?2021-2022學(xué)年浙江省金華市義烏市八年級(jí)第一學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題：（本題有10小題，每小題3分，共30分）
1．下面四個(gè)圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標(biāo)志，是軸對稱圖形的是（　　）
A． B． C． D．
2．若長度分別為a，3，5的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可以是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．8
3．下列各圖中，正確畫出AC邊上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
4．等腰三角形的一個(gè)角是70°，則它的底角是（　?。?br /> A．70°或55° B．70° C．55° D．40°
5．能說明命題“對于任何實(shí)數(shù)a，|a|＞﹣a”是假命題的一個(gè)反例可以是（　　）
A．a(chǎn)＝﹣2 B．a(chǎn)＝ C．a(chǎn)＝1 D．a(chǎn)＝
6．若a＞b，則下列式子一定成立的是（　?。?br /> A．3a＞﹣3b B．a(chǎn)m2＞bm2
C．a(chǎn)﹣1＞b﹣1 D．a(chǎn)﹣2＜﹣2+b
7．“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)、C點(diǎn)固定，OC＝CD＝DE，點(diǎn)D、E可在槽中滑動(dòng)．若∠BDE＝75°，則∠CDE的度數(shù)是（　　）

A．60° B．65° C．75° D．80°
8．如圖，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，則AC的長是（　　）

A． B． C． D．7
9．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4．則S1﹣S2+S3+S4等于（　?。?br />
A．4 B．6 C．8 D．12
10．如圖，點(diǎn)E在△DBC的邊DB上，點(diǎn)A在△DBC內(nèi)部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．給出下列結(jié)論：
①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正確的是（　?。?br />
A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）
11．用不等式表示：x與3的和大于6，則這個(gè)不等式是　 　．
12．已知命題：“如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的面積相等．”寫出它的逆命題：　 　，該逆命題是　 　命題（填“真”或“假”）．
13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，CD＝3cm，則點(diǎn)D到AB邊的距離為　 ?。?br />
14．已知△ABC≌△DEF，△ABC的三邊為的三邊為3、m、n，△DEF的三邊為5、p、q，若△ABC的各邊都是整數(shù)，則m+n+p+q的最大值為　 ?。?br /> 15．如圖，在等腰三角形ABC中，BC＝3cm，△ABC的面積是9cm2，腰AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)F，若點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，M為EF上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+DM的最小值為　 ?。?br />
16．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B與B′是關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)，當(dāng)△CPB'是直角三角形時(shí)，BP的長＝　 ?。?br />
三、解答題（本題有8小題，共66分，各小題都必須寫出解答過程）
17．解下列不等式：
（1）3（1﹣x）≥2（x+9）；
（2）．
18．如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求證：∠A＝∠D．

19．如圖，在6×6方格中，按下列要求畫三角形，使它的頂點(diǎn)均在方格的頂點(diǎn)上（小正方形的邊長為1）
（1）在圖甲中畫一個(gè)面積為6的等腰三角形；
（2）在圖乙中畫一個(gè)三角形與△ABC全等，且有一條公共邊．

20．如圖，已知△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F，若∠EAF＝90°，AF＝3，AE＝4．
（1）求邊BC的長；
（2）求出∠BAC的度數(shù)．

21．如圖，A、B兩個(gè)小鎮(zhèn)在河流的同側(cè)，它們到河流的距離AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，現(xiàn)要在河流邊修建一自來水廠分別向兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬元．
（1）請?jiān)诤恿魃线x擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）最低費(fèi)用為多少？

22．在防控新型冠狀病毒期間，甲、乙兩個(gè)服裝廠都接到了制做同一種型號(hào)的醫(yī)用防護(hù)服任務(wù)，已知甲、乙兩個(gè)服裝廠每天共制做這種防護(hù)服100套，甲服裝廠3天制做的防護(hù)服與乙服裝廠2天制做的防護(hù)服套數(shù)相同．
（1）求甲、乙兩個(gè)服裝廠每天各制做多少套這種防護(hù)服；
（2）現(xiàn)有1200套這種防護(hù)服的制做任務(wù)，要求不超過10天完成，若乙服裝廠每天多做8套，那么甲服裝廠每天至少多做多少套？
23．如圖，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)D從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線CB方向以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，射線MP⊥射線CB且BM＝10，點(diǎn)Q從M點(diǎn)出發(fā)，沿射線MP方向以每秒a個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，已知D、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t＝2時(shí)，△DMQ是等腰三角形，求a的值．
（2）求t為何值時(shí)，△DCA為等腰三角形．
（3）是否存在a，使得△DMQ與△ABC全等，若存在，請直接寫出a的值，若不存在，請說明由．

