高中北師大版 (2019)2.3 三角函數(shù)的疊加及其應用學案-學案下載-教習網(wǎng)

3.2.3　三角函數(shù)的疊加及其應用3.2.4　積化和差與和差化積公式新課程標準學業(yè)水平要求1.初步掌握兩角和與差的三角函數(shù)公式和公式的由來以及公式的正用和逆用．2．理解輔助角公式的結(jié)構(gòu)形式，并利用公式進行化簡．3．能運用積化和差與和差化積公式進行簡單的恒等變換1.理解兩角和與差的正弦、余弦和正切公式的結(jié)構(gòu)形式以及公式的推導．(數(shù)學抽象、邏輯推理)2．理解輔助角公式的由來以及特點，并應用公式進行三角函數(shù)式的有關(guān)運算．(數(shù)學運算)3．熟練應用公式進行三角函數(shù)式的化簡、求值以及有關(guān)運算．(數(shù)學運算、邏輯推理)4．能通過和差角公式推出積化和差公式，能通過積化和差公式推出和差化積公式．(邏輯推理)5．了解積化和差與和差化積公式的結(jié)構(gòu)形式，并能利用公式解決簡單的求值問題．(數(shù)學運算)6．進一步掌握三角恒等變換的公式，并能利用公式解決化簡、求值及證明問題．(邏輯推理、數(shù)學運算) 課前篇·自主學習預案知識點1　輔助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)(或asin x＋bcos x＝·cos(x－φ))，其中sin φ＝，cos φ＝.知識點2　積化和差公式與和差化積公式(1)積化和差公式sin αcos β＝________；cos αsin β＝________；cos αcos β＝________；sin αsin β＝________.(2)和差化積公式sin α＋sin β＝2sincos；sin α－sin β＝2cossin；cos α＋cos β＝2coscos；cos α－cos β＝－2sinsin.答案：[sin(α＋β)＋sin(α－β)][sin(α＋β)－sin(α－β)][cos(α＋β)＋cos(α－β)][cos(α＋β)－cos(α－β)]．課堂篇·研習討論導案研習1 輔助角公式[典例1]　將下列各式化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式：(1)y＝3sin x－cos x；(2)y＝cos 2x(sin 2x＋cos 2x)；(3)y＝sin＋sin.[思路分析]利用三角函數(shù)公式將函數(shù)解析式化為asin ωx＋bcos ωx的形式，再利用輔助角公式化為y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式．[自主記][解]　(1)y＝3sin x－cos x＝2＝2＝2sin.(2)y＝cos 2x(sin 2x＋cos 2x)＝sin 2xcos 2x＋cos22x＝sin 4x＋＝sin 4x＋cos 4x＋＝＋＝＋＝sin＋.(3)y＝sin＋sin ＝sin cos ＋cos sin ＋sin ＝sin ＋cos ＝＝sin.[巧歸納]　將三角函數(shù)y＝f(x)化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的步驟(1)將sin xcos x運用二倍角公式化為sin 2x，對sin2x，cos2x運用降冪公式，sin(x±α)，cos(x±α)運用兩角和與差的公式展開．(2)將(1)中得到的式子利用asin α＋bcos α＝·sin(α＋φ)化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋m的形式.[練習1]　化簡下列三角函數(shù)解析式為y＝Asin(ωx＋φ)的形式：(1)y＝cos4x－2sin xcos x－sin4x；(2)y＝sin x(cos x－sin x)＋.解：(1)y＝cos4x－2sin xcos x－sin4x＝(cos4x－sin4x)－2sin xcos x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－2sin xcos x＝cos 2x－sin 2x＝＝＝sin.(2)y＝sin x(cos x－sin x)＋＝sin xcos x－sin2x＋＝sin 2x－＋＝sin 2x＋cos 2x－＋＝＝sin.研習2 與三角函數(shù)性質(zhì)有關(guān)的問題[典例2]　已知函數(shù)f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－.求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．[自主記][解]　因為f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋－＝sin 2x＋cos 2x＝sin，所以T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z.[巧歸納]　應用公式解決三角函數(shù)綜合問題的三個步驟(1)運用和、差、倍角公式化簡；(2)統(tǒng)一化成f(x)＝asin ωx＋bcos ωx＋k的形式；(3)利用輔助角公式化為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，研究其性質(zhì).[練習2]　(2019·北京朝陽期末)已知函數(shù)f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求證：當x∈時，f(x)≥0.解：(1)因為f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝sin＋1.