3.1　函數(shù)的概念及其表示
3.1.1　函數(shù)的概念
第2課時(shí)　函數(shù)的概念(二)
思考1：函數(shù)有定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域三要素，為什么判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)，只看定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系？提示：由函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系可以求出函數(shù)的值域，所以判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)，只看定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系即可．
常見(jiàn)函數(shù)的定義域和值域
思考2：求二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域時(shí)為什么分a＞0和a＜0兩種情況？
2．(2021·江蘇啟東中學(xué)高一檢測(cè))下圖中，能表示函數(shù)y＝f(x)的圖象的是(　　)[解析]　由函數(shù)定義可知，任意作一條垂直于x軸的直線x＝a，則直線與函數(shù)的圖象至多有一個(gè)交點(diǎn)，可知選項(xiàng)D中圖象能表示y是x的函數(shù)．
4．下表表示y是x的函數(shù)，則函數(shù)的值域是(　　)A．{y|－1≤y≤1}B．RC．{y|2≤y≤3}D．{－1,0,1}[解析]　函數(shù)值只有－1,0,1三個(gè)數(shù)值，故值域?yàn)閧－1,0,1}．
　　　　函數(shù)y＝－x2＋1，－1≤x＜2的值域是(　　)A．(－3,0]B．(－3,1]C．[0,1]D．[1,5)[分析]　首先看二次函數(shù)的開(kāi)口方向，再考慮二次函數(shù)的對(duì)稱軸與限定區(qū)間的位置關(guān)系．
[解析]　由y＝－x2＋1，x∈[－1,2)，可知當(dāng)x＝2時(shí)，ymin＝－4＋1＝－3；當(dāng)x＝0時(shí)，ymax＝1，因?yàn)閤≠2，所以函數(shù)的值域?yàn)?－3,1]．
[歸納提升]　二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的值域(1)對(duì)稱軸在限定區(qū)間的左邊，則函數(shù)在限定區(qū)間左端點(diǎn)取最小值，右端點(diǎn)取最大值；(2)對(duì)稱軸在限定區(qū)間的右邊，則函數(shù)在限定區(qū)間左端點(diǎn)取最大值，右端點(diǎn)取最小值；(3)對(duì)稱軸在限定區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)在對(duì)稱軸處取最小值，限定區(qū)間中距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)的端點(diǎn)取最大值．
[解析]　A中x≥0，所以y≥0；B中x＞0，所以y＞0；C中x≠0，所以y≠0；D中x∈R，所以y≥1．
[分析]　判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)，只須看這兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否完全一致即可．
[歸納提升]　判斷兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)是不是同一函數(shù)的方法與步驟(1)先看定義域，若定義域不同，則兩函數(shù)不同．(2)再看對(duì)應(yīng)關(guān)系，若對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，則不是同一函數(shù)．(3)若對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，且定義域也相同，則是同一函數(shù)．
　　　　(1)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,2)，則函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)開(kāi)__________．(2)若函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)?－1,2)，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開(kāi)_________．(3)若函數(shù)f(2x＋1)的定義域?yàn)?－1,2)，則函數(shù)f(x－1)的定義域?yàn)開(kāi)______．
(－1,5)　(0,6)　
[分析]　(1)f(x)的定義域?yàn)?－1,2)，即x的取值范圍為(－1,2)．f(2x＋1)中x的取值范圍(定義域)可由2x＋1∈(－1,2)求得．(2)f(2x＋1)的定義域?yàn)?－1,2)，即x的取值范圍為(－1,2)，由此求得2x＋1的取值范圍即為f(x)的定義域．(3)先由f(2x＋1)的定義域求得f(x)的定義域，再由f(x)的定義域求f(x－1)的定義域．