24．如圖，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，點(diǎn)P在直線OA上運(yùn)動(dòng)，連接PB，將△OBP沿直線BP折疊，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)記為O′．

（1）若AP＝AB，則點(diǎn)P到直線AB的距離是 　 ??；
（2）若點(diǎn)O′恰好落在直線AB上，求△OBP的面積；
（3）將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段PC，直線PC與直線AB的交點(diǎn)為Q，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一位置，使得△PBQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出OP的長；若不存在，請說明理由．



參考答案
一、選擇題：（本題有10小題，每小題3分，共30分）
1．下面四個(gè)圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標(biāo)志，是軸對稱圖形的是（　?。?br /> A． B． C． D．
【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．
解：A、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)正確．
故選：D．
2．若長度分別為a，3，5的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可以是（　?。?br /> A．1 B．2 C．3 D．8
【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理得出5﹣3＜a＜5+3，求出即可．
解：由三角形三邊關(guān)系定理得：5﹣3＜a＜5+3，
即2＜a＜8，
即符合的只有3，
故選：C．
3．下列各圖中，正確畫出AC邊上的高的是（　?。?br /> A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)三角形高的定義，過點(diǎn)B與AC邊垂直，且垂足在邊AC上，然后結(jié)合各選項(xiàng)圖形解答．
解：根據(jù)三角形高線的定義，只有D選項(xiàng)中的BE是邊AC上的高．
故選：D．
4．等腰三角形的一個(gè)角是70°，則它的底角是（　?。?br /> A．70°或55° B．70° C．55° D．40°
【分析】題中未指明已知的角是頂角還是底角，故應(yīng)該分情況進(jìn)行分析，從而求解．
解：①當(dāng)這個(gè)角是頂角時(shí)，底角＝（180°﹣70°）÷2＝55°；
②當(dāng)這個(gè)角是底角時(shí)，另一個(gè)底角為70°，頂角為40°．
故選：A．
5．能說明命題“對于任何實(shí)數(shù)a，|a|＞﹣a”是假命題的一個(gè)反例可以是（　?。?br /> A．a(chǎn)＝﹣2 B．a(chǎn)＝ C．a(chǎn)＝1 D．a(chǎn)＝
【分析】反例就是符合已知條件但不滿足結(jié)論的例子．可據(jù)此判斷出正確的選項(xiàng)．
解：說明命題“對于任何實(shí)數(shù)a，|a|＞﹣a”是假命題的一個(gè)反例可以是a＝﹣2，
故選：A．
6．若a＞b，則下列式子一定成立的是（　?。?br /> A．3a＞﹣3b B．a(chǎn)m2＞bm2
C．a(chǎn)﹣1＞b﹣1 D．a(chǎn)﹣2＜﹣2+b
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)來解即可．
解：由不等式的性質(zhì)可作出判斷：
A：兩邊同時(shí)乘以的不是同一個(gè)數(shù)，無法作出判斷，故A錯(cuò)誤；
B：當(dāng)m＝0時(shí)，兩邊都得0，故B錯(cuò)誤；
C：在a＞b兩邊同時(shí)乘以，不等號(hào)方向不變，再同時(shí)減1不等號(hào)仍然不變，故C 一定成立，故C正確；
D：不等式兩邊都加﹣2，不等號(hào)方向不變，故D錯(cuò)誤．
故選：C．
7．“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來的，借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點(diǎn)相連并可繞O轉(zhuǎn)動(dòng)、C點(diǎn)固定，OC＝CD＝DE，點(diǎn)D、E可在槽中滑動(dòng)．若∠BDE＝75°，則∠CDE的度數(shù)是（　　）

A．60° B．65° C．75° D．80°
【分析】根據(jù)OC＝CD＝DE，可得∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，進(jìn)一步根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可知∠BDE＝3∠ODC＝75°，即可求出∠ODC的度數(shù)，進(jìn)而求出∠CDE的度數(shù)．
解：∵OC＝CD＝DE，
∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC，
∴∠DCE＝∠O+∠ODC＝2∠ODC，
∵∠O+∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，
∴∠ODC＝25°，
∵∠CDE+∠ODC＝180°﹣∠BDE＝105°，
∴∠CDE＝105°﹣∠ODC＝80°．
故選：D．
8．如圖，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的頂點(diǎn)在相互平行的三條直線l1，l2，l3上，且l1，l2之間的距離為2，l2，l3之間的距離為3，則AC的長是（　?。?br />
A． B． C． D．7
【分析】過A、C點(diǎn)作l3的垂線構(gòu)造出直角三角形，根據(jù)三角形全等和勾股定理求出BC的長，再利用勾股定理即可求出．
解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°
又∠DAB+∠ABD＝90°
∴∠BAD＝∠CBE，
，
∴△ABD≌△BCE
∴BE＝AD＝3
在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理，得BC＝＝，
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AC＝×＝2；
故選：A．

