?2017年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（5分）=（　?。?br /> A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i
2．（5分）設(shè)集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，則B=（　?。?br /> A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}
3．（5分）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（　?。?br /> A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞
4．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（　?。?br />
A．90π B．63π C．42π D．36π
5．（5分）設(shè)x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最小值是（　?。?br /> A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9
6．（5分）安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有（　?。?br /> A．12種 B．18種 C．24種 D．36種
7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則（　　）
A．乙可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績
C．乙、丁可以知道對方的成績 D．乙、丁可以知道自己的成績
8．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的a=﹣1，則輸出的S=（　?。?br />
A．2 B．3 C．4 D．5
9．（5分）若雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓（x﹣2）2+y2=4所截得的弦長為2，則C的離心率為（　?。?br /> A．2 B． C． D．
10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）若x=﹣2是函數(shù)f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的極值點，則f（x）的極小值為（　?。?br /> A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1
12．（5分）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則?（+）的最小值是（　?。?br /> A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX=　 　．
14．（5分）函數(shù)f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是　 ?。?br /> 15．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3=3，S4=10，則 =　 ?。?br /> 16．（5分）已知F是拋物線C：y2=8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N．若M為FN的中點，則|FN|=　 　．
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分。
17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．
（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面積為2，求b．




18．（12分）海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg），其頻率分布直方圖如圖：

（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計A的概率；
（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量＜50kg
箱產(chǎn)量≥50kg
舊養(yǎng)殖法


新養(yǎng)殖法


（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）．
附：
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2=．







19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點．
（1）證明：直線CE∥平面PAB；
（2）點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．






20．（12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：+y2=1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足=．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設(shè)點Q在直線x=﹣3上，且?=1．證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F．








21．（12分）已知函數(shù)f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（1）求a；
（2）證明：f（x）存在唯一的極大值點x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．




　
（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4．
（1）M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|?|OP|=16，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點A的極坐標(biāo)為（2，），點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．
　




[選修4-5：不等式選講]（10分）
23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．證明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．
　

2017年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅱ）
參考答案與試題解析
　
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．（5分）=（　　）
A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i

【考點】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題．
【分析】分子和分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，再利用虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，求出結(jié)果．
【解答】解：===2﹣i，
故選：D．
【點評】本題考查兩個復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除法，虛數(shù)單位i的冪運(yùn)算性質(zhì)，兩個復(fù)數(shù)相除，分子和分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．
　
2．（5分）設(shè)集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．若A∩B={1}，則B=（　?。?br /> A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}

【考點】1E：交集及其運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】34：方程思想；4O：定義法；5J：集合．
【分析】由交集的定義可得1∈A且1∈B，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．
【解答】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2﹣4x+m=0}．
若A∩B={1}，則1∈A且1∈B，
可得1﹣4+m=0，解得m=3，
即有B={x|x2﹣4x+3=0}={1，3}．
故選：C．
【點評】本題考查集合的運(yùn)算，主要是交集的求法，同時考查二次方程的解法，運(yùn)用定義法是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．
　
3．（5分）我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)看巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈（　　）
A．1盞 B．3盞 C．5盞 D．9盞

【考點】89：等比數(shù)列的前n項和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】34：方程思想；4O：定義法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．
【分析】設(shè)塔頂?shù)腶1盞燈，由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項和公式列出方程，能求出結(jié)果．
【解答】解：設(shè)塔頂?shù)腶1盞燈，
由題意{an}是公比為2的等比數(shù)列，
∴S7==381，
解得a1=3．
故選：B．
【點評】本題考查等比數(shù)列的首項的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．
　
4．（5分）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（　?。?br />
A．90π B．63π C．42π D．36π

【考點】L!：由三視圖求面積、體積．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5Q：立體幾何．
【分析】由三視圖可得，直觀圖為一個完整的圓柱減去一個高為6的圓柱的一半，即可求出幾何體的體積．
【解答】解：由三視圖可得，直觀圖為一個完整的圓柱減去一個高為6的圓柱的一半，
V=π?32×10﹣?π?32×6=63π，
故選：B．

【點評】本題考查了體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
　
5．（5分）設(shè)x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最小值是（　　）
A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9

