?2016年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標Ⅱ）
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是（　　）
A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）
2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，則A∪B等于（　　）
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}
3．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，則m=（　?。?br /> A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8
4．（5分）圓x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圓心到直線ax+y﹣1=0的距離為1，則a=（　?。?br /> A．﹣ B．﹣ C． D．2
5．（5分）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（　　）

A．24 B．18 C．12 D．9
6．（5分）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（　　）

A．20π B．24π C．28π D．32π
7．（5分）若將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移個單位長度，則平移后的圖象的對稱軸為（　?。?br /> A．x=﹣（k∈Z） B．x=+（k∈Z）
C．x=﹣（k∈Z） D．x=+（k∈Z）
8．（5分）中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，如圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x=2，n=2，依次輸入的a為2，2，5，則輸出的s=（　?。?br />
A．7 B．12 C．17 D．34
9．（5分）若cos（﹣α）=，則sin2α=（　?。?br /> A． B． C．﹣ D．﹣
10．（5分）從區(qū)間[0，1]隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn構(gòu)成n個數(shù)對（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為（　　）
A． B． C． D．
11．（5分）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：﹣=1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1=，則E的離心率為（　　）
A． B． C． D．2
12．（5分）已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（﹣x）=2﹣f（x），若函數(shù)y=與y=f（x）圖象的交點為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），則（xi+yi）=（　　）
A．0 B．m C．2m D．4m
　
二、填空題：本題共4小題，每小題5分．
13．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，則b=　 ?。?br /> 14．（5分）α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m?α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．
其中正確的命題是　 ?。ㄌ钚蛱枺?br /> 15．（5分）有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是　 ?。?br /> 16．（5分）若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln（x+1）的切線，則b=　 ?。?br /> 　
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（12分）Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且a1=1，S7=28，記bn=[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0，[lg99]=1．
（Ⅰ）求b1，b11，b101；
（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前1000項和．


18．（12分）某保險的基本保費為a（單位：元），繼續(xù)購買該保險的投保人成為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：
上年度出險次數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
保費
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：
一年內(nèi)出險次數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；
（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；
（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值．




19．（12分）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB=5，AC=6，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于點H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．
（Ⅰ）證明：D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．





20．（12分）已知橢圓E：+=1的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為k（k＞0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）當t=4，|AM|=|AN|時，求△AMN的面積；
（Ⅱ）當2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍．









21．（12分）（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）=ex的單調(diào)性，并證明當x＞0時，（x﹣2）ex+x+2＞0；
（Ⅱ）證明：當a∈[0，1）時，函數(shù)g（x）=（x＞0）有最小值．設(shè)g（x）的最小值為h（a），求函數(shù)h（a）的值域．

　








請考生在第22～24題中任選一個題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-1：幾何證明選講]
22．（10分）如圖，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上（不與端點重合），且DE=DG，過D點作DF⊥CE，垂足為F．
（Ⅰ）證明：B，C，G，F(xiàn)四點共圓；
（Ⅱ）若AB=1，E為DA的中點，求四邊形BCGF的面積．








　
[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
23．在直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），l與C交與A，B兩點，|AB|=，求l的斜率．






[選修4-5：不等式選講]
24．已知函數(shù)f（x）=|x﹣|+|x+|，M為不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）證明：當a，b∈M時，|a+b|＜|1+ab|．
　

2016年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標Ⅱ）
參考答案與試題解析
　
一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．（5分）已知z=（m+3）+（m﹣1）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，則實數(shù)m的取值范圍是（　?。?br /> A．（﹣3，1） B．（﹣1，3） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣3）

【考點】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；35：轉(zhuǎn)化思想；5N：數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)．
【分析】利用復(fù)數(shù)對應(yīng)點所在象限，列出不等式組求解即可．
【解答】解：z=（m+3）+（m﹣1）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，
可得：，解得﹣3＜m＜1．
故選：A．
【點評】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查計算能力．
　
2．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}，則A∪B等于（　　）
A．{1} B．{1，2}
C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}

【考點】1D：并集及其運算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4O：定義法；5J：集合．
【分析】先求出集合A，B，由此利用并集的定義能求出A∪B的值．
【解答】解：∵集合A={1，2，3}，
B={x|（x+1）（x﹣2）＜0，x∈Z}={0，1}，
∴A∪B={0，1，2，3}．
故選：C．
【點評】本題考查并集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意并集定義的合理運用．
　
3．（5分）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，則m=（　　）
A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8

