3.4　函數(shù)的應用(一)
【素養(yǎng)目標】1．了解函數(shù)模型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等是現(xiàn)實生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用．(數(shù)學抽象)2．能夠利用給定的函數(shù)模型或建立確定的函數(shù)模型解決實際問題．(數(shù)學建模)
【學法解讀】1．學生應理解如何用函數(shù)描述客觀事物的變化規(guī)律，體會函數(shù)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系．2．會用已學過的一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)處理有關實際應用問題.
形如y＝kx＋b的函數(shù)為________________，其中k≠0.
(1)解析式：y＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠1)．(2)單調(diào)性：其增長情況由xα中的α的取值而定．
1．某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發(fā)現(xiàn)，這種商品日銷量m(單位：件)與每件的銷售價x(單位：元)滿足m＝120－2x.若要獲得最大日銷售利潤，則每件商品的售價應定為(　　)A．30元　　　　　　　B．45元C．54元D．越高越好
[解析]　設日銷售利潤為y元，則y＝(x－30)(120－2x)，30≤x≤60，將上式配方得y＝－2(x－45)2＋450，所以當x＝45時，日銷售利潤最大．
2．A，B兩地相距150千米，某人開汽車以60千米/小時的速度從A地到達B地，在B地停留1小時后再以50千米/小時的速度返回A地．(1)試把汽車與A地的距離y(單位：千米)表示為時間x(單位：小時)的函數(shù)；(2)根據(jù)(1)中的函數(shù)解析式，求出汽車距離A地100千米時x的值．
某家報刊銷售點從報社買進報紙的價格是每份0.35元，賣出的價格是每份0.50元，賣不掉的報紙還可以以每份0.08元的價格退回報社．在一個月(30天)里有20天每天可以賣出報紙400份，其余10天每天只能賣出250份．若每天從報社買進報紙的數(shù)量相同，則每天應該從報社買進多少份報紙，才能使每月所獲得的利潤最大？最大利潤為多少元？
[分析]　設每天從報社買進報紙的數(shù)量為x份，若使每月所獲得的利潤最大，則250≤x≤400，每月所賺的錢數(shù)＝賣報收入的總價－付給報社的總價，而收入的總價分為三部分：①在可賣出的400份的20天里，收入為(0.5x×20)元；②在可賣出250份的10天里，在x份報紙中，有250份報紙可賣出，收入為(0.5×250×10)元；③沒有賣掉的[(x－250)×10]份報紙可退回報社，報社付的錢數(shù)為[(x－250)×0.08×10]元．注意要寫清楚函數(shù)的定義域．
[解析]　設每天應從報社買進x份報紙，由題意知250≤x≤400，設每月所獲得的利潤為y元，根據(jù)題意得：y＝0.5x×20＋0.5×250×10＋(x－250)×0.08×10－0.35x×30＝0.3x＋1 050，x∈[250，400]．因為y＝0.3x＋1 050是定義域上的增函數(shù)，所以當x＝400時，ymax＝120＋1 050＝1 170(元)．故每天應該從報社買進400份報紙，才能使每月所獲得的利潤最大，最大為1 170元．
[歸納提升]　建立一次函數(shù)模型，常設為y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系數(shù)法求出k，b的值，再根據(jù)單調(diào)性求最值，或利用方程、不等式思想解題．
【對點練習】? 一輛勻速行駛的汽車90 min行駛的路程為180 km，則這輛汽車行駛的路程y(km)與時間t(h)之間的函數(shù)解析式是(　　)A．y＝2t　　　　　　B．y＝120tC．y＝2t(t≥0)D．y＝120t(t≥0)[解析]　因為90 min＝1.5 h，所以汽車的速度為180÷1.5＝120 km/h，則路程y(km)與時間t(h)之間的函數(shù)解析式是y＝120t(t≥0)．
A，B兩城相距100 km，擬在兩城之間距A城x km處建一發(fā)電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，發(fā)電站距城市的距離不得小于10 km.已知供電費用等于供電距離(單位：km)的平方與供電量(單位：億度)之積的0.25倍，若每月向A城供電20億度，每月向B城供電10億度．(1)求x的取值范圍；(2)把月供電總費用y表示成關于x的函數(shù)；(3)發(fā)電站建在距A城多遠處，能使供電總費用y最少？
[分析]　根據(jù)發(fā)電站與城市的距離不得少于10 km確定x的取值范圍，然后根據(jù)正比例關系確定y關于x的函數(shù)解析式，最后利用配方法求得最小值．
[歸納提升]　二次函數(shù)模型的應用根據(jù)實際問題建立二次函數(shù)模型后，可利用配方法、判別式法、換元法以及函數(shù)的單調(diào)性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤最大、用料最省等最值問題．
某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場預測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正比，投資股票等風險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術平方根成正比．已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益分別為0.125萬元和0.5萬元．(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額x的函數(shù)關系式；(2)該家庭現(xiàn)有20萬元資金，全部用于理財投資，問：怎么分配資金能使投資獲得最大收益，最大收益是多少萬元？
[歸納提升]　冪函數(shù)模型有兩個：y＝kxn(k，n是常數(shù))，y＝a(1＋x)n(a，n是常數(shù))，其中y＝a(1＋x)n也常常寫作y＝N(1＋p)x(N，p為常數(shù))，這是一個應用范圍更廣的函數(shù)模型，在復利計算、工農(nóng)業(yè)產(chǎn)值、人口增長等方面都會用到該函數(shù)模型，我們平時用這兩個函數(shù)模型時注意區(qū)分．
(1)講課開始后多少分鐘，學生的注意力最集中？能持續(xù)多少分鐘？(2)講課開始25分鐘與講課開始5分鐘時，學生的注意力哪時更集中？(3)一道數(shù)學題，需要講解24分鐘，并且要求學生的注意力至少達到180，那么經(jīng)過適當安排，老師能否在學生達到所需的狀態(tài)下講授完該題目？
[解析]　(1)當0

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版本： 人教A版 (2019)

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