【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；5T：不等式．
【分析】畫出約束條件的可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解求解目標(biāo)函數(shù)的最小值即可．
【解答】解：x、y滿足約束條件的可行域如圖：
z=2x+y 經(jīng)過可行域的A時，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，
由解得A（﹣6，﹣3），
則z=2x+y 的最小值是：﹣15．
故選：A．

【點評】本題考查線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計算能力．
　
6．（5分）安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有（　　）
A．12種 B．18種 C．24種 D．36種

【考點】D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；49：綜合法；5O：排列組合．
【分析】把工作分成3組，然后安排工作方式即可．
【解答】解：4項工作分成3組，可得：=6，
安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，
可得：6×=36種．
故選：D．
【點評】本題考查排列組合的實際應(yīng)用，注意分組方法以及排列方法的區(qū)別，考查計算能力．
　
7．（5分）甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去問老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據(jù)以上信息，則（　　）
A．乙可以知道四人的成績 B．丁可以知道四人的成績
C．乙、丁可以知道對方的成績 D．乙、丁可以知道自己的成績

【考點】F4：進(jìn)行簡單的合情推理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】2A：探究型；35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；5M：推理和證明．
【分析】根據(jù)四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，繼而可以推出正確答案
【解答】解：四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，
甲不知自己的成績
→乙丙必有一優(yōu)一良，（若為兩優(yōu)，甲會知道自己的成績；若是兩良，甲也會知道自己的成績）
→乙看到了丙的成績，知自己的成績
→丁看到甲、丁也為一優(yōu)一良，丁知自己的成績，
給甲看乙丙成績，甲不知道自已的成績，說明乙丙一優(yōu)一良，假定乙丙都是優(yōu)，則甲是良，假定乙丙都是良，則甲是優(yōu)，那么甲就知道自已的成績了．給乙看丙成績，乙沒有說不知道自已的成績，假定丙是優(yōu)，則乙是良，乙就知道自己成績．給丁看甲成績，因為甲不知道自己成績，乙丙是一優(yōu)一良，則甲丁也是一優(yōu)一良，丁看到甲成績，假定甲是優(yōu)，則丁是良，丁肯定知道自已的成績了
故選：D．
【點評】本題考查了合情推理的問題，關(guān)鍵掌握四人所知只有自己看到，老師所說及最后甲說話，屬于中檔題．
　
8．（5分）執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的a=﹣1，則輸出的S=（　?。?br />
A．2 B．3 C．4 D．5

【考點】EF：程序框圖．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；27：圖表型；4B：試驗法；5K：算法和程序框圖．
【分析】執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)得到的S，K值，當(dāng)K=7時，程序終止即可得到結(jié)論．
【解答】解：執(zhí)行程序框圖，有S=0，K=1，a=﹣1，代入循環(huán)，
第一次滿足循環(huán)，S=﹣1，a=1，K=2；
滿足條件，第二次滿足循環(huán)，S=1，a=﹣1，K=3；
滿足條件，第三次滿足循環(huán)，S=﹣2，a=1，K=4；
滿足條件，第四次滿足循環(huán)，S=2，a=﹣1，K=5；
滿足條件，第五次滿足循環(huán)，S=﹣3，a=1，K=6；
滿足條件，第六次滿足循環(huán)，S=3，a=﹣1，K=7；
K≤6不成立，退出循環(huán)輸出S的值為3．
故選：B．
【點評】本題主要考查了程序框圖和算法，屬于基本知識的考查，比較基礎(chǔ)．
　
9．（5分）若雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓（x﹣2）2+y2=4所截得的弦長為2，則C的離心率為（　?。?br /> A．2 B． C． D．

【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)；KJ：圓與圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．
【分析】通過圓的圓心與雙曲線的漸近線的距離，列出關(guān)系式，然后求解雙曲線的離心率即可．
【解答】解：雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線不妨為：bx+ay=0，
圓（x﹣2）2+y2=4的圓心（2，0），半徑為：2，
雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線被圓（x﹣2）2+y2=4所截得的弦長為2，
可得圓心到直線的距離為：=，
解得：，可得e2=4，即e=2．
故選：A．
【點評】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，圓的方程的應(yīng)用，考查計算能力．
　
10．（5分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為（　?。?br /> A． B． C． D．