【考點】9H：平面向量的基本定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5A：平面向量及應(yīng)用．
【分析】求出向量+的坐標，根據(jù)向量垂直的充要條件，構(gòu)造關(guān)于m的方程，解得答案．
【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），
∴+=（4，m﹣2），
又∵（+）⊥，
∴12﹣2（m﹣2）=0，
解得：m=8，
故選：D．
【點評】本題考查的知識點是向量垂直的充要條件，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．
　
4．（5分）圓x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圓心到直線ax+y﹣1=0的距離為1，則a=（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．2

【考點】IT：點到直線的距離公式；J9：直線與圓的位置關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5B：直線與圓．
【分析】求出圓心坐標，代入點到直線距離方程，解得答案．
【解答】解：圓x2+y2﹣2x﹣8y+13=0的圓心坐標為：（1，4），
故圓心到直線ax+y﹣1=0的距離d==1，
解得：a=，
故選：A．
【點評】本題考查的知識點是圓的一般方程，點到直線的距離公式，難度中檔．
　
5．（5分）如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為（　?。?br />
A．24 B．18 C．12 D．9

【考點】D2：分步乘法計數(shù)原理；D9：排列、組合及簡單計數(shù)問題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】12：應(yīng)用題；34：方程思想；49：綜合法；5O：排列組合．
【分析】從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，由組合數(shù)可得最短的走法，同理從F到G，最短的走法，有C31=3種走法，利用乘法原理可得結(jié)論．
【解答】解：從E到F，每條東西向的街道被分成2段，每條南北向的街道被分成2段，
從E到F最短的走法，無論怎樣走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每種最短走法，即是從4段中選出2段走東向的，選出2段走北向的，故共有C42C22=6種走法．
同理從F到G，最短的走法，有C31C22=3種走法．
∴小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為6×3=18種走法．
故選：B．
【點評】本題考查排列組合的簡單應(yīng)用，得出組成矩形的條件和最短走法是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題
　
6．（5分）如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（　?。?br />
A．20π B．24π C．28π D．32π

【考點】L!：由三視圖求面積、體積．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距離．
【分析】空間幾何體是一個組合體，上面是一個圓錐，圓錐的底面直徑是4，圓錐的高是2，在軸截面中圓錐的母線長使用勾股定理做出的，寫出表面積，下面是一個圓柱，圓柱的底面直徑是4，圓柱的高是4，做出圓柱的表面積，注意不包括重合的平面．
【解答】解：由三視圖知，空間幾何體是一個組合體，
上面是一個圓錐，圓錐的底面直徑是4，圓錐的高是2，
∴在軸截面中圓錐的母線長是=4，
∴圓錐的側(cè)面積是π×2×4=8π，
下面是一個圓柱，圓柱的底面直徑是4，圓柱的高是4，
∴圓柱表現(xiàn)出來的表面積是π×22+2π×2×4=20π
∴空間組合體的表面積是28π，
故選：C．
【點評】本題考查由三視圖求表面積，本題的圖形結(jié)構(gòu)比較簡單，易錯點可能是兩個幾何體重疊的部分忘記去掉，求表面積就有這樣的弊端．
　
7．（5分）若將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移個單位長度，則平移后的圖象的對稱軸為（　?。?br /> A．x=﹣（k∈Z） B．x=+（k∈Z）
C．x=﹣（k∈Z） D．x=+（k∈Z）

【考點】H6：正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性；HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．
【分析】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的變換及正弦函數(shù)的對稱性可得答案．
【解答】解：將函數(shù)y=2sin2x的圖象向左平移個單位長度，得到y(tǒng)=2sin2（x+）=2sin（2x+），
由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），
即平移后的圖象的對稱軸方程為x=+（k∈Z），
故選：B．
【點評】本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的圖象的變換規(guī)律的應(yīng)用及正弦函數(shù)的對稱性質(zhì)，屬于中檔題．
　
8．（5分）中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，如圖是實現(xiàn)該算法的程序框圖．執(zhí)行該程序框圖，若輸入的x=2，n=2，依次輸入的a為2，2，5，則輸出的s=（　?。?br />
A．7 B．12 C．17 D．34

