本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1》5.7節(jié) 三角函數(shù)的應(yīng)用,在于加強(qiáng)用三角函數(shù)模型刻畫周期變化現(xiàn)象的學(xué)習(xí).本節(jié)教材通過例題,循序漸進(jìn)地介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用,在素材的選擇上注意了廣泛性、真實(shí)性和新穎性,同時(shí)又關(guān)注到三角函數(shù)性質(zhì)(特別是周期性)的應(yīng)用.培養(yǎng)他們綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識(shí)解決問題的能力.培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力.發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。
教學(xué)重點(diǎn)：分析、整理、利用信息,從實(shí)際問題中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系來建立三角函數(shù)模型,用三角函數(shù)模型解決一些具有周期變化規(guī)律的實(shí)際問題.
教學(xué)難點(diǎn):將某些實(shí)際問題抽象為三角函數(shù)的模型,并調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科的知識(shí)來解決問題.
多媒體
課程目標(biāo)
學(xué)科素養(yǎng)
1.掌握三角函數(shù)模型應(yīng)用基本步驟:(1)根據(jù)圖象建立解析式; (2)根據(jù)解析式作出圖象; (3)將實(shí)際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)單函數(shù)模型.
2.選擇合理三角函數(shù)模型解決實(shí)際問題，注意在復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動(dòng)相關(guān)學(xué)科知識(shí)來幫助理解問題。
3.身感受數(shù)學(xué)建模的全過程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的價(jià)值和作用及數(shù)學(xué)和日常生活和其它學(xué)科的聯(lián)系。
a.數(shù)學(xué)抽象：將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題；
b.邏輯推理：運(yùn)用三角函數(shù)解決問題；
c.數(shù)學(xué)運(yùn)算：三角函數(shù)的恒等變換；
d.直觀想象：由圖像求函數(shù)關(guān)系式；
e.數(shù)學(xué)建模：由實(shí)際問題建立對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型；
f.數(shù)據(jù)分析：有采集的數(shù)據(jù)分析獲得函數(shù)模型
教學(xué)過程
設(shè)計(jì)意圖
核心教學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)
（一）創(chuàng)設(shè)問題情境
提出問題
現(xiàn)實(shí)生活中存在大量具有周而復(fù)始、循環(huán)往復(fù)特點(diǎn)的周期運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，如果某種變化著的現(xiàn)象具有周期性，那么就可以考慮借助三角函數(shù)來描述．本節(jié)通過幾個(gè)具體實(shí)例，說明三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用．
典例解析
問題１ 某個(gè)彈簧振子（簡(jiǎn)稱振子）在完成一次全振動(dòng)的過程中，時(shí)間t（單位:s）與位移y（單位:mm）之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如表5.7.1所示．試根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定這個(gè)振子的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式．
請(qǐng)你查閱資料，了解振子的運(yùn)動(dòng)原理．
振子的振動(dòng)具有循環(huán)往復(fù)的特點(diǎn)，由振子振動(dòng)的物理學(xué)原理可知，其位移狔隨時(shí)間狋的變化規(guī)律可以用函數(shù)y=Asin（ωt+φ ）來刻畫．根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，如圖5.7.1所示．
由數(shù)據(jù)表和散點(diǎn)圖可知，振子振動(dòng)時(shí)位移的最大值為20mm，因此A＝20；振子振動(dòng)的周期為0.6ｓ，即2πω= 0.6 解得 ω ＝10π3；再由初始狀態(tài)（t＝０）振子的位移為-20，可得sinφ =－１，因此φ ＝- π2．所以振子位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解析式為y=20sin（10π3t - π2） t∈[０，＋∞）．
歸納總結(jié)
現(xiàn)實(shí)生活中存在大量類似彈簧振子的運(yùn)動(dòng)，如鐘擺的擺動(dòng)，水中浮標(biāo)的上下浮動(dòng)，琴弦的振動(dòng)，等等．這些都是物體在某一中心位置附近循環(huán)往復(fù)的運(yùn)動(dòng)．在物理學(xué)中，把物體受到的力（總是指向平衡位置）正比于它離開平衡位置的距離的運(yùn)動(dòng)稱為“簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)”．可以證明，在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)y=Asin（ωx+φ ）,x∈［０，＋∞）表示，其中A＞０， ω ＞０．描述簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物理量，如振幅、周期和頻率等都與這個(gè)解析式中的常數(shù)有關(guān)：
A就是這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅，它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體離開平衡位置的最大距離；這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是T＝2πω，它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體往復(fù)運(yùn)動(dòng)一次所需要的時(shí)間；這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率由公式f=1T＝ω2π給出，它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體在單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)；ωx+φ稱為相位；x＝０時(shí)的相位φ 稱為初相．
問題２ 如圖5.7.2（1）所示的是某次實(shí)驗(yàn)測(cè)得的交變電流i （單位：Ａ）隨時(shí)間t狋（單位：ｓ）變化的圖象．將測(cè)得的圖象放大，得到圖5.7.2（２）．
（１）求電流i隨時(shí)間t變化的函數(shù)解析式；
（２）當(dāng)t=0,1600, 1150, 7600, 160時(shí)，求電流i ．
請(qǐng)你查閱資料，了解交變電流的產(chǎn)生原理．
由交變電流的產(chǎn)生原理可知，電流i隨時(shí)間t的變化規(guī)律可用 i =Asin（ωt+φ ）來刻
畫，其中ω2π表示頻率，A表示振幅，φ 表示初相．
由圖5.7.2(2)可知，電流最大值為５Ａ，因此A＝５；電流變化的周期為150ｓ，頻率為５０Ｈｚ，即ω2π＝５０，解得ω＝100π；再由初始狀態(tài)（t＝０）的電流約為4.33Ａ，可得sinφ =0.866，因此 φ 約為π3．
所以電流i隨時(shí)間t變化的函數(shù)解析式是: i=5sin（100πt+π3）,t∈[100，＋∞）．當(dāng)t=1600時(shí)，i=5; 當(dāng)t=1150時(shí)，i=0;
當(dāng)t=7600時(shí)，i=-5; 當(dāng)t=160時(shí)，i=0;
通過開門見山，提出問題，讓學(xué)生體會(huì)由實(shí)際問題建立三角函數(shù)模型的過程，培養(yǎng)和發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。
通過對(duì)典型問題的分析解決，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；
三、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
1．如圖所示的是一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象，則下列結(jié)論正確的是( )
A．該質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)周期為0.7 s
B．該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5 cm
C．該質(zhì)點(diǎn)在0.1 s和0.5 s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度最大
D．該質(zhì)點(diǎn)在0.3 s和0.7 s時(shí)運(yùn)動(dòng)速度為零
【解析】 由題圖可知，該質(zhì)點(diǎn)的振幅為5 cm.
