3.1　函數(shù)的概念及其表示
3.1.1　函數(shù)的概念
【素養(yǎng)目標(biāo)】1．通過(guò)豐富實(shí)例，學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫(huà)函數(shù)概念中的作用．(數(shù)學(xué)抽象)2．了解構(gòu)成函數(shù)的三要素．(數(shù)學(xué)抽象)3．能夠正確使用“區(qū)間”的符號(hào)表示某些集合．(直觀(guān)想象)4．理解同一個(gè)函數(shù)的概念．(數(shù)學(xué)抽象)5．能判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一個(gè)函數(shù)．(邏輯推理)
【學(xué)法解讀】1．函數(shù)概念的引入，學(xué)生以熟悉的例子為背景進(jìn)行抽象，從變量之間的依賴(lài)關(guān)系、實(shí)數(shù)集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系、函數(shù)圖象的幾何直觀(guān)等角度整體認(rèn)識(shí)函數(shù)的概念．例如，學(xué)生可以從已知的、基于變量關(guān)系的函數(shù)定義入手，通過(guò)生活或數(shù)學(xué)中的問(wèn)題，構(gòu)建函數(shù)的一般概念，體會(huì)用對(duì)應(yīng)關(guān)系定義函數(shù)的必要性，感悟數(shù)學(xué)抽象的層次．2．本節(jié)重點(diǎn)是理解函數(shù)的定義，會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域，難點(diǎn)是理解y＝f(x)的含義，學(xué)生要加深理解．
第1課時(shí)　函數(shù)的概念(一)
思考1：(1)對(duì)應(yīng)關(guān)系f一定是解析式嗎？(2)f(x)與f(a)有何區(qū)別與聯(lián)系？提示：(1)不一定．對(duì)應(yīng)關(guān)系f可以是解析式、圖象、表格，或文字描述等形式．(2)f(x)與f(a)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當(dāng)x＝a時(shí)，函數(shù)f(x)的值，是一個(gè)常量，而f(x)是自變量x的函數(shù)，一般情況下，它是一個(gè)變量，f(a)是f(x)的一個(gè)特殊值．
[a，b]　(a，b)　[a，b)　(a，b]　
(2)特殊區(qū)間的表示．
思考2：(1)區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法，那么任何數(shù)集都能用區(qū)間表示嗎？(2)“∞”是數(shù)嗎？以“－∞”或“＋∞”作為區(qū)間一端時(shí)這一端可以是中括號(hào)嗎？提示：(1)不是任何數(shù)集都能用區(qū)間表示，如集合{0}就不能用區(qū)間表示．(2)“∞”讀作“無(wú)窮大”，是一個(gè)符號(hào)，不是數(shù)．以“－∞”或“＋∞”作為區(qū)間一端時(shí)，這一端必須是小括號(hào)．
1．對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)“y＝f(x)”表示的是“y等于f與x的乘積”．(　　)(2)根據(jù)函數(shù)的定義，定義域中的任何一個(gè)x可以對(duì)應(yīng)著值域中不同的y．(　　)(3)在研究函數(shù)時(shí)，除用符號(hào)f(x)外，還用g(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等來(lái)表示函數(shù)．(　　)
[解析]　(1)符號(hào)y＝f(x)是“y是x的函數(shù)”的數(shù)學(xué)表示，應(yīng)理解為x是自變量，它是關(guān)系所施加的對(duì)象．(2)根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于定義域中的任何一個(gè)x，在值域中都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)．(3)同一個(gè)題中，為了區(qū)別不同的函數(shù)，常采用g(x)，F(xiàn)(x)，G(x)等來(lái)表示函數(shù)．
2．已知f(x)＝2x＋1，則f(5)＝(　　)A．3B．7C．11D．25[解析]　f(5)＝2×5＋1＝11，故選C．
4．如圖能表示函數(shù)關(guān)系的是__________．?[解析]　由于③中的2與1和3同時(shí)對(duì)應(yīng)，故③不是函數(shù)關(guān)系．
(2)設(shè)M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镸，值域?yàn)镹，對(duì)于下列四個(gè)圖象，不可作為函數(shù)y＝f(x)的圖象的是(　　)?[分析]　(1)如何利用函數(shù)定義．對(duì)于集合A中的元素通過(guò)對(duì)應(yīng)關(guān)系在集合B中有唯一元素與之對(duì)應(yīng)進(jìn)行判斷．(2)當(dāng)對(duì)應(yīng)關(guān)系用圖象表示時(shí)，怎樣判斷是否為函數(shù)關(guān)系．
[歸納提升]　1．判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)，要從以下三個(gè)方面去判斷，即A，B必須是非空數(shù)集；A中任何一個(gè)元素在B中必須有元素與其對(duì)應(yīng)；A中任一元素在B中必有唯一元素與其對(duì)應(yīng)．2．函數(shù)的定義中“任一x”與“有唯一確定的y”說(shuō)明函數(shù)中兩變量x，y的對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一”或者是“多對(duì)一”而不能是“一對(duì)多”．