【考點】EF：程序框圖．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；28：操作型；5K：算法和程序框圖．
【分析】根據(jù)已知的程序框圖可得，該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量S的值，模擬程序的運行過程，可得答案．
【解答】解：∵輸入的x=2，n=2，
當輸入的a為2時，S=2，k=1，不滿足退出循環(huán)的條件；
當再次輸入的a為2時，S=6，k=2，不滿足退出循環(huán)的條件；
當輸入的a為5時，S=17，k=3，滿足退出循環(huán)的條件；
故輸出的S值為17，
故選：C．
【點評】本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)次數(shù)不多，或有規(guī)律可循時，可采用模擬程序法進行解答．
　
9．（5分）若cos（﹣α）=，則sin2α=（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣

【考點】GF：三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】36：整體思想；4R：轉(zhuǎn)化法；56：三角函數(shù)的求值．
【分析】法1°：利用誘導(dǎo)公式化sin2α=cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．
法°：利用余弦二倍角公式將左邊展開，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值
【解答】解：法1°：∵cos（﹣α）=，
∴sin2α=cos（﹣2α）=cos2（﹣α）=2cos2（﹣α）﹣1=2×﹣1=﹣，
法2°：∵cos（﹣α）=（sinα+cosα）=，
∴（1+sin2α）=，
∴sin2α=2×﹣1=﹣，
故選：D．
【點評】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，熟練掌握誘導(dǎo)公式化與二倍角的余弦是關(guān)鍵，屬于中檔題．
　
10．（5分）從區(qū)間[0，1]隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn構(gòu)成n個數(shù)對（x1，y1），（x2，y2）…（xn，yn），其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率π的近似值為（　?。?br /> A． B． C． D．

【考點】CF：幾何概型．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；34：方程思想；49：綜合法；5I：概率與統(tǒng)計．
【分析】以面積為測度，建立方程，即可求出圓周率π的近似值．
【解答】解：由題意，兩數(shù)的平方和小于1，對應(yīng)的區(qū)域的面積為π?12，從區(qū)間[0，1】隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn，構(gòu)成n個數(shù)對（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），對應(yīng)的區(qū)域的面積為12．
∴=
∴π=．
故選：C．

【點評】古典概型和幾何概型是我們學(xué)習(xí)的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個數(shù)，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積和體積的比值得到．
　
11．（5分）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線E：﹣=1的左，右焦點，點M在E上，MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1=，則E的離心率為（　　）
A． B． C． D．2

【考點】KC：雙曲線的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】31：數(shù)形結(jié)合；44：數(shù)形結(jié)合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．
【分析】由條件MF1⊥MF2，sin∠MF2F1=，列出關(guān)系式，從而可求離心率．
【解答】解：由題意，M為雙曲線左支上的點，
則丨MF1丨=，丨MF2丨=，
∴sin∠MF2F1=，∴=，
可得：2b4=a2c2，即b2=ac，又c2=a2+b2，
可得e2﹣e﹣=0，
e＞1，解得e=．
故選：A．

【點評】本題考查雙曲線的定義及離心率的求解，關(guān)鍵是找出幾何量之間的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．
　
12．（5分）已知函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（﹣x）=2﹣f（x），若函數(shù)y=與y=f（x）圖象的交點為（x1，y1），（x2，y2），…，（xm，ym），則（xi+yi）=（　?。?br /> A．0 B．m C．2m D．4m

【考點】3P：抽象函數(shù)及其應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】33：函數(shù)思想；48：分析法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．
【分析】由條件可得f（x）+f（﹣x）=2，即有f（x）關(guān)于點（0，1）對稱，又函數(shù)y=，即y=1+的圖象關(guān)于點（0，1）對稱，即有（x1，y1）為交點，即有（﹣x1，2﹣y1）也為交點，計算即可得到所求和．
【解答】解：函數(shù)f（x）（x∈R）滿足f（﹣x）=2﹣f（x），
即為f（x）+f（﹣x）=2，
可得f（x）關(guān)于點（0，1）對稱，
函數(shù)y=，即y=1+的圖象關(guān)于點（0，1）對稱，
即有（x1，y1）為交點，即有（﹣x1，2﹣y1）也為交點，
（x2，y2）為交點，即有（﹣x2，2﹣y2）也為交點，
…
則有（xi+yi）=（x1+y1）+（x2+y2）+…+（xm+ym）
=[（x1+y1）+（﹣x1+2﹣y1）+（x2+y2）+（﹣x2+2﹣y2）+…+（xm+ym）+（﹣xm+2﹣ym）]
=m．
故選：B．
【點評】本題考查抽象函數(shù)的運用：求和，考查函數(shù)的對稱性的運用，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．
　
二、填空題：本題共4小題，每小題5分．
13．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，則b=　　．