9．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．分別以AB、AC、BC為邊在AB的同側(cè)作正方形ABEF、ACPQ、BCMN，四塊陰影部分的面積分別為S1、S2、S3、S4．則S1﹣S2+S3+S4等于（　　）

A．4 B．6 C．8 D．12
【分析】過F作AM的垂線交AM于D，通過證明S2＝SRt△ABC；S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC；S4＝SRt△ABC，進(jìn)而即可求解．
解：過F作AM的垂線交AM于D，
可證明Rt△ADF≌Rt△ABC，Rt△DFK≌Rt△CAT，
所以S2＝SRt△ABC．
由Rt△DFK≌Rt△CAT可進(jìn)一步證得：Rt△FPT≌Rt△EMK，
∴S3＝S△FPT，
又可證得Rt△AQF≌Rt△ACB，
∴S1+S3＝SRt△AQF＝SRt△ABC．
易證Rt△ABC≌Rt△EBN，
∴S4＝SRt△ABC，
∴S1﹣S2+S3+S4
＝（S1+S3）﹣S2+S4
＝SRt△ABC﹣SRt△ABC+SRt△ABC
＝6﹣6+6
＝6，
故選：B．

10．如圖，點(diǎn)E在△DBC的邊DB上，點(diǎn)A在△DBC內(nèi)部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC．給出下列結(jié)論：
①BD＝CE；②∠ABD+∠ECB＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正確的是（　?。?br />
A．①②③④ B．②④ C．①②③ D．①③④
【分析】只要證明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性質(zhì)即可一一判斷．
解：∵∠DAE＝∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝∠EAC，
∵AD＝AE，AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC，
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ECA，故①正確，
∴∠ABD+∠ECB＝∠ECA+∠ECB＝∠ACB＝45°，故②正確，
∵∠ECB+∠EBC＝∠ABD+∠ECB+∠ABC＝45°+45°＝90°，
∴∠CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正確，
∴BE2＝BC2﹣EC2＝2AB2﹣（CD2﹣DE2）＝2AB2﹣CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）﹣CD2．故④正確，
故選：A．
二、填空題（本題有6小題，每小題4分，共24分）
11．用不等式表示：x與3的和大于6，則這個(gè)不等式是　x+3＞6　．
【分析】x與3的和表示為x+3，大于6即“＞6”，據(jù)此可得．
解：根據(jù)題意知這個(gè)不等式為x+3＞6，
故答案為：x+3＞6．
12．已知命題：“如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的面積相等．”寫出它的逆命題：　如果兩個(gè)三角形的面積相等，那么這兩個(gè)三角形全等　，該逆命題是　假　命題（填“真”或“假”）．
【分析】交換原命題的題設(shè)和結(jié)論即可得到該命題的逆命題．
解：“如果兩個(gè)三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的面積相等．”寫成它的逆命題：如果兩個(gè)三角形的面積相等，那么這兩個(gè)三角形全等，該逆命題是假命題，
故答案為：如果兩個(gè)三角形的面積相等，那么這兩個(gè)三角形全等；假．
13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，CD＝3cm，則點(diǎn)D到AB邊的距離為　3cm?。?br />
【分析】過D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得出CD＝DE即可解決問題；
解：如圖，過D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，

∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，
∴CD＝DE（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等），
∵CD＝3cm，
∴DE＝3cm．
故答案為3cm．
14．已知△ABC≌△DEF，△ABC的三邊為的三邊為3、m、n，△DEF的三邊為5、p、q，若△ABC的各邊都是整數(shù)，則m+n+p+q的最大值為　22?。?br /> 【分析】根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得m、n中有一邊為5，p、q有一邊為3，剩下的兩邊相等，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊求出最長的邊，然后相加即可．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴m、n中有一邊為5，
p、q中有一邊為3，
m、n與p、q中剩余兩邊相等，
∵3+5＝8，
∴兩三角形剩余兩邊最大為7，
∴m+n+p+q的最大值為：3+5+7+7＝22．
故答案為：22．
15．如圖，在等腰三角形ABC中，BC＝3cm，△ABC的面積是9cm2，腰AB的垂直平分線EF交AC于點(diǎn)F，若點(diǎn)D為BC邊上的中點(diǎn)，M為EF上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+DM的最小值為　6cm?。?br />
【分析】連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知，點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長為BM+MD的最小值，由此即可得出結(jié)論．
解：連接AD，
∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC?AD＝×3×AD＝9cm2，
解得AD＝6cm，
∵EF是線段AB的垂直平分線，
∴點(diǎn)B關(guān)于直線EF的對稱點(diǎn)為點(diǎn)A，
∴AD的長為BM+MD的最小值，
∴BM+DM的最小值＝6（cm）．
故答案為：6cm．

16．如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B與B′是關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)，當(dāng)△CPB'是直角三角形時(shí)，BP的長＝　1或?。?br />
【分析】分兩種情形：∠PCB′＝90°，∠CPB′＝90°，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．
解：如圖1中，當(dāng)∠PCB′＝90°時(shí)，設(shè)PB＝PB′＝x．

∵AC＝3，CB＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
由翻折的性質(zhì)可知，AB＝AB′＝5，
在Rt△PCB′中，PC2+CB′2＝PB′2，
∴（4﹣x）2+22＝x2，
∴x＝，
∴PB＝．
如圖2中，當(dāng)∠CPB′＝90°，設(shè)PB＝y(tǒng)．

過點(diǎn)A作AT⊥B′P交B′P的延長線于點(diǎn)T，則四邊形ACPT是矩形，
∴PT＝AC＝3，AT＝CP＝4﹣y，
在Rt△ATB′中，AB′2＝AT2+B′T2，
∴52＝（4﹣y）2+（y+3）2，
解得y＝1或0（0舍棄），
∴PB＝1，
綜上所述，PB的值為：1或．
三、解答題（本題有8小題，共66分，各小題都必須寫出解答過程）
17．解下列不等式：
（1）3（1﹣x）≥2（x+9）；
（2）．
【分析】（1）不等式去括號(hào)，移項(xiàng)，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解集；
（2）不等式去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解集．
解：（1）去括號(hào)得：3﹣3x≥2x+18，
移項(xiàng)得：﹣3x﹣2x≥18﹣3，
合并得：﹣5x≥15，
解得：x≤﹣3；
（2）去分母得：10﹣2（2﹣3x）＞5（1+x），
去括號(hào)得：10﹣4+6x＞5+5x，
移項(xiàng)得：6x﹣5x＞5﹣10+4，
解得：x＞﹣1．
18．如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE＝FC，AB＝DC，∠B＝∠C．求證：∠A＝∠D．

【分析】可通過證△ABF≌△DCE，來得出∠A＝∠D的結(jié)論．
【解答】證明：∵BE＝FC，
∴BE+EF＝CF+EF，
即BF＝CE；
又∵AB＝DC，∠B＝∠C，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠A＝∠D．
19．如圖，在6×6方格中，按下列要求畫三角形，使它的頂點(diǎn)均在方格的頂點(diǎn)上（小正方形的邊長為1）
（1）在圖甲中畫一個(gè)面積為6的等腰三角形；
（2）在圖乙中畫一個(gè)三角形與△ABC全等，且有一條公共邊．

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)畫出圖形即可；
（2）以AC為公共邊得出△ACD．
解：（1）如圖甲所示：△ABC即為所求，
（2）如圖乙所示：△ACD即為所求，
20．如圖，已知△ABC中，邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F，若∠EAF＝90°，AF＝3，AE＝4．
（1）求邊BC的長；
（2）求出∠BAC的度數(shù)．

【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出EF，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．
解：（1）由勾股定理得，EF＝＝＝5，
∵邊AB、AC的垂直平分線分別交BC于E、F，
∴EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，
∴BC＝BE+EF+FC＝AE+EF+AF＝12；
（2）∵EA＝EB，F(xiàn)A＝FC，
∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
由三角形內(nèi)角和定理得，∠EAB+∠B+∠EAF+∠FAC+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝45°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝135°．
21．如圖，A、B兩個(gè)小鎮(zhèn)在河流的同側(cè)，它們到河流的距離AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，現(xiàn)要在河流邊修建一自來水廠分別向兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬元．
（1）請?jiān)诤恿魃线x擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2）最低費(fèi)用為多少？

