高中人教版新課標A3.1空間向量及其運算學案設計-學案下載-教習網(wǎng)

1．空間向量運算的坐標表示
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空間向量的坐標運算法則如下表所示：
2．空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標表示
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則
思考：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則
a∥b一定有eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)成立嗎？
[提示] 當b1，b2，b3均不為0時，eq \f(a1,b1)＝eq \f(a2,b2)＝eq \f(a3,b3)成立．
3．向量的坐標及兩點間的距離公式
在空間直角坐標系中，設A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，則
(1)eq \(AB,\s\up7(→))＝(a2－a1，b2－b1，c2－c1)；
(2)dAB＝|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(?a2－a1?2＋?b2－b1?2＋?c2－c1?2)．
1．已知向量a＝(－3,2,5)，b＝(1,5，－1)，則4a＋2b等于( )
A．(10，－18，－18) B．(－10,18,18)
C．(－14，－2,22) D．(－14,2，－22)
B [∵4a＝(－12,8,20)，2b＝(2,10，－2)，
∴4a＋2b＝(－10,18,18)．]
2．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k＝( )
A．1 B．eq \f(1,5) C．eq \f(3,5) D．eq \f(7,5)
D [ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且(ka＋b)·
(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0，解得k＝eq \f(7,5)．]
3．若A(－1,2,3)，B(2,1,4)，C(m，n,1)三點共線，則m＋n＝________．
－3 [eq \(AB,\s\up7(→))＝(3，－1,1)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(m＋1，n－2，－2)．
∵A，B，C三點共線，∴存在實數(shù)λ，使得eq \(AC,\s\up7(→))＝λeq \(AB,\s\up7(→))．
即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1,1)＝(3λ，－λ，λ)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1＝3λ，,n－2＝－λ，,－2＝λ，))解得λ＝－2，m＝－7，n＝4．
∴m＋n＝－3．]
4．已知a＝(－eq \r(2)，2，eq \r(3))，b＝(3eq \r(2)，6,0)，則|a|＝________，
a與b夾角的余弦值等于________．
3 eq \f(\r(6),9) [|a|＝eq \r(?－\r(2)?2＋22＋?\r(3)?2)＝eq \r(9)＝3，
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－6＋12,3×\r(?3\r(2)?2＋62))＝eq \f(\r(6),9)．]
【例1】 (1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)滿足條件(c－a)·2b＝－2，則x＝________．
(2)已知O是坐標原點，且A，B，C三點的坐標分別是(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求適合下列條件的點P的坐標；
①eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)))；②eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)))．
(1)2 [c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)，由(c－a)·2b＝－2得2(1－x)＝－2，解得x＝2．]
(2)解：eq \(AB,\s\up7(→))＝(2,6，－3)，eq \(AC,\s\up7(→))＝(－4,3,1)．
①eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)(6,3，－4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,2)，－2))，則點P的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,2)，－2))．
②設P(x，y，z)，則eq \(AP,\s\up7(→))＝(x－2，y＋1，z－2)．
∵eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(3,2)，－2))，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＝3，,y＋1＝\f(3,2)，,z－2＝－2，))
解得x＝5，y＝eq \f(1,2)，z＝0，則點P的坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,2)，0))．
1．一個向量的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標．
2．在確定了向量的坐標后，使用空間向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標運算公式進行計算就可以了，但要熟練應用下列有關乘法公式：(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2．
eq \O([跟進訓練])
1．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．
求：(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；
(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．
[解] (1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)
＝(2＋0，－1－1，－2＋4)＝(2，－2,2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)
＝(2－0，－1－(－1)，－2－4)＝(2,0，－6)．
(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)
＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7．
(4)∵2a＝(4，－2，－4)，
∴2a·(－b)＝(4，－2，－4)·(0,1，－4)
＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14．
(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8．
【例2】如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝eq \r(2)，AF＝1，M是線段EF的中點．
求證：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF．
[證明] (1)如圖，建立空間直角坐標系，
設AC∩BD＝N，連接NE，
則點N，E的坐標分別為
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，0))，(0,0,1)．
∴eq \(NE,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1))．
又點A，M的坐標分別是(eq \r(2)，eq \r(2)，0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1))，
∴eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1))．
∴eq \(NE,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))．
又NE與AM不共線，∴NE∥AM．
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE．
(2)由(1)知eq \(AM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)，1))．
∵D(eq \r(2)，0,0)，F(xiàn)(eq \r(2)，eq \r(2)，1)，
∴eq \(DF,\s\up6(→))＝(0，eq \r(2)，1)，
∴eq \(AM,\s\up6(→))·eq \(DF,\s\up6(→))＝0，
∴eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(DF,\s\up6(→))．
同理，eq \(AM,\s\up6(→))⊥eq \(BF,\s\up6(→))．
又DF∩BF＝F，且DF?平面BDF，BF?平面BDF，
∴AM⊥平面BDF．
解決本題的關鍵是建立正確、恰當?shù)目臻g直角坐標系，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.通過向量的運算，來實現(xiàn)平行與垂直的判定.
