授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第87頁
[教材提煉]
知識點一 誘導(dǎo)公式(二)
eq \a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)
如圖，作P1關(guān)于原點的對稱點P2，以O(shè)P2為終邊的角β與角α有什么關(guān)系？角β，α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？

知識梳理 公式二
sin(π＋α)＝－sin_α，
cs(π＋α)＝－cs_α，
tan(π＋α)＝tan_α.
知識點二 誘導(dǎo)公式(三)
eq \a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)
如圖，作P1關(guān)于x軸的對稱點P3，那么P1與P3點的坐標(biāo)有什么關(guān)系？

知識梳理 公式三
sin(－α)＝－sin_α，
cs(－α)＝cs_α，
tan(－α)＝－tan_α.
知識點三 誘導(dǎo)公式(四)
eq \a\vs4\al(預(yù)習(xí)教材，思考問題)
如圖，作P1關(guān)于y軸的對稱點P4，那么OP1與OP4所表示的角有什么關(guān)系？函數(shù)值有什么關(guān)系？

知識梳理 公式四
sin(π－α)＝sin_α，
cs(π－α)＝－cs_α，
tan(π－α)＝－tan_α.
公式一～四都叫做誘導(dǎo)公式，它們分別反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)之間的關(guān)系，這四組公式的共同特點是：
2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函數(shù)值等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號．簡記為“函數(shù)名不變，符號看象限”．
[自主檢測]
1．已知tan α＝4，則tan(π－α)等于( )
A．π－4 B．4
C．－4 D．4－π
答案：C
2．sin 585°的值為( )
A．－eq \f(\r(2),2) B.eq \f(\r(2),2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
答案：A
3．已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，則sin(π－α)＝________.
答案：eq \f(\r(5),5)
4．若tan(π＋α)＝eq \f(1,3)，則tan α＝________.
答案：eq \f(1,3)
授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第88頁
探究一 給角求值
[例1] 求下列各三角函數(shù)的值：
(1)sin(－945°)；(2)cs(－eq \f(16π,3))；
(3)sineq \f(4,3)π·cs(－eq \f(19,6)π)·taneq \f(21,4)π.
[解析] (1)法一：sin(－945°)＝－sin 945°＝－sin(225°＋2×360°)
＝－sin 225°＝－sin(180°＋45°)
＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).
法二：sin(－945°)＝sin(135°－3×360°)
＝sin 135°
＝sin(180°－45°)＝sin 45°＝eq \f(\r(2),2).
(2)法一：cs(－eq \f(16π,3))＝cs eq \f(16π,3)＝cs(eq \f(4π,3)＋4π)
＝cs eq \f(4π,3)＝cs(π＋eq \f(π,3))＝－cs eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).
法二：cs(－eq \f(16π,3))＝cs(eq \f(2π,3)－6π)＝cs eq \f(2π,3)
＝cs(π－eq \f(π,3))＝－cs eq \f(π,3)＝－eq \f(1,2).
(3)原式＝sineq \f(4π,3)·cs(2π＋eq \f(7π,6))·tan(4π＋eq \f(5π,4))
＝sineq \f(4π,3)·cseq \f(7π,6)·taneq \f(5π,4)
＝sin(π＋eq \f(π,3))·cs(π＋eq \f(π,6))·tan(π＋eq \f(π,4))
＝(－sineq \f(π,3))·(－cseq \f(π,6))·taneq \f(π,4)
