在中，．
【點(diǎn)睛】考查了勾股定理、此題要熟練運(yùn)用勾股定理以及直角三角形的面積公式，直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊．
【變式5-1】（2018秋?濱湖區(qū)期中）在等腰中，已知，于．
（1）若，求的度數(shù)；
（2）若，，求的長．

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的兩個銳角互余，可以求得的度數(shù)；
（2）根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和勾股定理，可以求得的長．
【答案】解：（1）在等腰中，，，
，，
，
，，
；
（2），
，
，，
，
設(shè)，則，
，，
，
解得，，
即．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
【變式5-2】（2018春?興義市期中）如圖，在中，，是上一點(diǎn)，已知，，，求的長．

【分析】先設(shè)，則，再運(yùn)用勾股定理分別在與中表示出，列出方程，求解即可．
【答案】解：設(shè)，則．
在中，，
，
在中，，
，
，
即，
解得，
，
．
故的長為8．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的運(yùn)用，根據(jù)的長度不變列出方程是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（2018秋?東明縣期中）如圖，在中，，，正方形的面積為，于點(diǎn)，求的長．

【分析】根據(jù)正方形的面積公式求得．然后利用勾股定理求得；則利用面積法來求的長度．
【答案】解：正方形的面積為，
，
，，
．
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理．解答該題時，需要熟記正方形的面積公式．
【考點(diǎn)6 利用勾股定理作圖】
【例6】（2018秋?越城區(qū)期中）在如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1個單位．
（1）請你在圖1中畫一個以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，面積為6個平方單位的等腰三角形；
（2）請你在圖2中畫一條以格點(diǎn)為端點(diǎn)，長度為的線段；
（3）請你在圖3中畫一個以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，為直角邊的直角三角形．

【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式畫出圖形即可；
（2）畫出以1和2為長方形的寬和長的對角線的長即可；
（3）先畫出邊長為的線段，再畫出直角三角形即可．
【答案】解：（1）如圖1所示；
（2）如圖2所示；
（3）如圖3所示．

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2018春?安慶期中）在下面的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，請?jiān)趫D中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，畫出一個周長為的，并求它的面積．

【分析】根據(jù)勾股定理在方格中作出三角形的三條邊，根據(jù)直角三角形的面積公式、矩形的面積公式計算即可．
【答案】解：是一個周長為三角形，
的面積．

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理作出三角形的三條邊是解題的關(guān)鍵．
【變式6-2】（2018春?石家莊期中）正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，
（1）在圖①中，畫一個面積為10的正方形；
（2）在圖②、圖③中，分別畫兩個不全等的直角三角形，使它們的三邊長都是無理數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)正方形的面積為10可得正方形邊長為，畫一個邊長為正方形即可；
（2）①畫一個邊長為，，的直角三角形即可；
②畫一個邊長為，，的直角三角形即可；
【答案】解：（1）如圖①所示：

（2）如圖②③所示．

【點(diǎn)睛】此題主要考查了利用勾股定理畫圖，關(guān)鍵是計算出所畫圖形的邊長是直角邊長為多少的直角三角形的斜邊長．
【變式6-3】（2018秋?高新區(qū)期中）如圖，每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，分別按下列要求畫三角形：
（1）在圖①中，畫一個三角形，使它的三邊長都是有理數(shù)；
（2）在圖②中，畫一個三邊長分別為3，，的三角形，一共可畫這樣的三角形　 　個．

【分析】（1）畫一個邊長3，4，5的三角形即可；
（2）由勾股定理容易得出結(jié)果．
【答案】解：（1），
即為所求，
如圖1所示：
（2）如圖2所示：
，，
，，，
都是符合條件的三角形，一共可畫這樣的三角形16個；
故答案為：16．


【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、作圖應(yīng)用與設(shè)計作圖；熟記勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)7 勾股定理的證明】
【方法點(diǎn)撥】勾股定理又稱為畢達(dá)哥拉斯定理，通常利用面積來證明.
【例7】（2019春?洛陽期中）下列兩圖均由四個全等的直角三角形拼接而成，且它們的兩條直角邊分別為，，斜邊為，．請選擇一個你喜歡的圖形，利用等面積法驗(yàn)證勾股定理．你選擇的是　　圖，寫出你的驗(yàn)證過程．

【分析】直接利用圖形面積得出等式，進(jìn)而整理得出答案．
【答案】解：選擇的是圖2，
證明：，，
，
整理，得，
．
故答案為：2，
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的證明，正確表示出圖形面積是解題關(guān)鍵．
【變式7-1】（2018秋?興化市期中）我們剛剛學(xué)習(xí)的勾股定理是一個基本的平面幾何定理，也是數(shù)學(xué)中最重要的定理之一．勾股定理其實(shí)有很多種證明方法．下圖是1876年美國總統(tǒng)伽菲爾德證明勾股定理所用的圖形：以、為直角邊，以為斜邊作兩個全等的直角三角形，把這兩個直角三角形拼成如圖所示梯形形狀，使、、三點(diǎn)在一條直線上．
（1）求證：；
（2）請你利用這個圖形證明勾股定理（即證明：．

