?專(zhuān)題1.8 平行線的證明章末重難點(diǎn)題型【舉一反三】
【北師大版】


【考點(diǎn)1 推理與論證】
【例1】（2019春?東城區(qū)校級(jí)期末）某班對(duì)道德與法治，歷史，地理三門(mén)程的選考情況進(jìn)行調(diào)研，數(shù)據(jù)如下：
科目
道德與法治
歷史
地理
選考人數(shù)（人）
19
13
18
其中道德與法治，歷史兩門(mén)課程都選了的有3人，歷史，地理兩門(mén)課程都選了的有4人，該班至多有多少學(xué)生（　　）
A．41 B．42 C．43 D．44
【分析】根據(jù)題意得，只選道德與法治有[19﹣3﹣y]＝（16﹣y）人，只選歷史的有[13﹣3﹣（4﹣x）]＝（6+x）人，只選地理的有（18﹣4﹣y）＝（14﹣y）人，即可得出結(jié)論．
【答案】解：如圖，設(shè)三門(mén)課都選的有x人，同時(shí)選擇地理和道德與法治的有y人，
根據(jù)題意得，只選道德與法治有[19﹣3﹣y]＝（16﹣y）人，
只選歷史的有[13﹣3﹣（4﹣x）]＝（6+x）人，
只選地理的有（18﹣4﹣y）＝（14﹣y）人，
即：總?cè)藬?shù)為16﹣y+y+14﹣y+4﹣x+6+x+3＝43﹣y
當(dāng)同時(shí)選擇地理和道德與法治的有0人時(shí)，總?cè)藬?shù)最多，最多為43人．
故選：C．