＝(－eq \f(\r(3),2))×(－eq \f(\r(3),2))×1＝eq \f(3,4).
利用公式一～公式四，可以把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，一般可按下面步驟進(jìn)行：
求值：cs(2nπ＋eq \f(2π,3))·sin(nπ＋eq \f(4π,3))．
解析：①當(dāng)n為奇數(shù)時，原式＝cs eq \f(2π,3)·(－sin eq \f(4π,3))
＝cs(π－eq \f(π,3))·[－sin(π＋eq \f(π,3))]
＝(－cs eq \f(π,3))·sin eq \f(π,3)
＝－eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(\r(3),4).
②當(dāng)n為偶數(shù)時，原式＝cs eq \f(2π,3)·sineq \f(4π,3)
＝cs(π－eq \f(π,3))·sin(π＋eq \f(π,3))
＝(－cseq \f(π,3))·(－sin eq \f(π,3))
＝－eq \f(1,2)×(－eq \f(\r(3),2))＝eq \f(\r(3),4).
探究二 給值求值
[例2] [教材P195第8題拓展探究]
(1)已知sin(eq \f(π,3)－x)＝eq \f(1,3)，則sin(eq \f(4,3)π－x)＝________.
[解析] sin(eq \f(4,3)π－x)＝sin[π＋(eq \f(π,3)－x)]＝－sin(eq \f(π,3)－x)＝－eq \f(1,3).
[答案] －eq \f(1,3)
(2)已知sin(eq \f(π,3)－x)＝eq \f(1,3)，且0＜x＜eq \f(π,2)，則tan(eq \f(2,3)π＋x)＝________.
[解析] ∵0＜x＜eq \f(π,2)，∴－eq \f(π,6)＜eq \f(π,3)－x＜eq \f(π,3).
又sin(eq \f(π,3)－x)＝eq \f(1,3)＞0，∴0＜eq \f(π,3)－x＜eq \f(π,3).
cs(eq \f(2,3)π＋x)＝cs[π－(eq \f(π,3)－x)]＝－cs(eq \f(π,3)－x)＝－eq \r(1－sin2?\f(π,3)－x?)＝－eq \r(1－?\f(1,3)?2)＝－eq \f(2\r(2),3)，
sin(eq \f(2,3)π＋x)＝sin[π－(eq \f(π,3)－x)]＝sin(eq \f(π,3)－x)＝eq \f(1,3)，
∴tan(eq \f(2,3)π＋x)＝eq \f(sin?\f(2,3)π＋x?,cs?\f(2,3)π＋x?)＝eq \f(\f(1,3),－\f(2\r(2),3))＝－eq \f(\r(2),4).
[答案] －eq \f(\r(2),4)
已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))的值．
解析：因為cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3)，
sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))
＝1－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(2,3)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))－sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))
＝－eq \f(\r(3),3)－eq \f(2,3)＝－eq \f(2＋\r(3),3).
(1)解決條件求值問題時，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、函數(shù)名稱及有關(guān)運算之間的差異及聯(lián)系．
(2)可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已知式轉(zhuǎn)化．
探究三 化簡三角函數(shù)式
[例3] 化簡cs(eq \f(4n＋1,4)π＋x)＋cs(eq \f(4n－1,4)π－x)(n∈Z)．
[解析] 原式＝cs(nπ＋eq \f(π,4)＋x)＋cs(nπ－eq \f(π,4)－x)．
(1)當(dāng)n為奇數(shù)，即n＝2k＋1(k∈Z)時，
原式＝cs[(2k＋1)π＋eq \f(π,4)＋x]＋cs[(2k＋1)π－eq \f(π,4)－x]
＝－cs(eq \f(π,4)＋x)－cs(－eq \f(π,4)－x)
＝－2cs(eq \f(π,4)＋x)；