【考點】HU：解三角形．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】34：方程思想；48：分析法；56：三角函數(shù)的求值；58：解三角形．
【分析】運用同角的平方關(guān)系可得sinA，sinC，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式，可得sinB，運用正弦定理可得b=，代入計算即可得到所求值．
【解答】解：由cosA=，cosC=，可得
sinA===，
sinC===，
sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，
由正弦定理可得b=
==．
故答案為：．
【點評】本題考查正弦定理的運用，同時考查兩角和的正弦公式和誘導(dǎo)公式，以及同角的平方關(guān)系的運用，考查運算能力，屬于中檔題．
　
14．（5分）α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m?α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等．
其中正確的命題是?、冖邰堋。ㄌ钚蛱枺?br />
【考點】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用；LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；LP：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】2A：探究型；5F：空間位置關(guān)系與距離；5Q：立體幾何．
【分析】根據(jù)空間直線與平面的位置關(guān)系的判定方法及幾何特征，分析判斷各個結(jié)論的真假，可得答案．
【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故錯誤；
②如果n∥α，則存在直線l?α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正確；
③如果α∥β，m?α，那么m與β無公共點，則m∥β．故正確
④如果m∥n，α∥β，那么m，n與α所成的角和m，n與β所成的角均相等．故正確；
故答案為：②③④
【點評】本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了空間直線與平面的位置關(guān)系，難度中檔．
　
15．（5分）有三張卡片，分別寫有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一張卡片，甲看了乙的卡片后說：“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”，乙看了丙的卡片后說：“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”，丙說：“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”，則甲的卡片上的數(shù)字是　1和3?。?br />
【考點】F4：進行簡單的合情推理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】2A：探究型；49：綜合法；5L：簡易邏輯．
【分析】可先根據(jù)丙的說法推出丙的卡片上寫著1和2，或1和3，分別討論這兩種情況，根據(jù)甲和乙的說法可分別推出甲和乙卡片上的數(shù)字，這樣便可判斷出甲卡片上的數(shù)字是多少．
【解答】解：根據(jù)丙的說法知，丙的卡片上寫著1和2，或1和3；
（1）若丙的卡片上寫著1和2，根據(jù)乙的說法知，乙的卡片上寫著2和3；
∴根據(jù)甲的說法知，甲的卡片上寫著1和3；
（2）若丙的卡片上寫著1和3，根據(jù)乙的說法知，乙的卡片上寫著2和3；
又甲說，“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”；
∴甲的卡片上寫的數(shù)字不是1和2，這與已知矛盾；
∴甲的卡片上的數(shù)字是1和3．
故答案為：1和3．
【點評】考查進行簡單的合情推理的能力，以及分類討論得到解題思想，做這類題注意找出解題的突破口．
　
16．（5分）若直線y=kx+b是曲線y=lnx+2的切線，也是曲線y=ln（x+1）的切線，則b=　1﹣ln2　．

【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．
【分析】先設(shè)切點，然后利用切點來尋找切線斜率的聯(lián)系，以及對應(yīng)的函數(shù)值，綜合聯(lián)立求解即可
【解答】解：設(shè)y=kx+b與y=lnx+2和y=ln（x+1）的切點分別為（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得k==，得x1=x2+1
再由切點也在各自的曲線上，可得
聯(lián)立上述式子解得；
從而kx1+b=lnx1+2得出b=1﹣ln2．
【點評】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，體現(xiàn)了方程思想，對學(xué)生綜合計算能力有一定要求，中檔題
　
三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（12分）Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且a1=1，S7=28，記bn=[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0，[lg99]=1．
（Ⅰ）求b1，b11，b101；
（Ⅱ）求數(shù)列{bn}的前1000項和．

