?2010年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)）
一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）
1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，則A∩B=（　?。?br /> A．（0，2） B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}
2．（5分）已知復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則=（　?。?br /> A． B． C．1 D．2
3．（5分）曲線y=在點(diǎn)（﹣1，﹣1）處的切線方程為（　　）
A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2
4．（5分）如圖，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為P0（，﹣），角速度為1，那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為（　?。?br />
A． B．
C． D．
5．（5分）已知命題p1：函數(shù)y=2x﹣2﹣x在R為增函數(shù)，p2：函數(shù)y=2x+2﹣x在R為減函數(shù)，則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命題是（　?。?br /> A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4
6．（5分）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為（　?。?br /> A．100 B．200 C．300 D．400
7．（5分）如果執(zhí)行如圖的框圖，輸入N=5，則輸出的數(shù)等于（　　）

A． B． C． D．
8．（5分）設(shè)偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=2x﹣4（x≥0），則{x|f（x﹣2）＞0}=（　?。?br /> A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}
9．（5分）若，α是第三象限的角，則=（　?。?br /> A． B． C．2 D．﹣2
10．（5分）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（　?。?br /> A．πa2 B． C． D．5πa2
11．（5分）已知函數(shù)，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是（　?。?br /> A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
12．（5分）已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，P（3，0）是E的焦點(diǎn)，過P的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N（﹣12，﹣15），則E的方程式為（　?。?br /> A． B． C． D．
　
二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）
13．（5分）設(shè)y=f（x）為區(qū)間[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0≤f（x）≤1，可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算積分，先產(chǎn)生兩組（每組N個(gè)）區(qū)間[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1，x2，…xN和y1，y2，…yN，由此得到N個(gè)點(diǎn)（xi，yi）（i=1，2，…，N），再數(shù)出其中滿足yi≤f（xi）（i=1，2，…，N）的點(diǎn)數(shù)N1，那么由隨機(jī)模擬方案可得積分的近似值為　 ?。?br /> 14．（5分）正視圖為一個(gè)三角形的幾何體可以是　 ?。▽懗鋈N）
15．（5分）過點(diǎn)A（4，1）的圓C與直線x﹣y=1相切于點(diǎn)B（2，1），則圓C的方程為　 　．
16．（5分）在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面積為，則∠BAC=　 　．
　
三、解答題（共8小題，滿分90分）
17．（12分）設(shè)數(shù)列滿足a1=2，an+1﹣an=3?22n﹣1
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．




18．（12分）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點(diǎn)
（Ⅰ）證明：PE⊥BC
（Ⅱ）若∠APB=∠ADB=60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．



19．（12分）為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如表：
性別
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
（1）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的比例；
（2）能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)的老年人中需要志愿者提供幫助的老年人比例？說明理由．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
附：K2=．



20．（12分）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過F1斜率為1的直線?與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列．
（1）求E的離心率；
（2）設(shè)點(diǎn)P（0，﹣1）滿足|PA|=|PB|，求E的方程．





21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=ex﹣1﹣x﹣ax2．
（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍．






22．（10分）如圖：已知圓上的弧，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長線交于E點(diǎn)，證明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC2=BE?CD．



23．（10分）已知直線C1（t為參數(shù)），C2（θ為參數(shù)），
（Ⅰ）當(dāng)α=時(shí)，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）過坐標(biāo)原點(diǎn)O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．








24．（10分）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x﹣4|+1．
（Ⅰ）畫出函數(shù)y=f（x）的圖象：
（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范圍．
　

2010年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)）
參考答案與試題解析
　
一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）
1．（5分）已知集合A={x∈R||x|≤2}}，，則A∩B=（　?。?br /> A．（0，2） B．[0，2] C．{0，2} D．{0，1，2}

【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計(jì)算題．
【分析】先化簡集合A和B，注意集合B中的元素是整數(shù)，再根據(jù)兩個(gè)集合的交集的意義求解．
【解答】解：A={x∈R||x|≤2，}={x∈R|﹣2≤x≤2}，

