3.2　函數(shù)的基本性質(zhì)
3.2.1　單調(diào)性與最大(小)值
【素養(yǎng)目標(biāo)】1．根據(jù)一次函數(shù)，二次函數(shù)了解并理解函數(shù)單調(diào)性的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．會利用函數(shù)圖象判斷一次函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性．(直觀想象)3．理解一次函數(shù)、二次函數(shù)等常見函數(shù)的最大(小)值問題．(數(shù)據(jù)分析)4．能利用定義判斷一些簡單函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，掌握利用單調(diào)性定義判斷、證明函數(shù)單調(diào)性的方法．(邏輯推理)5．掌握利用函數(shù)的圖象和函數(shù)的單調(diào)性求一些簡單函數(shù)的最大(小)值的方法．(數(shù)據(jù)分析)
【學(xué)法解讀】1．函數(shù)單調(diào)性的學(xué)習(xí)，學(xué)生要正確使用符號語言清晰地刻畫函數(shù)的性質(zhì)．2．單調(diào)性的有關(guān)概念比較抽象，要注意結(jié)合具體的函數(shù)(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、比例函數(shù)等)加深理解其含義及應(yīng)用．3．應(yīng)少做偏題、怪題，避免繁瑣的技巧訓(xùn)練．
第1課時　函數(shù)的單調(diào)性
思考1：在函數(shù)單調(diào)性的定義中，能否去掉“任意”？提示：不能，不能用特殊代替一般．
函數(shù)y＝f(x)在__________上是單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則函數(shù)在區(qū)間D上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間
思考2：區(qū)間D一定是函數(shù)的定義域嗎？提示：不一定，可能是定義域的一個子區(qū)間，單調(diào)性是局部概念，不是整體概念．
1．判斷下列說法正誤．(1)因?yàn)閒(－1)＜f(2)，所以函數(shù)f(x)在[－1,2]上單調(diào)遞增．(　　)(2)若f(x)為R上的減函數(shù)，則f(0)＞f(1)．(　　)(3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2]和(2,3)上均單調(diào)遞增，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,3)上單調(diào)遞增．(　　)(4)若函數(shù)y＝f(x)在定義域上有f(1)＜f(2)，則函數(shù)y＝f(x)是增函數(shù)．(　　)
2．函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上是減函數(shù)，x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2，則有(　　)A．f(x1)＜f(x2)B．f(x1)＞f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．以上都有可能[解析]　因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x)在(a，b)上是減函數(shù)，且x1＜x2，所以f(x1)＞f(x2)，故選B．
[解析]　分別畫出各個函數(shù)的圖象，在區(qū)間(0,2)上上升的圖象只有B．
　　　　如圖為函數(shù)y＝f(x)，x∈[－4,7]的圖象，指出它的單調(diào)區(qū)間．
[分析]　(1)函數(shù)f(x)在D上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)表現(xiàn)在其圖象上有怎樣的特征？(2)單調(diào)增、減區(qū)間與函數(shù)在該區(qū)間上為增、減函數(shù)一樣嗎？[解析]　函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[－1.5,3)，[5,6)，單調(diào)減區(qū)間為[－4，－1.5)，[3,5)，[6,7]．
(3)區(qū)間端點(diǎn)的寫法：對于單獨(dú)的一點(diǎn)，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減變化，所以不存在單調(diào)問題，因此寫單調(diào)區(qū)間時，可以包括端點(diǎn)，也可以不包括端點(diǎn)，但對于某些點(diǎn)無意義時，單調(diào)區(qū)間就不包括這些點(diǎn)．
【對點(diǎn)練習(xí)】? 據(jù)下列函數(shù)圖象，指出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間．
?[解析]　由圖象(1)知此函數(shù)的增區(qū)間為(－∞，2]，[4，＋∞)，減區(qū)間為[2,4]．由圖象(2)知，此函數(shù)的增區(qū)間為(－∞，－1]，[1，＋∞)，減區(qū)間為[－1,0)，(0,1]．
[分析]　利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性．要遵循“取值、作差、變形、定號、判斷”這個步驟．
[歸納提升]　函數(shù)的單調(diào)性是在某指定區(qū)間上而言的，自變量x的取值必須是連續(xù)的，用定義證明函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟是“取值——作差(或作商)——變形——定號——判斷”．當(dāng)函數(shù)在給定區(qū)間上恒正或恒負(fù)時，也常用“作商判1”的方法來解決，特別是函數(shù)中含有指數(shù)式時常用此法．解決帶根號的問題，常用的方法就是分子、分母有理化．從形式上看是由“－”變成“＋”．
　　　　已知函數(shù)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(3a－7)＞f(11＋8a)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[分析]　根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性定義可知，由兩個自變量的大小可以得到相應(yīng)的函數(shù)值的大小，反之，由兩個函數(shù)值的大小也可以得到相應(yīng)自變量的大?。?br/>[歸納提升]　利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值的不等式就是利用函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，去掉對應(yīng)關(guān)系“f”，轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，此時一定要注意自變量的限制條件，以防出錯．
【對點(diǎn)練習(xí)】? (1)若f(x)是定義在[0，＋∞)上的減函數(shù)，則不等式f(x)＜f(－2x＋8)的解集是__________．(2)已知函數(shù)g(x)是定義在R上為增函數(shù)，且g(t)＞g(1－2t)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．
1．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，其增區(qū)間是(　　)A．[0,1]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4][解析]　結(jié)合圖象分析可知，函數(shù)圖象在區(qū)間[－3,1]是上升的，故其增區(qū)間是[－3,1]．
3．(2020·山東濰坊市高一期中測試)已知函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，若a∈R，則(　　)A．f(a)＞f(2a)B．f(a2)＜f(a)C．f(a2＋a)＜f(a)D．f(a2＋1)＜f(a)

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3.2 函數(shù)的基本性質(zhì)

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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