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2020-2021學(xué)年浙江省金華市義烏市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（本題有10小題，每小題3分，共30分）1．一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是﹣2020，則這個(gè)數(shù)是（ ?。?/span>A．2020 B．﹣2020 C． D．【分析】直接利用相反數(shù)的定義得出答案．【解答】解：∵一個(gè)數(shù)的相反數(shù)是﹣2020，∴這個(gè)數(shù)是：2020．故選：A．2．用科學(xué)記數(shù)法表示439000，結(jié)果應(yīng)為（ ?。?/span>A．0.439×106 B．4.39×106 C．4.39×105 D．439×103【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：439000用科學(xué)記數(shù)法表示為4.39×105，故選：C．3．如圖是由4個(gè)大小相同的正方體組合而成的幾何體，其俯視圖是（ ?。?/span>A． B． C． D．【分析】找到從幾何體的上面看所得到的圖形即可．【解答】解：俯視圖有3列，從左往右小正方形的個(gè)數(shù)是1，1，1，故選：C．4．在數(shù)軸上表示不等式組﹣2≤x＜4，正確的是（ ?。?/span>A． B． C． D．【分析】根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來即可．【解答】解：在數(shù)軸上表示不等式﹣2≤x＜4的解集為：故選：A．5．已知兩個(gè)有理數(shù)a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（ ?。?/span>A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＞0 C．a、b同號(hào) D．a、b異號(hào)，且正數(shù)的絕對(duì)值較大【分析】先由有理數(shù)的乘法法則，判斷出a，b異號(hào)，再用有理數(shù)加法法則即可得出結(jié)論．【解答】解：∵ab＜0，∴a，b異號(hào)，∵a+b＞0，∴正數(shù)的絕對(duì)值較大，故選：D．6．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝70°，則∠ADC的度數(shù)是（ ?。?/span>A．70° B．110° C．130° D．140°【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC＝70°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣70°＝110°，故選：B．7．在一個(gè)口袋中有4個(gè)完全相同的小球，它們的標(biāo)號(hào)分別為1，2，3，4，從中隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，則摸出的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于4的概率是（ ?。?/span>A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)和摸出的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于4的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．【解答】解：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次取出的球標(biāo)號(hào)和大于4的有8種結(jié)果，所以摸出的兩個(gè)小球標(biāo)號(hào)之和大于4的概率是＝，故選：D．8．把一些書分給幾名同學(xué)，若________；若每人分11本，則不夠．依題意，設(shè)有x名同學(xué)，可列不等式9x+7＜11x，則橫線上的信息可以是（ ?。?/span>A．每人分7本，則可多分9個(gè)人 B．每人分7本，則剩余9本 C．每人分9本，則剩余7本 D．其中一個(gè)人分7本，則其他同學(xué)每人可分9本【分析】根據(jù)不等式表示的意義解答即可．【解答】解：由不等式9x+7＜11x，可得：把一些書分給幾名同學(xué)，若每人分9本，則剩余7本；若每人分11本，則不夠；故選：C．9．如圖，AC垂直于AB，P為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，F為PD的中點(diǎn)，AC＝2.8m，PD＝2.4m，CF＝1.2m，∠DPE＝15°．若∠PEB＝90°，∠EBA＝65°，則AP的長約為（ ?。▍⒖紨?shù)據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64）A．1.2 B．1.3m C．1.5m D．