故A∩B={0，1，2}．
應(yīng)選D．
【點(diǎn)評】本題主要考查集合間的交集運(yùn)算以及集合的表示方法，涉及絕對值不等式和冪函數(shù)等知識，屬于基礎(chǔ)題．
　
2．（5分）已知復(fù)數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則=（　　）
A． B． C．1 D．2

【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】因?yàn)?，所以先求|z|再求的值．
【解答】解：由可得．
另解：
故選：A．
【點(diǎn)評】命題意圖：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，涉及復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)知識，可以利用復(fù)數(shù)的一些運(yùn)算性質(zhì)可以簡化運(yùn)算．
　
3．（5分）曲線y=在點(diǎn)（﹣1，﹣1）處的切線方程為（　?。?br /> A．y=2x+1 B．y=2x﹣1 C．y=﹣2x﹣3 D．y=﹣2x﹣2

【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】1：常規(guī)題型；11：計(jì)算題．
【分析】欲求在點(diǎn)（﹣1，﹣1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=﹣1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
【解答】解：∵y=，
∴y′=，
所以k=y′|x=﹣1=2，得切線的斜率為2，所以k=2；
所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（﹣1，﹣1）處的切線方程為：
y+1=2×（x+1），即y=2x+1．
故選：A．
【點(diǎn)評】本小題主要考查直線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．屬于基礎(chǔ)題．
　
4．（5分）如圖，質(zhì)點(diǎn)P在半徑為2的圓周上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，其初始位置為P0（，﹣），角速度為1，那么點(diǎn)P到x軸距離d關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)圖象大致為（　　）

A． B．
C． D．

【考點(diǎn)】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【分析】本題的求解可以利用排除法，根據(jù)某具體時(shí)刻點(diǎn)P的位置到到x軸距離來確定答案．
【解答】解：通過分析可知當(dāng)t=0時(shí)，點(diǎn)P到x軸距離d為，于是可以排除答案A，D，
再根據(jù)當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)P在x軸上此時(shí)點(diǎn)P到x軸距離d為0，排除答案B，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的圖象，以及排除法的應(yīng)用和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題．
　
5．（5分）已知命題p1：函數(shù)y=2x﹣2﹣x在R為增函數(shù)，p2：函數(shù)y=2x+2﹣x在R為減函數(shù)，則在命題q1：p1∨p2，q2：p1∧p2，q3：（￢p1）∨p2和q4：p1∧（￢p2）中，真命題是（　?。?br /> A．q1，q3 B．q2，q3 C．q1，q4 D．q2，q4

【考點(diǎn)】2E：復(fù)合命題及其真假；4Q：指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】5L：簡易邏輯．
【分析】先判斷命題p1是真命題，P2是假命題，故p1∨p2為真命題，（﹣p2）為真命題，p1∧（﹣p2）為真命題．
【解答】解：易知p1是真命題，而對p2：y′=2xln2﹣ln2=ln2（），
當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，，又ln2＞0，所以y′≥0，函數(shù)單調(diào)遞增；
同理得當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，故p2是假命題．
由此可知，q1真，q2假，q3假，q4真．
故選：C．
【點(diǎn)評】只有p1與P2都是真命題時(shí)，p1∧p2才是真命題．只要p1與p2中至少有一個(gè)真命題，p1∨p2就是真命題．
　
6．（5分）某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為（　?。?br /> A．100 B．200 C．300 D．400

