●三維目標(biāo)
1.知識與技能
初步理解原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四種命題的概念，掌握四種命題的形式；初步理解四種命題間的相互關(guān)系并能判斷命題的真假．
2．過程與方法
培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、有創(chuàng)造性地解決問題的能力；培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力和思維能力．
3．情感、態(tài)度與價值觀
激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生勤于思考，勇于探索的創(chuàng)新意識，感受探索的樂趣．
●重點(diǎn)、難點(diǎn)
重點(diǎn)：四種命題之間相互的關(guān)系．
難點(diǎn)：正確區(qū)分命題的否定形式及否命題．
通過一個生活中的場景引出邏輯在生活中必不可少的重要地位，從而引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)四種命題的興趣，然后主要通過對概念的講解和分析，并配以適量的課堂練習(xí)，讓學(xué)生掌握四種命題的概念，會寫四種命題，并掌握四種命題之間的關(guān)系以及通過逆否命題來判斷命題的真假；最后運(yùn)用所學(xué)命題知識解決實(shí)際生活中的問題，讓學(xué)生學(xué)會用理性的邏輯推理能力思考問題，從而突破重難點(diǎn)．
二：方案設(shè)計
●教學(xué)建議
這節(jié)內(nèi)容是以概念的理解和關(guān)系的思辨為主的，因此采用以講解和練習(xí)強(qiáng)化為主要方法，并在講解過程中引導(dǎo)和啟發(fā)學(xué)生的思維，讓學(xué)生充分地思考和動手演練．宜采取的教學(xué)方法：(1)啟發(fā)式教學(xué)．這能充分調(diào)動學(xué)生的主動性和積極性，有利于學(xué)生對知識進(jìn)行主動建構(gòu)，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律；(2)講練結(jié)合法．這樣更能突出重點(diǎn)、解決難點(diǎn)，讓學(xué)生的分析問題和解決問題的能力得到進(jìn)一步的提高．
學(xué)習(xí)方法：(1)由特殊到一般的化歸方法：學(xué)習(xí)中學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，通過具體的實(shí)例，讓學(xué)生去觀察、討論、探索、分析、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括；(2)講練結(jié)合法：讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)重生在運(yùn)用，從而檢驗(yàn)知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其差距并及時加以補(bǔ)救．
通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，了解命題的四種形式及其關(guān)系，利用原命題與逆否命題，逆命題與否命題之間的等價性解決有關(guān)問題，滲透由特殊到一般的化歸數(shù)學(xué)思想．
●教學(xué)流程
eq \x(創(chuàng)設(shè)問題情境，給出四個命題，引出問題：四個命題的條件與結(jié)論有何區(qū)別與聯(lián)系？)?eq \x(引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較、分析，得出四種命題的概念與他們之間的相互關(guān)系.)?eq \x(通過引導(dǎo)學(xué)生回答所提問題，層層深入地得出四種命題真假的關(guān)系.)?eq \x(通過例1及其變式訓(xùn)練，使學(xué)生掌握四種命題的概念及相互轉(zhuǎn)化.)?eq \x(通過例2及其互動探究，使學(xué)生掌握四種命題真假的判斷方法.)?eq \x(探究四種命題的真假關(guān)系，完成例3及其變式訓(xùn)練，從而解決等價命題相互轉(zhuǎn)化在判斷命題真假時的應(yīng)用.)?eq \x(歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識本節(jié)課所學(xué)知識.)?eq \x(完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，鞏固所學(xué)知識并進(jìn)行反饋矯正.)
三、自主導(dǎo)學(xué)
【問題導(dǎo)思】
給出以下四個命題：
(1)對頂角相等；
(2)相等的兩個角是對頂角；
(3)不是對頂角的兩個角不相等；
(4)不相等的兩個角不是對頂角；
1．你能說出命題(1)與(2)的條件與結(jié)論有什么關(guān)系嗎？
【提示】 它們的條件和結(jié)論恰好互換了．
2．命題(1)與(3)的條件與結(jié)論有什么關(guān)系？命題(1)與(4)呢？
【提示】 命題(1)的條件與結(jié)論恰好是命題(3)條件的否定和結(jié)論的否定．命題(1)的條件和結(jié)論恰好是命題(4)結(jié)論的否定和條件的否定．
一般地，對于兩個命題，如果一個命題的條件與結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么把這兩個命題叫做互逆命題，如果是另一個命題條件的否定和結(jié)論的否定，那么把兩個命題叫做互否命題．如果是另一個命題結(jié)論的否定和條件的否定，那么把這樣的兩個命題叫做互為逆否命題．把第一個叫做原命題時，另三個可分別稱為原命題的逆命題、否命題、逆否命題．
【問題導(dǎo)思】
1．為了書寫方便常把p與q的否定分別記作“綈p”和“綈q”，如果原命題是“若p，則q”，那么它的逆命題，否命題，逆否命題該如何表示？
【提示】 逆命題：若q，則p.
