[提升層·題型探究]
【例1】 (1)已知|a|＝3eq \r(2)，|b|＝4，a與b的夾角為135°，m＝a＋b，n＝a＋λb．若m⊥n，則λ＝( )
A．eq \f(2,3) B．－eq \f(2,3)
C．eq \f(3,2) D．－eq \f(3,2)
(2)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A、B、C、D的距離都等于2．給出以下結(jié)論：
①eq \(SA,\s\up7(→))＋eq \(SB,\s\up7(→))＋eq \(SC,\s\up7(→))＋eq \(SD,\s\up7(→))＝0；
②eq \(SA,\s\up7(→))＋eq \(SB,\s\up7(→))－eq \(SC,\s\up7(→))－eq \(SD,\s\up7(→))＝0；
③eq \(SA,\s\up7(→))－eq \(SB,\s\up7(→))＋eq \(SC,\s\up7(→))－eq \(SD,\s\up7(→))＝0；
④eq \(SA,\s\up7(→))·eq \(SB,\s\up7(→))＝eq \(SC,\s\up7(→))·eq \(SD,\s\up7(→))；
⑤eq \(SA,\s\up7(→))·eq \(SC,\s\up7(→))＝0．
其中正確結(jié)論的序號是________．
(1)D (2)③④ [(1)由題意知，m·n＝(a＋b)·(a＋λb)
＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2
＝18＋λ×3eq \r(2)×4×cs 135°＋3eq \r(2)×4×cs 135°＋λ×16＝6＋4λ．
因為m⊥n，所以6＋4λ＝0，所以λ＝－eq \f(3,2)．
(2)容易推出eq \(SA,\s\up7(→))－eq \(SB,\s\up7(→))＋eq \(SC,\s\up7(→))－eq \(SD,\s\up7(→))＝eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→))＝0，所以③正確；又因為底面ABCD是邊長為1的正方形，SA＝SB＝SC＝SD＝2，所以eq \(SA,\s\up7(→))·eq \(SB,\s\up7(→))＝2·2·cs∠ASB，eq \(SC,\s\up7(→))·eq \(SD,\s\up7(→))＝2·2·cs∠CSD，而∠ASB＝∠CSD，于是eq \(SA,\s\up7(→))·eq \(SB,\s\up7(→))＝eq \(SC,\s\up7(→))·eq \(SD,\s\up7(→))，因此④正確，其余三個都不正確，故正確結(jié)論的序號是③④．]
1．空間向量的線性運算包括加、減及數(shù)乘運算，選定空間不共面的三個向量作為基向量，并用它們表示出目標向量，這是用向量法解決立體幾何問題的基本要求，解題時可結(jié)合已知和所求，根據(jù)圖形，利用向量運算法則表示所需向量．
2．空間向量的數(shù)量積
(1)空間向量的數(shù)量積的定義表達式a·b＝|a|·|b|·cs〈a，b〉及其變式cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a| ·|b|)是兩個重要公式．
(2)空間向量的數(shù)量積的其他變式是解決立體幾何問題的重要公式，如a2＝|a|2，a在b上的投影eq \f(a·b,|b|)＝|a|·cs θ等．
eq \O([跟進訓練])
1．已知P是正六邊形ABCDEF外一點，O是正六邊形ABCDEF的中心，則eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→))＋eq \(PD,\s\up7(→))＋eq \(PE,\s\up7(→))＋eq \(PF,\s\up7(→))等于( )
A．eq \(PO,\s\up7(→)) B．3eq \(PO,\s\up7(→))
C．6eq \(PO,\s\up7(→)) D．0
C [∵O是正六邊形ABCDEF的中心，
∴O是對角線AD的中點，也是對角線BE的中點，
還是對角線CF的中點．
∴eq \(PO,\s\up7(→))＝eq \f(\(PA,\s\up7(→))＋\(PD,\s\up7(→)),2)，eq \(PO,\s\up7(→))＝eq \f(\(PE,\s\up7(→))＋\(PB,\s\up7(→)),2)，eq \(PO,\s\up7(→))＝eq \f(\(PC,\s\up7(→))＋\(PF,\s\up7(→)),2)，
∴eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(PB,\s\up7(→))＋eq \(PC,\s\up7(→))＋eq \(PD,\s\up7(→))＋eq \(PE,\s\up7(→))＋eq \(PF,\s\up7(→))＝6eq \(PO,\s\up7(→))，故選C．]
【例2】 (1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝eq \f(1,2)x－2a，則x＝( )
A．(0,3，－6) B．(0,6，－20)
C．(0,6，－6) D．(6,6，－6)
(2)已知向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，a∥b，b⊥c．
①求向量a，b，c；
②求a＋c與b＋c所成角的余弦值．
(1)B [由b＝eq \f(1,2)x－2a得x＝4a＋2b，
又4a＋2b＝4(2,3，－4)＋2(－4，－3，－2)＝(0,6，－20)，
所以x＝(0,6，－20)．]
(2)解：①∵向量a＝(x,1,2)，b＝(1，y，－2)，c＝(3,1，z)，且a∥b，b⊥c，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x,1)＝\f(1,y)＝\f(2,－2),3＋y－2z＝0))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1，,z＝1，))