【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；CN：二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計(jì)算題；12：應(yīng)用題．
【分析】首先分析題目已知某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1000粒，即不發(fā)芽率為0.1，故沒有發(fā)芽的種子數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布，即ξ～B（1000，0.1）．又沒發(fā)芽的補(bǔ)種2個(gè)，故補(bǔ)種的種子數(shù)記為X=2ξ，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望公式即可求出結(jié)果．
【解答】解：由題意可知播種了1000粒，沒有發(fā)芽的種子數(shù)ξ服從二項(xiàng)分布，即ξ～B（1000，0.1）．
而每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X
故X=2ξ，則EX=2Eξ=2×1000×0.1=200．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查二項(xiàng)分布的期望以及隨機(jī)變量的性質(zhì)，考查解決應(yīng)用問題的能力．屬于基礎(chǔ)性題目．
　
7．（5分）如果執(zhí)行如圖的框圖，輸入N=5，則輸出的數(shù)等于（　?。?br />
A． B． C． D．

【考點(diǎn)】EF：程序框圖．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】28：操作型．
【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出S=的值．
【解答】解：分析程序中各變量、各語句的作用，
再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：
該程序的作用是累加并輸出S=的值．
∵S==1﹣=
故選：D．
【點(diǎn)評】根據(jù)流程圖（或偽代碼）寫程序的運(yùn)行結(jié)果，是算法這一模塊最重要的題型，其處理方法是：：①分析流程圖（或偽代碼），從流程圖（或偽代碼）中即要分析出計(jì)算的類型，又要分析出參與計(jì)算的數(shù)據(jù)（如果參與運(yùn)算的數(shù)據(jù)比較多，也可使用表格對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析管理）?②建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)第一步分析的結(jié)果，選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型③解模．
　
8．（5分）設(shè)偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=2x﹣4（x≥0），則{x|f（x﹣2）＞0}=（　?。?br /> A．{x|x＜﹣2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4} C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜﹣2或x＞2}

【考點(diǎn)】3K：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)與判斷．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計(jì)算題．
【分析】由偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為絕對值函數(shù)，再求解不等式，可得答案．
【解答】解：由偶函數(shù)f（x）滿足f（x）=2x﹣4（x≥0），可得f（x）=f（|x|）=2|x|﹣4，
則f（x﹣2）=f（|x﹣2|）=2|x﹣2|﹣4，要使f（|x﹣2|）＞0，只需2|x﹣2|﹣4＞0，|x﹣2|＞2
解得x＞4，或x＜0．
應(yīng)選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查偶函數(shù)性質(zhì)、不等式的解法以及相應(yīng)的運(yùn)算能力，解答本題的關(guān)鍵是利用偶函數(shù)的性質(zhì)將函數(shù)轉(zhuǎn)化為絕對值函數(shù)，從而簡化計(jì)算．
　
9．（5分）若，α是第三象限的角，則=（　?。?br /> A． B． C．2 D．﹣2

【考點(diǎn)】GF：三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值；GW：半角的三角函數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計(jì)算題．
【分析】將欲求式中的正切化成正余弦，還要注意條件中的角α與待求式中角的差別，注意消除它們之間的不同．
【解答】解：由，α是第三象限的角，
∴可得，
則，
應(yīng)選A．
【點(diǎn)評】本題主要考查三角恒等變換中的倍角公式的靈活運(yùn)用、同角的三角函數(shù)關(guān)系等知識以及相應(yīng)的運(yùn)算能力．
　
10．（5分）設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（　?。?br /> A．πa2 B． C． D．5πa2

【考點(diǎn)】LR：球內(nèi)接多面體．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計(jì)算題．
【分析】由題意可知上下底面中心連線的中點(diǎn)就是球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積．
【解答】解：根據(jù)題意條件可知三棱柱是棱長都為a的正三棱柱，上下底面中心連線的中點(diǎn)就是球心，則其外接球的半徑為，
球的表面積為，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查空間幾何體中位置關(guān)系、球和正棱柱的性質(zhì)以及相應(yīng)的運(yùn)算能力和空間形象能力．
　
11．（5分）已知函數(shù)，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則abc的取值范圍是（　?。?br /> A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）

【考點(diǎn)】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換；3B：分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；4H：對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；4N：對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】13：作圖題；16：壓軸題；31：數(shù)形結(jié)合．
【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范圍即可．
【解答】解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，
不妨設(shè)a＜b＜c，則
ab=1，
則abc=c∈（10，12）．
故選：C．