【考點】83：等差數(shù)列的性質(zhì)；8E：數(shù)列的求和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；29：規(guī)律型；35：轉(zhuǎn)化思想；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．
【分析】（Ⅰ）利用已知條件求出等差數(shù)列的公差，求出通項公式，然后求解b1，b11，b101；
（Ⅱ）找出數(shù)列的規(guī)律，然后求數(shù)列{bn}的前1000項和．
【解答】解：（Ⅰ）Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且a1=1，S7=28，7a4=28．
可得a4=4，則公差d=1．
an=n，
bn=[lgn]，則b1=[lg1]=0，
b11=[lg11]=1，
b101=[lg101]=2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：b1=b2=b3=…=b9=0，b10=b11=b12=…=b99=1．
b100=b101=b102=b103=…=b999=2，b10，00=3．
數(shù)列{bn}的前1000項和為：9×0+90×1+900×2+3=1893．
【點評】本題考查數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列求和，考查分析問題解決問題的能力，以及計算能力．
　
18．（12分）某保險的基本保費為a（單位：元），繼續(xù)購買該保險的投保人成為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：
上年度出險次數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
保費
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：
一年內(nèi)出險次數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
（Ⅰ）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；
（Ⅱ）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；
（Ⅲ）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值．

【考點】CB：古典概型及其概率計算公式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5I：概率與統(tǒng)計．
【分析】（Ⅰ）上年度出險次數(shù)大于等于2時，續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，由此利用該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率統(tǒng)計表根據(jù)對立事件概率計算公式能求出一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率．
（Ⅱ）設(shè)事件A表示“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，事件B表示“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，由題意求出P（A），P（AB），由此利用條件概率能求出若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，則其保費比基本保費高出60%的概率．
（Ⅲ）由題意，能求出續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值．
【解答】解：（Ⅰ）∵某保險的基本保費為a（單位：元），
上年度出險次數(shù)大于等于2時，續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，
∴由該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率統(tǒng)計表得：
一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率：
p1=1﹣0.30﹣0.15=0.55．
（Ⅱ）設(shè)事件A表示“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費”，事件B表示“一續(xù)保人本年度的保費比基本保費高出60%”，
由題意P（A）=0.55，P（AB）=0.10+0.05=0.15，
由題意得若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，
則其保費比基本保費高出60%的概率：
p2=P（B|A）===．
（Ⅲ）由題意，續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為：
=1.23，
∴續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為1.23．
【點評】本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意對立事件概率計算公式、條件概率計算公式的合理運用．
　
19．（12分）如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，AB=5，AC=6，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于點H，將△DEF沿EF折到△D′EF的位置，OD′=．
（Ⅰ）證明：D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B﹣D′A﹣C的正弦值．


【考點】MJ：二面角的平面角及求法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】15：綜合題；35：轉(zhuǎn)化思想；44：數(shù)形結(jié)合法；5G：空間角．
【分析】（Ⅰ）由底面ABCD為菱形，可得AD=CD，結(jié)合AE=CF可得EF∥AC，再由ABCD是菱形，得AC⊥BD，進一步得到EF⊥BD，由EF⊥DH，可得EF⊥D′H，然后求解直角三角形得D′H⊥OH，再由線面垂直的判定得D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）以H為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，由已知求得所用點的坐標，得到的坐標，分別求出平面ABD′與平面AD′C的一個法向量，設(shè)二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角為θ，求出|cosθ|．則二面角B﹣D′A﹣C的正弦值可求．
【解答】（Ⅰ）證明：∵ABCD是菱形，
∴AD=DC，又AE=CF=，
∴，則EF∥AC，
又由ABCD是菱形，得AC⊥BD，則EF⊥BD，
∴EF⊥DH，則EF⊥D′H，
∵AC=6，
∴AO=3，
又AB=5，AO⊥OB，
∴OB=4，
∴OH==1，則DH=D′H=3，
∴|OD′|2=|OH|2+|D′H|2，則D′H⊥OH，
又OH∩EF=H，
∴D′H⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：以H為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，
∵AB=5，AC=6，
∴B（5，0，0），C（1，3，0），D′（0，0，3），A（1，﹣3，0），
，，
設(shè)平面ABD′的一個法向量為，
由，得，取x=3，得y=﹣4，z=5．
∴．
同理可求得平面AD′C的一個法向量，
設(shè)二面角二面角B﹣D′A﹣C的平面角為θ，
則|cosθ|=．
∴二面角B﹣D′A﹣C的正弦值為sinθ=．