(2)當(dāng)n為偶數(shù)，即n＝2k(k∈Z)時，
原式＝cs(2kπ＋eq \f(π,4)＋x)＋cs(2kπ－eq \f(π,4)－x)
＝cs(eq \f(π,4)＋x)＋cs(－eq \f(π,4)－x)＝2cs(eq \f(π,4)＋x)．
故原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－2cs?\f(π,4)＋x?，n為奇數(shù),2cs?\f(π,4)＋x?，n為偶數(shù))).
利用誘導(dǎo)公式化簡三角函數(shù)式的注意點
(1)當(dāng)碰到kx±α(k∈Z)的形式時，要注意對k分奇數(shù)和偶數(shù)進(jìn)行討論，其目的在于將不符合條件的問題，通過分類使之符合條件，達(dá)到能利用公式的形式．
(2)要注意觀察角之間的關(guān)系，巧妙地利用角之間的關(guān)系，會給問題的解決帶來很大的方便，如kπ－α＝2kπ－(kπ＋α)，k∈Z.
化簡：cs(kπ＋eq \f(π,6))sin(kπ－eq \f(2,3)π)(k∈Z)．
解析：當(dāng)k＝2n(n∈Z)時，
原式＝cs(2nπ＋eq \f(π,6))sin(2nπ－eq \f(2π,3))
＝－cseq \f(π,6)sineq \f(2π,3)＝－cseq \f(π,6)sin(π－eq \f(π,3))
＝－cseq \f(π,6)sineq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(3,4).
當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時，
原式＝cs(2nπ＋π＋eq \f(π,6))sin(2nπ＋π－eq \f(2π,3))
＝cs(π＋eq \f(π,6))sineq \f(π,3)＝－cseq \f(π,6)sineq \f(π,3)
＝－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(3,4).
綜上，原式＝－eq \f(3,4).
授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第89頁
一、角的終邊關(guān)系與誘導(dǎo)公式的拓展
在弧度制下，常見的對稱關(guān)系如下(可結(jié)合圖象分析)：
公式一～四拓展為sin(nπ＋α)＝(－1)nsin α，cs(nπ＋α)＝(－1)ncs α.
[典例] 化簡：eq \f(sin[?k＋1?π＋θ]·cs[?k＋1?π－θ],sin?kπ－θ?·cs?kπ＋θ?)(k∈Z)．
[解析] 原式＝eq \f(?－1?k＋1sin θ·?－1?k＋1cs?－θ?,?－1?ksin?－θ?·?－1?kcs θ)
＝eq \f(?－1?2k＋2sin θcs θ,?－1?2ksin?－θ?cs θ)＝－1.
[答案] －1
二、盲目套用公式
[典例] 若tan(5π＋α)＝m，則eq \f(sin?α－3π?＋cs?π－α?,sin?－α?－cs?π＋α?)的值為________．
[解析] 由tan(5π＋α)＝m，得tan α＝m.于是原式＝eq \f(－sin α－cs α,－sin α＋cs α)＝eq \f(tan α＋1,tan α－1)＝eq \f(m＋1,m－1).
[答案] eq \f(m＋1,m－1)
糾錯心得 此題中tan(5π＋α)與sin(α－3π)都不是公式形式，而直接套用公式易致錯．使用誘導(dǎo)公式時，必須符合公式中的特點要求，才可正確應(yīng)用．
內(nèi) 容 標(biāo) 準(zhǔn)
學(xué) 科 素 養(yǎng)
1.借助單位圓推導(dǎo)誘導(dǎo)公式(二)(三)(四)．
直觀想象
數(shù)學(xué)運算
2.了解誘導(dǎo)公式的意義和作用.
3.能運用有關(guān)誘導(dǎo)公式解決一些三角函數(shù)的求值、化簡和證明問題.
α與β的終邊關(guān)于x軸對稱
α＋β＝2kπ(k∈Z)
α與β的終邊關(guān)于y軸對稱
α＋β＝(2k＋1)π(k∈Z)
α與β的終邊關(guān)于直線y＝x對稱
α＋β＝eq \f(4k＋1,2)π(k∈Z)
α與β的終邊關(guān)于直線y＝－x對稱
α＋β＝eq \f(4k－1,2)π(k∈Z)
α與β的終邊在同一條直線上
α－β＝kπ(k∈Z)
α與β的終邊垂直
α－β＝eq \f(4k±1,2)π(k∈Z)

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5.3 誘導(dǎo)公式

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