1．空間向量的夾角
(1)夾角的定義
已知兩個(gè)非零向量a，b，在空間任取一點(diǎn)O，作eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．
(2)夾角的范圍
空間任意兩個(gè)向量的夾角θ的取值范圍是[0，π]．特別地，當(dāng)θ＝0時(shí)，兩向量同向共線；當(dāng)θ＝π時(shí)，兩向量反向共線，所以若a∥b，則〈a，b〉＝0或π；當(dāng)〈a，b〉＝eq \f(π,2)時(shí)，兩向量垂直，記作a⊥b．
2．空間向量的數(shù)量積
(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cs〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b．即a·b＝|a||b|cs〈a，b〉．
(2)數(shù)量積的運(yùn)算律：
(3)空間兩向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
思考：(1)若a·b＝0，則一定有a⊥b嗎？
(2)若a·b>0，則〈a，b〉一定是銳角嗎？
[提示] (1)若a·b＝0，則不一定有a⊥b，也可能a＝0或b＝0．
(2)當(dāng)〈a，b〉＝0時(shí)，也有a·b>0，故當(dāng)a·b>0時(shí)，〈a·b〉不一定是銳角．
1．下列各命題中，不正確的命題的個(gè)數(shù)為( )
①eq \r(a·a)＝|a|；②m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R)；
③a·(b＋c)＝(b＋c)·a；④a2b＝b2a．
A．0 B．3
C．2 D．1
D [命題①②③正確，④不正確．]
2．已知正方體ABCD-A′B′C′D′的棱長(zhǎng)為a，設(shè)eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AD,\s\up7(→))＝b，eq \(AA′,\s\up7(→))＝c，則〈eq \(A′B,\s\up7(→))，eq \(B′D′,\s\up7(→))〉等于( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
D [△B′D′C是等邊三角形，〈eq \(A′B,\s\up7(→))，eq \(B′D′,\s\up7(→))〉＝〈eq \(D′C,\s\up7(→))，eq \(B′D′,\s\up7(→))〉＝120°．]
3．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，則〈a，b〉＝________．
eq \f(2,3)π [cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－3,3×2)＝－eq \f(1,2)．
所以〈a，b〉＝eq \f(2,3)π．]
4．在平行六面體ABCD-A′B′C′D′中，AB＝4，AD＝3，AA′＝5，∠BAD＝∠BAA′＝∠DAA′＝60°，則|AC′|＝________．
eq \r(97) [eq \(AC′,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AA′,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))，
eq \(AC′,\s\up7(→))2＝eq \(AB,\s\up7(→))2＋eq \(AA′,\s\up7(→))2＋eq \(AD,\s\up7(→))2＋2eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AA′,\s\up7(→))＋2eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＋2eq \(AA′,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))
＝42＋52＋32＋2×4×5×cs 60°＋2×4×3×cs 60°＋2×5×3×cs 60°
＝16＋25＋9＋20＋12＋15＝97，
∴|AC′|＝eq \r(97)．]
【例1】 (1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的單位向量，則a·b＝( )
A．1 B．2 C．3 D．4
(2)如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，求值：
①eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(BA,\s\up7(→))；
②eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))；
③eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))；
④eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))．
(1)A [由題意知，p·q＝0，p2＝q2＝1，
所以a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2－2q2＋p·q＝1．]
(2)解：①eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(BA,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(→))·eq \(BA,\s\up7(→))
＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up7(→))||eq \(BA,\s\up7(→))|cs〈eq \(BD,\s\up7(→))，eq \(BA,\s\up7(→))〉
＝eq \f(1,2)cs 60°＝eq \f(1,4)．
②eq \(EF,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)|eq \(BD,\s\up7(→))|2＝eq \f(1,2)．
③EF·eq \(DC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)eq \(DB,\s\up7(→))·eq \(DC,\s\up7(→))
＝－eq \f(1,2)×cs 60°＝－eq \f(1,4)．
④eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))·(eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)))
＝eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))
＝|eq \(AB,\s\up7(→))||eq \(AD,\s\up7(→))|cs〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AD,\s\up7(→))〉－|eq \(AB,\s\up7(→))||eq \(AC,\s\up7(→))|cs〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))〉＝cs 60°－cs 60°＝0．
在幾何體中求空間向量的數(shù)量積的步驟
?1?首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式.