【點(diǎn)睛】此題是推理論證的題目，主要考查了學(xué)生的推理能力，表示出只選一種科目的人數(shù)是解本題的關(guān)鍵．
【變式1-1】（2019秋?海州區(qū)期中）媽媽讓小明給客人燒水沏茶，洗開(kāi)水壺要用1分鐘，燒開(kāi)水要用15分鐘，洗茶壺要用1分鐘，洗茶杯要用1分鐘，放茶葉要用2分鐘，給同學(xué)打電話要用1分鐘．為使客人早點(diǎn)喝上茶，小明最快可在幾分鐘內(nèi)完成這些工作？（　　）
A．19分鐘 B．18分鐘 C．17分鐘 D．16分鐘
【分析】利用已知得出燒水時(shí)間里完成洗茶壺、洗茶杯、再放茶葉、給同學(xué)打電話最節(jié)省時(shí)間進(jìn)而得出答案．
【答案】解：小明應(yīng)先洗開(kāi)水壺用1分鐘，再燒開(kāi)水用15分鐘，
在燒水期間，洗茶壺用1分鐘，洗茶杯用1分鐘，放茶葉用2分鐘，給同學(xué)打電話用1分鐘，一共用5分鐘，不用算入總時(shí)間，
故為使客人早點(diǎn)喝上茶，小明最快可在16分鐘內(nèi)完成這些工作．
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了推理與論證，合理安排時(shí)間是解題關(guān)鍵．
【變式1-2】（2018春?紹興期中）甲乙丙丁四人的車(chē)分別為白色、銀色、藍(lán)色和紅色．在問(wèn)到他們各自車(chē)的顏色時(shí)，甲說(shuō)：“乙的車(chē)不是白色．”乙說(shuō)：“丙的車(chē)是紅色的．”丙說(shuō)：“丁的車(chē)不是藍(lán)色的．”丁說(shuō)：“甲、乙、丙三人中有一個(gè)人的車(chē)是紅色的，而且只有這個(gè)人說(shuō)的是實(shí)話．”如果丁說(shuō)的是實(shí)話，那么以下說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．甲的車(chē)是白色的，乙的車(chē)是銀色的
B．乙的車(chē)是藍(lán)色的，丙的車(chē)是紅色的
C．丙的車(chē)是白色的，丁的車(chē)是藍(lán)色的
D．丁的車(chē)是銀色的，甲的車(chē)是紅色的
【分析】先判斷出乙和丙的車(chē)不是紅色，進(jìn)而判斷出甲的車(chē)是紅色，再根據(jù)丙的說(shuō)法不是實(shí)話，判斷出丁的車(chē)是藍(lán)色，再根據(jù)甲的說(shuō)法判斷出丙和乙的車(chē)的顏色．
【答案】解：∵丁說(shuō)：“甲、乙、丙三人中有一個(gè)人的車(chē)是紅色的，而且只有這個(gè)人說(shuō)的是實(shí)話．”如果丁說(shuō)的是實(shí)話，
假設(shè)乙的車(chē)是紅色，
∴乙的說(shuō)法是實(shí)話，
∴丙的車(chē)也是紅色，和乙的車(chē)是紅色矛盾，
假設(shè)丙的車(chē)是紅色，
∴丙的說(shuō)法是實(shí)話，而乙說(shuō)：“丙的車(chē)是紅色的．”，
∴乙的說(shuō)法是實(shí)話，
∴有兩人說(shuō)的是實(shí)話，與只有一個(gè)人是說(shuō)法是實(shí)話矛盾，
∴只有甲的車(chē)是紅色，
∴甲的說(shuō)法是實(shí)話，
∴丙的說(shuō)法不是實(shí)話，
∵丙說(shuō)：“丁的車(chē)不是藍(lán)色的．”
∴丁的車(chē)是藍(lán)色，
∴乙和丙的車(chē)一個(gè)是白色，一個(gè)是銀色，
∵甲說(shuō)：“乙的車(chē)不是白色．”且甲的說(shuō)法是實(shí)話，
∴丙的車(chē)是白色，乙的車(chē)是銀色，
即：甲的車(chē)是紅色，乙的車(chē)是銀色，丙的車(chē)是白色，丁的車(chē)是藍(lán)色，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題是推理與論證題目，解決此類(lèi)題目先假設(shè)某個(gè)說(shuō)法正確，然后根據(jù)題意進(jìn)行分析推理，看是否有矛盾，進(jìn)而得出結(jié)論，
【變式1-3】（2019秋?啟東市校級(jí)月考）A，B，C，D四個(gè)隊(duì)賽球，比賽之前，甲和乙兩人猜測(cè)比賽的成績(jī)次序：甲：從第一名開(kāi)始，名次順序是A，D，C，B；乙：從第一名開(kāi)始，名次順序是A，C，B，D，比賽結(jié)果，兩人都猜對(duì)了一個(gè)隊(duì)的名次，已知第一名是B隊(duì)，請(qǐng)寫(xiě)出四個(gè)隊(duì)的名次順序是（　?。?br /> A．B，A，C，D B．B，C，A，D C．D，B，A，C D．B，A，D，C
【分析】?jī)扇硕疾聦?duì)了一個(gè)隊(duì)的名次，已知兩隊(duì)猜的第一名是錯(cuò)誤的，因此甲猜的第四名和乙猜的三名也是錯(cuò)誤的．因此甲猜的第三項(xiàng)和乙猜的第四項(xiàng)是正確的，即這四個(gè)隊(duì)的名次順序?yàn)锽、A、C、D．
【答案】解：由于甲、乙兩隊(duì)都猜對(duì)了一個(gè)隊(duì)的名次，且第一名是B隊(duì)．那么甲、乙的猜測(cè)情況可表示為：
甲：錯(cuò)、錯(cuò)、對(duì)、錯(cuò)；乙：錯(cuò)、錯(cuò)、錯(cuò)、對(duì)．
因此結(jié)合兩個(gè)人的猜測(cè)情況，可得出正確的名次順序?yàn)锽、A、C、D．
故選：A．
【點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵，是要綜合考慮兩個(gè)人的猜測(cè)情況，以免造成多解和錯(cuò)解．
【考點(diǎn)2 平行公論及推論】
【例2】（2018春?城關(guān)區(qū)校級(jí)月考）下列說(shuō)法中，正確的是（　?。?br /> A．兩條不相交的直線叫平行線
B．一條直線的平行線有且只有一條
C．若直線a∥b，a∥c，則b∥c
D．兩條直線不相交就平行
【分析】根據(jù)平行線的定義判斷A；
根據(jù)平行線的性質(zhì)判斷B；
根據(jù)平行公理的推論判斷C；
根據(jù)兩條直線的位置關(guān)系判斷D．
【答案】解：A、在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、一條直線的平行線有無(wú)數(shù)條，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、若直線a∥b，a∥c，則b∥c，滿足平行公理的推論，故本選項(xiàng)正確；
D、在同一平面內(nèi)兩條直線不相交就平行，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的定義、性質(zhì)及平行公理，熟練掌握公理和概念是解決本題的關(guān)鍵．
【變式2-1】（2019春?張店區(qū)期末）已知在同一平面內(nèi)，有三條直線a，b，c，若a∥b，b∥c，則直線a與直線c之間的位置關(guān)系是（　　）
A．相交 B．平行 C．垂直 D．平行或相交
【分析】根據(jù)平行公理的推論直接判斷直線c與直線a的位置關(guān)系即可．
【答案】解：∵在同一平面內(nèi)，直線a∥b，直線b∥c，
∴直線c與直線a的位置關(guān)系是：a∥c．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行公理的推論，熟練記憶推論內(nèi)容是解題關(guān)鍵．
【變式2-2】（2019春?龍泉驛區(qū)期中）下列說(shuō)法正確的是（　?。?br /> A．a(chǎn)，b，c是直線，且a∥b，b∥c，則a∥c
B．a(chǎn)，b，c是直線，且a⊥b，b⊥c，則a⊥c
C．a(chǎn)，b，c是直線，且a∥b，b⊥c，則a∥c
D．a(chǎn)，b，c是直線，且a∥b，b∥c，則a⊥c
【分析】根據(jù)“在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”和“在同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行”解答即可．
【答案】解：A、正確，根據(jù)“在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”．
B、錯(cuò)誤，因?yàn)椤霸谕黄矫鎯?nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行”．
C、錯(cuò)誤，a，b，c是直線，且a∥b，b⊥c則a⊥c；
D、錯(cuò)誤，b，c是直線，且a∥b，b∥c，則a∥c．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查的是平行線的判定和性質(zhì)定理，比較簡(jiǎn)單．
【變式2-3】（2019春?邱縣期末）下列語(yǔ)句：
①不相交的兩條直線叫平行線
②在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行
③如果線段AB和線段CD不相交，那么直線AB和直線CD平行
④如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行
⑤過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行
正確的個(gè)數(shù)是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接利用平行公理以及其推論分析得出答案．
【答案】解：①不相交的兩條直線叫平行線，必須是在同一平面內(nèi)，故錯(cuò)誤；
②在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：相交和平行，正確
③如果線段AB和線段CD不相交，那么直線AB和直線CD平行，錯(cuò)誤；
④如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行，正確；
⑤過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故錯(cuò)誤，
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行公理及推論，正確把握定義是解題關(guān)鍵．
【考點(diǎn)3 三角形內(nèi)角和與平行線】
【例3】（2019秋?自貢期中）如圖，將一副三角板如圖放置，若AE∥BC，則∠BAD＝（　　）