【點評】本題考查線面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，訓(xùn)練了利用平面的法向量求解二面角問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．
　
20．（12分）已知橢圓E：+=1的焦點在x軸上，A是E的左頂點，斜率為k（k＞0）的直線交E于A，M兩點，點N在E上，MA⊥NA．
（Ⅰ）當t=4，|AM|=|AN|時，求△AMN的面積；
（Ⅱ）當2|AM|=|AN|時，求k的取值范圍．

【考點】KH：直線與圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題．
【分析】（Ⅰ）方法一、求出t=4時，橢圓方程和頂點A，設(shè)出直線AM的方程，代入橢圓方程，求交點M，運用弦長公式求得|AM|，由垂直的條件可得|AN|，再由|AM|=|AN|，解得k=1，運用三角形的面積公式可得△AMN的面積；
方法二、運用橢圓的對稱性，可得直線AM的斜率為1，求得AM的方程代入橢圓方程，解方程可得M，N的坐標，運用三角形的面積公式計算即可得到；
（Ⅱ）直線AM的方程為y=k（x+），代入橢圓方程，求得交點M，可得|AM|，|AN|，再由2|AM|=|AN|，求得t，再由橢圓的性質(zhì)可得t＞3，解不等式即可得到所求范圍．
【解答】解：（Ⅰ）方法一、t=4時，橢圓E的方程為+=1，A（﹣2，0），
直線AM的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，整理可得（3+4k2）x2+16k2x+16k2﹣12=0，
解得x=﹣2或x=﹣，則|AM|=?|2﹣|=?，
由AN⊥AM，可得|AN|=?=?，
由|AM|=|AN|，k＞0，可得?=?，
整理可得（k﹣1）（4k2+k+4）=0，由4k2+k+4=0無實根，可得k=1，
即有△AMN的面積為|AM|2=（?）2=；
方法二、由|AM|=|AN|，可得M，N關(guān)于x軸對稱，
由MA⊥NA．可得直線AM的斜率為1，直線AM的方程為y=x+2，
代入橢圓方程+=1，可得7x2+16x+4=0，
解得x=﹣2或﹣，M（﹣，），N（﹣，﹣），
則△AMN的面積為××（﹣+2）=；
（Ⅱ）直線AM的方程為y=k（x+），代入橢圓方程，
可得（3+tk2）x2+2tk2x+t2k2﹣3t=0，
解得x=﹣或x=﹣，
即有|AM|=?|﹣|=?，
|AN|═?=?，
由2|AM|=|AN|，可得2?=?，
整理得t=，
由橢圓的焦點在x軸上，則t＞3，即有＞3，即有＜0，
可得＜k＜2，即k的取值范圍是（，2）．
【點評】本題考查橢圓的方程的運用，考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立，求交點，以及弦長公式的運用，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．
　
21．（12分）（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）=ex的單調(diào)性，并證明當x＞0時，（x﹣2）ex+x+2＞0；
（Ⅱ）證明：當a∈[0，1）時，函數(shù)g（x）=（x＞0）有最小值．設(shè)g（x）的最小值為h（a），求函數(shù)h（a）的值域．

【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．
【分析】從導(dǎo)數(shù)作為切入點探求函數(shù)的單調(diào)性，通過函數(shù)單調(diào)性來求得函數(shù)的值域，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式進行求導(dǎo)，然后逐步分析即可
【解答】解：（1）證明：f（x）=
f'（x）=ex（）=
∵當x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，+∞）時，f'（x）≥0
∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣2，+∞）上單調(diào)遞增
∴x＞0時，＞f（0）=﹣1
即（x﹣2）ex+x+2＞0
（2）g'（x）=
==
a∈[0，1）
由（1）知，當x＞0時，f（x）=的值域為（﹣1，+∞），只有一解使得
，
只需?et≤0恒成立，可得﹣2＜t≤2，
由x＞0，可得
t∈（0，2]
當x∈（0，t）時，g'（x）＜0，g（x）單調(diào)減；
當x∈（t，+∞），g'（x）＞0，g（x）單調(diào)增；
h（a）===
記k（t）=，在t∈（0，2]時，k'（t）=＞0，
故k（t）單調(diào)遞增，
所以h（a）=k（t）∈（，]．
【點評】該題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性上的應(yīng)用，重點是掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，以及導(dǎo)數(shù)代表的意義，計算量較大，難度較大．
　
請考生在第22～24題中任選一個題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-1：幾何證明選講]
22．（10分）如圖，在正方形ABCD中，E，G分別在邊DA，DC上（不與端點重合），且DE=DG，過D點作DF⊥CE，垂足為F．
（Ⅰ）證明：B，C，G，F(xiàn)四點共圓；
（Ⅱ）若AB=1，E為DA的中點，求四邊形BCGF的面積．