?2?利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化成已知模和夾角的向量的數(shù)量積.
?3?根據(jù)向量的方向，正確求出向量的夾角及向量的模.
?4?代入公式a·b＝|a||b|cs〈a，b〉求解.
eq \O([跟進(jìn)訓(xùn)練])
1．(1)已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(AF,\s\up7(→))＝________．
eq \f(1,4)a2 [eq \(AE,\s\up7(→))·eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up7(→))＋\(AC,\s\up7(→))))·eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))
＝eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(AD,\s\up7(→)))＝eq \f(1,4)(a2cs 60°＋a2cs 60°)＝eq \f(1,4)a2．]
(2)在四面體OABC中，棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G為△ABC的重心，則eq \(OG,\s\up7(→))·(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))＝________．
eq \f(14,3) [eq \(OG,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(AG,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))
＝eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)[(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))＋(eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))]
＝eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(→))．
∴eq \(OG,\s\up7(→))·(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(OB,\s\up7(→))＋\f(1,3)\(OC,\s\up7(→))＋\f(1,3)\(OA,\s\up7(→))))·(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→)))
＝eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(→))2＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up7(→))2＋eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(→))2
＝eq \f(1,3)×22＋eq \f(1,3)×32＋eq \f(1,3)×12＝eq \f(14,3)．]
【例2】 (1)已知a，b是異面直線，且a⊥b，e1，e2分別為取自直線a，b上的單位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，則實(shí)數(shù)k的值為________．
(2)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)，求證：A1O⊥平面GBD．
(1)6 [由a⊥b，得a·b＝0，
所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，
所以2k－12＝0，所以k＝6．]
(2)解：連接OG(圖略)，設(shè)eq \(A1B1,\s\up7(→))＝a，eq \(A1D1,\s\up7(→))＝b，eq \(A1A,\s\up7(→))＝c，則a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|．
因?yàn)閑q \(A1O,\s\up7(→))＝eq \(A1A,\s\up7(→))＋eq \(AO,\s\up7(→))
＝eq \(A1A,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→)))＝c＋eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，
eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝b－a，
eq \(OG,\s\up7(→))＝eq \(OC,\s\up7(→))＋eq \(CG,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→)))＋eq \f(1,2)eq \(CC1,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)c．
所以eq \(A1O,\s\up7(→))·eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))·(b－a)＝0，
eq \(A1O,\s\up7(→))·eq \(OG,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b－\f(1,2)c))＝0，
所以eq \(A1O,\s\up7(→))⊥eq \(BD,\s\up7(→))，eq \(A1O,\s\up7(→))⊥eq \(OG,\s\up7(→))，即A1O⊥BD，A1O⊥OG，
又BD∩OG＝O，所以A1O⊥平面GBD．
用向量法證明垂直關(guān)系的步驟
?1?把幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.
?2?用已知向量表示所證向量.
?3?結(jié)合數(shù)量積公式和運(yùn)算律證明數(shù)量積為0.