∴向量a＝(－1,1,2)，b＝(1，－1，－2)，c＝(3,1,1)．
②∵a＋c＝(2,2,3)，b＋c＝(4,0，－1)，
∴(a＋c)·(b＋c)＝2×4＋2×0＋3×(－1)＝5，
|a＋c|＝eq \r(22＋22＋32)＝eq \r(17)，|b＋c|
＝eq \r(42＋02＋?－1?2)＝eq \r(17)，
∴a＋c與b＋c所成角的余弦值為eq \f(?a＋c?·?b＋c?,|a＋c||b＋c|)＝eq \f(5,17)．
熟記空間向量的坐標運算公式,設(shè)a＝?x1，y1，z1?，b＝?x2，y2，z2?，
?1?加減運算：a±b＝?x1±x2，y1±y2，z1±z2?.
?2?數(shù)量積運算：a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2.
?3?向量夾角：cs〈a，b〉＝.
?4?向量長度：設(shè)M1?x1，y1，z1?，M2?x2，y2，z2?，,則.
提醒：在利用坐標運算公式時注意先對向量式子進行化簡再運算.
eq \O([跟進訓練])
2．在空間直角坐標系中，已知點A(1，－2,11)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC一定是( )
A．等腰三角形 B．等邊三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
C [∵eq \(AB,\s\up7(→))＝(3,4，－8)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(5,1，－7)，eq \(BC,\s\up7(→))＝(2，－3,1)，∴|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(32＋42＋?－8?2)＝eq \r(89)，|eq \(AC,\s\up7(→))|＝eq \r(52＋12＋?－7?2)＝eq \r(75)，|eq \(BC,\s\up7(→))|＝eq \r(22＋?－3?2＋1)＝eq \r(14)，∴|eq \(AC,\s\up7(→))|2＋|eq \(BC,\s\up7(→))|2＝|eq \(AB,\s\up7(→))|2，∴△ABC一定為直角三角形．]
【例3】 在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，點E，F(xiàn)分別是PB，PD的中點，PA＝AB＝1，BC＝2．
求證：(1)EF∥平面ABD；
(2)平面PAD⊥平面PDC．
[證明] (1)以點A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．因為點E，F(xiàn)分別是PB，PD的中點，所以Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，1，\f(1,2)))，Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，\f(1,2)))，eq \(FE,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－1，0))，eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，2，0))，eq \(FE,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(→))，
即EF∥BD，又BD?平面ABD，EF?平面ABD，
所以EF∥平面ABD．
(2)由(1)可知eq \(PB,\s\up7(→))＝(1,0，－1)，eq \(PD,\s\up7(→))＝(0,2，－1)，eq \(AP,\s\up7(→))＝(0,0,1)，eq \(AD,\s\up7(→))＝(0,2,0)，eq \(DC,\s\up7(→))＝(1,0,0)，
因為eq \(AP,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，eq \(AD,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，
所以eq \(AP,\s\up7(→))⊥eq \(DC,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))⊥eq \(DC,\s\up7(→))，即AP⊥DC，AD⊥DC．
又AP∩AD＝A，
所以DC⊥平面PAD．
因為DC?平面PDC，
所以平面PAD⊥平面PDC．
利用空間向量證明空間中的位置關(guān)系
?1?線線平行：
證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量.
?2?線線垂直：
證明兩條直線垂直，只需證明兩直線的方向向量垂直.
?3?線面平行：
①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；
②證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線的方向向量是共線向量；
③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量可用平面內(nèi)兩不共線向量線性表示.
?4?線面垂直：
①證明直線的方向向量與平面的法向量平行；
②利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題.
?5?面面平行：
①證明兩個平面的法向量平行?即是共線向量?；
②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題.
