一、選擇題
1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為( )
A．α＞β B．α＝β
C．α＋β＝90°D．α＋β＝180°
B [根據(jù)題意和仰角、俯角的概念畫(huà)出草圖，如圖．知α＝β，故選B.
]
2.如圖所示，在河岸AC測(cè)量河的寬度BC，圖中所標(biāo)的數(shù)據(jù)a，b，c，α，β是可供測(cè)量的數(shù)據(jù)．下面給出的四組數(shù)據(jù)中，對(duì)測(cè)量河寬較適宜的是( )
A．c和α B．c和b
C．c和β D．b和α
D [b在岸上比較好測(cè)量，α和β任選其一測(cè)量即可．]
3．一艘船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為( )
A． eq \f(17\r(6),2) n mile/h B．34 eq \r(6) n mile/h
C． eq \f(17\r(2),2) n mile/h D．34 eq \r(2) n mile/h
A [如圖所示，在△PMN中， eq \f(PM,sin 45°)＝ eq \f(MN,sin 120°)，
∴MN＝ eq \f(68×\r(3),\r(2))＝34 eq \r(6)，
∴v＝ eq \f(MN,4)＝ eq \f(17\r(6),2)(n mile/h).故選A.]
4．在地面上點(diǎn)D處，測(cè)量某建筑物的高度，測(cè)得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點(diǎn)20 m，則建筑物高度為( )
A．20 m B．30 m C．40 m D．60 m
C [如圖，設(shè)O為建筑物頂端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20 eq \r(3).在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60.
∴AB＝OA－OB＝40.故選C.]
5．一艘船以4 km/h的速度與水流方向成120°的方向航行，已知河水流速為2 km/h，則經(jīng)過(guò) eq \r(3) h，該船實(shí)際航程為( )
A．2 eq \r(15) km B．6 km
C．2 eq \r(21) km D．8 km
B [如圖所示，在△ACD中，AC＝2 eq \r(3)，CD＝4 eq \r(3)，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2 eq \r(3)×4 eq \r(3)× eq \f(1,2)＝36.
∴AD＝6.即該船實(shí)際航程為6 km.故選B.]
二、填空題
6．某人從A處出發(fā)，沿北偏東60°行走3 eq \r(3) km到B處，再沿正東方向行走2 km到C處，則A，C兩地的距離為_(kāi)_______km.
7 [如圖所示，由題意可知AB＝3 eq \r(3)，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×3 eq \r(3)×2×cs 150°＝49，AC＝7.則A，C兩地的距離為7 km.]
7．如圖，小明同學(xué)在山頂A處觀(guān)測(cè)到一輛汽車(chē)在一條水平的公路上沿直線(xiàn)勻速行駛，小明在A(yíng)處測(cè)得公路上B，C兩點(diǎn)的俯角分別為30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽車(chē)從C點(diǎn)到B點(diǎn)歷時(shí)14 s，則這輛汽車(chē)的速度為_(kāi)_______m/s.(精確到0.1，參考數(shù)據(jù)： eq \r(2)≈1.414， eq \r(5)≈2.236)
22.6 [由題意，AB＝200 m，AC＝100 eq \r(2) m，
由余弦定理可得BC＝ eq \r(40 000＋20 000－2×200×100\r(2)×（－\f(\r(2),2)）)≈316.2(m)，
這輛汽車(chē)的速度為316.2÷14≈22.6(m/s).]
8．我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書(shū)九章》卷五“田域類(lèi)”里記載了這樣一個(gè)題目：“今有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知為田幾何．”這道題講的是有一塊三角形的沙田，三邊長(zhǎng)分別為13里，14里，15里，假設(shè)1里按500米計(jì)算，則該沙田的面積為_(kāi)_______平方千米．
21 [設(shè)在△ABC中，a＝13里，b＝14里，c＝15里，
所以cs C＝ eq \f(132＋142－152,2×13×14)＝ eq \f(132＋（14－15）×（14＋15）,2×13×14)＝ eq \f(140,2×13×14)＝ eq \f(5,13)，
所以sin C＝ eq \f(12,13)，
故△ABC的面積為 eq \f(1,2)×13×14× eq \f(12,13)×5002× eq \f(1,1 0002)＝21(平方千米).]
三、解答題
9.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2 eq \r(3)，點(diǎn)D在BC邊上，∠ADC＝45°，求AD的長(zhǎng)度.
[解] 在△ABC中，由余弦定理，有
cs C＝ eq \f(AC2＋BC2－AB2,2AC·BC)＝ eq \f(22＋（2\r(3)）2－22,2×2×2\r(3))＝ eq \f(\r(3),2)，
則C＝30°.
在△ACD中，由正弦定理，有 eq \f(AD,sin C)＝ eq \f(AC,sin ∠ADC)，
∴AD＝ eq \f(AC·sin 30°,sin 45°)＝ eq \f(2×\f(1,2),\f(\r(2),2))＝ eq \r(2)，即AD的長(zhǎng)度等于 eq \r(2).
10．濟(jì)南泉城廣場(chǎng)上的泉標(biāo)是隸書(shū)“泉”字，其造型流暢別致，成了濟(jì)南的標(biāo)志和象征．小明同學(xué)想測(cè)量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場(chǎng)的A點(diǎn)測(cè)得泉標(biāo)頂端的仰角為60°，他又沿著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)15.2 m，到達(dá)B點(diǎn)，又測(cè)得泉標(biāo)頂端的仰角為80°.你能幫小明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度嗎？(精確到1 m)
[解] 如圖所示，點(diǎn)C，D分別為泉標(biāo)的底部和頂端．依題意，得∠BAD＝60°，∠CBD＝80°，AB＝15.2 m，則∠ABD＝100°，故∠ADB＝180°－(60°＋100°)＝20°.