A．90° B．85° C．75° D．65°
【分析】利用平行線的性質(zhì)求出∠ADB，再利用三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題
【答案】解：∵AE∥BC，
∴∠ADB＝∠DAE＝45°，
∵∠B＝60°，
∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．
【變式3-1】（2019春?長(zhǎng)安區(qū)期末）一副三角板如圖放置，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，EF∥CD，∠C＝∠EDF＝90°，∠A＝45°，∠EFD＝30°，則∠DFB＝（　?。?br />
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】直接利用三角板的特點(diǎn)，結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠BFE＝45°，進(jìn)而得出答案．
【答案】解：由題意可得：∠EFD＝30°，∠ABC＝45°，
∵EF∥CD，
∴∠BFE＝∠ABC＝45°，
∴∠DFB＝45°﹣30°＝15°．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BFE的度數(shù)是解題關(guān)鍵．
【變式3-2】（2019?常熟市二模）如圖，△ABC是一塊直角三角板，∠C＝90°，∠A＝30°，現(xiàn)將三角板疊放在一把直尺上，AC與直尺的兩邊分別交于點(diǎn)D、E，AB與直尺的兩邊分別交于點(diǎn)F、G，若∠1＝40°，則∠2的度數(shù)為（　?。?br />
A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠1＝∠DFG＝40°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠2的度數(shù)．
【答案】解：∵DF∥EG，
∴∠1＝∠DFG＝40°，
又∵∠A＝30°，
∴∠2＝∠A+∠DFG＝30°+40°＝70°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
【變式3-3】（2019?臥龍區(qū)一模）如圖，直線m∥n，△ABC的頂點(diǎn)B，C分別在直線n，m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝30°，則∠2的度數(shù)為（　?。?br />
A．140° B．130° C．120° D．110°
【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠3的度數(shù)，再由∠ACB＝90°得出∠4的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義即可得出結(jié)論．
【答案】解：如圖：

∵m∥n，∠1＝30°，
∴∠3＝∠1＝30°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠4＝∠ACB﹣∠3＝90°﹣30°＝60°，
∴∠2＝180°﹣∠4＝180°﹣60°＝120°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．
【考點(diǎn)4 三角形外角性質(zhì)與平行線】
【例4】（2019秋?洛陽(yáng)期中）如圖，AB∥CD，∠B＝2∠D，∠E＝22°，則∠D的度數(shù)為（　?。?br />
A．22° B．44° C．68° D．30°
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)解答即可．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠B＝∠EFC，
∴∠E＝∠EFC﹣∠D＝∠B﹣∠D＝2∠D﹣∠D＝∠D，
∵∠E＝22°，
∴∠D＝22°，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)與三角形外角的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等定理的應(yīng)用．
【變式4-1】（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）已知l1∥l2，一塊含30°角的直角三角板如圖所示放置，∠2＝32°，那么∠1等于（　?。?br />
A．28° B．32° C．20° D．16°
【分析】依據(jù)對(duì)頂角以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠4的度數(shù)，再根據(jù)平行線的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得出∠1的度數(shù)．
【答案】解：∵∠C＝90°，∠2＝∠CFE＝32°，
∴∠4＝58°，
∵l1∥l2，
∴∠3＝∠4＝58°，
∵∠3是△ADG的外角，
∴∠1＝∠3﹣∠A＝58°﹣30°＝28°，
故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)的運(yùn)用，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，同位角相等．
【變式4-2】（2019春?泰興市校級(jí)期中）如圖，直線AE∥DF，若∠ABC＝120°，∠DCB＝95°，則∠1+∠2的度數(shù)為（　?。?br />
A．45° B．55° C．35° D．不能確定
【分析】利用平行線的性質(zhì)以及三角形的外角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
【答案】解：∵AE∥DF，

∴∠3+∠4＝180°，
∵∠ABC＝∠1+∠3＝120°，∠DCB＝∠2+∠4＝95°，
∴∠1+∠3+∠2+∠4＝120°+95°，
∴∠1+∠2＝215°﹣180°＝35°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
【變式4-3】（2019春?瑞安市期末）如圖，已知直線EC∥BD，直線CD分別與EC，BD相交于C，D兩點(diǎn)．在同一平面內(nèi)，把一塊含30°角的直角三角尺ABD（∠ADB＝30°，∠ABD＝90°）按如圖所示位置擺放，且AD平分∠BAC，則∠ECA＝（　?。?br />
A．15° B．2 C．25 D．30°
【分析】如圖，延長(zhǎng)BA交EC于H．利用平行線的性質(zhì)求出∠AHC＝90°，再利用三角形的外角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．
【答案】解：如圖，延長(zhǎng)BA交EC于H．

∵EC∥BD，
∴∠CHA+∠ABD＝180°，
∵∠ABD＝90°，
∴∠AHC＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝120°，
∵∠BAC＝∠AHC+∠ECA，
∴∠ECA＝30°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．
【考點(diǎn)5 三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)】
【例5】（2018秋?武清區(qū)期中）小明把一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中∠E＝90°，∠C＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，則∠1+∠2等于（　　）

A．120° B．150° C．180° D．210°
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)解答即可．
【答案】解：如圖：

∵∠1＝∠D+∠DOA，∠2＝∠E+∠EPB，
∵∠DOA＝∠COP，∠EPB＝∠CPO，
∴∠1+∠2＝∠D+∠E+∠COP+∠CPO＝∠D+∠E+180°﹣∠C＝30°+90°+180°﹣90°＝210°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】此題考查三角形內(nèi)角和，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)解答．
【變式5-1】（2019?景洪市一模）如圖，五角星的頂點(diǎn)為A、B、C、D、E，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為（　　）

A．90° B．180° C．270° D．360°
【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解．
【答案】解：如圖，由三角形的外角性質(zhì)得，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，
∵∠1+∠2+∠E＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
故選B．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
【變式5-2】（2019秋?莆田期中）如圖，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于（　?。?br />
A．360° B．300° C．180° D．240°
【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，得∠B+∠C＝∠CGE＝180°﹣∠1，∠D+∠E＝∠DFG＝180°﹣∠2，兩式相加再減去∠A，根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°可求解．
【答案】解：∵∠B+∠C＝∠CGE＝180°﹣∠1，∠D+∠E＝∠DFG＝180°﹣∠2，
∴∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝360°﹣（∠1+∠2+∠A）＝180°．
故選：C．
【點(diǎn)睛】考查了三角形的外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的內(nèi)角和定理．
【變式5-3】（2019春?江陰市校級(jí)月考）如圖，已知∠BOF＝120°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F為多少度（　?。?br />
A．360° B．720° C．540° D．240°
【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠A+∠C，∠B+∠D，再根據(jù)鄰補(bǔ)角求出∠EOF，然后求解即可．
【答案】解：如圖，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，