[歸納提升]　函數(shù)y＝f[g(x)]的定義域由y＝f(t)與t＝g(x)的定義域共同決定：(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閿?shù)集A，則函數(shù)f[g(x)]的定義域由g(x)∈A解出．(2)若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域?yàn)閿?shù)集A，則函數(shù)f(x)的定義域?yàn)間(x)在A中的值域．
【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】? (1)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－1,5]，求函數(shù)f(x－5)的定義域；(2)已知函數(shù)f(x－1)的定義域是[0,3]，求函數(shù)f(x)的定義域．[解析]　(1)由－1≤x－5≤5，得4≤x≤10，所以函數(shù)f(x－5)的定義域是[4,10]．(2)由0≤x≤3，得－1≤x－1≤2，所以函數(shù)f(x)的定義域是[－1,2]．
函數(shù)概念理解有誤　　　　設(shè)集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，給出下列四個(gè)圖形(如圖所示)，其中能表示集合M到N的函數(shù)關(guān)系的個(gè)數(shù)是(　　)A．0B．1C．2D．3
[錯(cuò)解]　函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以一對(duì)一，也可以多對(duì)一，故(1)(2)(3)正確，選D．[錯(cuò)因分析]　不但要考慮幾對(duì)幾的問(wèn)題，還要考慮定義域中的元素x在值域中是否有相應(yīng)的y值與之對(duì)應(yīng)．
[正解]　圖(1)定義域M中的(1,2]部分在值域N中沒(méi)有和它對(duì)應(yīng)的數(shù)，不符合函數(shù)的定義；圖(2)中定義域、值域及對(duì)應(yīng)關(guān)系都是符合的；圖(3)顯然不符合函數(shù)的定義；圖(4)中在定義域(0,2]上任給一個(gè)元素，在值域(0,2]上有兩個(gè)元素和它對(duì)應(yīng)，因此不唯一．故只有圖(2)正確．答案為B．[方法點(diǎn)撥]　函數(shù)的定義中，從數(shù)的角度描述了函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，首先它是兩個(gè)非空數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)，它可以一對(duì)一，也可以多對(duì)一，除此之外，還要弄清定義域與數(shù)集A、值域與數(shù)集B之間的關(guān)系．
求函數(shù)值域的方法——轉(zhuǎn)化與化歸思想及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用1．分離常數(shù)法
2．配方法　　　　求函數(shù)y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域．[分析]　這種題型，我們常利用配方法把它們化成y＝a(x＋b)2＋c的形式來(lái)求函數(shù)的值域．[解析]　∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，x∈[－5，－2]，∴其圖象是開(kāi)口向下，頂點(diǎn)為(－1,4)，在x∈[－5，－2]上對(duì)應(yīng)的拋物線上的一段?。鶕?jù)x∈[－5，－2]時(shí)的拋物線上升，則當(dāng)x＝－5時(shí)，y取最小值，且ymin＝－12；當(dāng)x＝－2時(shí)，y取最大值，且ymax＝3．故y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域是[－12,3]．
[歸納提升]　求解帶根號(hào)且被開(kāi)方式為一次式的函數(shù)的值域，直接求解很困難，既費(fèi)時(shí)又費(fèi)力，所以遇到這樣的問(wèn)題，我們要想到用一個(gè)字母代換掉帶根號(hào)的式子．值得注意的是，在代換過(guò)程中，要注意新變量的取值范圍．
1．函數(shù)y＝2x＋1，x∈N*，且2≤x≤4，則函數(shù)的值域?yàn)?　　)A．(5,9)B．[5,9]C．{5,7,9}D．{5,6,7,8,9}[解析]　當(dāng)2≤x≤4且x∈N*時(shí)，x＝2,3,4．所以函數(shù)值域?yàn)閧5,7,9}．
[解析]　選項(xiàng)B、C、D中兩函數(shù)的定義域不同，只有A中的兩函數(shù)是同一函數(shù)．
3．已知函數(shù)f(x)的定義域[－2,3]，則函數(shù)f(x＋1)的定義域?yàn)開(kāi)_____________．[解析]　由題意得－2≤x＋1≤3，∴－3≤x≤2，故函數(shù)f(x＋1)的定義域?yàn)閇－3,2]．
(3)作出圖象如圖， 則f(x)的值域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，g(x)的值域?yàn)閇1，＋∞)．

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4.5 函數(shù)的應(yīng)用（二）

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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