7.1.1 條件概率
結(jié)合古典概型，了解條件概率與概率的乘法公式，了解條件概率與獨立性的關(guān)系；能計算簡單隨機(jī)事件的條件概率。
重點：條件概率的概念及計算，概率的乘法公式及其應(yīng)用。難點：對條件概率中“條件”的正確理解，條件概率與無條件概率的比較。
問題1：某個班級有45名學(xué)生，其中男生、女生的人數(shù)及團(tuán)員的人數(shù)如下表所示：
在班級里隨機(jī)選擇一人做代表：（1）選到男生的概率是多少？（2）如果已知選到的是團(tuán)員，那么選到的是男生的概率是多少？
分析：隨機(jī)選擇一人做代表，則樣本空間Ω包含45個等可能的樣本點.用A表示事件“選到團(tuán)員”，B表示事件“選到男生”，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可以得出，n（Ω）=45，n（A）=30，n（B）=25.
解：（1）根據(jù)古典概型知識可知，選到男生的概率
（2）“在選到團(tuán)員的條件下，選到男生”的概率就是“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的概率，記為P（B|A）.此時相當(dāng)于以A為樣本空間來考慮事件B發(fā)生的概率，而在新的樣本空間中事件B就是積事件AB，包含的樣本點數(shù)n（AB）=16.根據(jù)古典概型知識可知，
問題2：假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有兩個小孩的家庭.隨機(jī)選擇一個家庭，那么：（1）該家庭中兩個小孩都是女孩的概率是多大？ （2）如果已經(jīng)知道這個家庭有女孩，那么兩個小孩都是女孩的概率又是多大？
分析：觀察兩個小孩的性別，用b表示男孩，g表示女孩，則樣本空間Q={bb，bg，gb，gg}，且所有樣本點是等可能的.用A表示事件“選擇的家庭中有女孩”，則A={bg，gb，gg）， B表示事件“選擇的家庭中兩個孩子都是女孩”，B={gg）.
（1）根據(jù)古典概型知識可知，該家庭中兩個小孩都是女孩的概率（2)“在選擇的家庭有女孩的條件下，兩個小孩都是女孩”的概率就是“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的概率，記為P（B|A）.此時A成為樣本空間，事件B就是積事件AB.根據(jù)古典概型知識可知，
在上面兩個問題中，在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率都是
這個結(jié)論對于一般的古典概型仍然成立。事實上，如圖下圖所示，若已知事件A發(fā)生，則A成為樣本空間。此時，事件B發(fā)生的概率是AB包含的樣本點數(shù)與A包含的樣本點數(shù)的比值，即這個結(jié)論對于一般的古典概型仍然成立。
一般地，設(shè)A,B為兩個隨機(jī)事件，且P(A)>0，我們稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率。
條件概率與事件獨立性的關(guān)系
問題3：在問題1和問題2中，都有P（B|A）≠P（B）.一般地， P（B|A）與P（B）不一定相等。如果P（B|A）與P（B）相等，那么事件A與B應(yīng)滿足什么條件？
直觀上看，當(dāng)事件A與B相互獨立時，事件A發(fā)生與否不影響事件B發(fā)生的概率，這等價于P（B|A）=P（B）成立.
問題4：對于任意兩個事件A與B，如果已知P（A）與P（B|A），如何計算P（AB）呢？
由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B，若P（A）>0，則P（AB）=P（A）P（B|A）.我們稱上式為概率的乘法公式（multiplicatin frmula）.
條件概率只是縮小了樣本空間，因此條件概率同樣具有概率的性質(zhì).設(shè)P（A）>0，則
例1：在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的 題不再放回.求:(1)第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率;(2)在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.
分析:如果把“第1次抽到代數(shù)題”和“第2次抽到幾何題”作為兩個事件，那么問題(1)就是積事件的概率，問題(2)就是條件概率.可以先求積事件的概率，再用條件概率公式求條件概率;也可以先求條件概率，再用乘法公式求積事件的概率.
解法2：在縮小的樣本空間A上求P（B|A）.已知第1次抽到代數(shù)題，這時還余下4道試題，其中代數(shù)題和幾何題各2道.因此，事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率為
從例1可知，求條件概率有兩種方法：
方法一：基于樣本空間Ω，先計算P（A）和P（AB），再利用條件概率公式求P（B|A）；
方法二：根據(jù)條件概率的直觀意義，增加了“A發(fā)生”的條件后，樣本空間縮小為A，求P（B|A）就是以A為樣本空間計算AB的概率。
例2：已知3張獎券中只有1張有獎，甲、乙、丙3名同學(xué)依次不放回地各隨機(jī)抽取1張.他們中獎的概率與抽獎的次序有關(guān)嗎？
因為P(A)= P(B)= P(C),所以中獎的概率與抽獎的次序無關(guān)。
例3: 銀行儲蓄卡的密碼由6位數(shù)字組成.某人在銀行自助取款機(jī)上取錢時，忘記了碼的最后1位數(shù)字.求：（1）任意按最后1位數(shù)字，不超過2次就按對的概率；（2）如果記得密碼的最后1位是偶數(shù)，不超過2次就按對的概率。
方法一：公式法；方法二：縮小樣本空間；

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第三冊電子課本

7.1 條件概率與全概率公式

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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