【考點】LM：異面直線及其所成的角．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】31：數(shù)形結(jié)合；4O：定義法；5G：空間角．
【分析】【解法一】設(shè)M、N、P分別為AB，BB1和B1C1的中點，得出AB1、BC1夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角；根據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出AC、MQ，MP和∠MNP的余弦值即可．
【解法二】通過補(bǔ)形的辦法，把原來的直三棱柱變成直四棱柱，解法更簡潔．
【解答】解：【解法一】如圖所示，設(shè)M、N、P分別為AB，BB1和B1C1的中點，
則AB1、BC1夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角
（因異面直線所成角為（0，]），
可知MN=AB1=，
NP=BC1=；
作BC中點Q，則△PQM為直角三角形；
∵PQ=1，MQ=AC，
△ABC中，由余弦定理得
AC2=AB2+BC2﹣2AB?BC?cos∠ABC
=4+1﹣2×2×1×（﹣）
=7，
∴AC=，
∴MQ=；
在△MQP中，MP==；
在△PMN中，由余弦定理得
cos∠MNP===﹣；
又異面直線所成角的范圍是（0，]，
∴AB1與BC1所成角的余弦值為．
【解法二】如圖所示，

補(bǔ)成四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，求∠BC1D即可；
BC1=，BD==，
C1D=，
∴+BD2=，
∴∠DBC1=90°，
∴cos∠BC1D==．
故選：C．

【點評】本題考查了空間中的兩條異面直線所成角的計算問題，也考查了空間中的平行關(guān)系應(yīng)用問題，是中檔題．
　
11．（5分）若x=﹣2是函數(shù)f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的極值點，則f（x）的極小值為（　?。?br /> A．﹣1 B．﹣2e﹣3 C．5e﹣3 D．1

【考點】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用極值點，求出a，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的極小值即可．
【解答】解：函數(shù)f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1，
可得f′（x）=（2x+a）ex﹣1+（x2+ax﹣1）ex﹣1，
x=﹣2是函數(shù)f（x）=（x2+ax﹣1）ex﹣1的極值點，
可得：f′（﹣2）=（﹣4+a）e﹣3+（4﹣2a﹣1）e﹣3=0，即﹣4+a+（3﹣2a）=0．
解得a=﹣1．
可得f′（x）=（2x﹣1）ex﹣1+（x2﹣x﹣1）ex﹣1，
=（x2+x﹣2）ex﹣1，函數(shù)的極值點為：x=﹣2，x=1，
當(dāng)x＜﹣2或x＞1時，f′（x）＞0函數(shù)是增函數(shù)，x∈（﹣2，1）時，函數(shù)是減函數(shù)，
x=1時，函數(shù)取得極小值：f（1）=（12﹣1﹣1）e1﹣1=﹣1．
故選：A．
【點評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，考查計算能力．
　
12．（5分）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點，則?（+）的最小值是（　?。?br /> A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1

【考點】9O：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】31：數(shù)形結(jié)合；4R：轉(zhuǎn)化法；5A：平面向量及應(yīng)用．
【分析】根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，求出點的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行計算即可．
【解答】解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，以BC中點為坐標(biāo)原點，
則A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），
設(shè)P（x，y），則=（﹣x，﹣y），=（﹣1﹣x，﹣y），=（1﹣x，﹣y），
則?（+）=2x2﹣2y+2y2=2[x2+（y﹣）2﹣]
∴當(dāng)x=0，y=時，取得最小值2×（﹣）=﹣，
故選：B．