?4?將向量問題回歸到幾何問題.
eq \O([跟進(jìn)訓(xùn)練])
2．已知空間四邊形OABC中，M，N，P，Q分別為BC，AC，OA，OB的中點(diǎn)，若AB＝OC，求證：PM⊥QN．
[證明] 如圖，設(shè)eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，eq \(OC,\s\up7(→))＝c，
又P，M分別為OA，BC的中點(diǎn)，
∴eq \(PM,\s\up7(→))＝eq \(OM,\s\up7(→))－eq \(OP,\s\up7(→))
＝eq \f(1,2)(b＋c)－eq \f(1,2)a
＝eq \f(1,2)[(b－a)＋c]．
同理，eq \(QN,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(a＋c)－eq \f(1,2)b
＝－eq \f(1,2)[(b－a)－c]．
∴eq \(PM,\s\up7(→))·eq \(QN,\s\up7(→))＝－eq \f(1,4)(|b－a|2－|c|2)．
又AB＝OC，即|b－a|＝|c|，
∴eq \(PM,\s\up7(→))·eq \(QN,\s\up7(→))＝0，
∴eq \(PM,\s\up7(→))⊥eq \(QN,\s\up7(→))，即PM⊥QN．
【例3】 如圖，在空間四邊形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求異面直線OA與BC的夾角的余弦值．
思路探究：求異面直線OA與BC所成的角，首先來求eq \(OA,\s\up7(→))與eq \(BC,\s\up7(→))的夾角，但要注意異面直線所成角的范圍是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，而向量夾角的取值范圍為[0，π]，注意角度的轉(zhuǎn)化．
[解] ∵eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))，∴eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＝|eq \(OA,\s\up7(→))|·|eq \(AC,\s\up7(→))|·cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))〉－|eq \(OA,\s\up7(→))|·|eq \(AB,\s\up7(→))|·
cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(AB,\s\up7(→))〉＝8×4×cs 135°－8×6×cs 120°
＝24－16eq \r(2)．
∴cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))〉＝eq \f(\(OA,\s\up7(→))·\(BC,\s\up7(→)),|\(OA,\s\up7(→))|·|\(BC,\s\up7(→))|)＝eq \f(24－16\r(2),8×5)＝eq \f(3－2\r(2),5)，∴異面直線OA與BC的夾角的余弦值為eq \f(3－2\r(2),5)．
利用向量數(shù)量積求夾角問題的思路
?1?求兩個(gè)向量的夾角有兩種方法：①結(jié)合圖形，平移向量，利用空間向量的夾角定義來求，但要注意向量夾角的范圍；②先求a·b，再利用公式cs〈a·b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)求cs〈a，b〉，最后確定〈a，b〉.
?2?我們也可以用這種方法求兩條異面直線所成的角，步驟如下：
①根據(jù)題設(shè)條件在所求的異面直線上取兩個(gè)向量?即直線的方向向量?；
②異面直線所成角的問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題；
③利用數(shù)量積求向量夾角的余弦值或角的大小；
④異面直線所成的角為銳角或直角，利用向量數(shù)量積求向量夾角的余弦值應(yīng)將余弦值加上絕對(duì)值，進(jìn)而求出異面直線所成的角的大小.