2.0m【分析】過點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，根據(jù)題意可得，當(dāng)太陽光線與PE垂直時(shí)，遮陽效果最佳，即∠BEP＝90°，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得∠CPF的度數(shù)，再根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求出CP的長，進(jìn)而可得遮陽效果最佳時(shí)AP的長．【解答】解：如圖，過點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，根據(jù)題意可知：當(dāng)太陽光線與PE垂直時(shí)，遮陽效果最佳，∴∠BEP＝90°，∵∠A＝90°，∠B＝65°，∴∠EPA＝360°﹣90°﹣90°﹣65°＝115°，∵∠DPE＝15°，∴∠APD＝130°，∴∠CPF＝50°，∵F為PD的中點(diǎn)，∴DF＝PF＝PD＝1.2（m），∴CF＝PF＝1.2（m），∴CP＝2PG＝2×PF?cos50°≈2×1.2×0.64≈1.53，∴AP＝AC﹣PC＝2.8﹣1.53≈1.3（m）．所以要遮陽效果最佳AP的長約為1.3米．故選：B．10．某班“數(shù)學(xué)興趣小組”探究出了有關(guān)函數(shù)y＝|﹣2|（圖象如圖）的三個(gè)結(jié)論：①方程|﹣2|＝0有1個(gè)實(shí)數(shù)根，該方程的根是x＝3；②如果方程|﹣2|＝a只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是a＝2或a＝0；③如果方程|﹣2|＝a有2個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是0＜a＜2或a＞2．你認(rèn)為正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（ ）A．3 B．2 C．1 D．0【分析】觀察圖象，數(shù)形結(jié)合解可得到答案．【解答】解：由圖象可知，函數(shù)y＝|﹣2|的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（3，0），故方程|﹣2|＝0有1個(gè)實(shí)數(shù)根，該方程的根是x＝3，①正確；由①知a＝0時(shí)，如果方程|﹣2|＝a只有一個(gè)實(shí)數(shù)根x＝3，∵≠0，∴﹣2≠﹣2，即﹣2≠﹣2無解，∴|﹣2|＝2的解即是﹣2＝2的解x＝0，∴如果方程|﹣2|＝a只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是a＝2或a＝0，故②正確；觀察圖象可知x軸下方?jīng)]有圖象，即a＜0時(shí)，|﹣2|＝a無解，而由②知方程|﹣2|＝a只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，a＝2或a＝0，即方程|﹣2|＝a有2個(gè)實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是0＜a＜2或a＞2，故③正確；∴正確的由①②③，故選：A．二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）因式分解：x2﹣9＝?。?/span>x+3）（x﹣3） ．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案為：（x+3）（x﹣3）．12．（4分）為了考察甲、乙兩種小麥的長勢(shì)，分別從中抽出20株測(cè)得其高度，并求得它們的方差分別為S甲2＝3.6，S乙2＝15.8，則 甲 種小麥的長勢(shì)比較整齊．【分析】根據(jù)方差的定義判斷．方差越小小麥的長勢(shì)越整齊．【解答】解：因?yàn)?/span>S甲2＝3.6＜S乙2＝15.8，方差小的為甲，所以長勢(shì)比較整齊的小麥?zhǔn)羌祝?/span>故填甲．13．（4分）如圖，平行于y軸的直尺（部分）與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于A，C兩點(diǎn)，與x軸交于B，D兩點(diǎn)，連接AC，點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)直尺上的刻度分別為5，2，直尺的寬度BD＝2，OB＝2，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是?。?/span>4，） ．【分析】根據(jù)點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)直尺上的刻度分別為5、2，OB＝2．BD＝2，即可求得A的坐標(biāo)，C的橫坐標(biāo)，關(guān)鍵待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，然后把C的橫坐標(biāo)代入即可求得C的坐標(biāo)．【解答】解：∵直尺平行于y軸，A、B對(duì)應(yīng)直尺的刻度為5、2，且OB＝2，∴A（2，3），∵反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，∴m＝2×3＝6，∴y＝∵直尺的寬度BD＝2，OB＝2．