∵∠BOF＝120°，
∴∠3＝180°﹣120°＝60°，
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠E+∠1＝180°﹣60°＝120°，
∠F+∠2＝180°﹣60°＝120°，
所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，
即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并把各角進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)6 平行線的判定與性質(zhì)證明】
【例6】（2019秋?安慶期中）如圖，已知BD⊥AC，EF⊥AC，點(diǎn)D，F(xiàn)是垂足，∠1＝∠2，求證：∠ADG＝∠C．

【分析】由BD與EF都與AC垂直，利用垂直于同一條直線的兩直線平行得到BD與EF平行，利用兩直線平行同位角相等得到一對(duì)角相等，再由已知的一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行得到DG與BC平行，利用兩直線平行同位角相等即可得證．
【答案】證明：∵BD⊥AC，EF⊥AC（已知），
∴∠3＝∠4＝90°（垂直的定義），
∴BD∥EF（同位角相等，兩直線平行），
∴∠2＝∠CBD（兩直線平行，同位角相等），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1＝∠CBD（等量代換），
∴GD∥BC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），
∴∠ADG＝∠C（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．
【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
【變式6-1】（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B．
（1）求證：DE∥BC；
（2）若∠AED＝55°，∠B＝45°，求∠A的度數(shù)．

【分析】（1）由條件可先證明EH∥AB，再利用平行線的性質(zhì)可得到∠3＝∠ADE＝∠B，可證明DE∥BC；
（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)可求∠ADE的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠A的度數(shù)．
【答案】（1）證明：延長(zhǎng)EF交BC于H，
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∵∠1＝∠4（對(duì)頂角相等），
∴∠2+∠4＝180°（等量代換），
∴AB∥EF（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行），
∴∠3＝∠ADE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），
又∵∠3＝∠B（已知），
∴∠B＝∠ADE（等量代換），
∴DE∥BC（同位角相等，兩直線平行）；
（2）∵DE∥BC（已知），
∴∠ADE＝∠B＝45°（兩直線平行，同位角相等），
∵∠AED＝55°，
∴∠A＝180°﹣45°﹣55°＝80°．

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的判定和性質(zhì)，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，即①同位角相等?兩直線平行，②內(nèi)錯(cuò)角相等?兩直線平行，③同旁內(nèi)角互補(bǔ)?兩直線平行，④a∥b，b∥c?a∥c．
【變式6-2】（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）已知如圖，已知∠1＝∠2，∠C＝∠D．
（1）判斷BD與CE是否平行，并說(shuō)明理由；
（2）說(shuō)明∠A＝∠F的理由．

【分析】（1）由∠1＝∠2結(jié)合對(duì)頂角相等可得出∠1＝∠3，再利用“同位角相等，兩直線平行”可得出BD∥CE；
（2）由BD∥CE可得出∠C＝∠4，結(jié)合∠C＝∠D可得出∠D＝∠4，利用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可得出AC∥DF，再利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得出∠A＝∠F．
【答案】解：（1）BD∥CE，理由如下：
∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴BD∥CE；
（2）理由如下：∵BD∥CE，
∴∠C＝∠4．
∵∠C＝∠D，
∴∠D＝∠4，
∴AC∥DF，
∴∠A＝∠F．

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，牢記平行線的各判定與性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
【變式6-3】（2019春?西湖區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知AD⊥BC，EF⊥BC，∠4＝∠C，那么∠1＝∠2，談?wù)勀愕睦碛桑?br />
【分析】根據(jù)平行線的判定得出AD∥EF、DH∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1＝∠3，∠2＝∠3，即可得出答案．
【答案】解：理由是：∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴∠ADC＝∠EFC＝90°，
∴AD∥EF，
∴∠1＝∠3，
∵∠4＝∠C，
∴DH∥AC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)7 三角形內(nèi)角和與角平分線】
【例7】（2019秋?河西區(qū)期中）如圖，在△ABC中，BO，CO分別平分∠ABC和∠ACB．
（Ⅰ）若∠A＝60°，則∠BOC的度數(shù)為　 ??；
（Ⅱ）若∠A＝100°，則∠BOC的度數(shù)　 　；
（Ⅲ）若∠A＝α，求∠BOC的度數(shù)，并說(shuō)明理由．

【分析】（Ⅰ）由三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義得出∠CBO+∠BCO＝（180°﹣∠A），再由三角形內(nèi)角和定理即可得出∠BOC的度數(shù)．
（Ⅱ）和（Ⅲ）方法同（Ⅰ）．
【答案】解：（Ⅰ）∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，∠A＝60°，
∴∠CBO+∠BCO＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣60°）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝180°﹣60°＝120°；
故答案為：120°；
（Ⅱ）同理，若∠A＝100°，則∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A＝140°，
故答案為140°；
（Ⅲ）同理，若∠A＝α，則∠BOC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義；熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【變式7-1】（2019秋?長(zhǎng)興縣期中）如圖，AD是△ABC的高線，AE是角平分線，若∠BAC：∠B：∠C＝6：3：1，求∠DAE的度數(shù)．