【點(diǎn)評】本題主要考查分段函數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力．
　
12．（5分）已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，P（3，0）是E的焦點(diǎn)，過P的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N（﹣12，﹣15），則E的方程式為（　?。?br /> A． B． C． D．

【考點(diǎn)】KB：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；KH：直線與圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計(jì)算題；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．
【分析】已知條件易得直線l的斜率為1，設(shè)雙曲線方程，及A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入方程聯(lián)立相減得x1+x2=﹣24，根據(jù)=，可求得a和b的關(guān)系，再根據(jù)c=3，求得a和b，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：由已知條件易得直線l的斜率為k=kPN=1，
設(shè)雙曲線方程為，
A（x1，y1），B（x2，y2），
則有，
兩式相減并結(jié)合x1+x2=﹣24，y1+y2=﹣30得
=，
從而k==1
即4b2=5a2，
又a2+b2=9，
解得a2=4，b2=5，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．
　
二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）
13．（5分）設(shè)y=f（x）為區(qū)間[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0≤f（x）≤1，可以用隨機(jī)模擬方法近似計(jì)算積分，先產(chǎn)生兩組（每組N個(gè)）區(qū)間[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)x1，x2，…xN和y1，y2，…yN，由此得到N個(gè)點(diǎn)（xi，yi）（i=1，2，…，N），再數(shù)出其中滿足yi≤f（xi）（i=1，2，…，N）的點(diǎn)數(shù)N1，那么由隨機(jī)模擬方案可得積分的近似值為　?。?br />
【考點(diǎn)】69：定積分的應(yīng)用；CE：模擬方法估計(jì)概率；CF：幾何概型．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計(jì)算題．
【分析】要求∫f（x）dx的近似值，利用幾何概型求概率，結(jié)合點(diǎn)數(shù)比即可得．
【解答】解：由題意可知得，
故積分的近似值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查幾何概型模擬估計(jì)定積分值，以及定積分在面積中的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
　
14．（5分）正視圖為一個(gè)三角形的幾何體可以是　三棱錐、三棱柱、圓錐（其他正確答案同樣給分）?。▽懗鋈N）

【考點(diǎn)】L7：簡單空間圖形的三視圖．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】21：閱讀型．
【分析】三棱錐一個(gè)側(cè)面的在正視圖為一條線段的情形；圓錐；四棱錐有兩個(gè)側(cè)面在正視圖為線段的情形，即可回答本題．
【解答】解：正視圖為一個(gè)三角形的幾何體可以是三棱錐、三棱柱（放倒的情形）、圓錐、四棱錐等等．
故答案為：三棱錐、圓錐、三棱柱．
【點(diǎn)評】本題主要考查三視圖以及常見的空間幾何體的三視圖，考查空間想象能力．
　
15．（5分）過點(diǎn)A（4，1）的圓C與直線x﹣y=1相切于點(diǎn)B（2，1），則圓C的方程為?。▁﹣3）2+y2=2　．

【考點(diǎn)】J1：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；J9：直線與圓的位置關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】16：壓軸題．
【分析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再用過點(diǎn)A（4，1），過B，兩點(diǎn)坐標(biāo)適合方程，圓和直線相切，圓心到直線的距離等于半徑，求得圓的方程．
【解答】解：設(shè)圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，
則（4﹣a）2+（1﹣b）2=r2，（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2，=﹣1，
解得a=3，b=0，r=，故所求圓的方程為（x﹣3）2+y2=2．
故答案為：（x﹣3）2+y2=2．
【點(diǎn)評】命題意圖：本題主要考查利用題意條件求解圓的方程，通常借助待定系數(shù)法求解．
　
16．（5分）在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，BD=DC，∠ADB=120°，AD=2，若△ADC的面積為，則∠BAC=　60°?。?br />
【考點(diǎn)】HR：余弦定理．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計(jì)算題；16：壓軸題．
【分析】先根據(jù)三角形的面積公式利用△ADC的面積求得DC，進(jìn)而根據(jù)三角形ABC的面積求得BD和BC，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求得AB．最后在三角形ABC中利用余弦定理求得cos∠BAC，求得∠BAC的值．
【解答】解：由△ADC的面積為可得


