空間中垂直關(guān)系的向量表示
思考：若一個平面內(nèi)一條直線的方向向量與另一個平面的法向量共線，則這兩個平面是否垂直？
[提示] 垂直．
1．若直線l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量為n＝(－2,0，－4)，則( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l與α斜交
B [∵n＝(－2,0，－4)＝－2(1,0,2)＝－2a，
∴n∥a，∴l(xiāng)⊥α．]
2．設(shè)直線l的方向向量u＝(－2,2，t)，平面α的一個法向量v＝(6，－6,12)，若直線l⊥平面α，則實數(shù)t等于( )
A．4 B．－4
C．2 D．－2
B [因為直線l⊥平面α，所以u∥v，則eq \f(－2,6)＝eq \f(2,－6)＝eq \f(t,12)，解得t＝－4，故選B．]
3．若直線l1的方向向量為u1＝(1,3,2)，直線l2上有兩點A(1,0，1)，B(2，－1,2)，則兩直線的位置關(guān)系是______．
l1⊥l2 [eq \(AB,\s\up7(→))＝(1，－1,1)，u1·eq \(AB,\s\up7(→))＝1×1－3×1＋2×1＝0，因此l1⊥l2．]
4．已知兩平面α，β的法向量分別為u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，則平面α，β的位置關(guān)系為________．
α⊥β [u1·u2＝0，則α⊥β．]
【例1】 (1)已知空間三點A(0,0,1)，B(－1,1,1)，C(1,2，－3)，若直線AB上一點M，滿足CM⊥AB，則點M的坐標為________．
(2)如圖，△ABC中，AC＝BC，D為AB邊中點，PO⊥平面ABC，垂足O在CD上，求證：AB⊥PC．
(1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1)) [設(shè)M(x，y，z)，又eq \(AB,\s\up7(→))＝(－1,1,0)，
eq \(AM,\s\up7(→))＝(x，y，z－1)，eq \(CM,\s\up7(→))＝(x－1，y－2，z＋3)，
由點M在直線AB上得eq \(AB,\s\up7(→))與eq \(AM,\s\up7(→))共線，eq \(AM,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))，即x＝－λ，y＝λ，z－1＝0，
又CM⊥AB，向量eq \(CM,\s\up7(→))與向量eq \(AB,\s\up7(→))的數(shù)量積為0，
即eq \(CM,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＝0，得－(x－1)＋(y－2)＝0，
聯(lián)立得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x＋y－2＝0，,x＝－y，,z－1＝0，))
所以x＝－eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,2)，z＝1，
所以點M的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)，1))．]
(2)證明：設(shè)eq \(CA,\s\up7(→))＝a，eq \(CB,\s\up7(→))＝b，eq \(OP,\s\up7(→))＝v．由條件知，v是平面ABC的法向量，所以v·a＝0，v·b＝0，
因為D為AB中點，所以eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(a＋b)，因為O在CD上，
所以存在實數(shù)λ，使eq \(CO,\s\up7(→))＝λeq \(CD,\s\up7(→))＝eq \f(λ,2)(a＋b)．
因為CA＝CB，所以|a|＝|b|，
所以eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(CP,\s\up7(→))＝(b－a)·eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(λ,2)?a＋b?＋v))
＝eq \f(λ,2)(a＋b)·(b－a)＋(b－a)·v
＝eq \f(λ,2)(|b|2－|a|2)＋b·v－a·v＝0，
所以eq \(AB,\s\up7(→))⊥eq \(CP,\s\up7(→))，所以AB⊥PC．
利用向量方法證明線線垂直，其思路是證明兩條直線的方向向量互相垂直，具體方法有以下兩種：
?1?坐標法：建立空間直角坐標系，寫出相關(guān)點的坐標，求出兩直線方向向量的坐標，然后通過數(shù)量積的坐標運算法則證明數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直；
?2?基向量法：利用空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算及其運算律，結(jié)合圖形，將兩直線所在的向量用基向量表示，然后根據(jù)數(shù)量積的運算律證明兩直線所在的向量的數(shù)量積等于0，從而證明兩條直線的方向向量互相垂直.