【答案】 B
2．與圖中曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是( )
A．y＝|sin x| B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x| D．y＝－|si n x|
【解析】 注意題圖所對(duì)的函數(shù)值正負(fù)，因此可排除選項(xiàng)A，D.當(dāng)x∈(0，π)時(shí)，sin |x|>0，而圖中顯然是小于零，因此排除選項(xiàng)B，故選C.
【答案】 C
3．車流量被定義為單位時(shí)間內(nèi)通過十字路口的車輛數(shù)，單位為輛/分，上班高峰期某十字路口的車流量由函數(shù)F(t)＝50＋4sineq \f(t,2)(0≤t≤20)給出，F(xiàn)(t)的單位是輛/分，t的單位是分，則下列哪個(gè)時(shí)間段內(nèi)車流量是增加的( )
A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]
【解析】 當(dāng)10≤t≤15時(shí)，有eq \f(3,2)π0)中，要使t在任意eq \f(1,100)秒的時(shí)間內(nèi)電流強(qiáng)度I能取得最大值A(chǔ)與最小值－A，求正整數(shù)ω的最小值．
【解】 由題意得：T≤eq \f(1,100)，即eq \f(2π,ω)≤eq \f(1,100)，∴ω≥200π，∴正整數(shù)ω的最小值為629.
5.某港口的水深y(m)是時(shí)間t(0≤t≤24，單位：h)的函數(shù)，下面是有關(guān)時(shí)間與水深的數(shù)據(jù)：
t(h)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(m)
10.0
13.0
9.9
7.
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
根據(jù)上述數(shù)據(jù)描出的曲線如圖所示，經(jīng)擬合，該曲線可近似地看成正弦型函數(shù)y＝Asin ωt＋b的圖象．
(1)試根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出y＝Asin ωt＋b的表達(dá)式；
(2)一般情況下，船舶航行時(shí)，船底離海底的距離不少于4.5 m時(shí)是安全的，如果某船的吃水深度(船底與水面的距離)為7 m，那么該船在什么時(shí)間段能夠安全進(jìn)港？若該船欲當(dāng)天安全離港，則在港內(nèi)停留的時(shí)間最多不能超過多長(zhǎng)時(shí)間(忽略進(jìn)出港所用的時(shí)間)?
【解】 (1)從擬合曲線可知：函數(shù)y＝Asin ωt＋b在一個(gè)周期內(nèi)由最大變到最小需9－3＝6(h)，此為半個(gè)周期，∴函數(shù)的最小正周期為12 h，因此eq \f(2π,ω)＝12，ω＝eq \f(π,6).又∵當(dāng)t＝0時(shí)，y＝10；當(dāng)t＝3時(shí)，ymax＝13，
∴b＝10，A＝13－10＝3，∴所求函數(shù)的表達(dá)式為y＝3sin eq \f(π,6)t＋10(0≤t≤24)．
(2)由于船的吃水深度為7 m，船底與海底的距離不少于4.5 m，故在船舶航行時(shí)，水深y應(yīng)大于或等于7＋4.5＝11.5(m)．令y＝3sin eq \f(π,6)t＋10≥11.5，
可得sin eq \f(π,6)t≥eq \f(1,2)，∴2kπ＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,6)t≤2kπ＋eq \f(5π,6)(k∈Z)，
∴12k＋1≤t≤12k＋5(k∈Z)．
取k＝0，則1≤t≤5，取k＝1，則13≤t≤17；
而取k＝2時(shí)，25≤t≤29(不合題意，舍)．
從而可知船舶要在一天之內(nèi)在港口停留時(shí)間最長(zhǎng)，就應(yīng)從凌晨1時(shí)(1時(shí)到5時(shí)都可以)進(jìn)港，而下午的17時(shí)(即13時(shí)到17時(shí)之間)離港，在港內(nèi)停留的時(shí)間最長(zhǎng)為16 h.
通過練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，鞏固運(yùn)用三角函數(shù)分析實(shí)際問題的能力，增強(qiáng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng)。
四、小結(jié)
解三角函數(shù)應(yīng)用題的基本步驟：
(1)審清題意；
(2)搜集整理數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型；
(3)討論變量關(guān)系，求解數(shù)學(xué)模型；
(4)檢驗(yàn)，作出結(jié)論．
五、作業(yè)
1. 課時(shí)練 2. 預(yù)習(xí)下節(jié)課內(nèi)容
學(xué)生根據(jù)課堂學(xué)習(xí)，自主總結(jié)知識(shí)要點(diǎn)，及運(yùn)用的思想方法。注意總結(jié)自己在學(xué)習(xí)中的易錯(cuò)點(diǎn)；

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