解得，則．
AB2=AD2+BD2﹣2AD?BD?cos120°=，
，

則=．
故∠BAC=60°．

【點(diǎn)評】本題主要考查解三角形中的邊角關(guān)系及其面積等基礎(chǔ)知識與技能，分析問題解決問題的能力以及相應(yīng)的運(yùn)算能力．
　
三、解答題（共8小題，滿分90分）
17．（12分）設(shè)數(shù)列滿足a1=2，an+1﹣an=3?22n﹣1
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令bn=nan，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

【考點(diǎn)】8E：數(shù)列的求和；8H：數(shù)列遞推式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計(jì)算題．
【分析】（Ⅰ）由題意得an+1=[（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=22（n+1）﹣1．由此可知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=22n﹣1．
（Ⅱ）由bn=nan=n?22n﹣1知Sn=1?2+2?23+3?25++n?22n﹣1，由此入手可知答案．
【解答】解：（Ⅰ）由已知，當(dāng)n≥1時(shí)，an+1=[（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）]+a1
=3（22n﹣1+22n﹣3+…+2）+2=3×+2=22（n+1）﹣1．
而a1=2，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=22n﹣1．
（Ⅱ）由bn=nan=n?22n﹣1知Sn=1?2+2?23+3?25+…+n?22n﹣1①
從而22Sn=1?23+2?25+…+n?22n+1②
①﹣②得（1﹣22）?Sn=2+23+25+…+22n﹣1﹣n?22n+1．
即．
【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)列累加法（疊加法）求數(shù)列通項(xiàng)、錯(cuò)位相減法求數(shù)列和等知識以及相應(yīng)運(yùn)算能力．
　
18．（12分）如圖，已知四棱錐P﹣ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點(diǎn)
（Ⅰ）證明：PE⊥BC
（Ⅱ）若∠APB=∠ADB=60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．


【考點(diǎn)】MA：向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直；MI：直線與平面所成的角．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計(jì)算題；13：作圖題；14：證明題；35：轉(zhuǎn)化思想．
【分析】以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系．
（1）表示，，計(jì)算，就證明PE⊥BC．
（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐標(biāo)，再求平面PEH的法向量，
求向量，然后求與面PEH的法向量的數(shù)量積，可求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．
【解答】解：以H為原點(diǎn)，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長，
建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則A（1，0，0），B（0，1，0）
（Ⅰ）設(shè)C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）
則．
可得．
因?yàn)?br /> 所以PE⊥BC．

（Ⅱ）由已知條件可得m=，n=1，故C（﹣），
設(shè)=（x，y，z）為平面PEH的法向量
則即
因此可以取，
由，
可得
所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為．

【點(diǎn)評】本題主要考查空間幾何體中的位置關(guān)系、線面所成的角等知識，考查空間想象能力以及利用向量法研究空間的位置關(guān)系以及線面角問題的能力．
　
19．（12分）為調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如表：
性別
是否需要志愿者
男
女
需要
40
30
不需要
160
270
（1）估計(jì)該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的比例；
（2）能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)？
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計(jì)該地區(qū)的老年人中需要志愿者提供幫助的老年人比例？說明理由．
P（K2≥k）
0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828
附：K2=．