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程即可得到結(jié)論．
【答案】解：∵∠BAC：∠B：∠C＝6：3：1，
∴設(shè)∠BAC＝6α，∠B＝3α，∠C＝α，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴6α+3α+α＝180°，
∴α＝18°，
∴∠BAC＝108°，∠B＝54°，∠C＝18°，
∵AD是△ABC的高線，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝180°﹣90°﹣54°＝36°，
∵AE是角平分線，
∴∠BAE＝BAC＝108°＝54°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝54°﹣36°＝18°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形高線、角平分線以及三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
【變式7-2】（2019春?南崗區(qū)校級(jí)期中）如圖，AE、BF分別為△ABC的角平分線，它們相交于點(diǎn)O．
（1）試說(shuō)明∠BOA＝90°+∠C；
（2）AD是△ABC的高，∠BOA＝115°，∠BAC＝60°時(shí)，求∠DAE的度數(shù)．

【分析】（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）的度數(shù)，由角平分線的定義和三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論；
（2）先根據(jù)角平分線的定義可得∠CAE的度數(shù)，求出∠C的度數(shù)，根據(jù)高線和直角三角形的兩銳角互余可得結(jié)論．
【答案】解：（1）∵∠CAB+∠ABC＝180°﹣∠C，
∵AE、BF是角平分線，
∴∠EAB＝∠BAC，∠FAB＝，
∴∠EAB+∠FAB＝＝＝90，
∴∠AOB＝180°﹣（90）
＝90．
（2）∵∠BAC＝60°，AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝＝30°，
∵∠BOA＝115°，，
∴∠C＝50°，
∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣50°＝40°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝40°﹣30°＝10°．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的高線與角平分線的性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（2019秋?南昌期中）如圖1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AC、BD．

（1）求證：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如圖2，∠CAB與∠BD的平分線AP、DP相交于點(diǎn)P，求證：∠B+∠C＝2∠P．
【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和解答即可．
【答案】證明：（1）在△AOC中，∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，
在△BOD中，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）在AP、CD相交線中，有∠CAP+∠C＝∠P+∠CDP，
在AB、DP相交線中，有∠B+∠BDP＝∠P+∠BAP，
∴∠B+∠C+∠CAP+∠BDP＝2∠P+∠CDP+∠BAP，
∵AP、DP分別平分∠CAB、∠BDC，
∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，
∴∠B+∠C＝2∠P．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．也考查了角平分線的定義．
【考點(diǎn)8 三角形的外角性質(zhì)與角平分線】
【例8】（2018秋?無(wú)為縣期末）如圖，AC平分∠DCE，且與BE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)A．
（1）如果∠A＝35°，∠B＝30°，則∠BEC＝　 ?。ㄖ苯釉跈M線上填寫(xiě)度數(shù)）
（2）小明經(jīng)過(guò)改變∠A，∠B的度數(shù)進(jìn)行多次探究，得出∠A、∠B、∠BEC三個(gè)角之間存在固定的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)你用一個(gè)等式表示出這個(gè)關(guān)系，并進(jìn)行證明．
解：（2）關(guān)系式為：
證明：

【分析】（1）依據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到∠ACD＝∠A+∠B＝65°，依據(jù)AC平分∠DCE，可得∠ACE＝∠ACD＝65°，進(jìn)而得出∠BEC＝∠A+∠ACE＝35°+65°＝100°；
（2）依據(jù)AC平分∠DCE，可得∠ACD＝∠ACE，依據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠BEC＝∠A+∠ACE＝∠A+∠ACD，根據(jù)∠ACD＝∠A+∠B，即可得到∠BEC＝∠A+∠A+∠B＝2∠A+∠B．
【答案】解：（1）∵∠A＝35°，∠B＝30°，
∴∠ACD＝∠A+∠B＝65°，
又∵AC平分∠DCE，
∴∠ACE＝∠ACD＝65°，
∴∠BEC＝∠A+∠ACE＝35°+65°＝100°，
故答案為：100°；
（2）關(guān)系式為∠BEC＝2∠A+∠B．
理由：∵AC平分∠DCE，
∴∠ACD＝∠ACE，
∵∠BEC＝∠A+∠ACE＝∠A+∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠B，
∴∠BEC＝∠A+∠A+∠B＝2∠A+∠B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義，解題時(shí)注意：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
【變式8-1】（2019春?內(nèi)江期末）如圖，在△ABC中，AD是高，∠DAC＝10°，AE是∠BAC外角的平分線，BF平分∠ABC交AE于點(diǎn)F，若∠ABC＝46°，求∠AFB的度數(shù)．

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠BAD的度數(shù)，得到∠BAC的度數(shù)，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出∠CAM的度數(shù)，根據(jù)角平分線的定義求出∠MAE的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可．
【答案】解：∵AD是高，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝44°，又∠DAC＝10°，
∴∠BAC＝54°，
∴∠MAC＝126°，
∵AE是∠BAC外角的平分線，
∴∠MAE＝∠MAC＝63°，
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠ABC＝23°，
∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝40°．

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．
【變式8-2】（2019春?大名縣期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在AC上，∠AEB＝∠ABC．
（1）圖1中，作∠BAC的角平分線AD，分別交CB、BE于D、F兩點(diǎn)，求證：∠EFD＝∠ADC；
（2）圖2中，作△ABC的外角∠BAG的角平分線AD，分別交CB、BE的延長(zhǎng)線于D、F兩點(diǎn)，試探究（1）中結(jié)論是否仍成立？為什么？

【分析】（1）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAD＝∠DAC，再根據(jù)內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，進(jìn)而得到∠EFD＝∠ADC；
（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠BAD＝∠DAG，再根據(jù)等量代換可得∠FAE＝∠BAD，然后再根據(jù)內(nèi)角與外角的性質(zhì)可得∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，進(jìn)而得∠EFD＝∠ADC．
【答案】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC；