否命題：若綈p，則綈q.
逆否命題：若綈q，則綈p.
2．原命題的否命題與原命題的逆否命題之間是什么關(guān)系？原命題的逆命題與其逆否命題之間是什么關(guān)系？原命題的逆命題與其否命題呢？
【提示】 互逆、互否、互為逆否．
四種命題的相互關(guān)系
【問題導(dǎo)思】
1．知識1的“問題導(dǎo)思”中四個命題的真假性是怎樣的？
【提示】 (1)真命題，(2)假命題，(3)假命題，(4)真命題．
2．如果原命題是真命題，它的逆命題是真命題嗎？它的逆否命題呢？
【提示】 原命題為真，其逆命題不一定為真，但其逆否命題一定為真．
1．在原命題的逆命題、否命題、逆否命題中，一定與原命題真假性相同的是逆否命題．
2．兩個命題互為逆命題或互為否命題時，它們的真假性沒有關(guān)系.
四、互動探究
例1 把下列命題改寫成“若p，則q”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題．
(1)全等三角形的對應(yīng)邊相等；
(2)當(dāng)x＝2時，x2－3x＋2＝0.
【思路探究】 (1)原命題的條件與結(jié)論分別是什么？
(2)把原命題的條件與結(jié)論作怎樣的變化就能寫出它的逆命題、否命題和逆否命題？
【自主解答】 (1)原命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形三邊對應(yīng)相等．
逆命題：若兩個三角形三邊對應(yīng)相等，則兩個三角形全等．
否命題：若兩個三角形不全等，則兩個三角形三邊對應(yīng)不相等．
逆否命題：若兩個三角形三邊對應(yīng)不相等，則這兩個三角形不全等．
(2)原命題：若x＝2，則x2－3x＋2＝0，
逆命題：若x2－3x＋2＝0，則x＝2，
否命題：若x≠2，則x2－3x＋2≠0，
逆否命題：若x2－3x＋2≠0，則x≠2.
（一）規(guī)律方法
1．給出一個命題，寫出該命題的其他三種命題時，首先考慮弄清所給命題的條件與結(jié)論，若給出的命題不是“若p，則q”的形式，應(yīng)改寫成“若p，則q”的形式．
2．把原命題的結(jié)論作為條件，條件作為結(jié)論就得到逆命題；否定條件作為條件，否定結(jié)論作為結(jié)論便得到否命題；否命題的逆命題就是原命題的逆否命題．
（二）變式訓(xùn)練
分別寫出下列命題的逆命題 、否命題和逆否命題．
(1)負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；
(2)若a＞b，則ac2＞bc2.
【解】 (1)原命題可以改寫成：若一個數(shù)是負(fù)數(shù)，則它的平方是正數(shù)；
逆命題：若一個數(shù)的平方是正數(shù)，則它是負(fù)數(shù)；
否命題：若一個數(shù)不是負(fù)數(shù)，則它的平方不是正數(shù)；
逆否命題：若一個數(shù)的平方不是正數(shù)，則它不是負(fù)數(shù)．
(2)逆命題：若ac2＞bc2，則a＞b；
否命題：若a≤b，則ac2≤bc2；
逆否命題：若ac2≤bc2，則a≤b.