?6?面面垂直：
①證明兩個平面的法向量互相垂直；
②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題.
eq \O([跟進訓練])
3．如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M為CE的中點．
求證：(1)BM∥平面ADEF；
(2)BC⊥平面BDE．
[證明] ∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AD⊥ED，∴ED⊥平面ABCD．
以D為原點，eq \(DA,\s\up7(→))，eq \(DC,\s\up7(→))，eq \(DE,\s\up7(→))分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標系．
則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,4,0)，E(0,0,2)，F(xiàn)(2,0,2)．
(1)∵M為EC的中點，∴M(0,2,1)，
則eq \(BM,\s\up7(→))＝(－2,0,1)，eq \(AD,\s\up7(→))＝(－2,0,0)，eq \(AF,\s\up7(→))＝(0,0,2)，
∴eq \(BM,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AF,\s\up7(→))，故eq \(BM,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(AF,\s\up7(→))共面．
又BM?平面ADEF，∴BM∥平面ADEF．
(2)eq \(BC,\s\up7(→))＝(－2,2,0)，eq \(DB,\s\up7(→))＝(2,2,0)，eq \(DE,\s\up7(→))＝(0,0,2)，
∵eq \(BC,\s\up7(→))·eq \(DB,\s\up7(→))＝－4＋4＝0，∴BC⊥DB．
又eq \(BC,\s\up7(→))·eq \(DE,\s\up7(→))＝0，∴BC⊥DE．
又DE∩DB＝D，∴BC⊥平面BDE．
【例4】 如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點G為AB的中點，AB＝BE＝2．
(1)求證：EG∥平面ADF；
(2)求二面角O-EF-C的正弦值；
(3)設(shè)H為線段AF上的點，且AH＝eq \f(2,3)HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值．
[解] 依題意，OF⊥平面ABCD，如圖，以O(shè)為原點，分別以eq \(AD,\s\up7(→))，eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(OF,\s\up7(→))的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，依題意可得O(0，0,0)，A(－1,1,0)，B(－1，－1,0)，C(1，－1,0)，D(1,1,0)，E(－1，－1,2)，F(xiàn)(0，0,2)，G(－1,0,0)．
(1)證明：依題意，eq \(AD,\s\up7(→))＝(2,0,0)，eq \(AF,\s\up7(→))＝(1，－1,2)．
設(shè)n1＝(x，y，z)為平面ADF的法向量，則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n1·\(AD,\s\up7(→))＝0，,n1·\(AF,\s\up7(→))＝0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＝0，,x－y＋2z＝0.))
不妨設(shè)z＝1，可得n1＝(0,2,1)．
又eq \(EG,\s\up7(→))＝(0,1，－2)，所以eq \(EG,\s\up7(→))·n1＝0．
又因為直線EG?平面ADF，
所以EG∥平面ADF．
(2)易證，eq \(OA,\s\up7(→))＝(－1,1,0)為平面OEF的一個法向量．
依題意，eq \(EF,\s\up7(→))＝(1,1,0)，eq \(CF,\s\up7(→))＝(－1,1,2)．
設(shè)n2＝(x′，y′，z′)為平面CEF的法向量，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n2·\(EF,\s\up7(→))＝0，,n2·\(CF,\s\up7(→))＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＋y′＝0，,－x′＋y′＋2z′＝0.))
不妨設(shè)x′＝1，可得n2＝(1，－1,1)．
因此cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，n2〉＝eq \f(\(OA,\s\up7(→))·n2,|\(OA,\s\up7(→))||n2|)＝－eq \f(\r(6),3)，
于是sin〈eq \(OA,\s\up7(→))，n2〉＝eq \f(\r(3),3)．
所以，二面角O-EF-C的正弦值為eq \f(\r(3),3)．
(3)由AH＝eq \f(2,3)HF，得AH＝eq \f(2,5)AF．
因為eq \(AF,\s\up7(→))＝(1，－1,2)，
所以eq \(AH,\s\up7(→))＝eq \f(2,5)eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，－\f(2,5)，\f(4,5)))，
進而有Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)，\f(3,5)，\f(4,5)))，
從而eq \(BH,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)，\f(8,5)，\f(4,5)))，
因此cs〈eq \(BH,\s\up7(→))，n2〉＝eq \f(\(BH,\s\up7(→))·n2,|\(BH,\s\up7(→))||n2|)＝－eq \f(\r(7),21)．
所以，直線BH和平面CEF所成角的正弦值為eq \f(\r(7),21)．
用向量法求空間角的注意點
(1)異面直線所成角：兩異面直線所成角的范圍為0°

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