所以函數(shù)f(x)的最小正周期為π.(2)證明：由(1)可知，f(x)＝sin＋1.當x∈時，2x－∈，sin∈，sin＋1∈[0，＋1]．當2x－＝－，即x＝0時，f(x)取得最小值0.所以當x∈時，f(x)≥0.[練習3]　已知函數(shù)f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2cos2ωx－(a>0，ω>0)的最大值為2x1，x2是集合M＝{x∈R|f(x)＝0}中的任意兩個元素，|x1－x2|的最小值為.(1)求a，ω的值；(2)若f(α)＝，求sin的值．解：(1)f(x)＝asin 2ωx＋cos 2ωx＝sin(2ωx＋φ)，其中tan φ＝.由題意知＝2，a>0，則a＝1.由題意知f(x)的最小正周期為π，則＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.由f(α)＝知，2sin＝，即sin＝.∴sin＝sin＝－cos＝－1＋2sin2＝－1＋2×2＝－.研習3 積化和差[典例3]　求下列各式的值．(1)sin 37.5°cos 7.5°；(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.[自主記][解]　(1)sin 37.5°cos 7.5°＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]＝(sin 45°＋sin 30°)＝×＝.(2)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)＝－sin 50°＋cos 40°＝－sin 50°＋sin 50°＝.[巧歸納]　在運用積化和差公式時，如果形式為混合函數(shù)積時，化得的結(jié)果應為sin(α＋β)與sin(α－β)的和或差；如果形式為同名函數(shù)積時，化得的結(jié)果應為cos(α＋β)與cos(α－β)的和或差.[練習3]　化簡：4sin(60°－θ)·sin θ·sin(60°＋θ)．解：原式＝－2sin θ·[cos 120°－cos(－2θ)]＝－2sin θ＝sin θ＋2sin θcos 2θ＝sin θ＋(sin 3θ－sin θ)＝sin 3θ.研習4 和差化積[典例4]　已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin(α＋β)的值．[自主記][解]　因為cos α－cos β＝，所以－2sinsin＝.①又因為sin α－sin β＝－，所以2cossin＝－.②因為sin≠0，所以由①②得－tan＝－，即tan＝.所以sin(α＋β)＝＝＝＝.[巧歸納]　和差化積公式對于三角函數(shù)式的求值、化簡及三角函數(shù)式的恒等變形有著重要的作用，應用時要注意只有系數(shù)絕對值相同的同名函數(shù)的和與差，才能直接運用推論化成積的形式，如果是一正弦與一余弦的和或差，可先用誘導公式化成同名函數(shù)后，再運用推論化成積的形式.[練習4]　＝________.答案：　解析：原式＝＝＝.研習5 和差化積公式、積化和差公式的應用[典例5]　若sin(α＋β)sin(β－α)＝m，則cos2α－cos2β等于________．[思路分析]根據(jù)題目條件中為兩角和與差的關(guān)系式，而求解的結(jié)果為單角的關(guān)系式的特征，可以考慮用積化和差公式加以應用．[自主記][答案]　m[解析]　由積化和差公式得sin(α＋β)sin(β－α)＝－(cos 2β－cos 2α)＝－(2cos2β－1－2cos2α＋1)＝－(2cos2β－2cos2α)＝cos2α－cos2β＝m，故答案為m.[巧歸納]　對于一些比較復雜的含有積或和(差)形式的三角函數(shù)式，往往可以利用和差化積公式或積化和差公式加以處理與解決，關(guān)鍵是正確掌握相應的公式并會應用.[練習5]　cos2x＋cos2(120°＋x)＋cos2(240°＋x)＝________.答案：　解析：原式＝＋＋＝＋[cos 2x＋cos(240°＋2)＋cos(480°＋2x)]＝＋[cos 2x＋2cos(360°＋2x)cos 120°]＝＋(cos 2x－cos 2x)＝.達標篇·課堂速測演習1.函數(shù)y＝sincos x的最大值為(　　)A. B. C．1 D.答案：B　解析：利用積化和差公式得y＝sin(x－)cos x＝＝sin－，則其最大值為－＝.2.直角三角形中兩銳角為A和B，則sin Asin B的最大值為________．答案：　解析：因為A＋B＝，sin Asin B＝[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝cos(A－B)．又－<A－B<，即0<cos(A－B)≤1，所以sin Asin B最大值為.3.函數(shù)f(x)＝2sinsin的最大值等于________．答案：2sin2　解析：f(x)＝2sinsin＝－[cos α－cos(x－α)]＝cos(x－α)－cos α.當cos(x－α)＝1時，f(x)取得最大值1－cos α＝2sin2.4.求sin220°＋cos250°＋sin 20°cos 50°的值．解：解法一：原式＝(1－cos 40°)＋(1＋cos 100°)＋sin 20°·cos 50°＝1＋(cos 100°－cos 40°)＋(sin 70°－sin 30°)＝－sin 70°·sin 30°＋sin 70°＝.解法二：原式＝(sin 20°＋cos 50°)2－sin 20°·cos 50°＝(2sin 30°·cos 10°)2－(sin 70°－sin 30°)＝cos210°－cos 20°＋＝－cos 20°＋＝.