【考點(diǎn)】BL：獨(dú)立性檢驗(yàn)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計(jì)算題；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．
【分析】（1）由樣本的頻率率估計(jì)總體的概率，
（2）求K2的觀測值查表，下結(jié)論；
（3）由99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)，則可按性別分層抽樣．
【解答】解：（1）調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此在該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估計(jì)值為
（2）K2的觀測值
因?yàn)?.967＞6.635，且P（K2≥6.635）=0.01，
所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)．
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論可知，該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能夠看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時(shí)，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女兩層，并采取分層抽樣方法比簡單隨機(jī)抽樣方法更好．
【點(diǎn)評】本題考查了抽樣的目的，獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法及抽樣的方法選取，屬于基礎(chǔ)題．
　
20．（12分）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過F1斜率為1的直線?與E相交于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)列．
（1）求E的離心率；
（2）設(shè)點(diǎn)P（0，﹣1）滿足|PA|=|PB|，求E的方程．

【考點(diǎn)】83：等差數(shù)列的性質(zhì)；K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；K4：橢圓的性質(zhì)；KH：直線與圓錐曲線的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】11：計(jì)算題．
【分析】（I）根據(jù)橢圓的定義可知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，進(jìn)而根據(jù)|AF2|，|AB|，|BF2|成等差數(shù)表示出|AB|，進(jìn)而可知直線l的方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入直線和橢圓方程，聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達(dá)定理表示出x1+x2和x1x2進(jìn)而根據(jù)，求得a和b的關(guān)系，進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，離心率可得．
（II）設(shè)AB的中點(diǎn)為N（x0，y0），根據(jù)（1）則可分別表示出x0和y0，根據(jù)|PA|=|PB|，推知直線PN的斜率，根據(jù)求得c，進(jìn)而求得a和b，橢圓的方程可得．
【解答】解：（I）由橢圓定義知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a，又2|AB|=|AF2|+|BF2|，
得，l的方程為y=x+c，其中．
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組
化簡的（a2+b2）x2+2a2cx+a2（c2﹣b2）=0
則
因?yàn)橹本€AB斜率為1，|AB|=|x1﹣x2|=，
得，故a2=2b2
所以E的離心率
（II）設(shè)AB的中點(diǎn)為N（x0，y0），由（I）知，．
由|PA|=|PB|，得kPN=﹣1，
即
得c=3，從而
故橢圓E的方程為．
【點(diǎn)評】本題主要考查圓錐曲線中的橢圓性質(zhì)以及直線與橢圓的位置關(guān)系，涉及等差數(shù)列知識，考查利用方程思想解決幾何問題的能力及運(yùn)算能力
　
21．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=ex﹣1﹣x﹣ax2．
（1）若a=0，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x≥0時(shí)f（x）≥0，求a的取值范圍．

【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】32：分類討論．
【分析】（1）先對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．
（2）根據(jù)ex≥1+x可得不等式f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，從而可知當(dāng)1﹣2a≥0，即時(shí)，f′（x）≥0判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，得到答案．
【解答】解：（1）a=0時(shí)，f（x）=ex﹣1﹣x，f′（x）=ex﹣1．
當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
故f（x）在（﹣∞，0）單調(diào)減少，在（0，+∞）單調(diào)增加
（II）f′（x）=ex﹣1﹣2ax
由（I）知ex≥1+x，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號成立．故f′（x）≥x﹣2ax=（1﹣2a）x，
從而當(dāng)1﹣2a≥0，即時(shí)，f′（x）≥0（x≥0），而f（0）=0，
于是當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥0．
由ex＞1+x（x≠0）可得e﹣x＞1﹣x（x≠0）．
從而當(dāng)時(shí)，f′（x）＜ex﹣1+2a（e﹣x﹣1）=e﹣x（ex﹣1）（ex﹣2a），
故當(dāng)x∈（0，ln2a）時(shí)，f'（x）＜0，而f（0）=0，于是當(dāng)x∈（0，ln2a）時(shí)，f（x）＜0．
綜合得a的取值范圍為．
【點(diǎn)評】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)、不等式恒成立問題以及參數(shù)取值范圍問題，考查分類討論、轉(zhuǎn)化與劃歸解題思想及其相應(yīng)的運(yùn)算能力．
　
22．（10分）如圖：已知圓上的弧，過C點(diǎn)的圓的切線與BA的延長線交于E點(diǎn)，證明：
（Ⅰ）∠ACE=∠BCD．
（Ⅱ）BC2=BE?CD．


