2.3　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式
第2課時　二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的應用
1．簡單的分式不等式的解法
3．利用不等式解決實際問題的一般步驟如下：(1)選取合適的字母表示題目中的未知數(shù)；(2)由題目中給出的不等關系，列出關于未知數(shù)的不等式(組)；(3)求解所列出的不等式(組)；(4)結合題目的實際意義確定答案．
[歸納提升]　簡單分式不等式的解法：先通過移項、通分整理，再化成整式不等式來解．如果能判斷出分母的正負，直接去分母也可．
　　　　已知不等式mx2－2x＋m－2＜0，若對于所有的實數(shù)x不等式恒成立，求m的取值范圍．[分析]　本題的易錯之處在于忽略對二次項系數(shù)為0的討論，即使不符合題意，也要規(guī)范地解答，這是解題過程的完整性．
2．分離自變量和參變量，利用等價轉化思想將其轉化為求函數(shù)的最值問題．通過等價變形，將參變量分離出來，轉化為y＞a(或＜a，或≥a，或≤a)恒成立問題：(1)若y在定義域內(nèi)存在最大值m，則y＜a(或y≤a)恒成立?a＞m(或a≥m)；(2)若y在定義域內(nèi)存在最小值m，則y＞a(或y≥a)恒成立?a＜m(或a≤m)．
【對點練習】? 若關于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
　　　　已知方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0有兩實根，如果兩實根都大于1，求實數(shù)m的取值范圍．
【對點練習】? (2021·陜西漢中高二期末)要使關于x的方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0的一根比1大且另一根比1小，則a的取值范圍是______________________．
{a|－2＜a＜1}　
　　　　恩格爾系數(shù)(記為n)是指居民的食物支出占家庭消費總支出的比重．根據(jù)某鎮(zhèn)家庭抽樣調查的統(tǒng)計，2003年每戶家庭平均消費支出總額為1萬元，其中食品消費額為0.6萬元．預測2003年后，每戶家庭平均消費支出總額每年增加3 000元，如果到2005年該鎮(zhèn)居民生活狀況能達到小康水平(即恩格爾系數(shù)n滿足40%＜n≤50%)，則這個鎮(zhèn)每戶食品消費額平均每年的增長率至多是多少(精確到0.1%)?
[歸納提升]　一元二次不等式解決實際應用問題的步驟(1)理解題意，搞清量與量之間的關系．(2)建立相應的不等關系，把實際問題抽象為數(shù)學中的一元二次不等式(組)問題．(3)解這個一元二次不等式(組)，得到實際問題的解．
【對點練習】? 有純農(nóng)藥液一桶，倒出8升后用水加滿，然后又倒出4升后再用水加滿，此時桶中所含的純農(nóng)藥藥液不超過桶的容積的28%，問桶的容積最大為多少升？
不等式恒成立時忽略首項系數(shù)的符號特征　　　　要使函數(shù)y＝mx2＋mx＋(m－1)的值恒為負值，求m的取值范圍．
[錯因分析]　只有一元二次不等式才有相應判別式的研究，本題中的函數(shù)由于首項系數(shù)含有參數(shù)，因此可能不是一元二次型，因此必須討論m的取值．解答本題時容易出錯的地方是直接默認函數(shù)為一元二次型而采用判別式法處理．
[方法點撥]　忽略對疑似二次型問題的首項系數(shù)的討論是二次型問題的常見且典型的錯誤，因此要注重對首項系數(shù)的討論．
2．若x∈{x|1＜x＜2}時，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求m的取值范圍．
3．國家原計劃以2 400元/噸的價格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m噸．按規(guī)定，農(nóng)戶向國家納稅為：每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個百分點，即8%)．為了減輕農(nóng)民負擔，制定積極的收購政策．根據(jù)市場規(guī)律，稅率降低x個百分點，收購量能增加2x個百分點．試確定x的范圍，使稅率調低后，國家此項稅收總收入不低于原計劃的78%．

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2.3 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

版本： 人教A版 (2019)

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