課后素養(yǎng)落實(shí)(十七)　平面向量基本定理(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點(diǎn)，下列向量組：①與；②與；③與；④與，其中可作為表示這個平行四邊形所在平面內(nèi)所有向量的基的是(　　)A．①②    B．①③    C．①④    D．③④B　[由基的定義知，①③中兩向量不共線，可以作為基．]2．在矩形ABCD中，O是其對角線的交點(diǎn)，＝5e1，＝3e2，則等于(　　)A．(5e1＋3e2)    B．(5e1－3e2)C．(3e2－5e1)    D．(5e2－3e1)A　[＝＝(－)＝(5e1＋3e2).]3．設(shè)一直線上三點(diǎn)A，B，P滿足＝m(m≠－1)，O是直線所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則用，表示為(　　)A．＝＋m     B．＝m＋(1－m)C．＝     D．＝＋C　[由＝m得－＝m(－)，∴＋m＝＋m，∴＝.]4．已知AD是△ABC的中線，＝a，＝b，以a，b為基表示，則＝(　　)A．(a－b)    B．2b－aC．(b－a)    D．2b＋aB　[如圖，AD是△ABC的中線，則D為線段BC的中點(diǎn)，從而＝(＋)，則＝2－＝2b－a.]5．如圖，＝2，＝2，＝m，＝n，若m＝，那么n＝(　　)A.     B．C.     D．A　[法一：由＝2，＝2，知C是AB的中點(diǎn)，P是OC的中點(diǎn)，所以＝(＋)，則＝(＋)，又＝，＝n，從而＝－＝n－，＝－＝(＋)－＝－，又點(diǎn)M，P，N共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ成立，即n－＝λ，又因?yàn)?/span>，不共線，所以有，解得n＝，故選A.法二：設(shè)＝λ，∵＝，＝n，∴＝＋＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ)＋nλ，又知＝2，∴＝＝＋，∴ 解得λ＝，n＝，故選A.]二、填空題6.如圖所示，向量可用向量e1，e2表示為________．4e1＋3e2　[由題圖可知，＝4e1＋3e2.]7．已知e1、e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a、b能作為平面內(nèi)的一組基，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________．(－∞，4)∪(4，＋∞)　[若能作為平面內(nèi)的一組基，則a與b不共線．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb得λ≠4.]8．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC，若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．　[易知＝＋＝＋(－)＝－＋，所以λ1＋λ2＝.]三、解答題9．設(shè)e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)證明：a，b可以作為一組基；(2)以a，b為基，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．[解]　(1)證明：設(shè)a＝λb(λ∈R)，則e1－2e2＝λ(e1＋3e2).由e1，e2不共線得即∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基．(2)設(shè)c＝ma＋nb(m、n∈R)，則3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴即∴c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴即故所求λ、μ的值分別為3和1.10.如圖所示，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足＋2＋3＝0，設(shè)Q為CP延長線與AB的交點(diǎn)，求證：＝2.[證明]　∵＝＋，＝＋，∴(＋)＋2(＋)＋3＝0，∴＋3＋2＋3＝0，又∵A，B，Q三點(diǎn)共線，C，P，Q三點(diǎn)共線，∴＝λ，＝μ，∴λ＋3＋2＋3μ＝0，∴(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0.而，為不共線向量，∴∴λ＝－2，μ＝－1.∴＝－＝.故＝＋＝2.11．設(shè)向量e1和e2是某一平面內(nèi)所有向量的一組基，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，則實(shí)數(shù)y的值為(　　)A．3    B．4    C．－    D．－B　[因?yàn)?/span>3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，所以(3x－4y＋7)e1＋(10－y－2x)e2＝0，又因?yàn)?/span>e1和e2是某一平面內(nèi)所有向量的一組基，所以解得故選B.]12.如圖，平面內(nèi)的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含邊界).設(shè)＝m1＋n2，且點(diǎn)P落在第Ⅲ部分，則實(shí)數(shù)m，n滿足(　　)A．m＞0，n＞0     B．m＞0，n＜0C．m＜0，n＞0     D．m＜0，n＜0B　[由題意及平面向量基本定理易得在＝m1＋n2中，m＞0，n＜0.]13．若D點(diǎn)在三角形ABC的邊BC上，且＝4＝r＋s，則3r＋s的值為________．　[∵＝4＝r＋s，∴＝＝(－)＝r＋s，∴r＝，s＝－.∴3r＋s＝－＝.]14．在△ABC所在平面上有一點(diǎn)P，滿足＋＋4＝，則△PBC與△PAB的面積比為________．1∶2　[＋＋4＝＝＋，所以4＝2，即P在AC邊上，且AP＝2PC，所以△PBC與△PAB的面積比為1∶2.]15.如圖所示，在△OAB中，＝a，＝b，M，N分別是邊OA，OB上的點(diǎn)，且＝a，＝b，設(shè)與交于點(diǎn)P，以a、b為基表示.[解]　∵＝＋，＝＋，設(shè)＝m，＝n，則＝＋m＝a＋m＝(1－m)a＋mb，＝＋n＝(1－n)b＋na.∵a與b不共線，∴?n＝，m＝，∴＝a＋b. 

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高中數(shù)學(xué)北師大版 (2019)必修 第二冊電子課本

4.1 平面向量基本定理

版本： 北師大版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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