eq \O([跟進(jìn)訓(xùn)練])
3．如圖，已知直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，BB′的中點(diǎn)．
(1)求證：CE⊥A′D；
(2)求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．
[解] (1)證明：設(shè)eq \(CA,\s\up7(→))＝a，eq \(CB,\s\up7(→))＝b，eq \(CC′,\s\up7(→))＝c，
根據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0．
∴eq \(CE,\s\up7(→))＝b＋eq \f(1,2)c，eq \(A′D,\s\up7(→))＝－c＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)a．
∴eq \(CE,\s\up7(→))·eq \(A′D,\s\up7(→))＝－eq \f(1,2)c2＋eq \f(1,2)b2＝0，
∴eq \(CE,\s\up7(→))⊥eq \(A′D,\s\up7(→))，即CE⊥A′D．
(2)∵eq \(AC′,\s\up7(→))＝－a＋c，∴|eq \(AC′,\s\up7(→))|＝eq \r(2)|a|，|eq \(CE,\s\up7(→))|＝eq \f(\r(5),2)|a|，
∵eq \(AC′,\s\up7(→))·eq \(CE,\s\up7(→))＝(－a＋c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋\f(1,2)c))＝eq \f(1,2)c2＝eq \f(1,2)|a|2，
∴cs〈eq \(AC′,\s\up7(→))，eq \(CE,\s\up7(→))〉＝eq \f(\f(1,2)|a|2,\r(2)·\f(\r(5),2)|a|2)＝eq \f(\r(10),10)．
∴異面直線CE與AC′所成角的余弦值為eq \f(\r(10),10)．
[探究問題]
1．異面直線AB，CD所成的角為60°，則〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉的值是多少？
[提示] 〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉＝60°或120°．
2．如圖，已知線段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D與A在α的同側(cè)，若AB＝BC＝CD＝2，試求A，D兩點(diǎn)間的距離．
[提示] ∵eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))，∴|eq \(AD,\s\up7(→))|2＝(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→)))2＝|eq \(AB,\s\up7(→))|2＋|eq \(BC,\s\up7(→))|2＋|eq \(CD,\s\up7(→))|2＋2eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＋2eq \(AB,\s\up7(→))·CD＋2eq \(BC,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))＝12＋2(2·2·cs 90°＋2·2·cs 120°＋2·2·cs 90°)＝8，
∴|eq \(AD,\s\up7(→))|＝2eq \r(2)，即A，D兩點(diǎn)間的距離為2eq \r(2)．
【例4】 如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿著它的對(duì)角線AC將△ACD折起，使AB與CD成60°角，求此時(shí)B，D間的距離．
思路探究：eq \x(\(BD,\s\up7(→))＝\(BA,\s\up7(→))＋\(AC,\s\up7(→))＋\(CD,\s\up7(→)))→
[解] ∵∠ACD＝90°，∴eq \(AC,\s\up7(→))·CD＝0，同理可得eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(BA,\s\up7(→))＝0．∵AB與CD成60°角，∴〈eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉＝60°或〈eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉＝120°．又eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))，∴|eq \(BD,\s\up7(→))|2＝|eq \(BA,\s\up7(→))|2＋|eq \(AC,\s\up7(→))|2＋|eq \(CD,\s\up7(→))|2＋2eq \(BA,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))＋2eq \(BA,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))＋2eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(CD,\s\up7(→))＝3＋2×1×1×cs〈eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉．
∴當(dāng)〈eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉＝60°時(shí)，|eq \(BD,\s\up7(→))|2＝4，此時(shí)B，D間的距離為2；當(dāng)〈eq \(BA,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉＝120°時(shí)，|eq \(BD,\s\up7(→))|2＝2，此時(shí)B，D間的距離為eq \r(2)．
1．利用空間向量的數(shù)量積與空間向量模的關(guān)系，常把空間兩點(diǎn)距離問題轉(zhuǎn)化為空間向量模的大小問題加以計(jì)算．
2．用數(shù)量積求兩點(diǎn)間距離的步驟：
(1)用向量表示此距離；
(2)用其他向量表示此向量；
(3)用公式a·a＝|a|2，求|a|；
(4)|a|即為所求距離．
eq \O([跟進(jìn)訓(xùn)練])
4．如圖所示，在空間四邊形OABC中，OA，OB，OC兩兩成60°角，且OA＝OB＝OC＝2，E為OA的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，試求E，F(xiàn)間的距離．
[解] eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(EA,\s\up7(→))＋eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)[(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))＋(eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))]
＝－eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(OC,\s\up7(→))，
所以eq \(EF2,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up7(→))2＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up7(→))2＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up7(→))2＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＋2×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)eq \(OB,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))＝2．