∴C的橫坐標(biāo)為4，把x＝4代入y＝得，y＝＝，∴，故答案為（4，）．14．（4分）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則∠ACB﹣∠DCE＝ 45 °（點(diǎn)A、B、C、D、E是網(wǎng)格線交點(diǎn)）．【分析】如圖，連接CG、AG，根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠CGA＝90°，從而知△CGA是等腰直角三角形，根據(jù)平行線的性質(zhì)和三角形全等，可知：∠ACB﹣∠DCE＝∠CAG，即可得解．【解答】解：如圖，連接CG、AG，由勾股定理得：AG2＝CG2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴AG2+CG2＝AC2，∴∠CGA＝90°，∴△CAG是等腰直角三角形，∴∠CAG＝45°，∵AF∥BC，∴∠CAF＝∠BCA，在△AFG和△CDE中，，∴△AFG≌△CDE（SAS），∴∠FAG＝∠DCE，∴∠ACB﹣∠DCE＝∠CAF﹣∠FAG＝∠CAG＝45°．故答案為：45．15．（4分）如圖，這是一個(gè)供滑板愛好者使用的U型池的示意圖，該U型池可以看成是長方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為的半圓，其邊緣AB＝CD＝20m，點(diǎn)E在CD上，CE＝5m，一滑板愛好者從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)，則他滑行的最短距離約為 25 m．（邊緣部分的厚度忽略不計(jì)）【分析】要求滑行的最短距離，需將該U型池的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．【解答】解：如圖是其側(cè)面展開圖：AD＝π＝20m，AB＝CD＝20m．DE＝CD﹣CE＝20﹣5＝15（m），在Rt△ADE中，AE＝＝＝25（m）．故他滑行的最短距離約為25m．故答案為：25．16．（4分）在平行四邊形ABCD中，AF平分∠BAD交BC于點(diǎn)F，∠BAC＝90°，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上的點(diǎn)，連接BE．（1）如圖1，若AB＝AE＝AF，點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)，則＝ ．（2）如圖2，以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，在BE的右下方作等腰直角△BEQ，若點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，設(shè)在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，BQ的中點(diǎn)T，經(jīng)過的路徑長為a，AC的長為b，則＝ ．【分析】（1）通過證明△BGF∽△BFE，可得＝＝；（2）在AC上取一點(diǎn)N，使得AN＝AB，連接BN，NQ，取BN的中點(diǎn)J，連接TJ，通過證明△ABE∽△NBQ，可得＝，∠AEB＝∠BQN，可求a＝JT＝NQ＝AE，b＝AE＝AC，即可求解．【解答】解：（1）∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠DAF，∵AD∥BC，∴∠DAF＝∠AFB，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF，∵AB＝AE＝AF，∴AB＝AF＝BF，∴△ABF是等邊三角形，∴∠ABF＝∠BAF＝∠AFB＝60°，設(shè)AB＝AE＝AF＝x，則BF＝x，∵∠BAE＝90°，點(diǎn)G是BE的中點(diǎn)，∴BE＝x，BG＝AG＝GE＝x，∠BAG＝∠ABG＝45°，∴∠GAF＝∠GBF＝15°，＝，∴△BGF∽△BFE，∴＝＝，故答案為：；（2）如圖2中，在AC上取一點(diǎn)N，使得AN＝AB，連接BN，NQ，取BN的中點(diǎn)J，連接TJ．∵△ABN，△BEQ都是等腰直角三角形，∴BN＝AB，BQ＝BE，∠ABN＝∠EBQ＝45°，∴，∠ABE＝∠NBQ，∴△ABE∽△NBQ，∴＝，∠AEB＝∠BQN，∵∠AEB+∠BEC＝180°，∴∠BQN+∠BEC＝180°，∴∠EBQ+∠ENQ＝180°，∵∠EBQ＝∠ENQ＝45°，∴∠ENQ＝135°，∠BNQ＝90°，∵BJ＝JN，BT＝TQ，∴TJ∥NQ，TJ＝NQ，∴∠BJT＝∠BNQ＝90°，∴點(diǎn)T的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段JT，∴a＝JT＝NQ＝AE，∵點(diǎn)E從A運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，AE＝AC＝b，∴a＝b，∴＝，故答案為．三、解答題（本題有8小題，共66分，各小題都必須寫出解答過程）17．（6分）計(jì)算：|﹣2|+（3﹣π）0﹣+6cos30°．