例2 寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題，然后判斷真假．
(1)菱形的對角線互相垂直；
(2)等高的兩個三角形是全等三角形；
(3)弦的垂直平分線平分弦所對的?。?br>【思路探究】 eq \x(確定條件與結(jié)論)→eq \x(寫出三種命題)→eq \x(判斷真假)
【自主解答】 (1)逆命題：若一個四邊形的對角線互相垂直，則它是菱形，是假命題．
否命題：若一個四邊形不是菱形，則它的對角線不互相垂直，是假命題．
逆否命題：若一個四邊形的對角線不互相垂直，則這個四邊形不是菱形，是真命題．
(2)逆命題：若兩個三角形全等，則這兩個三角形等高，是真命題．
否命題：若兩個三角形不等高，則這兩個三角形不全等，是真命題．
逆否命題：若兩個三角形不全等，則這兩個三角形不等高，是假命題．
(3)逆命題：若一條直線平分弦所對的弧，則這條直線是弦的垂直平分線，是假命題．
否命題：若一條直線不是弦的垂直平分線，則這條直線不平分弦所對的弧，是假命題．
逆否命題：若一條直線不平分弦所對的弧，則這條直線不是弦的垂直平分線，是真命題．
（一）規(guī)律方法
1．本例題目中命題的條件和結(jié)論不明顯，為了不出錯誤，可以先改寫成“若p，則q”的形式，再寫另外三種命題，進(jìn)而判斷真假．
2．要判定四種命題的真假，首先，要正確理解四種命題間的相互關(guān)系；其次，正確利用相關(guān)知識進(jìn)行判斷推理．若由“p經(jīng)邏輯推理得出q”，則命題“若p，則q”為真；確定“若p，則q”為假時，則只需舉一個反例說明．
3．互為逆否命題等價．當(dāng)一個命題的真假不易判斷時，可通過判定其逆否命題的真假來判斷．
（二）變式訓(xùn)練
下列命題中正確的是( )
①“若x2＋y2≠0，則x，y不全為零”的否命題；
②“正三角形都相似”的逆命題；
③“若m＞0，則x2＋x－m＝0有實(shí)根”的逆否命題．
A．①②③ B．①③
C．②③ D．①
【解析】 ①原命題的否命題為“若x2＋y2＝0，則x，y全為零”．真命題．
②原命題的逆命題為“若兩個三角形相似，則這兩個三角形是正三角形．”假命題．
③原命題的逆否命題為“若x2＋x－m＝0無實(shí)根，則m≤0”．
∵方程x2＋x－m＝0無實(shí)根，
∴判別式Δ＝1＋4m＜0，m＜－eq \f(1,4).
故m≤0，為真命題．
故正確的命題是①，③選B.
【答案】 B
例3 若a2＋b2＝c2，求證：a，b，c不可能都是奇數(shù)．
【思路探究】 (1)a，b，c不可能都是奇數(shù)包含幾種情況？
(2)它的反面是什么？能否考慮證它的逆否命題？
【自主解答】 若a，b，c都是奇數(shù)，則a2，b2，c2都是奇數(shù)，所以a2＋b2為偶數(shù)，而c2為奇數(shù)，即a2＋b2≠c2.即原命題的逆否命題為真命題，故原命題為真，所以若a2＋b2＝c2，則a、b、c不可能都是奇數(shù)．
（一）規(guī)律方法
1．因?yàn)椤癮、b、c不可能都是奇數(shù)”這一結(jié)論包含多種情況，而其否定只有一種情況，即“a、b、c都是奇數(shù)，”故應(yīng)選擇證明它的逆否命題為真命題，以使問題簡單化．
2．當(dāng)判斷一個命題的真假比較困難，或者在判斷真假時涉及到分類討論時，通常轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假，因?yàn)榛槟娣衩}的真假是等價的，也就是我們講的“正難則反”的一種策略．
3．四種命題中，原命題與其逆否命題是等價的，有相同的真假性，原命題的否命題與其逆命題也是互為逆否命題，解題時不要忽視．
（二）變式訓(xùn)練
“已知a，x為實(shí)數(shù)，若關(guān)于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，則a＜2”，判斷其逆否命題的真假．
【解】 ∵a，x∈R，且x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集．
∴Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＜0，
則4a－7＜0，解得a＜eq \f(7,4).
因此a＜2，原命題是真命題．
又互為逆否命題的命題等價，故逆否命題是真命題.