eq \O([跟進訓(xùn)練])
1．如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側(cè)棱CC1上的點，且CN＝eq \f(1,4)CC1．
求證：AB1⊥MN．
[證明] 設(shè)AB中點為O，作OO1∥AA1．以O(shè)為坐標原點，OB所在直線為x軸，OC所在直線為y軸，OO1所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz．
由已知得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0，0))，
Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，0))，Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)，0))，
Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)，\f(1,4)))，B1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，1))，
∵M為BC中點，
∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，0))．
∴eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,4)))，eq \(AB1,\s\up7(→))＝(1,0,1)，
∴eq \(MN,\s\up7(→))·eq \(AB1,\s\up7(→))＝－eq \f(1,4)＋0＋eq \f(1,4)＝0．
∴eq \(MN,\s\up7(→))⊥eq \(AB1,\s\up7(→))，∴AB1⊥MN．
【例2】 如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都為2，D為CC1的中點．
求證：AB1⊥平面A1BD．
思路探究：法一：通過證明eq \(AB1,\s\up7(→))⊥eq \(BA1,\s\up7(→))，eq \(AB1,\s\up7(→))⊥eq \(BD,\s\up7(→))，得到AB1⊥BA1，AB1⊥BD
法二：證明eq \(AB1,\s\up7(→))與平面A1BD的法向量平行．
[證明] 法一：如圖所示，取BC的中點O，連接AO．因為△ABC為正三角形，所以AO⊥BC．
因為在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1．
取B1C1的中點O1，以O(shè)為原點，以eq \(OB,\s\up7(→))，eq \(OO1,\s\up7(→))，eq \(OA,\s\up7(→))分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，則B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2，eq \r(3))，A(0，0，eq \r(3))，B1(1,2,0)．所以eq \(AB1,\s\up7(→))＝(1,2，－eq \r(3))，eq \(BA1,\s\up7(→))＝(－1,2，eq \r(3))，eq \(BD,\s\up7(→))＝(－2,1,0)．
因為eq \(AB1,\s\up7(→))·eq \(BA1,\s\up7(→))＝1×(－1)＋2×2＋(－eq \r(3))×eq \r(3)＝0．
eq \(AB1,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))＝1×(－2)＋2×1＋(－eq \r(3))×0＝0．
所以eq \(AB1,\s\up7(→))⊥eq \(BA1,\s\up7(→))，eq \(AB1,\s\up7(→))⊥eq \(BD,\s\up7(→))，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD．
又因為BA1∩BD＝B，所以AB1⊥平面A1BD．
法二：建系同方法一．
設(shè)平面A1BD的法向量為n＝(x，y，z)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n⊥\(BA1,\s\up7(→)),n⊥\(BD,\s\up7(→))))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(BA1,\s\up7(→))＝－x＋2y＋\r(3)z＝0，,n·\(BD,\s\up7(→))＝－2x＋y＝0，))
令x＝1得平面A1BD的一個法向量為n＝(1,2，－eq \r(3))，
又eq \(AB1,\s\up7(→))＝(1,2，－eq \r(3))，所以n＝eq \(AB1,\s\up7(→))，即eq \(AB1,\s\up7(→))∥n．
所以AB1⊥平面A1BD．
本例中增加條件：E，F(xiàn)分別是BC，BB1的中點，求證：EF⊥平面ADE．
[證明] 如圖，建立空間直角坐標系，
則A(0,0，eq \r(3))，D(－1,1,0)，E(0,0,0)，F(xiàn)(1,1,0)，
所以eq \(EA,\s\up7(→))＝(0,0，eq \r(3))，eq \(ED,\s\up7(→))＝(－1,1,0)，eq \(EF,\s\up7(→))＝(1,1,0)．
所以eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(EA,\s\up7(→))＝1×0＋1×0＋0×eq \r(3)＝0，
eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(ED,\s\up7(→))＝1×(－1)＋1×1＋0×0＝0．
所以eq \(EF,\s\up7(→))⊥eq \(EA,\s\up7(→))，eq \(EF,\s\up7(→))⊥eq \(ED,\s\up7(→))，即EF⊥EA，EF⊥ED，
又因為EA∩ED＝E，所以EF⊥平面ADE．
1．坐標法證明線面垂直有兩種思路
法一：(1)建立空間直角坐標系；
(2)將直線的方向向量用坐標表示；
(3)找出平面內(nèi)兩條相交直線，并用坐標表示它們的方向向量；
(4)分別計算兩組向量的數(shù)量積，得到數(shù)量積為0．
法二：(1)建立空間直角坐標系；
(2)將直線的方向向量用坐標表示；
(3)求出平面的法向量；
(4)判斷直線的方向向量與平面的法向量平行．
2．使用坐標法證明時，如果平面的法向量很明顯，可以用法二，否則常常選用法一解決．
【例3】 如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點，證明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．
思路探究：要證明兩個平面垂直，由兩個平面垂直的條件，可證明這兩個平面的法向量垂直，轉(zhuǎn)化為求兩個平面的法向量n1，n2，證明n1·n2＝0．
[解] 由題意得AB，BC，B1B兩兩垂直．以B為原點，BA，BC，BB1分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．
則A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，0，\f(1,2)))，
則eq \(AA1,\s\up7(→))＝(0,0,1)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(－2,2,0)，eq \(AC1,\s\up7(→))＝(－2,2,1)，eq \(AE,\s\up7(→))＝－2,0，eq \f(1,2)．
設(shè)平面AA1C1C的一個法向量為n1＝(x1，y1，z1)．
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AA1,\s\up7(→))＝0，,n1·\(AC,\s\up7(→))＝0))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(z1＝0，,－2x1＋2y1＝0.))
令x1＝1，得y1＝1．∴n1＝(1,1,0)．
設(shè)平面AEC1的一個法向量為n2＝(x2，y2，z2)．
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(AC1,\s\up7(→))＝0，,n2·\(AE,\s\up7(→))＝0))?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2x2＋2y2＋z2＝0，,－2x2＋\f(1,2)z2＝0，))
令z2＝4，得x2＝1，y2＝－1．∴n2＝(1，－1,4)．
∵n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0．
∴n1⊥n2，∴平面AEC1⊥平面AA1C1C．
1．利用空間向量證明面面垂直通?？梢杂袃蓚€途徑：一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，由兩個法向量垂直，得面面垂直．
2．向量法證明面面垂直的優(yōu)越性主要體現(xiàn)在不必考慮圖形的位置關(guān)系，恰當(dāng)建系或用基向量表示后，只需經(jīng)過向量運算就可得到要證明的結(jié)果，思路方法“公式化”，降低了思維難度．
eq \O([跟進訓(xùn)練])
2．三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為三角形A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC．A1A＝eq \r(3)，AB＝AC＝2A1C1＝2，D為BC中點．
證明：平面A1AD⊥平面BCC1B1．
[證明] 如圖，建立空間直角坐標系．則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0，2,0)，
A1(0,0，eq \r(3))，C1(0,1，eq \r(3))，
因為D為BC的中點，
所以D點坐標為(1,1,0)，
所以eq \(BC,\s\up7(→))＝(－2,2,0)，eq \(AD,\s\up7(→))＝(1,1,0)，eq \(AA1,\s\up7(→))＝(0,0，eq \r(3))，
因為eq \(BC,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＝－2＋2＋0＝0，eq \(BC,\s\up7(→))·eq \(AA1,\s\up7(→))＝0＋0＋0＝0，
所以eq \(BC,\s\up7(→))⊥eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))⊥eq \(AA1,\s\up7(→))，所以BC⊥AD，BC⊥AA1，
又AD∩AA1＝A，所以BC⊥平面ADA1，而BC?平面BCC1B1，所以平面A1AD⊥平面BCC1B1．
空間垂直關(guān)系的解決策略