【考點(diǎn)】N9：圓的切線的判定定理的證明；NB：弦切角．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】14：證明題．
【分析】（I）先根據(jù)題中條件：“”，得∠BCD=∠ABC．再根據(jù)EC是圓的切線，得到∠ACE=∠ABC，從而即可得出結(jié)論．
（II）欲證BC2=BE x CD．即證．故只須證明△BDC～△ECB即可．
【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)椋?br /> 所以∠BCD=∠ABC．
又因?yàn)镋C與圓相切于點(diǎn)C，
故∠ACE=∠ABC
所以∠ACE=∠BCD．（5分）
（Ⅱ）因?yàn)椤螮CB=∠CDB，∠EBC=∠BCD，
所以△BDC～△ECB，
故．
即BC2=BE×CD．（10分）
【點(diǎn)評】本題主要考查圓的切線的判定定理的證明、弦切角的應(yīng)用、三角形相似等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．
　
23．（10分）已知直線C1（t為參數(shù)），C2（θ為參數(shù)），
（Ⅰ）當(dāng)α=時(shí)，求C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）過坐標(biāo)原點(diǎn)O做C1的垂線，垂足為A，P為OA中點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求P點(diǎn)的軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線．

【考點(diǎn)】J3：軌跡方程；JE：直線和圓的方程的應(yīng)用；Q4：簡單曲線的極坐標(biāo)方程；QJ：直線的參數(shù)方程；QK：圓的參數(shù)方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】15：綜合題；16：壓軸題．
【分析】（I）先消去參數(shù)將曲線C1與C2的參數(shù)方程化成普通方程，再聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可，
（II）設(shè)P（x，y），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么類型的曲線．
【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)α=時(shí)，C1的普通方程為，C2的普通方程為x2+y2=1．
聯(lián)立方程組，
解得C1與C2的交點(diǎn)為（1，0）．
（Ⅱ）C1的普通方程為xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①．
則OA的方程為xcosα+ysinα=0②，
聯(lián)立①②可得x=sin2α，y=﹣cosαsinα；
A點(diǎn)坐標(biāo)為（sin2α，﹣cosαsinα），
故當(dāng)α變化時(shí)，P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程為：，
P點(diǎn)軌跡的普通方程．
故P點(diǎn)軌跡是圓心為，半徑為的圓．
【點(diǎn)評】本題主要考查直線與圓的參數(shù)方程，參數(shù)方程與普通方程的互化，利用參數(shù)方程研究軌跡問題的能力．
　
24．（10分）設(shè)函數(shù)f（x）=|2x﹣4|+1．
（Ⅰ）畫出函數(shù)y=f（x）的圖象：
（Ⅱ）若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范圍．

【考點(diǎn)】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換；7E：其他不等式的解法；R5：絕對值不等式的解法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
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【分析】（I）先討論x的范圍，將函數(shù)f（x）寫成分段函數(shù)，然后根據(jù)分段函數(shù)分段畫出函數(shù)的圖象即可；
（II）根據(jù)函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=ax的圖象可知先尋找滿足f（x）≤ax的零界情況，從而求出a的范圍．
【解答】解：（Ⅰ）由于f（x）=，
函數(shù)y=f（x）的圖象如圖所示．

（Ⅱ）由函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=ax的圖象可知，極小值在點(diǎn)（2，1）
當(dāng)且僅當(dāng)a＜﹣2或a≥時(shí)，函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y=ax的圖象有交點(diǎn)．
故不等式f（x）≤ax的解集非空時(shí)，
a的取值范圍為（﹣∞，﹣2）∪[，+∞）．

【點(diǎn)評】本題主要考查了函數(shù)的圖象，以及利用函數(shù)圖象解不等式，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．
　

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