在△ABD中，根據(jù)正弦定理，得 eq \f(BD,sin 60°)＝ eq \f(AB,sin ∠ADB)，
∴BD＝ eq \f(AB·sin 60°,sin 20°)＝ eq \f(15.2·sin 60°,sin 20°)≈38.5(m).
在Rt△BCD中，CD＝BD sin 80°≈38.5·sin 80°≈38(m)，
即泉城廣場(chǎng)上泉標(biāo)的高約為38 m．
11.如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線(xiàn)的一點(diǎn)C，然后給出了三種測(cè)量方案(△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c)：
①測(cè)量A，B，b；②測(cè)量a，b，C；③測(cè)量A，B，a.
則一定能確定A，B間距離的所有方案的個(gè)數(shù)為( )
A．3 B．2 C．1 D．0
A [對(duì)于①，利用內(nèi)角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理 eq \f(b,sin B)＝ eq \f(c,sin C)解出c；
對(duì)于②，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cs C即可解出c；
對(duì)于③，先利用內(nèi)角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理 eq \f(a,sin A)＝ eq \f(c,sin C)解出c.故選A.]
12．甲船在湖中B島的正南A處，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同時(shí)乙船從B島出發(fā)，以12 km/h的速度向北偏東60°方向駛?cè)?，則行駛15 min時(shí)，兩船的距離是( )
A． eq \r(7) km B． eq \r(13) km
C． eq \r(19) km D． eq \r(10－3\r(3)) km
B [由題意知AM＝8× eq \f(15,60)＝2，BN＝12× eq \f(15,60)＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BN cs 120°＝1＋9－2×1×3×(－ eq \f(1,2))＝13，
所以MN＝ eq \r(13) km.故選B.]
13.如圖，某市在進(jìn)行城市環(huán)境建設(shè)中，要把一個(gè)四邊形ABCD區(qū)域改造成公園，經(jīng)過(guò)測(cè)量得到AB＝1 km，BC＝2 km，CD＝3 km，AD＝4 km，且∠ABC＝120°，則這個(gè)區(qū)域的面積是________km2.
eq \f(\r(3)＋3\r(7),2) [連接AC(圖略)，在△ABC中，AB＝1 km，BC＝2 km，∠ABC＝120°，利用余弦定理得AC2＝BC2＋AB2－2AB·BC cs ∠ABC＝4＋1＋2×1×2× eq \f(1,2)＝7，即AC＝ eq \r(7) km.
在△ACD中，因?yàn)锳C＝ eq \r(7) km，CD＝3 km，AD＝4 km，所以AC2＋CD2＝AD2，則△ACD為直角三角形，且∠ACD＝90°.
故S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝ eq \f(1,2)AB·BC·sin ∠ABC＋ eq \f(1,2)AC·CD＝ eq \f(1,2)×1×2×sin 120°＋ eq \f(1,2)× eq \r(7)×3＝ eq \f(\r(3)＋3\r(7),2)(km2).]
14.某班設(shè)計(jì)了一個(gè)八邊形的班徽，它由腰長(zhǎng)為1，頂角為α的四個(gè)等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形組成．該八邊形的面積為_(kāi)_______．
2sin α－2cs α＋2 [ 三角形的底邊長(zhǎng)為x＝ eq \r(1＋1－2×1×1×cs α)＝ eq \r(2－2cs α)，
∴S＝4S三角形＋S正方形＝4× eq \f(1,2)×1×1×sin α＋x2＝2sin α＋2－2cs α＝2sin α－2cs α＋2.]
15．為保障高考的公平性，高考時(shí)每個(gè)考點(diǎn)都要安裝手機(jī)屏蔽儀，要求在考點(diǎn)周?chē)? km處不能收到手機(jī)信號(hào)．檢查員抽查青島市一考點(diǎn)，在考點(diǎn)正西 eq \r(3) km有一條北偏東60°方向的公路，在此處檢查員用手機(jī)接通電話(huà)，以每小時(shí)12 km的速度沿公路行駛，問(wèn)最長(zhǎng)需要多少分鐘檢查員開(kāi)始收不到信號(hào)，并至少持續(xù)多長(zhǎng)時(shí)間該考點(diǎn)才算合格？
[解] 如圖所示，考點(diǎn)為A，檢查開(kāi)始處為B，設(shè)檢查員行駛到公路上C，D兩點(diǎn)之間時(shí)收不到信號(hào)，即公路上C，D兩點(diǎn)到考點(diǎn)的距離為1 km.
在△ABC中，AB＝ eq \r(3)km，
AC＝1 km，∠ABC＝30°，
由正弦定理，得
sin ∠ACB＝ eq \f(sin 30°,AC)×AB＝ eq \f(\r(3),2)，
∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合題意)，
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1 km.
在△ACD中，AC＝AD＝1 km，∠ACD＝60°，
∴△ACD為等邊三角形，∴CD＝1 km.
∵ eq \f(BC,12)×60＝5(min)，
∴在BC上需5 min，CD上需5 min.
∴最長(zhǎng)需要5 min檢查員開(kāi)始收不到信號(hào)，并持續(xù)至少5 min才算合格．

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6.1 余弦定理與正弦定理

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