【點評】本題主要考查平面向量數(shù)量積的應(yīng)用，根據(jù)條件建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法是解決本題的關(guān)鍵．
　
二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。
13．（5分）一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次．X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX=　1.96?。?br />
【考點】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；5I：概率與統(tǒng)計．
【分析】判斷概率滿足的類型，然后求解方差即可．
【解答】解：由題意可知，該事件滿足獨立重復(fù)試驗，是一個二項分布模型，其中，p=0.02，n=100，
則DX=npq=np（1﹣p）=100×0.02×0.98=1.96．
故答案為：1.96．
【點評】本題考查離散性隨機(jī)變量的期望與方差的求法，判斷概率類型滿足二項分布是解題的關(guān)鍵．
　
14．（5分）函數(shù)f（x）=sin2x+cosx﹣（x∈[0，]）的最大值是　1?。?br />
【考點】HW：三角函數(shù)的最值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；33：函數(shù)思想；4J：換元法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．
【分析】同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．
【解答】解：f（x）=sin2x+cosx﹣=1﹣cos2x+cosx﹣，
令cosx=t且t∈[0，1]，
則y=﹣t2+t+=﹣（t﹣）2+1，
當(dāng)t=時，f（t）max=1，
即f（x）的最大值為1，
故答案為：1
【點評】本題考查了同角的三角函數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題
　
15．（5分）等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3=3，S4=10，則 =　?。?br />
【考點】85：等差數(shù)列的前n項和；8E：數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．
【分析】利用已知條件求出等差數(shù)列的前n項和，然后化簡所求的表達(dá)式，求解即可．
【解答】解：等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，
可得a2=2，數(shù)列的首項為1，公差為1，
Sn=，=，
則 =2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．
故答案為：．
【點評】本題考查等差數(shù)列的求和，裂項消項法求和的應(yīng)用，考查計算能力．
　
16．（5分）已知F是拋物線C：y2=8x的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N．若M為FN的中點，則|FN|=　6?。?br />
【考點】K8：拋物線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．
【分析】求出拋物線的焦點坐標(biāo)，推出M坐標(biāo)，然后求解即可．
【解答】解：拋物線C：y2=8x的焦點F（2，0），M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N．若M為FN的中點，
可知M的橫坐標(biāo)為：1，則M的縱坐標(biāo)為：，
|FN|=2|FM|=2=6．
故答案為：6．
【點評】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．
　
三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分。
17．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．
（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面積為2，求b．

【考點】GS：二倍角的三角函數(shù)；HP：正弦定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；58：解三角形．
【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理可知A+C=π﹣B，再利用誘導(dǎo)公式化簡sin（A+C），利用降冪公式化簡8sin2，結(jié)合sin2B+cos2B=1，求出cosB，
（2）由（1）可知sinB=，利用勾面積公式求出ac，再利用余弦定理即可求出b．
【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，
∴sinB=4（1﹣cosB），
∵sin2B+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，
∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，
∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，
∴cosB=；
（2）由（1）可知sinB=，
∵S△ABC=ac?sinB=2，
∴ac=，
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××
=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，
∴b=2．
【點評】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的面積公式，二倍角公式和同角的三角函數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題
　
18．（12分）海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg），其頻率分布直方圖如圖：

（1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計A的概率；
（2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：

箱產(chǎn)量＜50kg
箱產(chǎn)量≥50kg
舊養(yǎng)殖法


新養(yǎng)殖法


（3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值（精確到0.01）．
附：
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
K2=．

【考點】B8：頻率分布直方圖；BE：用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征；BL：獨立性檢驗．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5I：概率與統(tǒng)計．
【分析】（1）由題意可知：P（A）=P（BC）=P（B）P（C），分布求得發(fā)生的頻率，即可求得其概率；
（2）完成2×2列聯(lián)表：求得觀測值，與參考值比較，即可求得有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)：
（3）根據(jù)頻率分布直方圖即可求得其中位數(shù)．
【解答】解：（1）記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，
由P（A）=P（BC）=P（B）P（C），
則舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg：（0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62，
故P（B）的估計值0.62，
新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg：（0.068+0.046+0.010+0.008）×5=0.66，
故P（C）的估計值為，
則事件A的概率估計值為P（A）=P（B）P（C）=0.62×0.66=0.4092；
∴A發(fā)生的概率為0.4092；
（2）2×2列聯(lián)表：

箱產(chǎn)量＜50kg
箱產(chǎn)量≥50kg
總計
舊養(yǎng)殖法
62
38
100
新養(yǎng)殖法
34
66
100
總計
96
104
200
則K2=≈15.705，
由15.705＞6.635，
∴有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)；
（3）由新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中，箱產(chǎn)量低于50kg的直方圖的面積：
（0.004+0.020+0.044）×5=0.34，
箱產(chǎn)量低于55kg的直方圖面積為：
（0.004+0.020+0.044+0.068）×5=0.68＞0.5，
故新養(yǎng)殖法產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為：50+≈52.35（kg），
新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值52.35（kg）．
【點評】本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查獨立性檢驗，考查計算能力，屬于中檔題．
　
19．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點．
（1）證明：直線CE∥平面PAB；
（2）點M在棱PC上，且直線BM與底面ABCD所成角為45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．