【分析】（1）根據(jù)題意，要使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最少，則自來水廠與A、B兩個(gè)小鎮(zhèn)的距離和最小，所以作出點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)E，連接BE，則BE與直線l的交點(diǎn)即是水廠的位置M．
（2）首先根據(jù)勾股定理，求出BE的長度是多少，即可判斷出鋪設(shè)水管的長度最短是多少；然后根據(jù)總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，用每千米的費(fèi)用乘以鋪設(shè)的水管的長度，求出最低費(fèi)用為多少即可．
解：（1）根據(jù)分析，水廠的位置M為：


（2）如圖2，，
在直角三角形BEF中，EF＝CD＝30（千米），BF＝BD+DF＝30+10＝40（千米），
∴BE＝（千米），
∴鋪設(shè)水管長度的最小值為50千米，
∴鋪設(shè)水管所需費(fèi)用的最小值為：
50×3＝150（萬元）．
答：最低費(fèi)用為150萬元．
22．在防控新型冠狀病毒期間，甲、乙兩個(gè)服裝廠都接到了制做同一種型號(hào)的醫(yī)用防護(hù)服任務(wù)，已知甲、乙兩個(gè)服裝廠每天共制做這種防護(hù)服100套，甲服裝廠3天制做的防護(hù)服與乙服裝廠2天制做的防護(hù)服套數(shù)相同．
（1）求甲、乙兩個(gè)服裝廠每天各制做多少套這種防護(hù)服；
（2）現(xiàn)有1200套這種防護(hù)服的制做任務(wù)，要求不超過10天完成，若乙服裝廠每天多做8套，那么甲服裝廠每天至少多做多少套？
【分析】（1）設(shè)甲服裝廠每天制做x套這種防護(hù)服，則乙服裝廠每天制做（100﹣x）套這種防護(hù)服，根據(jù)甲服裝廠3天制做的防護(hù)服與乙服裝廠2天制做的防護(hù)服套數(shù)相同，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可求出甲服裝廠每天制做防護(hù)服的數(shù)量，再將其代入（100﹣x）中即可求出乙服裝廠每天制做防護(hù)服的數(shù)量；
（2）設(shè)甲服裝廠每天多做m套，利用工作總量＝工作效率×工作時(shí)間，結(jié)合兩服裝廠10天至少生產(chǎn)1200套這種防護(hù)服，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出甲服裝廠每天至少多做12套．
解：（1）設(shè)甲服裝廠每天制做x套這種防護(hù)服，則乙服裝廠每天制做（100﹣x）套這種防護(hù)服，
依題意得：3x＝2（100﹣x），
解得：x＝40，
∴100﹣x＝100﹣40＝60．
答：甲服裝廠每天制做40套這種防護(hù)服，乙服裝廠每天制做60套這種防護(hù)服．
（2）設(shè)甲服裝廠每天多做m套，
依題意得：10[（40+m）+（60+8）]≥1200，
解得：m≥12．
答：甲服裝廠每天至少多做12套．
23．如圖，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，點(diǎn)D從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線CB方向以每秒3個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，射線MP⊥射線CB且BM＝10，點(diǎn)Q從M點(diǎn)出發(fā)，沿射線MP方向以每秒a個(gè)單位長度的速度運(yùn)動(dòng)，已知D、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)t＝2時(shí)，△DMQ是等腰三角形，求a的值．
（2）求t為何值時(shí)，△DCA為等腰三角形．
（3）是否存在a，使得△DMQ與△ABC全等，若存在，請直接寫出a的值，若不存在，請說明由．

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的概念列式計(jì)算即可；
（2）分AC＝AD、AC＝CD、AD＝CD三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算即可；
（3）分△DMQ≌△ABC和△DMQ≌△CBA兩種情況，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)列式計(jì)算，得到答案．
解：（1）當(dāng)t＝2時(shí)，DB＝6，
∵BM＝10，
∴DM＝4，
∵△DMQ是等腰三角形，∠DMQ＝90°，
∴DM＝MQ，即4＝2a，
解得，a＝2；
（2）①當(dāng)AC＝AD時(shí)，△DCA為等腰三角形，
∵AB⊥CD，
∴BD＝BC＝6，
∴t＝2；
②由勾股定理得，AC＝＝10，
當(dāng)AC＝CD＝10時(shí)，△DCA為等腰三角形，
∵BC＝6，
∴BD＝4，
∴t＝；
③當(dāng)AD＝CD＝6+3t時(shí)，△DCA為等腰三角形，
∵∠ABD＝90°，
∴AB2+BD2＝AD2，即82+（3t）2＝（6+3t）2，
解得，t＝，
綜上所述：t＝2或或時(shí)，△DCA為等腰三角形；
（3）當(dāng)△DMQ與△ABC全等，
①△DMQ≌△ABC，
∴MQ＝BC＝6，DM＝AB＝8，
∵BM＝10，
∴BD＝2或BD＝18，
∴t＝或t＝6，
∴a＝9或a＝1；
②△DMQ≌△CBA，
∴DM＝BC＝6，MQ＝AB＝8，
∴BD＝4或16，
∴t＝或，
∴a＝6或，
綜上所述：當(dāng)△DMQ與△ABC全等時(shí)，a＝9或1或6或．