eq \O([跟進訓練])
2．已知空間向量a＝(－1,2，－3)，b＝(2，－4，x)，c＝(4，y,6)．
(1)若m∥a，且|m|＝2eq \r(7)，求向量m；
(2)若a⊥c，求實數(shù)y的值；
(3)若(2a－b)∥(a＋3b)，求實數(shù)x的值．
[解] (1)由于m∥a，可設m＝λa＝λ(－1,2，－3)＝(－λ，2λ，－3λ)．
因為|m|＝2eq \r(7)，
所以eq \r(?－λ?2＋?2λ?2＋?－3λ?2)＝2eq \r(7)，
即λ2＝2，解得λ＝±eq \r(2)．
故m＝(－eq \r(2)，2eq \r(2)，－3eq \r(2))或m＝(eq \r(2)，－2eq \r(2)，3eq \r(2))．
(2)因為a⊥c，所以a·c＝0，
即－4＋2y－18＝0，解得y＝11．
(3)由已知得2a－b＝(－4,8，－6－x)，a＋3b＝(5，－10,3x－3)，而(2a－b)∥(a＋3b)，
所以eq \f(－4,5)＝eq \f(8,－10)＝eq \f(－6－x,3x－3)，解得x＝6．
[探究問題]
1．已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則線段AB的中點P的坐標是多少？
[提示] Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2)，\f(z1＋z2,2)))．
2．設異面直線AB，CD所成的角為θ，則cs θ＝cs〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉一定成立嗎？
[提示] 當cs〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉≥0時，cs θ＝cs〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉，
當cs〈eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))〉0，則λ＝( )
A．2 B．3
C．4 D．5
B [λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，由已知得|λa＋b|＝eq \r(42＋?1－λ?2＋λ2)＝eq \r(29)，且λ>0，解得λ＝3．]
2．已知點A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，若eq \(AP,\s\up7(→))＝2eq \(PB,\s\up7(→))，則點P的坐標是________．
(－1,3,3) [設點P(x，y，z)，則由eq \(AP,\s\up7(→))＝2eq \(PB,\s\up7(→))，得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x,3－y,4－z)，
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝－2－2x，,y－3＝6－2y，,z－1＝8－2z，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝3，,z＝3，))即P(－1,3,3)．]
3．若a＝(2,3，－1)，b＝(－2,1,3)，則以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為________．
6eq \r(5) [a·b＝2×(－2)＋3×1＋(－1)×3＝－4，|a|＝eq \r(14)，|b|＝eq \r(14)，
∴cs〈a，b〉＝eq \f(－4,\r(14)×\r(14))＝－eq \f(2,7)．
∴sin〈a，b〉＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,7)))eq \s\up12(2))＝eq \f(3\r(5),7)．
因此以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積為|a||b|sin〈a，b〉＝eq \r(14)×eq \r(14)×eq \f(3\r(5),7)＝6eq \r(5)．]
4．已知向量a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)，c＝(2，x，－4)．
(1)判斷a，b的位置關系；
(2)若a∥c，求|c|；
(3)若b⊥c，求c在a方向上的投影的長．
[解] (1)因為a＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)，所以b＝－2a，所以a∥b．
(2)因為a∥c，所以eq \f(2,1)＝eq \f(x,2)＝eq \f(－4,－2)，解得x＝4．
所以c＝(2,4，－4)，從而|c|＝eq \r(22＋42＋?－4?2)＝6．
(3)因為b⊥c，所以b·c＝0，即(－2，－4,4)·(2，x，－4)＝－4－4x－16＝0，解得x＝－5，
所以c＝(2，－5，－4)．
所以c在a方向上的投影的長為
|c|cs〈a，c〉＝|c|×eq \f(a·c,|a||c|)＝eq \f(1×2－2×5＋2×4,\r(12＋22＋?－2?2))＝eq \f(2－10＋8,3)＝0．
學習目標
核心素養(yǎng)
1．掌握空間向量運算的坐標表示，并會判斷兩個向量是否共線或垂直．(重點)
2．掌握空間向量的模，夾角公式和兩點間距離公式，并能運用這些公式解決簡單幾何體中的問題．(重點、難點)
1．通過空間向量的坐標運算及空間向量夾角及長度的學習，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算核心素養(yǎng)．
2．借助利用空間向量的坐標運算解決平行、垂直問題，提升學生的數(shù)學運算及邏輯推理的核心素養(yǎng)．
運算
坐標表示
加法
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
減法
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
數(shù)乘
λa＝(λa1，λa2，λa3)，λ∈R
數(shù)量積
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3
平行(a∥b)
a∥b(b≠0)?a＝λb?eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝λb1，,a2＝λb2，?λ∈R?,a3＝λb3))
垂直(a⊥b)
a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(a，b均為非零向量)
模
|a|＝eq \r(a·a)＝eq \r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))
夾角公式
cs〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|·|b|)＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\\al(2,1)＋a\\al(2,2)＋a\\al(2,3))\r(b\\al(2,1)＋b\\al(2,2)＋b\\al(2,3)))
空間向量的坐標運算
利用向量的坐標運算解決平行、垂直問題
空間向量夾角與長度的計算

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