∴|eq \(EF,\s\up7(→))|＝eq \r(2)，即E，F(xiàn)間的距離為eq \r(2)．
1．空間向量數(shù)量積運(yùn)算的兩種方法
(1)利用定義：利用a·b＝|a||b|cs〈a，b〉并結(jié)合運(yùn)算律進(jìn)行計(jì)算．
(2)利用圖形：計(jì)算兩個(gè)數(shù)量的數(shù)量積，可先將各向量移到同一頂點(diǎn)，利用圖形尋找夾角，再代入數(shù)量積公式進(jìn)行運(yùn)算．
2．在幾何體中求空間向量數(shù)量積的步驟
(1)首先將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．
(2)利用向量的運(yùn)算律將數(shù)量積展開，轉(zhuǎn)化為已知模和夾角的向量的數(shù)量積．
(3)代入a·b＝|a||b|cs〈a，b〉求解．
1．已知|p|＝|q|＝1，且〈p，q〉＝90°，a＝3p－2q，b＝p＋q，則a·b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
A [a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝1．]
2．在空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq \f(π,3)，則cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))〉的值為( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(2),2)
C．－eq \f(1,2) D．0
D [eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))·(eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→)))＝eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OC,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝|eq \(OA,\s\up7(→))||eq \(OC,\s\up7(→))|cs∠AOC－|eq \(OA,\s\up7(→))||eq \(OB,\s\up7(→))|cs∠AOB＝eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up7(→))||eq \(OC,\s\up7(→))|－eq \f(1,2)|eq \(OA,\s\up7(→))||Oeq \(B,\s\up7(→))|＝0，
∴eq \(OA,\s\up7(→))⊥eq \(BC,\s\up7(→))，∴cs〈eq \(OA,\s\up7(→))，eq \(BC,\s\up7(→))〉＝0．]
3．若a，b，c為空間兩兩夾角都是60°的三個(gè)單位向量，則|a－b＋2c|＝________．
eq \r(5) [∵(a－b＋2c)2＝a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c＝6－1＋2－2＝5，
∴|a－b＋2c|＝eq \r(5)．]
4．正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱長(zhǎng)都為2，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點(diǎn)，求EF的長(zhǎng)．
[解] 如圖所示，設(shè)eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AC,\s\up7(→))＝b，eq \(AA1,\s\up7(→))＝c．由題意知|a|＝|b|＝|c|＝2，
且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°．
因?yàn)閑q \(EF,\s\up7(→))＝eq \(EA,\s\up7(→))＋eq \(AA1,\s\up7(→))＋eq \(A1F,\s\up7(→))
＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AA1,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(→))
＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c，
所以EF2＝|eq \(EF,\s\up7(→))|2＝eq \(EF,\s\up7(→))2＝eq \f(1,4)a2＋eq \f(1,4)b2＋c2＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a·\f(1,2)b＋\f(1,2)b·c－\f(1,2)a·c))
＝eq \f(1,4)×22＋eq \f(1,4)×22＋22＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)))×2×2cs 60°＝1＋1＋4－1＝5，
所以EF＝eq \r(5)．
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
核 心 素 養(yǎng)
1．掌握空間向量夾角的概念及表示方法．
2．掌握空間向量的數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律及計(jì)算方法．(重點(diǎn))
3．能用向量的數(shù)量積解決立體幾何問題．(難點(diǎn))
1．通過學(xué)習(xí)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．
2．借助利用空間向量數(shù)量積證明垂直關(guān)系、求夾角和距離運(yùn)算，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．
數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律
(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)
交換律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c
垂直
若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0
共線
同向：則a·b＝|a|·|b|
反向：則a·b＝－|a|·|b|
向量數(shù)量積的性質(zhì)
模
a· a＝|a||a|cs〈a，a〉＝|a|2
|a|＝eq \r(a·a)
|a·b|≤|a|·|b|
夾角
θ為a，b的夾角，則cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)
空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
利用數(shù)量積證明空間的垂直關(guān)系
利用數(shù)量積求夾角
利用數(shù)量積求距離

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)A選修2-1電子課本

3.1 空間向量及其運(yùn)算

版本： 人教版新課標(biāo)A

年級(jí)： 選修2-1

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