[解析]　(1)A中的元素0在B中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素，故不是A到B的函數(shù)．(2)對(duì)于集合A中的任意一個(gè)整數(shù)x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一個(gè)確定的整數(shù)x2與之對(duì)應(yīng)，故是集合A到集合B的函數(shù)．(3)A中元素負(fù)整數(shù)沒(méi)有平方根，故在B中沒(méi)有對(duì)應(yīng)的元素，故此對(duì)應(yīng)不是A到B的函數(shù)．(4)對(duì)于集合A中一個(gè)實(shí)數(shù)x，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一個(gè)確定的數(shù)0與之對(duì)應(yīng)故是集合A到集合B的函數(shù)．
[歸納提升]　求函數(shù)的定義域：(1)要明確使各函數(shù)表達(dá)式有意義的條件是什么，函數(shù)有意義的準(zhǔn)則一般有：①分式的分母不為0；②偶次根式的被開(kāi)方數(shù)非負(fù)；③y＝x0要求x≠0．(2)當(dāng)一個(gè)函數(shù)由兩個(gè)或兩個(gè)以上代數(shù)式的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí)，定義域是使得各式子都有意義的公共部分的集合．(3)定義域是一個(gè)集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)該用并集符號(hào)“∪”連接．
　　　　(2021·哈爾濱高一檢測(cè))德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷在1837年時(shí)提出：“如果對(duì)于x的每一個(gè)值，y總有一個(gè)完全確定的值與之對(duì)應(yīng)，則y是x的函數(shù)”，這個(gè)定義較清楚地說(shuō)明了函數(shù)的內(nèi)涵．只要有一個(gè)法則，使得x在取值范圍中的每一個(gè)值，都有一個(gè)確定的y和它對(duì)應(yīng)就行了，不管這個(gè)對(duì)應(yīng)的法則是公式、圖象、表格還是其他形式，已知函數(shù)f(x)由表給出，
[歸納提升]　函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系f反映了自變量x的運(yùn)算、對(duì)應(yīng)方法，通過(guò)這種運(yùn)算、對(duì)應(yīng)得到唯一的函數(shù)值y．
(2)已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由表給出則方程g[f(x)]＝3的解集為_(kāi)___________．[解析]　(2)根據(jù)題意，若方程g[f(x)]＝3，必有f(x)＝1，則有x＝1或3，即方程g[f(x)]＝3的解集為{1,3}．
[歸納提升]　求函數(shù)值的方法及關(guān)注點(diǎn)(1)方法：①已知f(x)的解析式時(shí)，只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值；②求f[g(a)]的值應(yīng)遵循由里往外的原則．(2)關(guān)注點(diǎn)：用來(lái)替換解析式中x的數(shù)a必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值，否則求值無(wú)意義．
1．下列圖形中，不能確定y是x的函數(shù)的是(　　)
[解析]　由函數(shù)的定義知A，B，C是函數(shù)，故選D．
2．對(duì)于函數(shù)f：A→B，若a∈A，b∈A，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　)A．f(a)∈BB．f(a)有且只有一個(gè)C．若f(a)＝f(b)，則a＝bD．若a＝b，則f(a)＝f(b)[解析]　函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系中，可以多個(gè)不同的自變量對(duì)應(yīng)同一個(gè)函數(shù)值．故選C．
3．若函數(shù)y＝x2＋2x－5的定義域?yàn)閧－1,0,2,3}，則其值域?yàn)開(kāi)_________________．
{－6，－5,3,10}　
4．下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是集合P上的函數(shù)的是______．①P＝Z，Q＝N*，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：對(duì)集合P中的元素取絕對(duì)值與集合Q中的元素相對(duì)應(yīng)；②P＝{－1,1，－2,2}，Q＝{1,4}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：x→y＝x2，x∈P，y∈Q；③P＝{三角形}，Q＝{x|x＞0}，對(duì)應(yīng)關(guān)系f：對(duì)P中的三角形求面積與集合Q中的元素對(duì)應(yīng)．
[解析]　對(duì)①，0∈P，但|0|?Q，所以對(duì)應(yīng)關(guān)系f不能構(gòu)成集合P上的函數(shù)．對(duì)②，?x∈P，都有且只有唯一元素y在集合Q中與之對(duì)應(yīng)，所以能構(gòu)成集合P上的函數(shù)．對(duì)③，P中的元素不是數(shù)，而函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集的對(duì)應(yīng)關(guān)系．故填②．

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊(cè)電子課本

3.4 函數(shù)的應(yīng)用（一）

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第一冊(cè)

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