【考點】N8：圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】14：證明題．
【分析】（Ⅰ）證明B，C，G，F(xiàn)四點共圓可證明四邊形BCGF對角互補，由已知條件可知∠BCD=90°，因此問題可轉(zhuǎn)化為證明∠GFB=90°；
（Ⅱ）在Rt△DFC中，GF=CD=GC，因此可得△GFB≌△GCB，則S四邊形BCGF=2S△BCG，據(jù)此解答．
【解答】（Ⅰ）證明：∵DF⊥CE，
∴Rt△DFC∽Rt△EDC，
∴=，
∵DE=DG，CD=BC，
∴=，
又∵∠GDF=∠DEF=∠BCF，
∴△GDF∽△BCF，
∴∠CFB=∠DFG，
∴∠GFB=∠GFC+∠CFB=∠GFC+∠DFG=∠DFC=90°，
∴∠GFB+∠GCB=180°，
∴B，C，G，F(xiàn)四點共圓．
（Ⅱ）∵E為AD中點，AB=1，∴DG=CG=DE=，
∴在Rt△DFC中，GF=CD=GC，連接GB，Rt△BCG≌Rt△BFG，
∴S四邊形BCGF=2S△BCG=2××1×=．

【點評】本題考查四點共圓的判斷，主要根據(jù)對角互補進行判斷，注意三角形相似和全等性質(zhì)的應(yīng)用．
　
[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]
23．在直角坐標系xOy中，圓C的方程為（x+6）2+y2=25．
（Ⅰ）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；
（Ⅱ）直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），l與C交與A，B兩點，|AB|=，求l的斜率．

【考點】J1：圓的標準方程；J8：直線與圓相交的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5B：直線與圓．
【分析】（Ⅰ）把圓C的標準方程化為一般方程，由此利用ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圓C的極坐標方程．
（Ⅱ）由直線l的參數(shù)方程求出直線l的一般方程，再求出圓心到直線距離，由此能求出直線l的斜率．
【解答】解：（Ⅰ）∵圓C的方程為（x+6）2+y2=25，
∴x2+y2+12x+11=0，
∵ρ2=x2+y2，x=ρcosα，y=ρsinα，
∴C的極坐標方程為ρ2+12ρcosα+11=0．
（Ⅱ）∵直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），
∴t=，代入y=tsinα，得：直線l的一般方程y=tanα?x，
∵l與C交與A，B兩點，|AB|=，圓C的圓心C（﹣6，0），半徑r=5，
圓心到直線的距離d=．
∴圓心C（﹣6，0）到直線距離d==，
解得tan2α=，∴tanα=±=±．
∴l(xiāng)的斜率k=±．
【點評】本題考查圓的極坐標方程的求法，考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線公式、圓的性質(zhì)的合理運用．
　
[選修4-5：不等式選講]
24．已知函數(shù)f（x）=|x﹣|+|x+|，M為不等式f（x）＜2的解集．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）證明：當a，b∈M時，|a+b|＜|1+ab|．

【考點】R5：絕對值不等式的解法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】32：分類討論；35：轉(zhuǎn)化思想；4C：分類法；4R：轉(zhuǎn)化法；59：不等式的解法及應(yīng)用．
【分析】（I）分當x＜時，當≤x≤時，當x＞時三種情況，分別求解不等式，綜合可得答案；
（Ⅱ）當a，b∈M時，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2，配方后，可證得結(jié)論．
【解答】解：（I）當x＜時，不等式f（x）＜2可化為：﹣x﹣x﹣＜2，
解得：x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜，
當≤x≤時，不等式f（x）＜2可化為：﹣x+x+=1＜2，
此時不等式恒成立，
∴≤x≤，
當x＞時，不等式f（x）＜2可化為：﹣+x+x+＜2，
解得：x＜1，
∴＜x＜1，
綜上可得：M=（﹣1，1）；
證明：（Ⅱ）當a，b∈M時，
（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
即a2b2+1＞a2+b2，
即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，
即（ab+1）2＞（a+b）2，
即|a+b|＜|1+ab|．
【點評】本題考查的知識點是絕對值不等式的解法，不等式的證明，難度中檔．
　

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