【分析】應(yīng)用絕對(duì)值化簡，零次冪、根式化簡，特殊角三角函數(shù)值法則進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)果．【解答】解：原式＝＝＝3．18．（6分）化簡（+）×，并從1，2，3中選取所有合適的數(shù)作為a代入求值．【分析】先根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則化簡原式，再將使分式有意義的a的值代入計(jì)算即可．【解答】解：原式＝，當(dāng)a＝1時(shí)，原式＝．當(dāng)a＝3時(shí)，原式＝．19．（6分）為了了解中考英語人機(jī)對(duì)話日常訓(xùn)練情況，某市從某校九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行了一次英語人機(jī)對(duì)話測(cè)試（把測(cè)試結(jié)果分為四個(gè)等級(jí)：A級(jí)：優(yōu)秀；B級(jí)：良好；C級(jí)：及格；D級(jí)：不及格），并將測(cè)試結(jié)果繪成了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問題：（1）本次抽樣測(cè)試的學(xué)生人數(shù)是 40 人；（2）圖1中∠α的度數(shù)是 90° ，并把圖2條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；（3）今年該市九年級(jí)大約有學(xué)生20000名，如果全部參加這次中考英語人機(jī)對(duì)話測(cè)試，請(qǐng)估計(jì)不及格的人數(shù)為多少人？【分析】（1）從兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖中可以得到“B級(jí)良好”的人數(shù)為16人，占調(diào)查人數(shù)的40%，可求出調(diào)查人數(shù)；（2）求出“C組”的人數(shù)，進(jìn)而可求出“C組”所占的百分比，再求所占圓心角的度數(shù)；（3）樣本中“D組不及格”的占，估計(jì)總體20000人中有的不及格．【解答】解：（1）16÷40%＝40人，故答案為：40；（2）40﹣12﹣16﹣2＝10，360°×＝90°，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：（3）20000×＝1000人，答：該市九年級(jí)20000名學(xué)生中，英語人機(jī)對(duì)話測(cè)試不及格的大約有100人．20．（8分）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+2x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，3），與x軸交于點(diǎn)A，B，直線BC的解析式是y＝﹣x+b．（1）求二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)．（2）求不等式ax2+2x+c≤﹣x+b的解集．【分析】（1）將C點(diǎn)代入到直線BC的解析式，求出b，再由直線BC的解析式，求出B點(diǎn)坐標(biāo)，將B，C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入到二次函數(shù)解析式中，得到二次函數(shù)解析式，再將其配成頂點(diǎn)式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)題意，B點(diǎn)和C點(diǎn)直線和拋物線的交點(diǎn)，根據(jù)圖象，數(shù)形結(jié)合，即可求解．【解答】解：（1）∵y＝x+b經(jīng)過點(diǎn)C（0，3），∴b＝3，∴直線BC的解析式為：y＝﹣x+3，令y＝0，則﹣x+3＝0，∴x＝﹣3，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），∴B（3，0），∵y＝ax2+2x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)C（0，3），B（3，0），∴，解得，∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴此二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）；（2）由題可得，當(dāng)x＝0或3時(shí)，ax2+bx+c＝﹣x+b，根據(jù)圖象可得：x≤0或x≥3時(shí)，ax2+bx+c≤﹣x+b，∴原不等式的解集為：x≤0或x≥3．21．（8分）如圖所示，AC與⊙O相切于點(diǎn)C，線段AO交⊙O于點(diǎn)B．過點(diǎn)B作BD∥AC交⊙O于點(diǎn)D，連接CD，OC，且OC交DB于點(diǎn)E．若．（1）求∠COB的大小和⊙O的半徑長．（2）求由弦CD，BD與弧BC所圍成的陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)定理和平行線的性質(zhì)定理得到OC⊥BD，根據(jù)垂徑定理得到BE的長，再根據(jù)圓周角定理發(fā)現(xiàn)∠BOE＝60°，從而根據(jù)銳角三角函數(shù)求得圓的半徑；（2）結(jié)合（1）中的有關(guān)結(jié)論證明△DCE≌△BOE，則它們的面積相等，故陰影部分的面積就是扇形OBC的面積．