【分析】（1）由全等三角形的判定于性質(zhì)解答；
（2）用三角形的面積和、梯形的面積來表示這個圖形的面積，從而證明勾股定理．
【答案】解：（1），
．
，
，
．
（2）由（1）知是一個等腰直角三角形，
．
又，，
，即．
【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理的證明，此題主要利用了三角形的面積公式：底高，和梯形的面積公式：（上底下底）高證明勾股定理．
【變式7-2】（2018秋?東臺市期中）如圖，將繞其銳角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，連接，延長、相交于點(diǎn)，則有，且四邊形是一個正方形．
（1）判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；
（2）用含代數(shù)式表示四邊形的面積；
（3）求證：．

【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，即可得出的形狀；
（2）利用四邊形的面積等于正方形面積，即可得出答案；
（3）利用四邊形面積等于和的面積之和進(jìn)而證明即可．
【答案】（1）是等腰直角三角形，
證明：繞其銳角頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到在，
，
，
又，
是等腰直角三角形；

（2）四邊形的面積等于正方形面積，
四邊形的面積等于：．

（3）
即：，
整理：
．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及圖形面積求法和勾股定理的證明等知識，根據(jù)已知得出是解題關(guān)鍵．
【變式7-3】（2019春?東光縣期中）和是兩直角邊為，，斜邊為的全等的直角三角形，按如圖所示擺放，其中，求證：．

【分析】連結(jié)，過點(diǎn)作邊上的高，根據(jù)即可求解．
【答案】證明：連結(jié)，過點(diǎn)作邊上的高，則．
．
又



【點(diǎn)睛】本題考查了用數(shù)形結(jié)合來證明勾股定理，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，本題鍛煉了同學(xué)們數(shù)形結(jié)合的思想方法．
【考點(diǎn)8 勾股定理逆定理的應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.
【例8】（2018春?賓陽縣期中）如圖，已知在四邊形中，，，，，．
（1）連結(jié)，求的長；
（2）求的度數(shù)；
（3）求出四邊形的面積

【分析】（1）連接，利用勾股定理解答即可；
（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；
（3）根據(jù)三角形的面積公式解答即可．
【答案】解：（1）連接，在中，，

，，
由勾股定理可得：；
（2）在中，，，
，
；
（3）由（2）知，，
四邊形的面積，
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的逆定理，綜合運(yùn)用勾股定理及其逆定理是解決問題的關(guān)鍵．
【變式8-1】（2019春?長白縣期中）如圖，在四邊形中，已知，，，且，．求四邊形的面積．

【分析】連接，在中，已知，的長，運(yùn)用勾股定理可求出的長，在中，已知三邊長，運(yùn)用勾股定理逆定理，可得此三角形為直角三角形，故四邊形的面積為與的面積之差．
【答案】解：連接，
，，，
，
，，
，
，
為直角三角形，




．
故四邊形的面積為216．

【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面積公式，根據(jù)題意作出輔助線，判斷出的形狀是解答此題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2018春?豐臺區(qū)期中）如圖，在四邊形中，，，，，，求四邊形的面積．

【分析】連接，然后根據(jù)勾股定理求出的長度，再根據(jù)勾股定理逆定理計算出，然后根據(jù)四邊形的面積的面積的面積，列式進(jìn)行計算即可得解．
【答案】解：連接，，，，
，
，，
，
，
，
是的直角三角形，
四邊形的面積的面積的面積，



．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，勾股定理逆定理，連接，構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【變式8-3】（2019春?鄂城區(qū)期中）如圖，四邊形中，，
，、分別是和邊上的點(diǎn)，且，為的中點(diǎn)，問是什么三角形？請說明理由．

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理能求出，，的長，從而可根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出三角形的形狀．
【答案】解：，，，
，，
為的中點(diǎn)，
，
，
，
，
．
．
是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，四個邊相等，四個角相等，勾股定理以及勾股定理的逆定理．
【考點(diǎn)9 勾股定理的實(shí)際應(yīng)用】
【方法點(diǎn)撥】將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形，利用勾股定理求解即可.
【例9】（2019春?東湖區(qū)校級期末）數(shù)學(xué)綜合實(shí)驗(yàn)課上，同學(xué)們在測量學(xué)校旗桿的高度時發(fā)現(xiàn)：將旗桿頂端升旗用的繩子垂到地面還多2米；當(dāng)把繩子的下端拉開8米后，下端剛好接觸地面，如圖，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，同學(xué)們準(zhǔn)確求出了旗桿的高度，你知道他們是如何計算出來的嗎？