24．如圖，Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，點(diǎn)P在直線OA上運(yùn)動(dòng)，連接PB，將△OBP沿直線BP折疊，點(diǎn)O的對應(yīng)點(diǎn)記為O′．

（1）若AP＝AB，則點(diǎn)P到直線AB的距離是 　4　；
（2）若點(diǎn)O′恰好落在直線AB上，求△OBP的面積；
（3）將線段PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到線段PC，直線PC與直線AB的交點(diǎn)為Q，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一位置，使得△PBQ為等腰三角形？若存在，請直接寫出OP的長；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）接BP，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為h，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；
（2）分P在x軸的正半軸和負(fù)半軸：①當(dāng)P在x軸的正半軸時(shí)，求OP＝O'P＝AO'＝4﹣4，根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論；②當(dāng)P在x軸的負(fù)半軸時(shí)，同理可得結(jié)論；
（3）分4種情況：分別以P、B、Q三點(diǎn)所成的角為頂角討論：
①當(dāng)BQ＝QP時(shí)，如圖2，P與O重合，②當(dāng)BP＝PQ時(shí)，如圖3，③當(dāng)PB＝PQ時(shí)，如圖4，此時(shí)Q與C重合；④當(dāng)PB＝BQ時(shí)，如圖5，此時(shí)Q與A重合，則P與A關(guān)于y軸對稱，根據(jù)圖形和等腰三角形的性質(zhì)可計(jì)算OP的長．
解：（1）連接BP，
設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為h，
Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB＝4，
∴AB＝＝4，
∵AP＝AB，
∴AP＝AB＝4，
∴S△ABP＝AB?h＝AP?OB，
∴h＝OB＝4，
即點(diǎn)P到直線AB的距離是4，
故答案為：4；

（2）存在兩種情況：
①如圖1，當(dāng)P在x軸的正半軸上時(shí)，點(diǎn)O′恰好落在直線AB上，則OP＝O'P，∠BO'P＝∠BOP＝90°，

∵OB＝OA＝4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB＝4，∠OAB＝45°，
由折疊得：∠OBP＝∠O'BP，BP＝BP，
∴△OBP≌△O'BP（AAS），
∴O'B＝OB＝4，
∴AO'＝4﹣4，
Rt△PO'A中，O'P＝AO'＝4﹣4＝OP，
∴S△BOP＝OB?OP＝＝8﹣8；
②如圖所示：當(dāng)P在x軸的負(fù)半軸時(shí)，

由折疊得：∠PO'B＝∠POB＝90°，O'B＝OB＝4，
∵∠BAO＝45°，
∴PO'＝PO＝AO'＝4+4，
∴S△BOP＝OB?OP＝×4×（4+4）＝8+8；
（3）分4種情況：
①當(dāng)BQ＝QP時(shí)，如圖2，點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，此時(shí)OP＝0；

②當(dāng)BP＝PQ時(shí)，如圖3，

∵∠BPC＝45°，
∴∠PQB＝∠PBQ＝22.5°，
∵∠OAB＝45°＝∠PBQ+∠APB，
∴∠APB＝22.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AP＝AB＝4，
∴OP＝4+4；
③當(dāng)PB＝PQ時(shí)，如圖4，此時(shí)Q與C重合，

∵∠BPC＝45°，
∴∠PBA＝∠PCB＝67.5°，
△PCA中，∠APC＝22.5°，
∴∠APB＝45+22.5°＝67.5°，
∴∠ABP＝∠APB，
∴AB＝AP＝4，
∴OP＝4﹣4；
④當(dāng)PB＝BQ時(shí)，如圖5，此時(shí)Q與A重合，則P與A關(guān)于y軸對稱，

∴此時(shí)OP＝4；
綜上，OP的長是0或4+4或4﹣4或4．



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