1．若直線l的方向向量a＝(8，－12,0)，平面α的法向量μ＝(2，－3,0)，則直線l與平面α的位置關(guān)系是( )
A．l∥α
B．l⊥α
C．直線l與平面α相交但不垂直
D．無法確定
B [∵μ＝eq \f(1,4)a．∴μ∥a，∴l(xiāng)⊥α．]
2．已知eq \(AB,\s\up7(→))＝(2,2,1)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(4,5,3)，則平面ABC的一個單位法向量為( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，－\f(2,3)，－\f(2,3))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，\f(2,3))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))
B [設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，則有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋2y＋z＝0，,4x＋5y＋3z＝0，))取x＝1，則y＝－2，z＝2．
所以n＝(1，－2,2)．由于|n|＝3，所以平面ABC的一個單位法向量可以是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，\f(2,3)，－\f(2,3)))．]
3．下列命題中：①若u，v分別是兩個不同的平面α，β的法向量，則u∥v?α∥β；
②若u，v分別是平面α，β的法向量，則α∥β?u∥v；
③若u是平面α的法向量且向量a與α共面，則u·a＝0；
④若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直．
其中正確的命題序號是________．
①②③④ [①正確；②正確；∵u⊥α，a所在直線與平面α平行或在平面α內(nèi)，
∴u⊥a．
∴u·a＝0，③正確；④正確．]
4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為CC1的中點，證明：平面B1ED⊥平面B1BD．
[證明] 以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系．
設(shè)正方體的棱長為1，則D(0,0,0)，B1(1,1,1)，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，eq \(DB1,\s\up7(→))＝(1,1,1)，eq \(DE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，設(shè)平面B1DE的法向量為n1＝(x，y，z)，則x＋y＋z＝0且y＋eq \f(1,2)z＝0，令z＝－2，則y＝1，x＝1，∴n1＝(1,1，－2)．同理求得平面B1BD的法向量為n2＝(1，－1,0)，由n1·n2＝0，知n1⊥n2，∴平面B1DE⊥平面B1BD．
學(xué) 習(xí) 目 標
核 心 素 養(yǎng)
1．能用向量法判斷一些簡單的線線、線面、面面垂直關(guān)系．(重點)
2．掌握用向量方法證明有關(guān)空間垂直關(guān)系的方法步驟．(重點、難點)
借助應(yīng)用向量證明線面垂直和面面垂直的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算和邏輯推理核心素養(yǎng)．
線線垂直
設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
線面垂直
設(shè)直線l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?a∥u?a＝ku?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)
面面垂直
若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β ? u⊥v ?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0
用向量方法處理線線垂直問題
應(yīng)用向量法證明線面垂直
應(yīng)用向量法證明面面垂直
幾何法
向量法
線線垂直
(1)證明兩直線所成的角為90°．
(2)若直線與平面垂直，則此直線與平面內(nèi)所有直線垂直
兩直線的方向向量互相垂直
線面垂直
對于直線l，m，n和平面α
(1)若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，m與n相交，則l⊥α．
(2)若l∥m，m⊥α，則l⊥α
(1)證明直線的方向向量分別與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量垂直．
(2)證明直線的方向向量與平面的法向量是平行向量
面面垂直
對于直線l，m和平面α，β
(1)若l⊥α，l?β，則α⊥β．
(2)若l⊥α，m⊥β，l⊥m，則α⊥β．
(3)若平面α與β相交所成的二面角為直角，則α⊥β
證明兩個平面的法向量互相垂直

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標A選修2-1電子課本

1.1 命題及其關(guān)系

版本： 人教版新課標A

年級： 選修2-1

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