五、易誤辨析
因否定錯誤致誤
典例 寫出命題“若x2＋y2＝0，則x，y全為零”的逆命題、否命題，并判斷它們的真假．
【錯解】 逆命題：若x，y全為零，則x2＋y2＝0，是真命題；
否命題：若x2＋y2≠0，則x，y全不為零，是假命題．
【錯因分析】 本題中的錯解主要是對原命題中結(jié)論的否定錯誤．對“x，y全為零”的否定，應(yīng)為“x，y不全為零”，而不是“x，y全不為零”．
【防范措施】 要寫出一個命題的否命題，需要既否定條件，又否定結(jié)論，否定時一定要注意一些詞語，如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”等等．
【正解】 逆命題：若x，y全為零，則x2＋y2＝0，是真命題；否命題：若x2＋y2≠0，則x，y不全為零，是真命題．
六、課堂小結(jié)
1．寫出四種命題的方法：
(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是逆命題；
(2)同時否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題是否命題；
(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時否定，所得的命題是逆否命題．
2．四種命題的真假關(guān)系：若原命題為真，它的逆命題、否命題不一定為真，它的逆否命題一定為真；互為逆否命題的兩個命題的真假性相同．因此，若一個命題的真假不易判斷時，我們可借助它的逆否命題進(jìn)行判斷.
七、雙基達(dá)標(biāo)
1．(2013·福州高二檢測)已知a，b∈R，命題“若a＋b＝1，則a2＋b2≥eq \f(1,2)”的否命題是( )
A．若a2＋b2＜eq \f(1,2)，則a＋b≠1
B．若a＋b＝1，則a2＋b2＜eq \f(1,2)
C．若a＋b≠1，則a2＋b2＜eq \f(1,2)
D．若a2＋b2≥eq \f(1,2)，則a＋b＝1
【解析】 “a＋b＝1”，“a2＋b2≥eq \f(1,2)”的否定分別是“a＋b≠1”，“a2＋b2＜eq \f(1,2)”，故否命題為：“若a＋b≠1，則a2＋b2＜eq \f(1,2)”．
【答案】 C
2．命題“兩條對角線相等的四邊形是矩形”是命題“矩形是兩條對角線相等的四邊形”的( )
A．逆命題 B．否命題
C．逆否命題 D．無關(guān)命題
【解析】 從兩種命題的形式來看是條件與結(jié)論換位，因此為逆命題．
【答案】 A
3．命題“當(dāng)x＝2時，x2＋x－6＝0”的逆否命題是____．
【解析】 原命題結(jié)論的否定作條件，條件的否定作結(jié)論，寫出逆否命題即可．
【答案】 當(dāng)x2＋x－6≠0時，x≠2.
4．寫出下列命題的逆命題、否命題和逆否命題，并判斷命題的真假．
(1)若mn＜0，則方程mx2－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根；
(2)若ab＝0，則a＝0或b＝0.
【解】 (1)逆命題：若方程mx2－x＋n＝0有實(shí)數(shù)根，則mn＜0.假命題；
否命題：若mn≥0，則方程mx2－x＋n＝0沒有實(shí)數(shù)根．假命題；
逆否命題：若方程mx2－x＋n＝0沒有實(shí)數(shù)根，則mn≥0.真命題．
(2)逆命題：若a＝0或b＝0，則ab＝0.真命題；
否命題：若ab≠0，則a≠0且b≠0.真命題；
逆否命題：若a≠0且b≠0，則ab≠0.真命題．
八、知能檢測
一、選擇題
1．命題“若綈p，則q”是真命題，則下列命題一定是真命題的是( )
A．若p，則綈q B．若q，則綈p
C．若綈q，則p D．若綈q，則綈p
【解析】 若“綈p，則q”的逆否命題是“若綈q，則p”，又互為逆否命題真假性相同．
∴“若綈q，則p”一定是真命題．
【答案】 C
2．若命題p的否命題為q，命題p的逆否命題為r，則q與r的關(guān)系是( )
A．互逆命題 B．互否命題
C．互為逆否命題 D．以上都不正確
【解析】 設(shè)p為“若A，則B”，那么q為“若綈A，則綈B”，r為“若綈B，則綈A”，故q與r為互逆命題．
【答案】 A
3．(2013·臺州高二檢測)已知命題p：若a＞0，則方程ax2＋2x＝0有解，則其原命題、否命題、逆命題及逆否命題中真命題的個數(shù)為( )
A．3 B．2 C．1 D．0
【解析】 易知原命題和逆否命題都是真命題，否命題和逆命題都是假命題．故選B.
【答案】 B
4．(2013·大慶高二檢測)下列判斷中不正確的是( )
A．命題“若A∩B＝B，則A∪B＝A”的逆否命題為真命題
B．“矩形的兩條對角線相等”的逆否命題為真命題
C．“已知a，b，m∈R，若am2

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A選修2-1電子課本

1.1 命題及其關(guān)系

版本： 人教版新課標(biāo)A

年級： 選修2-1

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