【考點】LS：直線與平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】31：數(shù)形結(jié)合；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距離；5G：空間角．
【分析】（1）取PA的中點F，連接EF，BF，通過證明CE∥BF，利用直線與平面平行的判定定理證明即可．
（2）利用已知條件轉(zhuǎn)化求解M到底面的距離，作出二面角的平面角，然后求解二面角M﹣AB﹣D的余弦值即可．
【解答】（1）證明：取PA的中點F，連接EF，BF，因為E是PD的中點，
所以EFAD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC∥AD，
∴BCEF是平行四邊形，可得CE∥BF，BF?平面PAB，CE?平面PAB，
∴直線CE∥平面PAB；
（2）解：四棱錐P﹣ABCD中，
側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，
∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中點．
取AD的中點O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，設(shè)AD=2，則AB=BC=1，OP=，
∴∠PCO=60°，直線BM與底面ABCD所成角為45°，
可得：BN=MN，CN=MN，BC=1，
可得：1+BN2=BN2，BN=，MN=，
作NQ⊥AB于Q，連接MQ，AB⊥MN，
所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ=
=，
二面角M﹣AB﹣D的余弦值為：=．


【點評】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．
　
20．（12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：+y2=1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足=．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設(shè)點Q在直線x=﹣3上，且?=1．證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F．

【考點】J3：軌跡方程；KL：直線與橢圓的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及應(yīng)用；5B：直線與圓．
【分析】（1）設(shè)M（x0，y0），由題意可得N（x0，0），設(shè)P（x，y），運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合M滿足橢圓方程，化簡整理可得P的軌跡方程；
（2）設(shè)Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，可得m，即有Q的坐標(biāo)，求得橢圓的左焦點坐標(biāo)，求得OQ，PF的斜率，由兩直線垂直的條件：向量數(shù)量積為0，即可得證．
【解答】解：（1）設(shè)M（x0，y0），由題意可得N（x0，0），
設(shè)P（x，y），由點P滿足=．
可得（x﹣x0，y）=（0，y0），
可得x﹣x0=0，y=y0，
即有x0=x，y0=，
代入橢圓方程+y2=1，可得+=1，
即有點P的軌跡方程為圓x2+y2=2；
（2）證明：設(shè)Q（﹣3，m），P（cosα，sinα），（0≤α＜2π），
?=1，可得（cosα，sinα）?（﹣3﹣cosα，m﹣sinα）=1，
即為﹣3cosα﹣2cos2α+msinα﹣2sin2α=1，
當(dāng)α=0時，上式不成立，則0＜α＜2π，
解得m=，
即有Q（﹣3，），
橢圓+y2=1的左焦點F（﹣1，0），
由?=（﹣1﹣cosα，﹣sinα）?（﹣3，）
=3+3cosα﹣3（1+cosα）=0．
可得過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F．
另解：設(shè)Q（﹣3，t），P（m，n），由?=1，
可得（m，n）?（﹣3﹣m，t﹣n）=﹣3m﹣m2+nt﹣n2=1，
又P在圓x2+y2=2上，可得m2+n2=2，
即有nt=3+3m，
又橢圓的左焦點F（﹣1，0），
?=（﹣1﹣m，﹣n）?（﹣3，t）=3+3m﹣nt
=3+3m﹣3﹣3m=0，
則⊥，
可得過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F．
【點評】本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法和向量的加減運(yùn)算，考查圓的參數(shù)方程的運(yùn)用和直線的斜率公式，以及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩直線垂直的條件：向量數(shù)量積為0，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．
　
21．（12分）已知函數(shù)f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．
（1）求a；
（2）證明：f（x）存在唯一的極大值點x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．