【解答】解：（1）∵AC與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠ACO＝90°∵BD∥AC，∴∠BEO＝∠ACO＝90°，∴DE＝EB＝BD＝（cm），∵∠D＝30°，∴∠O＝2∠D＝60°，在Rt△BEO中，sin60°＝，∴＝，∴OB＝5，故⊙O的半徑長為5cm；（2）由（1）可知，∠O＝60°，∠BEO＝90°，∴∠EBO＝∠D＝30°∵∠CED＝∠BEO，BE＝ED，，∴△CDE≌△OBE（ASA），∴S陰影＝S扇形＝＝（cm2）．答：陰影部分的面積為cm2．22．（10分）在疫情期間，某地推出線上名師公益大課堂，為廣大師生、其他社會(huì)人士提供線上專業(yè)知識(shí)學(xué)習(xí)、心理健康疏導(dǎo)．參與學(xué)習(xí)第一批公益課的人數(shù)達(dá)到2萬人，因該公益課社會(huì)反響良好，參與學(xué)習(xí)第三批公益課的人數(shù)達(dá)到2.42萬人．參與學(xué)習(xí)第二批、第三批公益課的人數(shù)的增長率相同．（1）求這個(gè)增長率；（2）據(jù)大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，參與學(xué)習(xí)第三批公益課的人數(shù)中，師生人數(shù)在參與學(xué)習(xí)第二批公益課的師生人數(shù)的基礎(chǔ)上增加了80%；但因?yàn)橐呀?jīng)部分復(fù)工，其他社會(huì)人士的人數(shù)在參與學(xué)習(xí)第二批公益課的其他社會(huì)人士人數(shù)的基礎(chǔ)上減少了60%．求參與學(xué)習(xí)第三批公益課的師生人數(shù)．【分析】（1）設(shè)參與學(xué)習(xí)第二批、第三批公益課的人數(shù)的增長率為x，根據(jù)“第一批公益課受益學(xué)生2萬人次，第三批公益課受益學(xué)生2.42萬人次”可列方程求解．（2）設(shè)參與學(xué)習(xí)第二批公益課的人數(shù)中，師生有a萬人，其他人士有b萬人．根據(jù)“第三批公益課的人數(shù)＝第二批公益課的師生人數(shù)×（1+80%）”、“其他社會(huì)人士的人數(shù)在參與學(xué)習(xí)第二批公益課的其他社會(huì)人士人數(shù)的基礎(chǔ)上減少了60%”列出方程組并解答．【解答】解：（1）設(shè)參與學(xué)習(xí)第二批、第三批公益課的人數(shù)的增長率為x，根據(jù)題意，得2（1+x）2＝2.42，解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．答：參與學(xué)習(xí)第二批、第三批公益課的人數(shù)的增長率為10%． （2）設(shè)參與學(xué)習(xí)第二批公益課的人數(shù)中，師生有a萬人，其他人士有b萬人．根據(jù)題意，得．解方程組，得a×（1+80%）＝1.1×1.8＝1.98．答：參與第三批公益課的師生人數(shù)為1.98萬人．23．（10分）如圖，四邊形OBAC中，OB⊥OC，且滿足∠BAC＝90°，連接AO．（1）如圖1，當(dāng)∠AOB＝45°時(shí)，求證：AB＝AC．（2）如圖2，若tan∠AOB＝，求的值．（3）如圖3，延長CA，OB交于點(diǎn)D，連接BC，過點(diǎn)D作DF⊥AC，若OB＝2，OC＝OD＝6．試探究：在射線DF上，是否存在點(diǎn)E，使得△DCE的某一個(gè)內(nèi)角等于∠BCO的2倍？若存在，連接EO，求tan∠EOB的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）如圖1，過點(diǎn)A作OB和OC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N，證明△ANC≌△Rt△AMB，可得結(jié)論．（2）如圖2，過點(diǎn)A作OB和OC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N，證明△ANC∽△AMB，可得結(jié)論．（3）過點(diǎn)E作EH⊥OB于H，作BC的垂直平分線交OC于點(diǎn)G，則GC＝GB，分兩種情形：①當(dāng)∠DCE＝2∠BCO時(shí)，②當(dāng)∠DEC＝2∠BCO時(shí)，利用相似三角形的性質(zhì)分別求解即可．【解答】（1）證明；如圖1，過點(diǎn)A作OB和OC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N，當(dāng)∠AOB＝45°時(shí)，∵OB⊥OC，∴∠BOC＝90°，∴∠AOB＝∠AOC＝45°，∵AM⊥OM，AN⊥OC，∴AM＝AN，∵∠CAN+∠NAB＝90°，∠NAB+∠BAM＝90°，∴∠CAN＝∠BAM，∵∠ANC＝∠AMB＝90°，∴△ANC≌△Rt△AMB（ASA），∴AC＝AB； （2）解：如圖2，過點(diǎn)A作OB和OC的垂線，垂足分別為點(diǎn)M、N，同理可得：∠CAN＝∠BAM，∵∠ANC＝∠AMB＝90°∴△ANC∽△AMB，∴，故的值為； （3）解：存在．