【分析】由題可知，旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用勾股定理即可解答．
【答案】解：設(shè)旗桿高，則繩子長為，
旗桿垂直于地面，
旗桿，繩子與地面構(gòu)成直角三角形，
由題意列式為，解得，
旗桿的高度為15米．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意得出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．
【變式9-1】（2019春?內(nèi)黃縣期末）如圖，在離水面高度為8米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子的長為17米，此人以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動到點(diǎn)的位置，問船向岸邊移動了多少米？（假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號）

【分析】在中，利用勾股定理計算出長，再根據(jù)題意可得長，然后再次利用勾股定理計算出長，再利用可得長．
【答案】解：在中：
，米，米，
（米，
此人以1米每秒的速度收繩，7秒后船移動到點(diǎn)的位置，
（米，
（米，
（米，
答：船向岸邊移動了9米．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．
【變式9-2】（2019春?道里區(qū)期末）某地區(qū)為了開發(fā)農(nóng)業(yè)，決定在公路上相距的、兩站之間點(diǎn)修建一個土特產(chǎn)加工基地，使點(diǎn)到、兩村的距離相等，如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，，求土特產(chǎn)加工基地應(yīng)建在距離站多少的地方？

【分析】設(shè)千米，則千米，再根據(jù)勾股定理得出，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【答案】解：設(shè)千米，則千米，
在中，，
在中，，
，
，
，
解得，千米．
答：基地應(yīng)建在離站10千米的地方．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟知勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．
【變式9-3】（2019春?商南縣期末）勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，它充滿魅力，在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用．請你嘗試應(yīng)用勾股定理解決下列問題：一架長的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時為，如果梯子的頂端沿墻下滑，那么梯子底端向外移了多少米？（注意：

【分析】先根據(jù)勾股定理求出的長，再根據(jù)梯子的長度不變求出的長，根據(jù)即可得出結(jié)論．
【答案】解：中，，，
；
同理，中，
，，
，
．
答：梯子底端向外移了0.77米．
【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．
【考點(diǎn)10 利用勾股定理解折疊問題】
【例10】（2019春?番禺區(qū)期末）如圖，有一塊直角三角形紙片，兩直角邊，，將紙片沿折疊，直角邊恰好落在斜邊上，且與重合，求的面積．

【分析】由勾股定理可求的長，由折疊的性質(zhì)可得，，由勾股定理可求的長，由三角形的面積公式可求解．
【答案】解：，

將紙片沿折疊，直角邊恰好落在斜邊上，且與重合，
，

設(shè)，
則在中，
解得，
即等于
的面積
答：的面積為
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，勾股定理，三角形面積公式，熟練掌握折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
【變式10-1】（2018秋?建鄴區(qū)期末）如圖，把長為的紙條沿，同時折疊，、兩點(diǎn)恰好落在邊的點(diǎn)處，且，，求的長．

【分析】由翻折不變性可知：，，設(shè)，則，在中，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問題．
【答案】解：由翻折不變性可知：，，
設(shè)，則，
在中，，
，
，
，
的長是．
【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．
【變式10-2】（2019秋?杭州期中）如圖，把長方形沿折疊，落在處，交于點(diǎn)，已知，．（長方形的對邊相等，四個角都為直角）
（1）求證：；
（2）求的長；
（3）求重疊部分的面積．

【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)就可以得出，就可以得出，
（2）設(shè)，就有，，在中，由勾股定理就可以求出結(jié)論；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論直接根據(jù)三角形的面積公式就可以求出結(jié)論．
【答案】解：（1）四邊形是矩形，
，，，，
．
與△關(guān)于成軸對稱
△，
，
，
；

（2），，
，．
設(shè)，就有，，在中，由勾股定理，得
，
解得：．
答：的長為；

（3），
．
答：重疊部分的面積為．

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，軸對稱的性質(zhì)的運(yùn)用，平行線的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時運(yùn)用勾股定理求出的值是關(guān)鍵．
【變式10-3】（2018春?杜爾伯特縣期中）如圖，將邊長為的正方形折疊，使點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，點(diǎn)落在處，折痕為．
（1）求線段長．
（2）連接，并求的長．

【分析】（1）設(shè)，則，由翻折的性質(zhì)可知，在中，由勾股定理列方程求解即可；
（2）連接，由翻折的性質(zhì)可知，然后在中由勾股定理求得的長即可．
【答案】解：（1）設(shè)，則．由翻折的性質(zhì)可知：．
在中，由勾股定理可知：，，
解得：，即．
（2）如圖所示，連接．

在三角形中，．
由翻折的性質(zhì)可知．
【點(diǎn)睛】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理，利用勾股定理的到關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．

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