【考點】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．
【分析】（1）通過分析可知f（x）≥0等價于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，進(jìn)而利用h′（x）=a﹣可得h（x）min=h（），從而可得結(jié)論；
（2）通過（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，記t（x）=f′（x）=2x﹣2﹣lnx，解不等式可知t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，從而可知f′（x）=0存在兩根x0，x2，利用f（x）必存在唯一極大值點x0及x0＜可知f（x0）＜，另一方面可知f（x0）＞f（）=．
【解答】（1）解：因為f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx=x（ax﹣a﹣lnx）（x＞0），
則f（x）≥0等價于h（x）=ax﹣a﹣lnx≥0，求導(dǎo)可知h′（x）=a﹣．
則當(dāng)a≤0時h′（x）＜0，即y=h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)x0＞1時，h（x0）＜h（1）=0，矛盾，故a＞0．
因為當(dāng)0＜x＜時h′（x）＜0、當(dāng)x＞時h′（x）＞0，
所以h（x）min=h（），
又因為h（1）=a﹣a﹣ln1=0，
所以=1，解得a=1；
另解：因為f（1）=0，所以f（x）≥0等價于f（x）在x＞0時的最小值為f（1），
所以等價于f（x）在x=1處是極小值，
所以解得a=1；
（2）證明：由（1）可知f（x）=x2﹣x﹣xlnx，f′（x）=2x﹣2﹣lnx，
令f′（x）=0，可得2x﹣2﹣lnx=0，記t（x）=2x﹣2﹣lnx，則t′（x）=2﹣，
令t′（x）=0，解得：x=，
所以t（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞減，在（，+∞）上單調(diào)遞增，
所以t（x）min=t（）=ln2﹣1＜0，從而t（x）=0有解，即f′（x）=0存在兩根x0，x2，
且不妨設(shè)f′（x）在（0，x0）上為正、在（x0，x2）上為負(fù)、在（x2，+∞）上為正，
所以f（x）必存在唯一極大值點x0，且2x0﹣2﹣lnx0=0，
所以f（x0）=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣，
由x0＜可知f（x0）＜（x0﹣）max=﹣+=；
由f′（）＜0可知x0＜＜，
所以f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，）上單調(diào)遞減，
所以f（x0）＞f（）=；
綜上所述，f（x）存在唯一的極大值點x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．
【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化思想，注意解題方法的積累，屬于難題．
　
（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）
22．（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρcosθ=4．
（1）M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|?|OP|=16，求點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)點A的極坐標(biāo)為（2，），點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值．

【考點】Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】38：對應(yīng)思想；49：綜合法；5S：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．
【分析】（1）設(shè)P（x，y），利用相似得出M點坐標(biāo)，根據(jù)|OM|?|OP|=16列方程化簡即可；
（2）求出曲線C2的圓心和半徑，得出B到OA的最大距離，即可得出最大面積．
【解答】解：（1）曲線C1的直角坐標(biāo)方程為：x=4，
設(shè)P（x，y），M（4，y0），則，∴y0=，
∵|OM||OP|=16，
∴=16，
即（x2+y2）（1+）=16，
∴x4+2x2y2+y4=16x2，即（x2+y2）2=16x2，
兩邊開方得：x2+y2=4x，
整理得：（x﹣2）2+y2=4（x≠0），
∴點P的軌跡C2的直角坐標(biāo)方程：（x﹣2）2+y2=4（x≠0）．
（2）點A的直角坐標(biāo)為A（1，），顯然點A在曲線C2上，|OA|=2，
∴曲線C2的圓心（2，0）到弦OA的距離d==，
∴△AOB的最大面積S=|OA|?（2+）=2+．
【點評】本題考查了極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，軌跡方程的求解，直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
　
[選修4-5：不等式選講]（10分）
23．已知a＞0，b＞0，a3+b3=2．證明：
（1）（a+b）（a5+b5）≥4；
（2）a+b≤2．

【考點】R6：不等式的證明．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】14：證明題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5T：不等式．
【分析】（1）由柯西不等式即可證明，
（2）由a3+b3=2轉(zhuǎn)化為=ab，再由均值不等式可得：=ab≤（）2，即可得到（a+b）3≤2，問題得以證明．
【解答】證明：（1）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2≥4，
當(dāng)且僅當(dāng)=，即a=b=1時取等號，
（2）∵a3+b3=2，
∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，
∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，
∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，
∴=ab，
由均值不等式可得：=ab≤（）2，
∴（a+b）3﹣2≤，
∴（a+b）3≤2，
∴a+b≤2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時等號成立．
【點評】本題考查了不等式的證明，掌握柯西不等式和均值不等式是關(guān)鍵，屬于中檔題
　

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