（2）探究（1）中結(jié)論仍成立；
理由：∵AD平分∠BAG，
∴∠BAD＝∠GAD，
∵∠FAE＝∠GAD，
∴∠FAE＝∠BAD，
∵∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．
【變式8-3】（2019秋?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）探究：
（1）如圖1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．求證：∠P＝90°+∠A．
（2）如圖2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE．猜想∠P和∠A有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．
（3）如圖3，BP平分∠CBF，CP平分∠BCE．猜想∠P和∠A有何數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．

【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；
（2）根據(jù)角平分線的定義以及一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求出∠A的度數(shù)，根據(jù)補(bǔ)角的定義求出∠ACB的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求出∠P的度數(shù)，即可求出結(jié)果．
（3）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)、內(nèi)角和定理、角平分線的定義探求并證明．
【答案】證明：（1）∵△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A．
又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，
∠PCB＝∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠A），
根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可知∠BPC＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A；
（2）∠A＝∠P，理由如下：
∵BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCE＝∠ACE．
∵∠ACE是△ABC的外角，∠PCE是△BPC的外角，
∴∠ACE＝∠ABC+∠A，∠PCE＝∠PBC+∠P，
∴∠ACP＝∠ABC+∠A，
∴∠ABC+∠A＝∠PBC+∠P，
∴∠A＝∠P．
（3）∠P＝90°﹣∠A，理由如下：
∵P點(diǎn)是外角∠CBF和∠BCE的平分線的交點(diǎn)，∠P+∠PBC+∠PCB＝180°
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠FBC+∠ECB）
＝180°﹣（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°﹣（∠A+180°）
＝90°﹣∠A．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和以及補(bǔ)角的定義以及三角形的內(nèi)角和為180°，此類(lèi)題解題的關(guān)鍵是找出角平分線平分的兩個(gè)角的和的度數(shù)，從而利用三角形內(nèi)角和定理求解．
【考點(diǎn)9 折疊中的角度問(wèn)題】
【例9】（2019秋?蠡縣期中）（1）如圖，在三角形紙片ABC中．∠A＝64°，∠B＝76°，將紙片的一角折疊，使點(diǎn)C落在△ABC內(nèi)部，折痕為MN．如果∠1＝17°，求∠2的度數(shù)；
（2）小明在（1）的解題過(guò)程中發(fā)現(xiàn)∠1+∠2＝2∠C，小明的這個(gè)發(fā)現(xiàn)對(duì)任意的三角形都成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

【分析】（1）先根據(jù)∠A＝64°，∠B＝76°，求出∠C的度數(shù)．再由∠1＝17°可求出∠CED的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理及平角的性質(zhì)即可求解．
（2）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理即可解決問(wèn)題．
【答案】解：（1）∵△ABC中，∠A＝64°，∠B＝76°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣64°﹣76°＝40°，
∵∠1＝17°，
∴∠CNM＝，
在△CMN中，∠CMN＝180°﹣∠C﹣∠CNM＝180°﹣40°﹣81.5°＝58.5°，
∴∠2＝180°﹣2∠CMN＝180°﹣2×58.5°＝63°．

（2）由題意可知：2∠CNM+∠1＝180°，2∠CMN+∠2＝180°，
∴2（∠CNM+∠CMN）+∠1+∠2＝360°，
∵∠C+∠CNM+∠CMN＝180°，
∴∠CMN+∠CMN＝180°﹣∠C，
∴2（180°﹣∠C）＝360°﹣（∠1+∠2），
∴∠1+∠2＝2∠C．

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及平角的性質(zhì)，翻折變換等知識(shí)，解答此題的關(guān)鍵是熟知三角形的內(nèi)角和是180°．
【變式9-1】（2019春?鎮(zhèn)平縣期末）如圖，將一張三角形紙片ABC的一角折疊，使點(diǎn)A落在△ABC外的A′處，折痕為DE．已知∠BDA′＝110°，∠C＝70°，∠B＝80°，設(shè)∠CFD＝α，∠CEA′＝β，求α和β的大?。?br />
【分析】分別在四邊形BCFD和△ABC中計(jì)算α和∠A的度數(shù)，進(jìn)而在△A′EF中計(jì)算β的度數(shù)．
【答案】解：在四邊形BCFD中，α＝360°﹣∠B﹣∠C﹣∠BDA′＝360°﹣80°﹣70°﹣110°＝100°
在△ABC中，∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°
由折疊知：∠A＝∠A′＝30°
∴β＝180°﹣∠A﹣α＝180°﹣30°﹣100°＝50°
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)以及四邊形的內(nèi)角和、折疊的性質(zhì)，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是關(guān)鍵．
【變式9-2】（2019春?常熟市月考）將紙片△ABC沿DE折疊使點(diǎn)A落在A′處的位置．
（1）如果A′落在四邊形BCDE的內(nèi)部（如圖1），∠A′與∠1+∠2之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．
（2）如果A′落在四邊形BCDE的外部（如圖2），這時(shí)∠A′與∠1、∠2之間又存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由．

【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)得出∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，代入∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE）求出即可；
（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，推出∠2＝∠A+∠A′+∠1，即可得出答案．
【答案】解：（1）2∠A′＝∠1+∠2，
理由沿DE折疊使點(diǎn)A落在A′處的位置，
∴∠AED＝∠A′ED，∠ADE＝∠A′DE，
∵∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，
∠1+∠2＝180°+180°﹣2（∠AED+∠ADE），
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A′）＝2∠A′；