如圖3，過點(diǎn)E作EH⊥OB于H，作BC的垂直平分線交OC于點(diǎn)G，則GC＝GB，∴∠GBC＝∠GCB，∴∠OGB＝∠GBC+∠GCB＝2∠BCO，∵GB2＝OG2+OB2，∴（6﹣OG）2＝4+OG2，∴，∴，∵OC≠OB，∴∠CDE≠2∠BCO，①當(dāng)∠DCE＝2∠BCO時(shí)，∴，∴，又可證得△DEH∽△OCD，∴，∴，∴．②當(dāng)∠DEC＝2∠BCO時(shí)，同理可得EH＝DH＝8，∴．綜上所述：或．24．（12分）已知，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C．（1）若a＝﹣1，如圖1，已知A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A（﹣1，0），C（0，3）．①求拋物線的解析式，并求出B的坐標(biāo)．②點(diǎn)P是拋物線上第一象限內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，y軸上有一點(diǎn)D（0，1），連接DP交BC于點(diǎn)H，若H恰好平分DP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（2）若a＝1，b＝k﹣1，c＝﹣k，k＞0，如圖2，拋物線與一次函數(shù)y＝kx+1的圖象交于E，F兩點(diǎn)，點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)．在直線EF上是否存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠AQO＝90°？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【分析】（1）①利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)x軸上點(diǎn)的特征令y＝0，求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；②結(jié)合圖形根據(jù)點(diǎn)的位置設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），G（m，3﹣m），根據(jù)平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定定理推出△CHD≌△GHP，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)得PG＝CD＝2，列出方程進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)題意設(shè)直線y＝kx+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)G、H，得到，H（0，1），，OH＝1，OA＝k，作出圖形推出直線y＝kx+1與以O、A為直徑的圓相切的切點(diǎn)為Q，此時(shí)∠AQO＝90°，結(jié)合圖形由線段之間的和差關(guān)系推出，，再根據(jù)相似三角形判定定理提出△MOG∽△HOG，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）①∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，3），∴，解得，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，得到﹣x2+2x+3＝0，解得x＝﹣1或3，∴B（3，0）；②如圖①中，過點(diǎn)P作PG∥y軸交BC于G，設(shè)P（m，﹣m2+2m+3），則G（m，3﹣m），∵D（0，1），∴OD＝1，∵OC＝3，∴CD＝2，∵PG∥CD，∴∠HCD＝∠HGP，在△CHD和△GHP中，，∴△CHD≌△GHP（AAS），∴PG＝CD＝2，∴PG＝﹣m2+2m+3﹣（3﹣m）＝2，解得m＝11或2，∴點(diǎn)P（1，4）或（2，3）；（2）如圖②所示，設(shè)直線y＝kx+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)G、H，則，H（0，1），，OH＝1，在Rt△GOH中，，令y＝x2+（k﹣1）x﹣k＝0，即（x+k）（x﹣1）＝0，解得x＝﹣k或x＝1．∴A（﹣k，0），OA＝k，設(shè)直線y＝kx+1與以O、A為直徑的圓相切的切點(diǎn)為Q，此時(shí)∠AQO＝90°，設(shè)點(diǎn)M為OA中點(diǎn)，連接MQ，則MQ⊥EF，，∴，∵∠MGQ＝∠HGO，∠MQG＝∠HOG＝90°，∴△MOG∽△HOG，∴，即，解得，∵k＞0，∴，又當(dāng)圓與直線相交且一個(gè)交點(diǎn)與A或O重合時(shí)，此時(shí)k＝1，∴存在實(shí)數(shù)k使在直線y＝kx+1上存在唯一一點(diǎn)Q，使得∠AQO＝90°，此時(shí)或k＝1．
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