（2）2∠A′＝∠2﹣∠1，
理由：∵沿DE折疊使點(diǎn)A落在A′處的位置，
∴∠A＝∠A′，
∵∠DME＝∠A′+∠1，∠2＝∠A+∠DME，
∴∠2＝∠A+∠A′+∠1，
即2∠A′＝∠2﹣∠1．
【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．
【變式9-3】（2018春?遷安市期末）動(dòng)手操作：
一個(gè)三角形的紙片ABC，沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)Aˊ處．
觀察猜想
（1）如圖1，若∠A＝40°，則∠1+∠2＝　 　°；
若∠A＝55°，則∠1+∠2＝　 　°；
若∠A＝n°，則∠1+∠2＝　 　°．
探索證明：
（2）利用圖1，探索∠1、∠2與∠A有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．
拓展應(yīng)用
（3）如圖2，把△ABC折疊后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中結(jié)論求∠BA′C的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；根據(jù)翻折變換的性質(zhì)用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；
（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的兩個(gè)外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，據(jù)此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，繼而可得答案；
（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A知∠A＝54°，根據(jù)BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．
【答案】解：（1）∵點(diǎn)A沿DE折疊落在點(diǎn)A′的位置，
∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∴∠ADE＝（180°﹣∠1），∠AED＝（180°﹣∠2）
在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，
∴40°+（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝180°，
整理得∠1+∠2＝80°；
同理∠A＝55°，則∠1+∠2＝110°；∠A＝n°，則∠1+∠2＝2n°；
故答案為：80°；110°；2n°；

（2）∠1+∠2＝2∠A，
理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的兩個(gè)外角，
∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，
∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，
∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，
即∠1+∠2＝2∠A；

（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，
∴∠A＝54°，
∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）
＝（180°﹣∠A）
＝90°﹣∠A．
∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），
＝180°﹣（90°﹣∠A）
＝90°+∠A
＝90°+×54°
＝117°．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，三角形的內(nèi)角和等于180°，綜合題，但難度不大，熟記性質(zhì)準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)10 平行線中的輔助線構(gòu)造】
【例10】（2019春?越城區(qū)月考）如圖，已知AB∥CD，分別探討下面的四個(gè)圖形中∠APC、∠PAB和∠PCD的關(guān)系，并請(qǐng)你從所得的四個(gè)關(guān)系中任選一個(gè)，說(shuō)明成立的理由．

（1）圖①的關(guān)系是　 　；
（2）圖②的關(guān)系是　 　；
（3）圖③的關(guān)系是　 ?。?br /> （4）圖④的關(guān)系是　 ?。?br /> （5）圖⑤的關(guān)系是　 ?。?br /> 【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【答案】解：（1）∠APC＝360°﹣∠PAB﹣∠PCD，理由如下：
過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠APF+∠PAB＝180°，∠CPF+∠PCD＝180°．
∵∠APC＝∠APF+∠CPF，
∴∠APC＝180°﹣∠PAB+180°﹣∠PCD＝360°﹣∠PAB﹣∠PCD；

（2）∠APC＝∠PAB+∠PCD，理由如下：
過(guò)點(diǎn)P作EF∥AB，延長(zhǎng)AP交直線CD于E，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴∠APE＝∠PAB，∠CPE＝∠PCD．
∵∠APC＝∠APE+∠CPE，
∴∠APC＝∠PAB+∠PCD；
（3）∠C＝∠A+∠P；
理由：設(shè)AB與PC交于E，
∵AB∥CD，
∴∠PEB＝∠C，
∵∠PEB＝∠A+∠P，
∴∠C＝∠A+∠P；
（4）∠PCD＝∠A+∠P，
理由：延長(zhǎng)DC交AP于E，
∵AB∥CD，
∴∠PEC＝∠A，
∵∠PCD＝∠P+∠PEC，
∴∠PCD＝∠A+∠P；
（5）∴∠APC＝180°﹣∠A+∠C．
理由：∵AB∥CD，
∴∠AEC＝180°﹣∠A，
∵∠APC＝∠AEC+∠C，
∴∠APC＝180°﹣∠A+∠C．
故答案為：∠APC＝360°﹣∠PAB﹣∠PCD，∠APC＝∠PAB+∠PCD，∠C＝∠A+∠P，∠PCD＝∠A+∠P，∠APC＝180°﹣∠A+∠C．

【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)平行線的性質(zhì)，平行公理及推論，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
【變式10-1】（2019春?新洲區(qū)期末）如圖，已知AB∥CD．
（1）如圖1，求證：∠B+∠E＝∠D；
（2）F為AB，CD之間的一點(diǎn)，∠E＝30°，∠EFD＝140°，DG平分∠CDF交AB于點(diǎn)G，
①如圖2，若DG∥BE，求∠B的度數(shù)；
②如圖3，若DG與∠EFD的平分線交于點(diǎn)H，∠B＝3∠H，真接寫(xiě)出∠CDF的度數(shù)．

【分析】（1）如圖1，作EF∥AB．利用平行線的性質(zhì)即可證明．
（2）①如圖2，作FH∥BE．利用平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義解決問(wèn)題即可．
②如圖3中，設(shè)∠H＝y(tǒng)，∠CDH＝∠FDH＝x，則∠B＝3y．構(gòu)建方程組即可解決問(wèn)題．
【答案】（1）證明：如圖1，作EF∥AB．

∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF
∵∠DEF＝∠BED+∠BEF，
∴∠B+∠BED＝∠D
（2）解：①如圖2，作FH∥BE．

∵BE∥DG，
∴BE∥FH∥DG，
∴∠E＝∠EFH＝30°
∵∠DFE＝140°，
∴∠HFD＝110°，
∴∠GDF＝180°﹣∠HFD＝70°
∵DG平分∠CDF，
∴∠CDG＝∠GDF＝70°
∵AB∥CD，
∴∠BGD＝∠CDG＝70°
∵BE∥DG，
∴∠B＝∠BGD＝70°
②如圖3中，設(shè)∠H＝y(tǒng)，∠CDH＝∠FDH＝x，則∠B＝3y．

則有，
解得
∴∠CDF＝2x＝160°．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線構(gòu)造平行線解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問(wèn)題．
【變式10-2】（2019春?武昌區(qū)期末）如圖AB∥CD，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)M在CD上，點(diǎn)F在直線AB，CD之間，連接EF，F(xiàn)M．EF⊥FM，∠CMF＝140°．
（1）直接寫(xiě)出∠AEF的度數(shù)為　 ??；
（2）如圖2，延長(zhǎng)FM到G，點(diǎn)H在FG的下方，連接GH，CH，若∠FGH＝∠H+90°，求∠MCH的度數(shù)；
（3）如圖3，作直線AC，延長(zhǎng)EF交CD于點(diǎn)Q，P為直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，探究∠PEQ，∠PQC和∠EPQ的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接給出結(jié)論．（題中所有角都是大于0°小于180°的角）

【分析】（1）延長(zhǎng)FP交AB于點(diǎn)Q，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和平行線性質(zhì)證明即可；
（2）延長(zhǎng)HG交CD于點(diǎn)Q，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和平行線性質(zhì)證明即可；
（3）過(guò)P點(diǎn)作PN∥AB，根據(jù)平行線性質(zhì)證明即可．
【答案】解：（1）延長(zhǎng)MF交AB于點(diǎn)N，如圖1，
∵AB∥CD，
∴∠CMF+∠ENF＝180°，
∴∠ANF＝180°﹣140°＝40°，
∵EF⊥FM，
∴∠EFN＝90°，
∴∠AEF＝∠ANF+∠EFN＝40°+90°＝130°；
故答案為：130°．
（2）延長(zhǎng)HG交CD于點(diǎn)Q，如圖2，
∵∠CMF＝140°．
∴∠FMD＝180°﹣140°＝40°，
∴∠CMG＝40°，
∵∠MQH＝∠H+∠HCM，∠FGH＝∠H+90°，
∴∠FGH＝∠MQH+∠CMG＝∠H+∠HCM+∠CMG，
∴∠HCM+∠CMG＝90°，
∴∠MCH＝90°﹣40°＝50°；
（3）過(guò)P點(diǎn)作PN∥AB，如圖3，
由（1）可知，∠AEF＝130°，
∴∠AEP+∠PEQ＝130°，
∵AB∥CD，
∴AB∥PN∥CD，
∴∠AEP＝∠EPN，∠NPQ＝∠PQC，
∴∠EPN＝∠EPQ﹣∠NPQ＝∠EPQ﹣∠PQC，
∴∠PEQ+∠EPQ﹣∠PQC＝130°．
當(dāng)P點(diǎn)在CD的下方時(shí)，∠PEQ+∠EPQ+∠PQC＝130°．
當(dāng)P點(diǎn)在CD的上方時(shí)，∠PEQ+∠EPQ+∠PQC＝230°．



【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，三角形外角等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)屬于中考常考題型．
【變式10-3】（2019春?昭通期末）已知AB∥CD，點(diǎn)E為平面內(nèi)一點(diǎn)，BE⊥CE于E．
（1）如圖1，請(qǐng)直接寫(xiě)出∠ABE和∠DCE之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥CD，垂足為F，求證：∠CEF＝∠ABE；
（3）如圖3，在（2）的條件下，作EG平分∠CEF，交DF于點(diǎn)G，作ED平分∠BEF，交CD于D，連接BD，若∠DBE+∠ABD＝180°，且∠BDE＝3∠GEF，求∠BEG的度數(shù)．

【分析】（1）結(jié)論：∠ECD＝90°+∠ABE．如圖1中，從BE交DC的延長(zhǎng)線于H．利用三角形內(nèi)角和定理即可證明；
（2）只要證明∠CEF與∠CEM互余，∠BEM與∠CEM互余，可得∠CEF＝∠BEM即可解決問(wèn)題；
（3）如圖3中，設(shè)∠GEF＝α，∠EDF＝β．想辦法構(gòu)建方程求出α即可解決問(wèn)題；
【答案】解：（1）結(jié)論：∠ECD＝90°+∠ABE．
理由：如圖1中，從BE交DC的延長(zhǎng)線于H．

∵AB∥CH，
∴∠ABE＝∠H，
∵BE⊥CE，
∴∠CEH＝90°，
∴∠ECH＝180°﹣∠CEH﹣∠H＝180°﹣90°﹣∠H＝90°﹣∠H，
∴∠ECD＝180°﹣∠ECH＝180°﹣（90°﹣∠H）＝90°+∠H，
∴∠ECD＝90°+∠ABE．

（2）如圖2中，作EM∥CD，

∵EM∥CD，CD∥AB，
∴AB∥CD∥EM，
∴∠BEM＝∠ABE，∠F+∠FEM＝180°，
∵EF⊥CD，
∴∠F＝90°，
∴∠FEM＝90°，
∴∠CEF與∠CEM互余，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC＝90°，
∴∠BEM與∠CEM互余，
∴∠CEF＝∠BEM，
∴∠CEF＝∠ABE．

（3）如圖3中，設(shè)∠GEF＝α，∠EDF＝β．

∴∠BDE＝3∠GEF＝3α，
∵EG平分∠CEF，
∴∠CEF＝2∠FEG＝2α，
∴∠ABE＝∠CEF＝2α，
∵AB∥CD∥EM，
∴∠MED＝∠EDF＝β，∠KBD＝∠BDF＝3α+β，∠ABD+∠BDF＝180°，
∴∠BED＝∠BEM+∠MED＝2α+β，
∵ED平分∠BEF，
∴∠BED＝∠FED＝2α+β，
∴∠DEC＝β，
∵∠BEC＝90°，
∴2α+2β＝90°，
∵∠DBE+∠ABD＝180°，∠ABD+∠BDF＝180°，
∴∠DBE＝∠BDF＝∠BDE+∠EDF＝3α+β，
∵∠ABK＝180°，
∴∠ABE+∠B＝DBE+∠KBD＝180°，
即2α+（3α+β）+（3α+β）＝180°，
∴6α+（2α+2β）＝180°，
∴α＝15°，
∴∠BEG＝∠BEC+∠CEG＝90°+15°＝105°．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、垂線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造平行線解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．

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